Theorem rhmpropd 20581

Description: Ring homomorphism depends only on the ring attributes of structures. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmpropd.a	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐽))
rhmpropd.b	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (Base‘𝐾))
rhmpropd.c	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
rhmpropd.d	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (Base‘𝑀))
rhmpropd.e	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐽)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
rhmpropd.f	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑀)𝑦))
rhmpropd.g	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐽)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
rhmpropd.h	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑀)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
rhmpropd	⊢ (𝜑 → (𝐽 RingHom 𝐾) = (𝐿 RingHom 𝑀))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦

Proof of Theorem rhmpropd

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmpropd.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐽))
2		rhmpropd.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
3		rhmpropd.e	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐽)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
4		rhmpropd.g	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐽)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
5	1, 2, 3, 4	ringpropd 20264	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ Ring ↔ 𝐿 ∈ Ring))
6		rhmpropd.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (Base‘𝐾))
7		rhmpropd.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (Base‘𝑀))
8		rhmpropd.f	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑀)𝑦))
9		rhmpropd.h	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑀)𝑦))
10	6, 7, 8, 9	ringpropd 20264	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ Ring ↔ 𝑀 ∈ Ring))
11	5, 10	anbi12d 633	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ Ring) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ Ring)))
12	1, 6, 2, 7, 3, 8	ghmpropd 19226	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐽 GrpHom 𝐾) = (𝐿 GrpHom 𝑀))
13	12	eleq2d 2823	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝐽 GrpHom 𝐾) ↔ 𝑓 ∈ (𝐿 GrpHom 𝑀)))
14		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘𝐽) = (mulGrp‘𝐽)
15		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐽) = (Base‘𝐽)
16	14, 15	mgpbas 20121	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐽) = (Base‘(mulGrp‘𝐽))
17	1, 16	eqtrdi 2788	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝐽)))
18		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘𝐾) = (mulGrp‘𝐾)
19		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
20	18, 19	mgpbas 20121	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘(mulGrp‘𝐾))
21	6, 20	eqtrdi 2788	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (Base‘(mulGrp‘𝐾)))
22		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘𝐿) = (mulGrp‘𝐿)
23		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
24	22, 23	mgpbas 20121	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘(mulGrp‘𝐿))
25	2, 24	eqtrdi 2788	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝐿)))
26		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘𝑀) = (mulGrp‘𝑀)
27		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
28	26, 27	mgpbas 20121	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘(mulGrp‘𝑀))
29	7, 28	eqtrdi 2788	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (Base‘(mulGrp‘𝑀)))
30		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝐽) = (.r‘𝐽)
31	14, 30	mgpplusg 20120	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐽) = (+g‘(mulGrp‘𝐽))
32	31	oveqi 7375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥(.r‘𝐽)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐽))𝑦)
33		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝐿) = (.r‘𝐿)
34	22, 33	mgpplusg 20120	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐿) = (+g‘(mulGrp‘𝐿))
35	34	oveqi 7375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐿))𝑦)
36	4, 32, 35	3eqtr3g 2795	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐽))𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐿))𝑦))
37		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐾)
38	18, 37	mgpplusg 20120	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐾) = (+g‘(mulGrp‘𝐾))
39	38	oveqi 7375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)
40		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑀) = (.r‘𝑀)
41	26, 40	mgpplusg 20120	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑀) = (+g‘(mulGrp‘𝑀))
42	41	oveqi 7375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥(.r‘𝑀)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑀))𝑦)
43	9, 39, 42	3eqtr3g 2795	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑀))𝑦))
44	17, 21, 25, 29, 36, 43	mhmpropd 18755	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝐽) MndHom (mulGrp‘𝐾)) = ((mulGrp‘𝐿) MndHom (mulGrp‘𝑀)))
45	44	eleq2d 2823	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐽) MndHom (mulGrp‘𝐾)) ↔ 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐿) MndHom (mulGrp‘𝑀))))
46	13, 45	anbi12d 633	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑓 ∈ (𝐽 GrpHom 𝐾) ∧ 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐽) MndHom (mulGrp‘𝐾))) ↔ (𝑓 ∈ (𝐿 GrpHom 𝑀) ∧ 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐿) MndHom (mulGrp‘𝑀)))))
47	11, 46	anbi12d 633	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐽 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ Ring) ∧ (𝑓 ∈ (𝐽 GrpHom 𝐾) ∧ 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐽) MndHom (mulGrp‘𝐾)))) ↔ ((𝐿 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ Ring) ∧ (𝑓 ∈ (𝐿 GrpHom 𝑀) ∧ 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐿) MndHom (mulGrp‘𝑀))))))
48	14, 18	isrhm 20453	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽 RingHom 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ Ring) ∧ (𝑓 ∈ (𝐽 GrpHom 𝐾) ∧ 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐽) MndHom (mulGrp‘𝐾)))))
49	22, 26	isrhm 20453	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐿 RingHom 𝑀) ↔ ((𝐿 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ Ring) ∧ (𝑓 ∈ (𝐿 GrpHom 𝑀) ∧ 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐿) MndHom (mulGrp‘𝑀)))))
50	47, 48, 49	3bitr4g 314	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝐽 RingHom 𝐾) ↔ 𝑓 ∈ (𝐿 RingHom 𝑀)))
51	50	eqrdv 2735	1 ⊢ (𝜑 → (𝐽 RingHom 𝐾) = (𝐿 RingHom 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  Basecbs 17174  +_gcplusg 17215  ._rcmulr 17216   MndHom cmhm 18744   GrpHom cghm 19182  mulGrpcmgp 20116  Ringcrg 20209   RingHom crh 20444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-map 8770  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-plusg 17228  df-0g 17399  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18746  df-grp 18907  df-ghm 19183  df-mgp 20117  df-ur 20158  df-ring 20211  df-rhm 20447

This theorem is referenced by:  zrhpropd  21508  evls1rhm  22301  evl1rhm  22311  rhmply1  22365  zndvdchrrhm  42430  rhmpsr1  43014