Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rhmpropd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmpropd 19566
 Description: Ring homomorphism depends only on the ring attributes of structures. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rhmpropd.a (𝜑𝐵 = (Base‘𝐽))
rhmpropd.b (𝜑𝐶 = (Base‘𝐾))
rhmpropd.c (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
rhmpropd.d (𝜑𝐶 = (Base‘𝑀))
rhmpropd.e ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝐽)𝑦) = (𝑥(+g𝐿)𝑦))
rhmpropd.f ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → (𝑥(+g𝐾)𝑦) = (𝑥(+g𝑀)𝑦))
rhmpropd.g ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐽)𝑦) = (𝑥(.r𝐿)𝑦))
rhmpropd.h ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(.r𝑀)𝑦))
Assertion
Ref Expression
rhmpropd (𝜑 → (𝐽 RingHom 𝐾) = (𝐿 RingHom 𝑀))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦

Proof of Theorem rhmpropd
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rhmpropd.a . . . . . 6 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐽))
2 rhmpropd.c . . . . . 6 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
3 rhmpropd.e . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝐽)𝑦) = (𝑥(+g𝐿)𝑦))
4 rhmpropd.g . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐽)𝑦) = (𝑥(.r𝐿)𝑦))
51, 2, 3, 4ringpropd 19330 . . . . 5 (𝜑 → (𝐽 ∈ Ring ↔ 𝐿 ∈ Ring))
6 rhmpropd.b . . . . . 6 (𝜑𝐶 = (Base‘𝐾))
7 rhmpropd.d . . . . . 6 (𝜑𝐶 = (Base‘𝑀))
8 rhmpropd.f . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → (𝑥(+g𝐾)𝑦) = (𝑥(+g𝑀)𝑦))
9 rhmpropd.h . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(.r𝑀)𝑦))
106, 7, 8, 9ringpropd 19330 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ Ring ↔ 𝑀 ∈ Ring))
115, 10anbi12d 633 . . . 4 (𝜑 → ((𝐽 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ Ring) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ Ring)))
121, 6, 2, 7, 3, 8ghmpropd 18394 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽 GrpHom 𝐾) = (𝐿 GrpHom 𝑀))
1312eleq2d 2901 . . . . 5 (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝐽 GrpHom 𝐾) ↔ 𝑓 ∈ (𝐿 GrpHom 𝑀)))
14 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘𝐽) = (mulGrp‘𝐽)
15 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐽) = (Base‘𝐽)
1614, 15mgpbas 19243 . . . . . . . 8 (Base‘𝐽) = (Base‘(mulGrp‘𝐽))
171, 16syl6eq 2875 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝐽)))
18 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘𝐾) = (mulGrp‘𝐾)
19 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2018, 19mgpbas 19243 . . . . . . . 8 (Base‘𝐾) = (Base‘(mulGrp‘𝐾))
216, 20syl6eq 2875 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 = (Base‘(mulGrp‘𝐾)))
22 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘𝐿) = (mulGrp‘𝐿)
23 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
2422, 23mgpbas 19243 . . . . . . . 8 (Base‘𝐿) = (Base‘(mulGrp‘𝐿))
252, 24syl6eq 2875 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝐿)))
26 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘𝑀) = (mulGrp‘𝑀)
27 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
2826, 27mgpbas 19243 . . . . . . . 8 (Base‘𝑀) = (Base‘(mulGrp‘𝑀))
297, 28syl6eq 2875 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 = (Base‘(mulGrp‘𝑀)))
