Theorem 2lgsoddprm 15438

Description: The second supplement to the law of quadratic reciprocity for odd primes (common representation, see theorem 9.5 in [ApostolNT] p. 181): The Legendre symbol for 2 at an odd prime is minus one to the power of the square of the odd prime minus one divided by eight ((2 /_L 𝑃) = -1^(((P^2)-1)/8) ). (Contributed by AV, 20-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgsoddprm	⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)))

Proof of Theorem 2lgsoddprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 3286	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
2		prmz 12304	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℤ)
4		8nn 9175	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℕ
5	4	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 8 ∈ ℕ)
6	3, 5	zmodcld 10454	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 mod 8) ∈ ℕ0)
7	6	nn0zd 9463	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 mod 8) ∈ ℤ)
8		1zzd 9370	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 1 ∈ ℤ)
9		zdceq 9418	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 mod 8) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID (𝑃 mod 8) = 1)
10	7, 8, 9	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → DECID (𝑃 mod 8) = 1)
11		7nn 9174	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℕ
12	11	nnzi 9364	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℤ
13	12	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 7 ∈ ℤ)
14		zdceq 9418	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 mod 8) ∈ ℤ ∧ 7 ∈ ℤ) → DECID (𝑃 mod 8) = 7)
15	7, 13, 14	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → DECID (𝑃 mod 8) = 7)
16		dcor 937	. . . . 5 ⊢ (DECID (𝑃 mod 8) = 1 → (DECID (𝑃 mod 8) = 7 → DECID ((𝑃 mod 8) = 1 ∨ (𝑃 mod 8) = 7)))
17	10, 15, 16	sylc 62	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → DECID ((𝑃 mod 8) = 1 ∨ (𝑃 mod 8) = 7))
18		elprg 3643	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 mod 8) ∈ ℕ0 → ((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝑃 mod 8) = 1 ∨ (𝑃 mod 8) = 7)))
19	6, 18	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝑃 mod 8) = 1 ∨ (𝑃 mod 8) = 7)))
20	19	dcbid 839	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (DECID (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ DECID ((𝑃 mod 8) = 1 ∨ (𝑃 mod 8) = 7)))
21	17, 20	mpbird 167	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → DECID (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})
22		2lgs 15429	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
23	1, 22	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
24		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ (((2 /L 𝑃) = 1 ∧ ((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))) → (2 /L 𝑃) = 1)
25		eqcom 2198	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)) ↔ (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)) = 1)
26	25	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (1 = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)) ↔ (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)) = 1))
27		nnoddn2prm 12454	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
28		nnz 9362	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℤ)
29	28	anim1i 340	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
30	27, 29	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
31		sqoddm1div8z 12068	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (((𝑃↑2) − 1) / 8) ∈ ℤ)
32	30, 31	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (((𝑃↑2) − 1) / 8) ∈ ℤ)
33		m1exp1 12083	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃↑2) − 1) / 8) ∈ ℤ → ((-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)) = 1 ↔ 2 ∥ (((𝑃↑2) − 1) / 8)))
34	32, 33	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)) = 1 ↔ 2 ∥ (((𝑃↑2) − 1) / 8)))
35		2lgsoddprmlem4 15437	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (2 ∥ (((𝑃↑2) − 1) / 8) ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
36	30, 35	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 ∥ (((𝑃↑2) − 1) / 8) ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
37	26, 34, 36	3bitrd 214	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (1 = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)) ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
38	37	biimparc 299	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 1 = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)))
39	38	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((2 /L 𝑃) = 1 ∧ ((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))) → 1 = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)))
40	24, 39	eqtrd 2229	. . . . 5 ⊢ (((2 /L 𝑃) = 1 ∧ ((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))) → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)))
41	40	exp32 365	. . . 4 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 1 → ((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)))))
42		2z 9371	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
43		lgscl1 15348	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (2 /L 𝑃) ∈ {-1, 0, 1})
44	42, 3, 43	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 /L 𝑃) ∈ {-1, 0, 1})
45		eltpg 3668	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 /L 𝑃) ∈ {-1, 0, 1} → ((2 /L 𝑃) ∈ {-1, 0, 1} ↔ ((2 /L 𝑃) = -1 ∨ (2 /L 𝑃) = 0 ∨ (2 /L 𝑃) = 1)))
46	44, 45	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((2 /L 𝑃) ∈ {-1, 0, 1} ↔ ((2 /L 𝑃) = -1 ∨ (2 /L 𝑃) = 0 ∨ (2 /L 𝑃) = 1)))
