Theorem 2lgslem3b1 15742

Description: Lemma 2 for 2lgslem3 15745. (Contributed by AV, 16-Jul-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
2lgslem2.n	⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))

Assertion

Ref	Expression
2lgslem3b1	⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 mod 8) = 3) → (𝑁 mod 2) = 1)

Proof of Theorem 2lgslem3b1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 9344	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
2		8nn 9246	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		nnq 9796	. . . . 5 ⊢ (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℚ)
4	2, 3	mp1i 10	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 8 ∈ ℚ)
5		8pos 9181	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
6	5	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 0 < 8)
7		modqmuladdnn0 10557	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 8 ∈ ℚ ∧ 0 < 8) → ((𝑃 mod 8) = 3 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 3)))
8	1, 4, 6, 7	syl3anc 1252	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → ((𝑃 mod 8) = 3 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 3)))
9		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
10		nn0cn 9347	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
11		8cn 9164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 8 ∈ ℂ
12	11	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℂ)
13	10, 12	mulcomd 8136	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 · 8) = (8 · 𝑘))
14	13	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 · 8) = (8 · 𝑘))
15	14	oveq1d 5989	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 · 8) + 3) = ((8 · 𝑘) + 3))
16	15	eqeq2d 2221	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑃 = ((𝑘 · 8) + 3) ↔ 𝑃 = ((8 · 𝑘) + 3)))
17	16	biimpa 296	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 3)) → 𝑃 = ((8 · 𝑘) + 3))
18		2lgslem2.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
19	18	2lgslem3b 15738	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 = ((8 · 𝑘) + 3)) → 𝑁 = ((2 · 𝑘) + 1))
20	9, 17, 19	syl2an2r 597	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 3)) → 𝑁 = ((2 · 𝑘) + 1))
21		oveq1 5981	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = ((2 · 𝑘) + 1) → (𝑁 mod 2) = (((2 · 𝑘) + 1) mod 2))
22		nn0z 9434	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℤ)
23		eqidd 2210	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1))
24		2tp1odd 12361	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1)) → ¬ 2 ∥ ((2 · 𝑘) + 1))
25	22, 23, 24	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ¬ 2 ∥ ((2 · 𝑘) + 1))
26		2z 9442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
27	26	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℤ)
28	27, 22	zmulcld 9543	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑘) ∈ ℤ)
29	28	peano2zd 9540	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℤ)
30		mod2eq1n2dvds 12356	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℤ → ((((2 · 𝑘) + 1) mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ ((2 · 𝑘) + 1)))
31	29, 30	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((((2 · 𝑘) + 1) mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ ((2 · 𝑘) + 1)))
32	25, 31	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑘) + 1) mod 2) = 1)
33	21, 32	sylan9eqr 2264	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑘) + 1)) → (𝑁 mod 2) = 1)
34	9, 20, 33	syl2an2r 597	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 3)) → (𝑁 mod 2) = 1)
35	34	rexlimdva2 2631	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 3) → (𝑁 mod 2) = 1))
36	8, 35	syld 45	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → ((𝑃 mod 8) = 3 → (𝑁 mod 2) = 1))
37	36	imp 124	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 mod 8) = 3) → (𝑁 mod 2) = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1375   ∈ wcel 2180  ∃wrex 2489   class class class wbr 4062  ‘cfv 5294  (class class class)co 5974  ℂcc 7965  0cc0 7967  1c1 7968   + caddc 7970   · cmul 7972   < clt 8149   − cmin 8285   / cdiv 8787  ℕcn 9078  2c2 9129  3c3 9130  4c4 9131  8c8 9135  ℕ₀cn0 9337  ℤcz 9414  ℚcq 9782  ⌊cfl 10455   mod cmo 10511   ∥ cdvds 12264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-mulrcl 8066  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-precex 8077  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083  ax-pre-mulgt0 8084  ax-pre-mulext 8085  ax-arch 8086

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-xor 1398  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-po 4364  df-iso 4365  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-reap 8690  df-ap 8697  df-div 8788  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-5 9140  df-6 9141  df-7 9142  df-8 9143  df-n0 9338  df-z 9415  df-uz 9691  df-q 9783  df-rp 9818  df-ico 10058  df-fz 10173  df-fl 10457  df-mod 10512  df-dvds 12265

This theorem is referenced by:  2lgslem3  15745