MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rhmpropd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmpropd 19218
Description: Ring homomorphism depends only on the ring attributes of structures. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rhmpropd.a (𝜑𝐵 = (Base‘𝐽))
rhmpropd.b (𝜑𝐶 = (Base‘𝐾))
rhmpropd.c (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
rhmpropd.d (𝜑𝐶 = (Base‘𝑀))
rhmpropd.e ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝐽)𝑦) = (𝑥(+g𝐿)𝑦))
rhmpropd.f ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → (𝑥(+g𝐾)𝑦) = (𝑥(+g𝑀)𝑦))
rhmpropd.g ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐽)𝑦) = (𝑥(.r𝐿)𝑦))
rhmpropd.h ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(.r𝑀)𝑦))
Assertion
Ref Expression
rhmpropd (𝜑 → (𝐽 RingHom 𝐾) = (𝐿 RingHom 𝑀))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦

Proof of Theorem rhmpropd
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rhmpropd.a . . . . . 6 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐽))
2 rhmpropd.c . . . . . 6 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
3 rhmpropd.e . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝐽)𝑦) = (𝑥(+g𝐿)𝑦))
4 rhmpropd.g . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐽)𝑦) = (𝑥(.r𝐿)𝑦))
51, 2, 3, 4ringpropd 18980 . . . . 5 (𝜑 → (𝐽 ∈ Ring ↔ 𝐿 ∈ Ring))
6 rhmpropd.b . . . . . 6 (𝜑𝐶 = (Base‘𝐾))
7 rhmpropd.d . . . . . 6 (𝜑𝐶 = (Base‘𝑀))
8 rhmpropd.f . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → (𝑥(+g𝐾)𝑦) = (𝑥(+g𝑀)𝑦))
9 rhmpropd.h . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(.r𝑀)𝑦))
106, 7, 8, 9ringpropd 18980 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ Ring ↔ 𝑀 ∈ Ring))
115, 10anbi12d 624 . . . 4 (𝜑 → ((𝐽 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ Ring) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ Ring)))
121, 6, 2, 7, 3, 8ghmpropd 18093 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽 GrpHom 𝐾) = (𝐿 GrpHom 𝑀))
1312eleq2d 2845 . . . . 5 (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝐽 GrpHom 𝐾) ↔ 𝑓 ∈ (𝐿 GrpHom 𝑀)))
14 eqid 2778 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘𝐽) = (mulGrp‘𝐽)
15 eqid 2778 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐽) = (Base‘𝐽)
1614, 15mgpbas 18893 . . . . . . . 8 (Base‘𝐽) = (Base‘(mulGrp‘𝐽))
171, 16syl6eq 2830 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝐽)))
18 eqid 2778 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘𝐾) = (mulGrp‘𝐾)
19 eqid 2778 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2018, 19mgpbas 18893 . . . . . . . 8 (Base‘𝐾) = (Base‘(mulGrp‘𝐾))
216, 20syl6eq 2830 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 = (Base‘(mulGrp‘𝐾)))
22 eqid 2778 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘𝐿) = (mulGrp‘𝐿)
23 eqid 2778 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
2422, 23mgpbas 18893 . . . . . . . 8 (Base‘𝐿) = (Base‘(mulGrp‘𝐿))
252, 24syl6eq 2830 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝐿)))
26 eqid 2778 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘𝑀) = (mulGrp‘𝑀)
27 eqid 2778 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
2826, 27mgpbas 18893 . . . . . . . 8 (Base‘𝑀) = (Base‘(mulGrp‘𝑀))
297, 28syl6eq 2830 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 = (Base‘(mulGrp‘𝑀)))
