Theorem 2lgsoddprm 15835

Description: The second supplement to the law of quadratic reciprocity for odd primes (common representation, see theorem 9.5 in [ApostolNT] p. 181): The Legendre symbol for 2 at an odd prime is minus one to the power of the square of the odd prime minus one divided by eight ((2 /_L 𝑃) = -1^(((P^2)-1)/8) ). (Contributed by AV, 20-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgsoddprm	⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)))

Proof of Theorem 2lgsoddprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 3327	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
2		prmz 12676	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℤ)
4		8nn 9304	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℕ
5	4	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 8 ∈ ℕ)
6	3, 5	zmodcld 10600	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 mod 8) ∈ ℕ0)
7	6	nn0zd 9593	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 mod 8) ∈ ℤ)
8		1zzd 9499	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 1 ∈ ℤ)
9		zdceq 9548	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 mod 8) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID (𝑃 mod 8) = 1)
10	7, 8, 9	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → DECID (𝑃 mod 8) = 1)
11		7nn 9303	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℕ
12	11	nnzi 9493	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℤ
13	12	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 7 ∈ ℤ)
14		zdceq 9548	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 mod 8) ∈ ℤ ∧ 7 ∈ ℤ) → DECID (𝑃 mod 8) = 7)
15	7, 13, 14	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → DECID (𝑃 mod 8) = 7)
16		dcor 941	. . . . 5 ⊢ (DECID (𝑃 mod 8) = 1 → (DECID (𝑃 mod 8) = 7 → DECID ((𝑃 mod 8) = 1 ∨ (𝑃 mod 8) = 7)))
17	10, 15, 16	sylc 62	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → DECID ((𝑃 mod 8) = 1 ∨ (𝑃 mod 8) = 7))
18		elprg 3687	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 mod 8) ∈ ℕ0 → ((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝑃 mod 8) = 1 ∨ (𝑃 mod 8) = 7)))
19	6, 18	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝑃 mod 8) = 1 ∨ (𝑃 mod 8) = 7)))
20	19	dcbid 843	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (DECID (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ DECID ((𝑃 mod 8) = 1 ∨ (𝑃 mod 8) = 7)))
21	17, 20	mpbird 167	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → DECID (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})
22		2lgs 15826	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
23	1, 22	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
24		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ (((2 /L 𝑃) = 1 ∧ ((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))) → (2 /L 𝑃) = 1)
25		eqcom 2231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)) ↔ (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)) = 1)
26	25	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (1 = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)) ↔ (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)) = 1))
27		nnoddn2prm 12826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
28		nnz 9491	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℤ)
29	28	anim1i 340	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
30	27, 29	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
31		sqoddm1div8z 12440	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (((𝑃↑2) − 1) / 8) ∈ ℤ)
32	30, 31	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (((𝑃↑2) − 1) / 8) ∈ ℤ)
33		m1exp1 12455	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃↑2) − 1) / 8) ∈ ℤ → ((-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)) = 1 ↔ 2 ∥ (((𝑃↑2) − 1) / 8)))
34	32, 33	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)) = 1 ↔ 2 ∥ (((𝑃↑2) − 1) / 8)))
35		2lgsoddprmlem4 15834	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (2 ∥ (((𝑃↑2) − 1) / 8) ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
36	30, 35	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 ∥ (((𝑃↑2) − 1) / 8) ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
37	26, 34, 36	3bitrd 214	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (1 = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)) ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
38	37	biimparc 299	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 1 = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)))
39	38	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((2 /L 𝑃) = 1 ∧ ((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))) → 1 = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)))
40	24, 39	eqtrd 2262	. . . . 5 ⊢ (((2 /L 𝑃) = 1 ∧ ((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))) → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)))
41	40	exp32 365	. . . 4 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 1 → ((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)))))
42		2z 9500	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
43		lgscl1 15745	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (2 /L 𝑃) ∈ {-1, 0, 1})
44	42, 3, 43	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 /L 𝑃) ∈ {-1, 0, 1})
45		eltpg 3712	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 /L 𝑃) ∈ {-1, 0, 1} → ((2 /L 𝑃) ∈ {-1, 0, 1} ↔ ((2 /L 𝑃) = -1 ∨ (2 /L 𝑃) = 0 ∨ (2 /L 𝑃) = 1)))
46	44, 45	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((2 /L 𝑃) ∈ {-1, 0, 1} ↔ ((2 /L 𝑃) = -1 ∨ (2 /L 𝑃) = 0 ∨ (2 /L 𝑃) = 1)))
47	44, 46	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((2 /L 𝑃) = -1 ∨ (2 /L 𝑃) = 0 ∨ (2 /L 𝑃) = 1))
48		simpl 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 /L 𝑃) = -1 ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})) → (2 /L 𝑃) = -1)