47	44, 46	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((2 /L 𝑃) = -1 ∨ (2 /L 𝑃) = 0 ∨ (2 /L 𝑃) = 1))
48		simpl 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 /L 𝑃) = -1 ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})) → (2 /L 𝑃) = -1)
49	36	notbid 668	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (¬ 2 ∥ (((𝑃↑2) − 1) / 8) ↔ ¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
50	49	biimpar 297	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}) → ¬ 2 ∥ (((𝑃↑2) − 1) / 8))
51		m1expo 12082	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑃↑2) − 1) / 8) ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ (((𝑃↑2) − 1) / 8)) → (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)) = -1)
52	32, 50, 51	syl2an2r 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}) → (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)) = -1)
53	52	eqcomd 2202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}) → -1 = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)))
54	53	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 /L 𝑃) = -1 ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})) → -1 = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)))
55	48, 54	eqtrd 2229	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 /L 𝑃) = -1 ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})) → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)))
56	55	a1d 22	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 /L 𝑃) = -1 ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})) → (¬ (2 /L 𝑃) = 1 → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8))))
57	56	exp32 365	. . . . . . 7 ⊢ ((2 /L 𝑃) = -1 → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → (¬ (2 /L 𝑃) = 1 → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8))))))
58		eldifsn 3750	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
59		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ≠ 2)
60	59	necomd 2453	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) → 2 ≠ 𝑃)
61	58, 60	sylbi 121	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 2 ≠ 𝑃)
62		2prm 12320	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℙ
63		prmrp 12338	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((2 gcd 𝑃) = 1 ↔ 2 ≠ 𝑃))
64	62, 1, 63	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((2 gcd 𝑃) = 1 ↔ 2 ≠ 𝑃))
65	61, 64	mpbird 167	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 gcd 𝑃) = 1)
66		lgsne0 15363	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((2 /L 𝑃) ≠ 0 ↔ (2 gcd 𝑃) = 1))
67	42, 3, 66	sylancr 414	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((2 /L 𝑃) ≠ 0 ↔ (2 gcd 𝑃) = 1))
68	65, 67	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 /L 𝑃) ≠ 0)
69		eqneqall 2377	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 0 → ((2 /L 𝑃) ≠ 0 → (¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → (¬ (2 /L 𝑃) = 1 → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8))))))
70	68, 69	syl5 32	. . . . . . 7 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 0 → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → (¬ (2 /L 𝑃) = 1 → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8))))))
71		pm2.24 622	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 1 → (¬ (2 /L 𝑃) = 1 → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8))))
72	71	2a1d 23	. . . . . . 7 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 1 → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → (¬ (2 /L 𝑃) = 1 → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8))))))
73	57, 70, 72	3jaoi 1314	. . . . . 6 ⊢ (((2 /L 𝑃) = -1 ∨ (2 /L 𝑃) = 0 ∨ (2 /L 𝑃) = 1) → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → (¬ (2 /L 𝑃) = 1 → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8))))))
74	47, 73	mpcom 36	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → (¬ (2 /L 𝑃) = 1 → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)))))
75	74	com13 80	. . . 4 ⊢ (¬ (2 /L 𝑃) = 1 → (¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)))))
76	41, 75	bijadc 883	. . 3 ⊢ (DECID (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → (((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}) → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)))))
77	21, 23, 76	sylc 62	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8))))
78	77	pm2.43i 49	1 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709  DECID wdc 835   ∨ w3o 979   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367   ∖ cdif 3154  {csn 3623  {cpr 3624  {ctp 3625   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925  0cc0 7896  1c1 7897   − cmin 8214  -cneg 8215   / cdiv 8716  ℕcn 9007  2c2 9058  7c7 9063  8c8 9064  ℕ₀cn0 9266  ℤcz 9343   mod cmo 10431  ↑cexp 10647   ∥ cdvds 11969   gcd cgcd 12145  ℙcprime 12300   /_L clgs 15322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-tp 3631  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-frec 6458  df-1o 6483  df-2o 6484  df-oadd 6487  df-er 6601  df-en 6809  df-dom 6810  df-fin 6811  df-sup 7059  df-inf 7060  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-5 9069  df-6 9070  df-7 9071  df-8 9072  df-9 9073  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-ioo 9984  df-ico 9986  df-fz 10101  df-fzo 10235  df-fl 10377  df-mod 10432  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-fac 10835  df-ihash 10885  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-clim 11461  df-proddc 11733  df-dvds 11970  df-gcd 12146  df-prm 12301  df-phi 12404  df-pc 12479  df-lgs 15323

This theorem is referenced by: (None)