30 eqid 2824 . . . . . . . . . 10 (.r𝐽) = (.r𝐽)
3114, 30mgpplusg 19241 . . . . . . . . 9 (.r𝐽) = (+g‘(mulGrp‘𝐽))
3231oveqi 7159 . . . . . . . 8 (𝑥(.r𝐽)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐽))𝑦)
33 eqid 2824 . . . . . . . . . 10 (.r𝐿) = (.r𝐿)
3422, 33mgpplusg 19241 . . . . . . . . 9 (.r𝐿) = (+g‘(mulGrp‘𝐿))
3534oveqi 7159 . . . . . . . 8 (𝑥(.r𝐿)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐿))𝑦)
364, 32, 353eqtr3g 2882 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐽))𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐿))𝑦))
37 eqid 2824 . . . . . . . . . 10 (.r𝐾) = (.r𝐾)
3818, 37mgpplusg 19241 . . . . . . . . 9 (.r𝐾) = (+g‘(mulGrp‘𝐾))
3938oveqi 7159 . . . . . . . 8 (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)
40 eqid 2824 . . . . . . . . . 10 (.r𝑀) = (.r𝑀)
4126, 40mgpplusg 19241 . . . . . . . . 9 (.r𝑀) = (+g‘(mulGrp‘𝑀))
4241oveqi 7159 . . . . . . . 8 (𝑥(.r𝑀)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑀))𝑦)
439, 39, 423eqtr3g 2882 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑀))𝑦))
4417, 21, 25, 29, 36, 43mhmpropd 17960 . . . . . 6 (𝜑 → ((mulGrp‘𝐽) MndHom (mulGrp‘𝐾)) = ((mulGrp‘𝐿) MndHom (mulGrp‘𝑀)))
4544eleq2d 2901 . . . . 5 (𝜑 → (𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐽) MndHom (mulGrp‘𝐾)) ↔ 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐿) MndHom (mulGrp‘𝑀))))
4613, 45anbi12d 633 . . . 4 (𝜑 → ((𝑓 ∈ (𝐽 GrpHom 𝐾) ∧ 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐽) MndHom (mulGrp‘𝐾))) ↔ (𝑓 ∈ (𝐿 GrpHom 𝑀) ∧ 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐿) MndHom (mulGrp‘𝑀)))))
4711, 46anbi12d 633 . . 3 (𝜑 → (((𝐽 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ Ring) ∧ (𝑓 ∈ (𝐽 GrpHom 𝐾) ∧ 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐽) MndHom (mulGrp‘𝐾)))) ↔ ((𝐿 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ Ring) ∧ (𝑓 ∈ (𝐿 GrpHom 𝑀) ∧ 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐿) MndHom (mulGrp‘𝑀))))))
4814, 18isrhm 19471 . . 3 (𝑓 ∈ (𝐽 RingHom 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ Ring) ∧ (𝑓 ∈ (𝐽 GrpHom 𝐾) ∧ 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐽) MndHom (mulGrp‘𝐾)))))
4922, 26isrhm 19471 . . 3 (𝑓 ∈ (𝐿 RingHom 𝑀) ↔ ((𝐿 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ Ring) ∧ (𝑓 ∈ (𝐿 GrpHom 𝑀) ∧ 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐿) MndHom (mulGrp‘𝑀)))))
5047, 48, 493bitr4g 317 . 2 (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝐽 RingHom 𝐾) ↔ 𝑓 ∈ (𝐿 RingHom 𝑀)))
5150eqrdv 2822 1 (𝜑 → (𝐽 RingHom 𝐾) = (𝐿 RingHom 𝑀))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ‘cfv 6344  (class class class)co 7146  Basecbs 16481  +gcplusg 16563  .rcmulr 16564   MndHom cmhm 17952   GrpHom cghm 18353  mulGrpcmgp 19237  Ringcrg 19295   RingHom crh 19462 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-om 7572  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11695  df-ndx 16484  df-slot 16485  df-base 16487  df-sets 16488  df-plusg 16576  df-0g 16713  df-mgm 17850  df-sgrp 17899  df-mnd 17910  df-mhm 17954  df-grp 18104  df-ghm 18354  df-mgp 19238  df-ur 19250  df-ring 19297  df-rnghom 19465 This theorem is referenced by:  evls1rhm  20480  evl1rhm  20490  zrhpropd  20657
 Copyright terms: Public domain W3C validator