Theorem rhmpropd 20574

Description: Ring homomorphism depends only on the ring attributes of structures. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmpropd.a	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐽))
rhmpropd.b	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (Base‘𝐾))
rhmpropd.c	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
rhmpropd.d	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (Base‘𝑀))
rhmpropd.e	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐽)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
rhmpropd.f	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑀)𝑦))
rhmpropd.g	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐽)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
rhmpropd.h	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑀)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
rhmpropd	⊢ (𝜑 → (𝐽 RingHom 𝐾) = (𝐿 RingHom 𝑀))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦

Proof of Theorem rhmpropd

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmpropd.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐽))
2		rhmpropd.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
3		rhmpropd.e	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐽)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
4		rhmpropd.g	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐽)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
5	1, 2, 3, 4	ringpropd 20253	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ Ring ↔ 𝐿 ∈ Ring))
6		rhmpropd.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (Base‘𝐾))
7		rhmpropd.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (Base‘𝑀))
8		rhmpropd.f	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑀)𝑦))
9		rhmpropd.h	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑀)𝑦))
10	6, 7, 8, 9	ringpropd 20253	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ Ring ↔ 𝑀 ∈ Ring))
11	5, 10	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ Ring) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ Ring)))
12	1, 6, 2, 7, 3, 8	ghmpropd 19244	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐽 GrpHom 𝐾) = (𝐿 GrpHom 𝑀))
13	12	eleq2d 2821	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝐽 GrpHom 𝐾) ↔ 𝑓 ∈ (𝐿 GrpHom 𝑀)))
14		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘𝐽) = (mulGrp‘𝐽)
15		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐽) = (Base‘𝐽)
16	14, 15	mgpbas 20110	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐽) = (Base‘(mulGrp‘𝐽))
17	1, 16	eqtrdi 2787	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝐽)))
18		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘𝐾) = (mulGrp‘𝐾)
19		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
20	18, 19	mgpbas 20110	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘(mulGrp‘𝐾))
21	6, 20	eqtrdi 2787	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (Base‘(mulGrp‘𝐾)))
22		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘𝐿) = (mulGrp‘𝐿)
23		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
24	22, 23	mgpbas 20110	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘(mulGrp‘𝐿))
25	2, 24	eqtrdi 2787	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝐿)))
26		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘𝑀) = (mulGrp‘𝑀)
27		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
28	26, 27	mgpbas 20110	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘(mulGrp‘𝑀))
29	7, 28	eqtrdi 2787	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (Base‘(mulGrp‘𝑀)))
30		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝐽) = (.r‘𝐽)
31	14, 30	mgpplusg 20109	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐽) = (+g‘(mulGrp‘𝐽))
32	31	oveqi 7423	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥(.r‘𝐽)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐽))𝑦)
33		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝐿) = (.r‘𝐿)
34	22, 33	mgpplusg 20109	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐿) = (+g‘(mulGrp‘𝐿))
35	34	oveqi 7423	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐿))𝑦)
36	4, 32, 35	3eqtr3g 2794	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐽))𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐿))𝑦))
37		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐾)
38	18, 37	mgpplusg 20109	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐾) = (+g‘(mulGrp‘𝐾))
39	38	oveqi 7423	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)
40		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑀) = (.r‘𝑀)
41	26, 40	mgpplusg 20109	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑀) = (+g‘(mulGrp‘𝑀))
42	41	oveqi 7423	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥(.r‘𝑀)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑀))𝑦)
43	9, 39, 42	3eqtr3g 2794	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑀))𝑦))
44	17, 21, 25, 29, 36, 43	mhmpropd 18775	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝐽) MndHom (mulGrp‘𝐾)) = ((mulGrp‘𝐿) MndHom (mulGrp‘𝑀)))
45	44	eleq2d 2821	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐽) MndHom (mulGrp‘𝐾)) ↔ 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐿) MndHom (mulGrp‘𝑀))))
46	13, 45	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑓 ∈ (𝐽 GrpHom 𝐾) ∧ 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐽) MndHom (mulGrp‘𝐾))) ↔ (𝑓 ∈ (𝐿 GrpHom 𝑀) ∧ 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐿) MndHom (mulGrp‘𝑀)))))
47	11, 46	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐽 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ Ring) ∧ (𝑓 ∈ (𝐽 GrpHom 𝐾) ∧ 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐽) MndHom (mulGrp‘𝐾)))) ↔ ((𝐿 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ Ring) ∧ (𝑓 ∈ (𝐿 GrpHom 𝑀) ∧ 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐿) MndHom (mulGrp‘𝑀))))))
48	14, 18	isrhm 20443	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽 RingHom 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ Ring) ∧ (𝑓 ∈ (𝐽 GrpHom 𝐾) ∧ 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐽) MndHom (mulGrp‘𝐾)))))
49	22, 26	isrhm 20443	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐿 RingHom 𝑀) ↔ ((𝐿 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ Ring) ∧ (𝑓 ∈ (𝐿 GrpHom 𝑀) ∧ 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐿) MndHom (mulGrp‘𝑀)))))
50	47, 48, 49	3bitr4g 314	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝐽 RingHom 𝐾) ↔ 𝑓 ∈ (𝐿 RingHom 𝑀)))
51	50	eqrdv 2734	1 ⊢ (𝜑 → (𝐽 RingHom 𝐾) = (𝐿 RingHom 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17233  +_gcplusg 17276  ._rcmulr 17277   MndHom cmhm 18764   GrpHom cghm 19200  mulGrpcmgp 20105  Ringcrg 20198   RingHom crh 20434

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-plusg 17289  df-0g 17460  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-mhm 18766  df-grp 18924  df-ghm 19201  df-mgp 20106  df-ur 20147  df-ring 20200  df-rhm 20437

This theorem is referenced by:  zrhpropd  21480  evls1rhm  22265  evl1rhm  22275  rhmply1  22329  zndvdchrrhm  41990  rhmpsr1  42543