MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rhmpropd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmpropd 20511
Description: Ring homomorphism depends only on the ring attributes of structures. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rhmpropd.a (𝜑𝐵 = (Base‘𝐽))
rhmpropd.b (𝜑𝐶 = (Base‘𝐾))
rhmpropd.c (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
rhmpropd.d (𝜑𝐶 = (Base‘𝑀))
rhmpropd.e ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝐽)𝑦) = (𝑥(+g𝐿)𝑦))
rhmpropd.f ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → (𝑥(+g𝐾)𝑦) = (𝑥(+g𝑀)𝑦))
rhmpropd.g ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐽)𝑦) = (𝑥(.r𝐿)𝑦))
rhmpropd.h ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(.r𝑀)𝑦))
Assertion
Ref Expression
rhmpropd (𝜑 → (𝐽 RingHom 𝐾) = (𝐿 RingHom 𝑀))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦

Proof of Theorem rhmpropd
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rhmpropd.a . . . . . 6 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐽))
2 rhmpropd.c . . . . . 6 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
3 rhmpropd.e . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝐽)𝑦) = (𝑥(+g𝐿)𝑦))
4 rhmpropd.g . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐽)𝑦) = (𝑥(.r𝐿)𝑦))
51, 2, 3, 4ringpropd 20187 . . . . 5 (𝜑 → (𝐽 ∈ Ring ↔ 𝐿 ∈ Ring))
6 rhmpropd.b . . . . . 6 (𝜑𝐶 = (Base‘𝐾))
7 rhmpropd.d . . . . . 6 (𝜑𝐶 = (Base‘𝑀))
8 rhmpropd.f . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → (𝑥(+g𝐾)𝑦) = (𝑥(+g𝑀)𝑦))
9 rhmpropd.h . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(.r𝑀)𝑦))
106, 7, 8, 9ringpropd 20187 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ Ring ↔ 𝑀 ∈ Ring))
115, 10anbi12d 630 . . . 4 (𝜑 → ((𝐽 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ Ring) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ Ring)))
121, 6, 2, 7, 3, 8ghmpropd 19181 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽 GrpHom 𝐾) = (𝐿 GrpHom 𝑀))
1312eleq2d 2813 . . . . 5 (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝐽 GrpHom 𝐾) ↔ 𝑓 ∈ (𝐿 GrpHom 𝑀)))
14 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘𝐽) = (mulGrp‘𝐽)
15 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐽) = (Base‘𝐽)
1614, 15mgpbas 20045 . . . . . . . 8 (Base‘𝐽) = (Base‘(mulGrp‘𝐽))
171, 16eqtrdi 2782 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝐽)))
18 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘𝐾) = (mulGrp‘𝐾)
19 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2018, 19mgpbas 20045 . . . . . . . 8 (Base‘𝐾) = (Base‘(mulGrp‘𝐾))
216, 20eqtrdi 2782 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 = (Base‘(mulGrp‘𝐾)))
22 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘𝐿) = (mulGrp‘𝐿)
23 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
2422, 23mgpbas 20045 . . . . . . . 8 (Base‘𝐿) = (Base‘(mulGrp‘𝐿))
252, 24eqtrdi 2782 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝐿)))
26 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘𝑀) = (mulGrp‘𝑀)
27 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
2826, 27mgpbas 20045 . . . . . . . 8 (Base‘𝑀) = (Base‘(mulGrp‘𝑀))
297, 28eqtrdi 2782 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 = (Base‘(mulGrp‘𝑀)))
30 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (.r𝐽) = (.r𝐽)
3114, 30mgpplusg 20043 . . . . . . . . 9 (.r𝐽) = (+g‘(mulGrp‘𝐽))
3231oveqi 7418 . . . . . . . 8 (𝑥(.r𝐽)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐽))𝑦)
33 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (.r𝐿) = (.r𝐿)
3422, 33mgpplusg 20043 . . . . . . . . 9 (.r𝐿) = (+g‘(mulGrp‘𝐿))
3534oveqi 7418 . . . . . . . 8 (𝑥(.r𝐿)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐿))𝑦)
364, 32, 353eqtr3g 2789 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐽))𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐿))𝑦))
37 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (.r𝐾) = (.r𝐾)
3818, 37mgpplusg 20043 . . . . . . . . 9 (.r𝐾) = (+g‘(mulGrp‘𝐾))
3938oveqi 7418 . . . . . . . 8 (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)
40 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (.r𝑀) = (.r𝑀)
4126, 40mgpplusg 20043 . . . . . . . . 9 (.r𝑀) = (+g‘(mulGrp‘𝑀))
4241oveqi 7418 . . . . . . . 8 (𝑥(.r𝑀)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑀))𝑦)
439, 39, 423eqtr3g 2789 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑀))𝑦))
4417, 21, 25, 29, 36, 43mhmpropd 18722 . . . . . 6 (𝜑 → ((mulGrp‘𝐽) MndHom (mulGrp‘𝐾)) = ((mulGrp‘𝐿) MndHom (mulGrp‘𝑀)))
4544eleq2d 2813 . . . . 5 (𝜑 → (𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐽) MndHom (mulGrp‘𝐾)) ↔ 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐿) MndHom (mulGrp‘𝑀))))
4613, 45anbi12d 630 . . . 4 (𝜑 → ((𝑓 ∈ (𝐽 GrpHom 𝐾) ∧ 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐽) MndHom (mulGrp‘𝐾))) ↔ (𝑓 ∈ (𝐿 GrpHom 𝑀) ∧ 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐿) MndHom (mulGrp‘𝑀)))))
4711, 46anbi12d 630 . . 3 (𝜑 → (((𝐽 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ Ring) ∧ (𝑓 ∈ (𝐽 GrpHom 𝐾) ∧ 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐽) MndHom (mulGrp‘𝐾)))) ↔ ((𝐿 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ Ring) ∧ (𝑓 ∈ (𝐿 GrpHom 𝑀) ∧ 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐿) MndHom (mulGrp‘𝑀))))))
4814, 18isrhm 20380 . . 3 (𝑓 ∈ (𝐽 RingHom 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ Ring) ∧ (𝑓 ∈ (𝐽 GrpHom 𝐾) ∧ 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐽) MndHom (mulGrp‘𝐾)))))
4922, 26isrhm 20380 . . 3 (𝑓 ∈ (𝐿 RingHom 𝑀) ↔ ((𝐿 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ Ring) ∧ (𝑓 ∈ (𝐿 GrpHom 𝑀) ∧ 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐿) MndHom (mulGrp‘𝑀)))))
5047, 48, 493bitr4g 314 . 2 (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝐽 RingHom 𝐾) ↔ 𝑓 ∈ (𝐿 RingHom 𝑀)))
5150eqrdv 2724 1 (𝜑 → (𝐽 RingHom 𝐾) = (𝐿 RingHom 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  .rcmulr 17207   MndHom cmhm 18711   GrpHom cghm 19138  mulGrpcmgp 20039  Ringcrg 20138   RingHom crh 20371
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-grp 18866  df-ghm 19139  df-mgp 20040  df-ur 20087  df-ring 20140  df-rhm 20374
This theorem is referenced by:  zrhpropd  21401  evls1rhm  22196  evl1rhm  22206
  Copyright terms: Public domain W3C validator