MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rhmpropd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmpropd 20562
Description: Ring homomorphism depends only on the ring attributes of structures. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rhmpropd.a (𝜑𝐵 = (Base‘𝐽))
rhmpropd.b (𝜑𝐶 = (Base‘𝐾))
rhmpropd.c (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
rhmpropd.d (𝜑𝐶 = (Base‘𝑀))
rhmpropd.e ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝐽)𝑦) = (𝑥(+g𝐿)𝑦))
rhmpropd.f ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → (𝑥(+g𝐾)𝑦) = (𝑥(+g𝑀)𝑦))
rhmpropd.g ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐽)𝑦) = (𝑥(.r𝐿)𝑦))
rhmpropd.h ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(.r𝑀)𝑦))
Assertion
Ref Expression
rhmpropd (𝜑 → (𝐽 RingHom 𝐾) = (𝐿 RingHom 𝑀))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦

Proof of Theorem rhmpropd
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rhmpropd.a . . . . . 6 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐽))
2 rhmpropd.c . . . . . 6 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
3 rhmpropd.e . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝐽)𝑦) = (𝑥(+g𝐿)𝑦))
4 rhmpropd.g . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐽)𝑦) = (𝑥(.r𝐿)𝑦))
51, 2, 3, 4ringpropd 20238 . . . . 5 (𝜑 → (𝐽 ∈ Ring ↔ 𝐿 ∈ Ring))
6 rhmpropd.b . . . . . 6 (𝜑𝐶 = (Base‘𝐾))
7 rhmpropd.d . . . . . 6 (𝜑𝐶 = (Base‘𝑀))
8 rhmpropd.f . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → (𝑥(+g𝐾)𝑦) = (𝑥(+g𝑀)𝑦))
9 rhmpropd.h . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(.r𝑀)𝑦))
106, 7, 8, 9ringpropd 20238 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ Ring ↔ 𝑀 ∈ Ring))
115, 10anbi12d 630 . . . 4 (𝜑 → ((𝐽 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ Ring) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ Ring)))
121, 6, 2, 7, 3, 8ghmpropd 19224 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽 GrpHom 𝐾) = (𝐿 GrpHom 𝑀))
1312eleq2d 2815 . . . . 5 (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝐽 GrpHom 𝐾) ↔ 𝑓 ∈ (𝐿 GrpHom 𝑀)))
14 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘𝐽) = (mulGrp‘𝐽)
15 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐽) = (Base‘𝐽)
1614, 15mgpbas 20094 . . . . . . . 8 (Base‘𝐽) = (Base‘(mulGrp‘𝐽))
171, 16eqtrdi 2784 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝐽)))
18 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘𝐾) = (mulGrp‘𝐾)
19 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2018, 19mgpbas 20094 . . . . . . . 8 (Base‘𝐾) = (Base‘(mulGrp‘𝐾))
216, 20eqtrdi 2784 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 = (Base‘(mulGrp‘𝐾)))
22 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘𝐿) = (mulGrp‘𝐿)
23 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
2422, 23mgpbas 20094 . . . . . . . 8 (Base‘𝐿) = (Base‘(mulGrp‘𝐿))
252, 24eqtrdi 2784 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝐿)))
26 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘𝑀) = (mulGrp‘𝑀)
27 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
2826, 27mgpbas 20094 . . . . . . . 8 (Base‘𝑀) = (Base‘(mulGrp‘𝑀))
297, 28eqtrdi 2784 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 = (Base‘(mulGrp‘𝑀)))
30 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (.r𝐽) = (.r𝐽)
3114, 30mgpplusg 20092 . . . . . . . . 9 (.r𝐽) = (+g‘(mulGrp‘𝐽))
3231oveqi 7439 . . . . . . . 8 (𝑥(.r𝐽)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐽))𝑦)
33 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (.r𝐿) = (.r𝐿)
3422, 33mgpplusg 20092 . . . . . . . . 9 (.r𝐿) = (+g‘(mulGrp‘𝐿))
3534oveqi 7439 . . . . . . . 8 (𝑥(.r𝐿)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐿))𝑦)
364, 32, 353eqtr3g 2791 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐽))𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐿))𝑦))
37 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (.r𝐾) = (.r𝐾)
3818, 37mgpplusg 20092 . . . . . . . . 9 (.r𝐾) = (+g‘(mulGrp‘𝐾))
3938oveqi 7439 . . . . . . . 8 (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)
40 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (.r𝑀) = (.r𝑀)
4126, 40mgpplusg 20092 . . . . . . . . 9 (.r𝑀) = (+g‘(mulGrp‘𝑀))
4241oveqi 7439 . . . . . . . 8 (𝑥(.r𝑀)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑀))𝑦)
439, 39, 423eqtr3g 2791 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑀))𝑦))
4417, 21, 25, 29, 36, 43mhmpropd 18758 . . . . . 6 (𝜑 → ((mulGrp‘𝐽) MndHom (mulGrp‘𝐾)) = ((mulGrp‘𝐿) MndHom (mulGrp‘𝑀)))
4544eleq2d 2815 . . . . 5 (𝜑 → (𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐽) MndHom (mulGrp‘𝐾)) ↔ 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐿) MndHom (mulGrp‘𝑀))))
4613, 45anbi12d 630 . . . 4 (𝜑 → ((𝑓 ∈ (𝐽 GrpHom 𝐾) ∧ 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐽) MndHom (mulGrp‘𝐾))) ↔ (𝑓 ∈ (𝐿 GrpHom 𝑀) ∧ 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐿) MndHom (mulGrp‘𝑀)))))
4711, 46anbi12d 630 . . 3 (𝜑 → (((𝐽 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ Ring) ∧ (𝑓 ∈ (𝐽 GrpHom 𝐾) ∧ 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐽) MndHom (mulGrp‘𝐾)))) ↔ ((𝐿 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ Ring) ∧ (𝑓 ∈ (𝐿 GrpHom 𝑀) ∧ 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐿) MndHom (mulGrp‘𝑀))))))
4814, 18isrhm 20431 . . 3 (𝑓 ∈ (𝐽 RingHom 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ Ring) ∧ (𝑓 ∈ (𝐽 GrpHom 𝐾) ∧ 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐽) MndHom (mulGrp‘𝐾)))))
4922, 26isrhm 20431 . . 3 (𝑓 ∈ (𝐿 RingHom 𝑀) ↔ ((𝐿 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ Ring) ∧ (𝑓 ∈ (𝐿 GrpHom 𝑀) ∧ 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐿) MndHom (mulGrp‘𝑀)))))
5047, 48, 493bitr4g 313 . 2 (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝐽 RingHom 𝐾) ↔ 𝑓 ∈ (𝐿 RingHom 𝑀)))
5150eqrdv 2726 1 (𝜑 → (𝐽 RingHom 𝐾) = (𝐿 RingHom 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17189  +gcplusg 17242  .rcmulr 17243   MndHom cmhm 18747   GrpHom cghm 19181  mulGrpcmgp 20088  Ringcrg 20187   RingHom crh 20422
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-map 8855  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-plusg 17255  df-0g 17432  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-mhm 18749  df-grp 18907  df-ghm 19182  df-mgp 20089  df-ur 20136  df-ring 20189  df-rhm 20425
This theorem is referenced by:  zrhpropd  21454  evls1rhm  22260  evl1rhm  22270  rhmpsr1  41829  rhmply1  41831
  Copyright terms: Public domain W3C validator