Theorem 2lgslem3a 16095

Description: Lemma for 2lgslem3a1 16099. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
2lgslem2.n	⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))

Assertion

Ref	Expression
2lgslem3a	⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1)) → 𝑁 = (2 · 𝐾))

Proof of Theorem 2lgslem3a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lgslem2.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
2		oveq1 6065	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1) → (𝑃 − 1) = (((8 · 𝐾) + 1) − 1))
3	2	oveq1d 6073	. . . 4 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1) → ((𝑃 − 1) / 2) = ((((8 · 𝐾) + 1) − 1) / 2))
4		fvoveq1 6081	. . . 4 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1) → (⌊‘(𝑃 / 4)) = (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4)))
5	3, 4	oveq12d 6076	. . 3 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1) → (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) = (((((8 · 𝐾) + 1) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4))))
6	1, 5	eqtrid 2279	. 2 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1) → 𝑁 = (((((8 · 𝐾) + 1) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4))))
7		8nn0 9539	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ∈ ℕ0
8	7	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℕ0)
9		id 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℕ0)
10	8, 9	nn0mulcld 9578	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) ∈ ℕ0)
11	10	nn0cnd 9575	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) ∈ ℂ)
12		pncan1 8668	. . . . . . 7 ⊢ ((8 · 𝐾) ∈ ℂ → (((8 · 𝐾) + 1) − 1) = (8 · 𝐾))
13	11, 12	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 1) − 1) = (8 · 𝐾))
14	13	oveq1d 6073	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((8 · 𝐾) + 1) − 1) / 2) = ((8 · 𝐾) / 2))
15		4cn 9335	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℂ
16		2cn 9328	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		4t2e8 9416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (4 · 2) = 8
18	15, 16, 17	mulcomli 8297	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 4) = 8
19	18	eqcomi 2238	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 = (2 · 4)
20	19	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 = (2 · 4))
21	20	oveq1d 6073	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) = ((2 · 4) · 𝐾))
22	16	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
23	15	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℂ)
24		nn0cn 9526	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℂ)
25	22, 23, 24	mulassd 8313	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 4) · 𝐾) = (2 · (4 · 𝐾)))
26	21, 25	eqtrd 2267	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) = (2 · (4 · 𝐾)))
27	26	oveq1d 6073	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 2) = ((2 · (4 · 𝐾)) / 2))
28		4nn0 9535	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℕ0
29	28	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℕ0)
30	29, 9	nn0mulcld 9578	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) ∈ ℕ0)
31	30	nn0cnd 9575	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) ∈ ℂ)
32		2ap0 9350	. . . . . . 7 ⊢ 2 # 0
33	32	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 # 0)
34	31, 22, 33	divcanap3d 9089	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · (4 · 𝐾)) / 2) = (4 · 𝐾))
35	14, 27, 34	3eqtrd 2271	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((8 · 𝐾) + 1) − 1) / 2) = (4 · 𝐾))
36		1cnd 8306	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
37		4ap0 9356	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 # 0
38	37	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 # 0)
39	11, 36, 23, 38	divdirapd 9123	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 1) / 4) = (((8 · 𝐾) / 4) + (1 / 4)))
40		8cn 9343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℂ
41	40	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℂ)
42	41, 24, 23, 38	div23apd 9122	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 4) = ((8 / 4) · 𝐾))
43	17	eqcomi 2238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 8 = (4 · 2)
44	43	oveq1i 6068	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (8 / 4) = ((4 · 2) / 4)
45	16, 15, 37	divcanap3i 9052	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((4 · 2) / 4) = 2
46	44, 45	eqtri 2255	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 / 4) = 2
47	46	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 / 4) = 2)
48	47	oveq1d 6073	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 / 4) · 𝐾) = (2 · 𝐾))
49	42, 48	eqtrd 2267	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 4) = (2 · 𝐾))
50	49	oveq1d 6073	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) / 4) + (1 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (1 / 4)))
51	39, 50	eqtrd 2267	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 1) / 4) = ((2 · 𝐾) + (1 / 4)))
52	51	fveq2d 5679	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4)) = (⌊‘((2 · 𝐾) + (1 / 4))))
53		1lt4 9432	. . . . . 6 ⊢ 1 < 4
54		2nn0 9533	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ0
55	54	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
56	55, 9	nn0mulcld 9578	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℕ0)
57	56	nn0zd 9719	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℤ)
58		1nn0 9532	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
59	58	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℕ0)
60		4nn 9421	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ
61	60	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℕ)
62		adddivflid 10679	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 𝐾) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (1 < 4 ↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (1 / 4))) = (2 · 𝐾)))
63	57, 59, 61, 62	syl3anc 1274	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 4 ↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (1 / 4))) = (2 · 𝐾)))
64	53, 63	mpbii 148	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘((2 · 𝐾) + (1 / 4))) = (2 · 𝐾))
65	52, 64	eqtrd 2267	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4)) = (2 · 𝐾))
66	35, 65	oveq12d 6076	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((((8 · 𝐾) + 1) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4))) = ((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)))
67		2t2e4 9412	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
68	67	eqcomi 2238	. . . . . . 7 ⊢ 4 = (2 · 2)
69	68	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 = (2 · 2))
70	69	oveq1d 6073	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) = ((2 · 2) · 𝐾))
71	22, 22, 24	mulassd 8313	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 2) · 𝐾) = (2 · (2 · 𝐾)))
72	70, 71	eqtrd 2267	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) = (2 · (2 · 𝐾)))
73	72	oveq1d 6073	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) = ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)))
74	56	nn0cnd 9575	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℂ)
75		2txmxeqx 9389	. . . 4 ⊢ ((2 · 𝐾) ∈ ℂ → ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
76	74, 75	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
77	66, 73, 76	3eqtrd 2271	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((((8 · 𝐾) + 1) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4))) = (2 · 𝐾))
78	6, 77	sylan9eqr 2289	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1)) → 𝑁 = (2 · 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4114  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  ℂcc 8141  0cc0 8143  1c1 8144   + caddc 8146   · cmul 8148   < clt 8324   − cmin 8461   # cap 8873   / cdiv 8966  ℕcn 9257  2c2 9308  4c4 9310  8c8 9314  ℕ₀cn0 9516  ℤcz 9597  ⌊cfl 10655

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8463  df-neg 8464  df-reap 8867  df-ap 8874  df-div 8967  df-inn 9258  df-2 9316  df-3 9317  df-4 9318  df-5 9319  df-6 9320  df-7 9321  df-8 9322  df-n0 9517  df-z 9598  df-q 9973  df-rp 10008  df-fl 10657

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