49	36	notbid 671	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (¬ 2 ∥ (((𝑃↑2) − 1) / 8) ↔ ¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
50	49	biimpar 297	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}) → ¬ 2 ∥ (((𝑃↑2) − 1) / 8))
51		m1expo 12454	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑃↑2) − 1) / 8) ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ (((𝑃↑2) − 1) / 8)) → (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)) = -1)
52	32, 50, 51	syl2an2r 597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}) → (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)) = -1)
53	52	eqcomd 2235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}) → -1 = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)))
54	53	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 /L 𝑃) = -1 ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})) → -1 = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)))
55	48, 54	eqtrd 2262	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 /L 𝑃) = -1 ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})) → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)))
56	55	a1d 22	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 /L 𝑃) = -1 ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})) → (¬ (2 /L 𝑃) = 1 → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8))))
57	56	exp32 365	. . . . . . 7 ⊢ ((2 /L 𝑃) = -1 → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → (¬ (2 /L 𝑃) = 1 → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8))))))
58		eldifsn 3798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
59		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ≠ 2)
60	59	necomd 2486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) → 2 ≠ 𝑃)
61	58, 60	sylbi 121	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 2 ≠ 𝑃)
62		2prm 12692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℙ
63		prmrp 12710	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((2 gcd 𝑃) = 1 ↔ 2 ≠ 𝑃))
64	62, 1, 63	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((2 gcd 𝑃) = 1 ↔ 2 ≠ 𝑃))
65	61, 64	mpbird 167	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 gcd 𝑃) = 1)
66		lgsne0 15760	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((2 /L 𝑃) ≠ 0 ↔ (2 gcd 𝑃) = 1))
67	42, 3, 66	sylancr 414	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((2 /L 𝑃) ≠ 0 ↔ (2 gcd 𝑃) = 1))
68	65, 67	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 /L 𝑃) ≠ 0)
69		eqneqall 2410	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 0 → ((2 /L 𝑃) ≠ 0 → (¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → (¬ (2 /L 𝑃) = 1 → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8))))))
70	68, 69	syl5 32	. . . . . . 7 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 0 → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → (¬ (2 /L 𝑃) = 1 → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8))))))
71		pm2.24 624	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 1 → (¬ (2 /L 𝑃) = 1 → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8))))
72	71	2a1d 23	. . . . . . 7 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 1 → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → (¬ (2 /L 𝑃) = 1 → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8))))))
73	57, 70, 72	3jaoi 1337	. . . . . 6 ⊢ (((2 /L 𝑃) = -1 ∨ (2 /L 𝑃) = 0 ∨ (2 /L 𝑃) = 1) → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → (¬ (2 /L 𝑃) = 1 → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8))))))
74	47, 73	mpcom 36	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → (¬ (2 /L 𝑃) = 1 → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)))))
75	74	com13 80	. . . 4 ⊢ (¬ (2 /L 𝑃) = 1 → (¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)))))
76	41, 75	bijadc 887	. . 3 ⊢ (DECID (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → (((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}) → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)))))
77	21, 23, 76	sylc 62	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8))))
78	77	pm2.43i 49	1 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 713  DECID wdc 839   ∨ w3o 1001   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400   ∖ cdif 3195  {csn 3667  {cpr 3668  {ctp 3669   class class class wbr 4086  (class class class)co 6013  0cc0 8025  1c1 8026   − cmin 8343  -cneg 8344   / cdiv 8845  ℕcn 9136  2c2 9187  7c7 9192  8c8 9193  ℕ₀cn0 9395  ℤcz 9472   mod cmo 10577  ↑cexp 10793   ∥ cdvds 12341   gcd cgcd 12517  ℙcprime 12672   /_L clgs 15719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-mulrcl 8124  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-precex 8135  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141  ax-pre-mulgt0 8142  ax-pre-mulext 8143  ax-arch 8144  ax-caucvg 8145

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-xor 1418  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-tp 3675  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-frec 6552  df-1o 6577  df-2o 6578  df-oadd 6581  df-er 6697  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-sup 7177  df-inf 7178  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-reap 8748  df-ap 8755  df-div 8846  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-5 9198  df-6 9199  df-7 9200  df-8 9201  df-9 9202  df-n0 9396  df-z 9473  df-uz 9749  df-q 9847  df-rp 9882  df-ioo 10120  df-ico 10122  df-fz 10237  df-fzo 10371  df-fl 10523  df-mod 10578  df-seqfrec 10703  df-exp 10794  df-fac 10981  df-ihash 11031  df-cj 11396  df-re 11397  df-im 11398  df-rsqrt 11552  df-abs 11553  df-clim 11833  df-proddc 12105  df-dvds 12342  df-gcd 12518  df-prm 12673  df-phi 12776  df-pc 12851  df-lgs 15720

This theorem is referenced by: (None)