Theorem rhmpropd 20559

Description: Ring homomorphism depends only on the ring attributes of structures. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmpropd.a	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐽))
rhmpropd.b	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (Base‘𝐾))
rhmpropd.c	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
rhmpropd.d	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (Base‘𝑀))
rhmpropd.e	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐽)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
rhmpropd.f	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑀)𝑦))
rhmpropd.g	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐽)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
rhmpropd.h	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑀)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
rhmpropd	⊢ (𝜑 → (𝐽 RingHom 𝐾) = (𝐿 RingHom 𝑀))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦

Proof of Theorem rhmpropd

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmpropd.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐽))
2		rhmpropd.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
3		rhmpropd.e	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐽)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
4		rhmpropd.g	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐽)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
5	1, 2, 3, 4	ringpropd 20240	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ Ring ↔ 𝐿 ∈ Ring))
6		rhmpropd.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (Base‘𝐾))
7		rhmpropd.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (Base‘𝑀))
8		rhmpropd.f	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑀)𝑦))
9		rhmpropd.h	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑀)𝑦))
10	6, 7, 8, 9	ringpropd 20240	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ Ring ↔ 𝑀 ∈ Ring))
11	5, 10	anbi12d 633	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ Ring) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ Ring)))
12	1, 6, 2, 7, 3, 8	ghmpropd 19202	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐽 GrpHom 𝐾) = (𝐿 GrpHom 𝑀))
13	12	eleq2d 2823	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝐽 GrpHom 𝐾) ↔ 𝑓 ∈ (𝐿 GrpHom 𝑀)))
14		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘𝐽) = (mulGrp‘𝐽)
15		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐽) = (Base‘𝐽)
16	14, 15	mgpbas 20097	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐽) = (Base‘(mulGrp‘𝐽))
17	1, 16	eqtrdi 2788	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝐽)))
18		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘𝐾) = (mulGrp‘𝐾)
19		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
20	18, 19	mgpbas 20097	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘(mulGrp‘𝐾))
21	6, 20	eqtrdi 2788	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (Base‘(mulGrp‘𝐾)))
22		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘𝐿) = (mulGrp‘𝐿)
23		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
24	22, 23	mgpbas 20097	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘(mulGrp‘𝐿))
25	2, 24	eqtrdi 2788	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝐿)))
26		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘𝑀) = (mulGrp‘𝑀)
27		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
28	26, 27	mgpbas 20097	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘(mulGrp‘𝑀))
29	7, 28	eqtrdi 2788	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (Base‘(mulGrp‘𝑀)))
30		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝐽) = (.r‘𝐽)
31	14, 30	mgpplusg 20096	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐽) = (+g‘(mulGrp‘𝐽))
32	31	oveqi 7383	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥(.r‘𝐽)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐽))𝑦)
33		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝐿) = (.r‘𝐿)
34	22, 33	mgpplusg 20096	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐿) = (+g‘(mulGrp‘𝐿))
35	34	oveqi 7383	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐿))𝑦)
36	4, 32, 35	3eqtr3g 2795	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐽))𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐿))𝑦))
37		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐾)
38	18, 37	mgpplusg 20096	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐾) = (+g‘(mulGrp‘𝐾))
39	38	oveqi 7383	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)
40		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑀) = (.r‘𝑀)
41	26, 40	mgpplusg 20096	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑀) = (+g‘(mulGrp‘𝑀))
42	41	oveqi 7383	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥(.r‘𝑀)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑀))𝑦)
43	9, 39, 42	3eqtr3g 2795	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑀))𝑦))
44	17, 21, 25, 29, 36, 43	mhmpropd 18731	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝐽) MndHom (mulGrp‘𝐾)) = ((mulGrp‘𝐿) MndHom (mulGrp‘𝑀)))
45	44	eleq2d 2823	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐽) MndHom (mulGrp‘𝐾)) ↔ 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐿) MndHom (mulGrp‘𝑀))))
46	13, 45	anbi12d 633	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑓 ∈ (𝐽 GrpHom 𝐾) ∧ 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐽) MndHom (mulGrp‘𝐾))) ↔ (𝑓 ∈ (𝐿 GrpHom 𝑀) ∧ 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐿) MndHom (mulGrp‘𝑀)))))
47	11, 46	anbi12d 633	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐽 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ Ring) ∧ (𝑓 ∈ (𝐽 GrpHom 𝐾) ∧ 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐽) MndHom (mulGrp‘𝐾)))) ↔ ((𝐿 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ Ring) ∧ (𝑓 ∈ (𝐿 GrpHom 𝑀) ∧ 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐿) MndHom (mulGrp‘𝑀))))))
48	14, 18	isrhm 20431	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽 RingHom 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ Ring) ∧ (𝑓 ∈ (𝐽 GrpHom 𝐾) ∧ 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐽) MndHom (mulGrp‘𝐾)))))
49	22, 26	isrhm 20431	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐿 RingHom 𝑀) ↔ ((𝐿 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ Ring) ∧ (𝑓 ∈ (𝐿 GrpHom 𝑀) ∧ 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐿) MndHom (mulGrp‘𝑀)))))
50	47, 48, 49	3bitr4g 314	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝐽 RingHom 𝐾) ↔ 𝑓 ∈ (𝐿 RingHom 𝑀)))
51	50	eqrdv 2735	1 ⊢ (𝜑 → (𝐽 RingHom 𝐾) = (𝐿 RingHom 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  Basecbs 17150  +_gcplusg 17191  ._rcmulr 17192   MndHom cmhm 18720   GrpHom cghm 19158  mulGrpcmgp 20092  Ringcrg 20185   RingHom crh 20422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-map 8779  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-2 12222  df-sets 17105  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-plusg 17204  df-0g 17375  df-mgm 18579  df-sgrp 18658  df-mnd 18674  df-mhm 18722  df-grp 18883  df-ghm 19159  df-mgp 20093  df-ur 20134  df-ring 20187  df-rhm 20425

This theorem is referenced by:  zrhpropd  21486  evls1rhm  22283  evl1rhm  22293  rhmply1  22347  zndvdchrrhm  42371  rhmpsr1  42950