Theorem 2lgslem3d 16098

Description: Lemma for 2lgslem3d1 16102. (Contributed by AV, 16-Jul-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
2lgslem2.n	⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))

Assertion

Ref	Expression
2lgslem3d	⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7)) → 𝑁 = ((2 · 𝐾) + 2))

Proof of Theorem 2lgslem3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lgslem2.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
2		oveq1 6065	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7) → (𝑃 − 1) = (((8 · 𝐾) + 7) − 1))
3	2	oveq1d 6073	. . . 4 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7) → ((𝑃 − 1) / 2) = ((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2))
4		fvoveq1 6081	. . . 4 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7) → (⌊‘(𝑃 / 4)) = (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4)))
5	3, 4	oveq12d 6076	. . 3 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7) → (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) = (((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4))))
6	1, 5	eqtrid 2279	. 2 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7) → 𝑁 = (((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4))))
7		8nn0 9539	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℕ0
8	7	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℕ0)
9		id 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℕ0)
10	8, 9	nn0mulcld 9578	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) ∈ ℕ0)
11	10	nn0cnd 9575	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) ∈ ℂ)
12		7cn 9341	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℂ
13	12	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 7 ∈ ℂ)
14		1cnd 8306	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
15	11, 13, 14	addsubassd 8621	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 7) − 1) = ((8 · 𝐾) + (7 − 1)))
16		4t2e8 9416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 · 2) = 8
17	16	eqcomi 2238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 = (4 · 2)
18	17	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 = (4 · 2))
19	18	oveq1d 6073	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) = ((4 · 2) · 𝐾))
20		4cn 9335	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℂ
21	20	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℂ)
22		2cn 9328	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
23	22	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
24		nn0cn 9526	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℂ)
25	21, 23, 24	mul32d 8443	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 2) · 𝐾) = ((4 · 𝐾) · 2))
26	19, 25	eqtrd 2267	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) = ((4 · 𝐾) · 2))
27		7m1e6 9381	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 − 1) = 6
28	27	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (7 − 1) = 6)
29	26, 28	oveq12d 6076	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) + (7 − 1)) = (((4 · 𝐾) · 2) + 6))
30	15, 29	eqtrd 2267	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 7) − 1) = (((4 · 𝐾) · 2) + 6))
31	30	oveq1d 6073	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) + 6) / 2))
32		4nn0 9535	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℕ0
33	32	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℕ0)
34	33, 9	nn0mulcld 9578	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) ∈ ℕ0)
35	34	nn0cnd 9575	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) ∈ ℂ)
36	35, 23	mulcld 8310	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) · 2) ∈ ℂ)
37		6cn 9339	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
38	37	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 6 ∈ ℂ)
39		2rp 10012	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ+
40	39	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ+)
41	40	rpap0d 10056	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 # 0)
42	36, 38, 23, 41	divdirapd 9123	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((4 · 𝐾) · 2) + 6) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) / 2) + (6 / 2)))
43	35, 23, 41	divcanap4d 9090	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((4 · 𝐾) · 2) / 2) = (4 · 𝐾))
44		3t2e6 9414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 · 2) = 6
45	44	eqcomi 2238	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 = (3 · 2)
46	45	oveq1i 6068	. . . . . . . 8 ⊢ (6 / 2) = ((3 · 2) / 2)
47		3cn 9332	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
48		2ap0 9350	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 # 0
49	47, 22, 48	divcanap4i 9053	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 · 2) / 2) = 3
50	46, 49	eqtri 2255	. . . . . . 7 ⊢ (6 / 2) = 3
51	50	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (6 / 2) = 3)
52	43, 51	oveq12d 6076	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((4 · 𝐾) · 2) / 2) + (6 / 2)) = ((4 · 𝐾) + 3))
53	31, 42, 52	3eqtrd 2271	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2) = ((4 · 𝐾) + 3))
54		4ap0 9356	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 # 0
55	54	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 # 0)
56	11, 13, 21, 55	divdirapd 9123	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 7) / 4) = (((8 · 𝐾) / 4) + (7 / 4)))
57		8cn 9343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℂ
58	57	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℂ)
59	58, 24, 21, 55	div23apd 9122	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 4) = ((8 / 4) · 𝐾))
60	17	oveq1i 6068	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (8 / 4) = ((4 · 2) / 4)
61	22, 20, 54	divcanap3i 9052	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((4 · 2) / 4) = 2
62	60, 61	eqtri 2255	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 / 4) = 2
63	62	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 / 4) = 2)
64	63	oveq1d 6073	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 / 4) · 𝐾) = (2 · 𝐾))
65	59, 64	eqtrd 2267	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 4) = (2 · 𝐾))