30 eqid 2778 . . . . . . . . . 10 (.r𝐽) = (.r𝐽)
3114, 30mgpplusg 18891 . . . . . . . . 9 (.r𝐽) = (+g‘(mulGrp‘𝐽))
3231oveqi 6937 . . . . . . . 8 (𝑥(.r𝐽)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐽))𝑦)
33 eqid 2778 . . . . . . . . . 10 (.r𝐿) = (.r𝐿)
3422, 33mgpplusg 18891 . . . . . . . . 9 (.r𝐿) = (+g‘(mulGrp‘𝐿))
3534oveqi 6937 . . . . . . . 8 (𝑥(.r𝐿)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐿))𝑦)
364, 32, 353eqtr3g 2837 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐽))𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐿))𝑦))
37 eqid 2778 . . . . . . . . . 10 (.r𝐾) = (.r𝐾)
3818, 37mgpplusg 18891 . . . . . . . . 9 (.r𝐾) = (+g‘(mulGrp‘𝐾))
3938oveqi 6937 . . . . . . . 8 (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)
40 eqid 2778 . . . . . . . . . 10 (.r𝑀) = (.r𝑀)
4126, 40mgpplusg 18891 . . . . . . . . 9 (.r𝑀) = (+g‘(mulGrp‘𝑀))
4241oveqi 6937 . . . . . . . 8 (𝑥(.r𝑀)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑀))𝑦)
439, 39, 423eqtr3g 2837 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑀))𝑦))
4417, 21, 25, 29, 36, 43mhmpropd 17738 . . . . . 6 (𝜑 → ((mulGrp‘𝐽) MndHom (mulGrp‘𝐾)) = ((mulGrp‘𝐿) MndHom (mulGrp‘𝑀)))
4544eleq2d 2845 . . . . 5 (𝜑 → (𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐽) MndHom (mulGrp‘𝐾)) ↔ 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐿) MndHom (mulGrp‘𝑀))))
4613, 45anbi12d 624 . . . 4 (𝜑 → ((𝑓 ∈ (𝐽 GrpHom 𝐾) ∧ 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐽) MndHom (mulGrp‘𝐾))) ↔ (𝑓 ∈ (𝐿 GrpHom 𝑀) ∧ 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐿) MndHom (mulGrp‘𝑀)))))
4711, 46anbi12d 624 . . 3 (𝜑 → (((𝐽 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ Ring) ∧ (𝑓 ∈ (𝐽 GrpHom 𝐾) ∧ 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐽) MndHom (mulGrp‘𝐾)))) ↔ ((𝐿 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ Ring) ∧ (𝑓 ∈ (𝐿 GrpHom 𝑀) ∧ 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐿) MndHom (mulGrp‘𝑀))))))
4814, 18isrhm 19121 . . 3 (𝑓 ∈ (𝐽 RingHom 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ Ring) ∧ (𝑓 ∈ (𝐽 GrpHom 𝐾) ∧ 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐽) MndHom (mulGrp‘𝐾)))))
4922, 26isrhm 19121 . . 3 (𝑓 ∈ (𝐿 RingHom 𝑀) ↔ ((𝐿 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ Ring) ∧ (𝑓 ∈ (𝐿 GrpHom 𝑀) ∧ 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐿) MndHom (mulGrp‘𝑀)))))
5047, 48, 493bitr4g 306 . 2 (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝐽 RingHom 𝐾) ↔ 𝑓 ∈ (𝐿 RingHom 𝑀)))
5150eqrdv 2776 1 (𝜑 → (𝐽 RingHom 𝐾) = (𝐿 RingHom 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  cfv 6137  (class class class)co 6924  Basecbs 16266  +gcplusg 16349  .rcmulr 16350   MndHom cmhm 17730   GrpHom cghm 18052  mulGrpcmgp 18887  Ringcrg 18945   RingHom crh 19112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-er 8028  df-map 8144  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11380  df-2 11443  df-ndx 16269  df-slot 16270  df-base 16272  df-sets 16273  df-plusg 16362  df-0g 16499  df-mgm 17639  df-sgrp 17681  df-mnd 17692  df-mhm 17732  df-grp 17823  df-ghm 18053  df-mgp 18888  df-ur 18900  df-ring 18947  df-rnghom 19115
This theorem is referenced by:  evls1rhm  20094  evl1rhm  20103  zrhpropd  20270
  Copyright terms: Public domain W3C validator