Theorem rhmpropd 20585

Description: Ring homomorphism depends only on the ring attributes of structures. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmpropd.a	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐽))
rhmpropd.b	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (Base‘𝐾))
rhmpropd.c	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
rhmpropd.d	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (Base‘𝑀))
rhmpropd.e	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐽)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
rhmpropd.f	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑀)𝑦))
rhmpropd.g	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐽)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
rhmpropd.h	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑀)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
rhmpropd	⊢ (𝜑 → (𝐽 RingHom 𝐾) = (𝐿 RingHom 𝑀))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦

Proof of Theorem rhmpropd

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmpropd.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐽))
2		rhmpropd.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
3		rhmpropd.e	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐽)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
4		rhmpropd.g	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐽)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
5	1, 2, 3, 4	ringpropd 20264	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ Ring ↔ 𝐿 ∈ Ring))
6		rhmpropd.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (Base‘𝐾))
7		rhmpropd.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (Base‘𝑀))
8		rhmpropd.f	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑀)𝑦))
9		rhmpropd.h	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑀)𝑦))
10	6, 7, 8, 9	ringpropd 20264	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ Ring ↔ 𝑀 ∈ Ring))
11	5, 10	anbi12d 639	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ Ring) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ Ring)))
12	1, 6, 2, 7, 3, 8	ghmpropd 19226	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐽 GrpHom 𝐾) = (𝐿 GrpHom 𝑀))
13	12	eleq2d 2827	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝐽 GrpHom 𝐾) ↔ 𝑓 ∈ (𝐿 GrpHom 𝑀)))
14		eqid 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘𝐽) = (mulGrp‘𝐽)
15		eqid 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐽) = (Base‘𝐽)
16	14, 15	mgpbas 20121	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐽) = (Base‘(mulGrp‘𝐽))
17	1, 16	eqtrdi 2792	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝐽)))
18		eqid 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘𝐾) = (mulGrp‘𝐾)
19		eqid 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
20	18, 19	mgpbas 20121	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘(mulGrp‘𝐾))
21	6, 20	eqtrdi 2792	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (Base‘(mulGrp‘𝐾)))
22		eqid 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘𝐿) = (mulGrp‘𝐿)
23		eqid 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
24	22, 23	mgpbas 20121	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘(mulGrp‘𝐿))
25	2, 24	eqtrdi 2792	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝐿)))
26		eqid 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘𝑀) = (mulGrp‘𝑀)
27		eqid 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
28	26, 27	mgpbas 20121	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘(mulGrp‘𝑀))
29	7, 28	eqtrdi 2792	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (Base‘(mulGrp‘𝑀)))
30		eqid 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝐽) = (.r‘𝐽)
31	14, 30	mgpplusg 20120	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐽) = (+g‘(mulGrp‘𝐽))
32	31	oveqi 7373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥(.r‘𝐽)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐽))𝑦)
33		eqid 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝐿) = (.r‘𝐿)
34	22, 33	mgpplusg 20120	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐿) = (+g‘(mulGrp‘𝐿))
35	34	oveqi 7373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐿))𝑦)
36	4, 32, 35	3eqtr3g 2799	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐽))𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐿))𝑦))
37		eqid 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐾)
38	18, 37	mgpplusg 20120	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐾) = (+g‘(mulGrp‘𝐾))
39	38	oveqi 7373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)
40		eqid 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑀) = (.r‘𝑀)
41	26, 40	mgpplusg 20120	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑀) = (+g‘(mulGrp‘𝑀))
42	41	oveqi 7373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥(.r‘𝑀)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑀))𝑦)
43	9, 39, 42	3eqtr3g 2799	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑀))𝑦))
44	17, 21, 25, 29, 36, 43	mhmpropd 18755	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝐽) MndHom (mulGrp‘𝐾)) = ((mulGrp‘𝐿) MndHom (mulGrp‘𝑀)))
45	44	eleq2d 2827	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐽) MndHom (mulGrp‘𝐾)) ↔ 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐿) MndHom (mulGrp‘𝑀))))
46	13, 45	anbi12d 639	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑓 ∈ (𝐽 GrpHom 𝐾) ∧ 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐽) MndHom (mulGrp‘𝐾))) ↔ (𝑓 ∈ (𝐿 GrpHom 𝑀) ∧ 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐿) MndHom (mulGrp‘𝑀)))))
47	11, 46	anbi12d 639	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐽 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ Ring) ∧ (𝑓 ∈ (𝐽 GrpHom 𝐾) ∧ 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐽) MndHom (mulGrp‘𝐾)))) ↔ ((𝐿 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ Ring) ∧ (𝑓 ∈ (𝐿 GrpHom 𝑀) ∧ 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐿) MndHom (mulGrp‘𝑀))))))
48	14, 18	isrhm 20453	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽 RingHom 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ Ring) ∧ (𝑓 ∈ (𝐽 GrpHom 𝐾) ∧ 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐽) MndHom (mulGrp‘𝐾)))))
49	22, 26	isrhm 20453	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐿 RingHom 𝑀) ↔ ((𝐿 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ Ring) ∧ (𝑓 ∈ (𝐿 GrpHom 𝑀) ∧ 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐿) MndHom (mulGrp‘𝑀)))))
50	47, 48, 49	3bitr4g 316	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝐽 RingHom 𝐾) ↔ 𝑓 ∈ (𝐿 RingHom 𝑀)))
51	50	eqrdv 2739	1 ⊢ (𝜑 → (𝐽 RingHom 𝐾) = (𝐿 RingHom 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  Basecbs 17174  +_gcplusg 17215  ._rcmulr 17216   MndHom cmhm 18744   GrpHom cghm 19182  mulGrpcmgp 20116  Ringcrg 20209   RingHom crh 20444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-plusg 17228  df-0g 17399  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18746  df-grp 18907  df-ghm 19183  df-mgp 20117  df-ur 20158  df-ring 20211  df-rhm 20447

This theorem is referenced by:  zrhpropd  21493  evls1rhm  22312  evl1rhm  22322  rhmply1  22373  zndvdchrrhm  42473  rhmpsr1  43049