66	65	oveq1d 6073	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) / 4) + (7 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (7 / 4)))
67	56, 66	eqtrd 2267	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 7) / 4) = ((2 · 𝐾) + (7 / 4)))
68	67	fveq2d 5679	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4)) = (⌊‘((2 · 𝐾) + (7 / 4))))
69		3lt4 9430	. . . . . 6 ⊢ 3 < 4
70		2nn0 9533	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ0
71	70	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
72	71, 9	nn0mulcld 9578	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℕ0)
73	72	nn0zd 9719	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℤ)
74	73	peano2zd 9724	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝐾) + 1) ∈ ℤ)
75		3nn0 9534	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ0
76	75	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℕ0)
77		4nn 9421	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℕ
78	77	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℕ)
79		adddivflid 10679	. . . . . . . 8 ⊢ ((((2 · 𝐾) + 1) ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (3 < 4 ↔ (⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (3 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)))
80	74, 76, 78, 79	syl3anc 1274	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (3 < 4 ↔ (⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (3 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)))
81	23, 24	mulcld 8310	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℂ)
82	47	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℂ)
83	82, 21, 55	divclapd 9084	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (3 / 4) ∈ ℂ)
84	81, 14, 83	addassd 8312	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝐾) + 1) + (3 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (1 + (3 / 4))))
85		4p3e7 9402	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (4 + 3) = 7
86	85	eqcomi 2238	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 7 = (4 + 3)
87	86	oveq1i 6068	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (7 / 4) = ((4 + 3) / 4)
88	20, 47, 20, 54	divdirapi 9063	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((4 + 3) / 4) = ((4 / 4) + (3 / 4))
89	20, 54	dividapi 9039	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (4 / 4) = 1
90	89	oveq1i 6068	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((4 / 4) + (3 / 4)) = (1 + (3 / 4))
91	87, 88, 90	3eqtri 2259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (7 / 4) = (1 + (3 / 4))
92	91	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (7 / 4) = (1 + (3 / 4)))
93	92	eqcomd 2240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 + (3 / 4)) = (7 / 4))
94	93	oveq2d 6074	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝐾) + (1 + (3 / 4))) = ((2 · 𝐾) + (7 / 4)))
95	84, 94	eqtrd 2267	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝐾) + 1) + (3 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (7 / 4)))
96	95	fveqeq2d 5683	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (3 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1) ↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (7 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)))
97	80, 96	bitrd 188	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (3 < 4 ↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (7 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)))
98	69, 97	mpbii 148	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘((2 · 𝐾) + (7 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1))
99	68, 98	eqtrd 2267	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4)) = ((2 · 𝐾) + 1))
100	53, 99	oveq12d 6076	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4))) = (((4 · 𝐾) + 3) − ((2 · 𝐾) + 1)))
101	72	nn0cnd 9575	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℂ)
102	35, 82, 101, 14	addsub4d 8648	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((4 · 𝐾) + 3) − ((2 · 𝐾) + 1)) = (((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) + (3 − 1)))
103		2t2e4 9412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = 4
104	103	eqcomi 2238	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = (2 · 2)
105	104	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 = (2 · 2))
106	105	oveq1d 6073	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) = ((2 · 2) · 𝐾))
107	23, 23, 24	mulassd 8313	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 2) · 𝐾) = (2 · (2 · 𝐾)))
108	106, 107	eqtrd 2267	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) = (2 · (2 · 𝐾)))
109	108	oveq1d 6073	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) = ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)))
110		2txmxeqx 9389	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 𝐾) ∈ ℂ → ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
111	101, 110	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
112	109, 111	eqtrd 2267	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
113		3m1e2 9377	. . . . 5 ⊢ (3 − 1) = 2
114	113	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (3 − 1) = 2)
115	112, 114	oveq12d 6076	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) + (3 − 1)) = ((2 · 𝐾) + 2))
116	100, 102, 115	3eqtrd 2271	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4))) = ((2 · 𝐾) + 2))
117	6, 116	sylan9eqr 2289	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7)) → 𝑁 = ((2 · 𝐾) + 2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4114  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  ℂcc 8141  0cc0 8143  1c1 8144   + caddc 8146   · cmul 8148   < clt 8324   − cmin 8461   # cap 8873   / cdiv 8966  ℕcn 9257  2c2 9308  3c3 9309  4c4 9310  6c6 9312  7c7 9313  8c8 9314  ℕ₀cn0 9516  ℤcz 9597  ℝ⁺crp 10007  ⌊cfl 10655

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8463  df-neg 8464  df-reap 8867  df-ap 8874  df-div 8967  df-inn 9258  df-2 9316  df-3 9317  df-4 9318  df-5 9319  df-6 9320  df-7 9321  df-8 9322  df-n0 9517  df-z 9598  df-q 9973  df-rp 10008  df-fl 10657

This theorem is referenced by:  2lgslem3d1  16102