Theorem psrmulrg 15186

Description: The multiplication operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 2-Mar-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrmulr.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrmulr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrmulr.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
psrmulr.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑆)
psrmulr.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
psrmulrg	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → ∙ = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥))))))))

Distinct variable groups:   · ,𝑓,𝑔,𝑘,𝑥   𝐵,𝑓,𝑔,𝑘,𝑥   𝐷,𝑓,𝑔,𝑘,𝑥,𝑦   𝑓,𝐼,𝑔,ℎ,𝑘,𝑥,𝑦   𝑅,𝑓,𝑔,𝑘,𝑥   𝑓,𝑉,𝑔,𝑘,𝑥   𝑓,𝑊,𝑔,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦, ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(𝑦, ℎ)   𝑆(𝑥, 𝑦, 𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑘)   ∙ (𝑥, 𝑦, 𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑘)   · (𝑦, ℎ)   𝑉(𝑦, ℎ)   𝑊(𝑦, ℎ)

Proof of Theorem psrmulrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrmulr.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		psrmulr.m	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
5		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘𝑅)
6		psrmulr.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
7		psrmulr.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
8		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → 𝐼 ∈ 𝑉)
9		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → 𝑅 ∈ 𝑊)
10	1, 2, 6, 7, 8, 9	psrbasg 15178	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → 𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐷))
11		eqid 2238	. . . 4 ⊢ ( ∘𝑓 (+g‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ( ∘𝑓 (+g‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))
12		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥))))))) = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))
13		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓))
14		eqidd 2239	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)})) = (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)})))
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 12, 13, 14, 8, 9	psrval 15159	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → 𝑆 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}))
16		eqid 2238	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
17	1, 7, 3, 16	psrplusgg 15182	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (+g‘𝑆) = ( ∘𝑓 (+g‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵)))
18	17	opeq2d 3911	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑆)⟩ = ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩)
19	18	tpeq2d 3801	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))⟩})
20	19	uneq1d 3382	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}))
21	15, 20	eqtr4d 2274	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → 𝑆 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}))
22		basfn 13469	. . . . 5 ⊢ Base Fn V
23		fnpsr 15160	. . . . . . 7 ⊢ mPwSer Fn (V × V)
24	8	elexd 2835	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → 𝐼 ∈ V)
25	9	elexd 2835	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → 𝑅 ∈ V)
26		fnovex 6121	. . . . . . 7 ⊢ (( mPwSer Fn (V × V) ∧ 𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ V)
27	23, 24, 25, 26	mp3an2i 1383	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ V)
28	1, 27	eqeltrid 2325	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → 𝑆 ∈ V)
29		funfvex 5715	. . . . . 6 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑆 ∈ dom Base) → (Base‘𝑆) ∈ V)
30	29	funfni 5486	. . . . 5 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑆 ∈ V) → (Base‘𝑆) ∈ V)
31	22, 28, 30	sylancr 418	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (Base‘𝑆) ∈ V)
32	7, 31	eqeltrid 2325	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → 𝐵 ∈ V)
33		plusgslid 13525	. . . . 5 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
34	33	slotex 13437	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ V → (+g‘𝑆) ∈ V)
35	28, 34	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (+g‘𝑆) ∈ V)
36		mpoexga 6452	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥))))))) ∈ V)
37	32, 32, 36	syl2anc 415	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥))))))) ∈ V)
38		funfvex 5715	. . . . . 6 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
39	38	funfni 5486	. . . . 5 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
40	22, 25, 39	sylancr 418	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (Base‘𝑅) ∈ V)
41		mpoexga 6452	. . . 4 ⊢ (((Base‘𝑅) ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓)) ∈ V)
42	40, 32, 41	syl2anc 415	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓)) ∈ V)
43		fnmap 6933	. . . . . . 7 ⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)
44		nn0ex 9580	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 ∈ V
45	44	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → ℕ0 ∈ V)
46		fnovex 6121	. . . . . . 7 ⊢ (( ↑𝑚 Fn (V × V) ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V) → (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∈ V)
47	43, 45, 24, 46	mp3an2i 1383	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∈ V)
48	6, 47	rabexd 4283	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → 𝐷 ∈ V)
49		topnfn 13657	. . . . . . 7 ⊢ TopOpen Fn V
50		funfvex 5715	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun TopOpen ∧ 𝑅 ∈ dom TopOpen) → (TopOpen‘𝑅) ∈ V)
51	50	funfni 5486	. . . . . . 7 ⊢ ((TopOpen Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (TopOpen‘𝑅) ∈ V)
52	49, 25, 51	sylancr 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (TopOpen‘𝑅) ∈ V)
53		snexg 4323	. . . . . 6 ⊢ ((TopOpen‘𝑅) ∈ V → {(TopOpen‘𝑅)} ∈ V)
54	52, 53	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → {(TopOpen‘𝑅)} ∈ V)
55	48, 54	xpexd 4892	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}) ∈ V)
56		ptex 13677	. . . 4 ⊢ ((𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}) ∈ V → (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)})) ∈ V)
57	55, 56	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)})) ∈ V)
58	32, 35, 37, 9, 42, 57	psrvalstrd 15161	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}) Struct ⟨1, 9⟩)
59		mulrslid 13545	. 2 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
60		snsstp3 3867	. . . 4 ⊢ {⟨(.r‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))⟩}
61		ssun1 3392	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})
62	60, 61	sstri 3257	. . 3 ⊢ {⟨(.r‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})
63	62	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → {⟨(.r‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}))
64		psrmulr.t	. 2 ⊢ ∙ = (.r‘𝑆)
65	21, 58, 59, 63, 37, 64	strslfv3 13456	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → ∙ = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥))))))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {crab 2532  Vcvv 2821   ∪ cun 3218   ⊆ wss 3220  {csn 3709  {ctp 3711  ⟨cop 3712   class class class wbr 4131   ↦ cmpt 4193   × cxp 4774  ^◡ccnv 4775   ↾ cres 4778   “ cima 4779   Fn wfn 5375  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088   ∈ cmpo 6090   ∘_𝑓 cof 6303   ∘_𝑟 cofr 6304   ↑_𝑚 cmap 6926  Fincfn 7026  1c1 8186   ≤ cle 8367   − cmin 8504  ℕcn 9313  9c9 9371  ℕ₀cn0 9574  ndxcnx 13407  Basecbs 13410  +_gcplusg 13490  ._rcmulr 13491  Scalarcsca 13493   ·_𝑠 cvsca 13494  TopSetcts 13496  TopOpenctopn 13653  ∏_tcpt 13668   Σ_g cgsu 14240   mPwSer cmps 15154

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-of 6305  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-map 6928  df-ixp 6985  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-fz 10429  df-struct 13412  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-plusg 13503  df-mulr 13504  df-sca 13506  df-vsca 13507  df-tset 13509  df-rest 13654  df-topn 13655  df-topgen 13673  df-pt 13674  df-psr 15156

This theorem is used by:  psrmulfval  15187