Theorem nnmaxpwlemxy 12964

Description: Lemma for nnmaxpw 12969. Another way of stating that decomposing a natural number into a power of a base and a number not divisible by that base is unique. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Nov-2021.) (Revised by Jim Kingdon, 18-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnmaxpwlemxy.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ)
nnmaxpwlemxy.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2))
nnmaxpwlemxy.bx	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∥ 𝑋)
nnmaxpwlemxy.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℕ0)
nnmaxpwlemxy.ayx	⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝐵↑𝑌) · 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
nnmaxpwlemxy	⊢ (𝜑 → (𝑋 = (𝐴 / (𝐵↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((𝐵↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (𝐵↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)))) ∧ 𝑌 = (℩𝑧 ∈ ℕ0 ((𝐵↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (𝐵↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝑧,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑋(𝑧)

Proof of Theorem nnmaxpwlemxy

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnmaxpwlemxy.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2))
2		eluz2nn 9975	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
4		nnmaxpwlemxy.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ)
5	4	nnzd 9771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
6		nnmaxpwlemxy.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℕ0)
7	3, 6	nnexpcld 11146	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑌) ∈ ℕ)
8	7	nnzd 9771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑌) ∈ ℤ)
9		nnmaxpwlemxy.ayx	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝐵↑𝑌) · 𝑋))
10	7, 4	nnmulcld 9355	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑𝑌) · 𝑋) ∈ ℕ)
11	9, 10	eqeltrd 2315	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
12	11	nnzd 9771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
13	7	nncnd 9320	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑌) ∈ ℂ)
14	4	nncnd 9320	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
15	13, 14	mulcomd 8347	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑𝑌) · 𝑋) = (𝑋 · (𝐵↑𝑌)))
16	9, 15	eqtr2d 2272	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝐵↑𝑌)) = 𝐴)
17		dvds0lem 12584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ (𝐵↑𝑌) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 · (𝐵↑𝑌)) = 𝐴) → (𝐵↑𝑌) ∥ 𝐴)
18	5, 8, 12, 16, 17	syl31anc 1281	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑌) ∥ 𝐴)
19		nnmaxpwlemxy.bx	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∥ 𝑋)
20	9	breq2d 4142	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐵↑𝑌) · 𝐵) ∥ 𝐴 ↔ ((𝐵↑𝑌) · 𝐵) ∥ ((𝐵↑𝑌) · 𝑋)))
21	3	nnzd 9771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
22	7	nnne0d 9351	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑌) ≠ 0)
23		dvdscmulr 12603	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ ((𝐵↑𝑌) ∈ ℤ ∧ (𝐵↑𝑌) ≠ 0)) → (((𝐵↑𝑌) · 𝐵) ∥ ((𝐵↑𝑌) · 𝑋) ↔ 𝐵 ∥ 𝑋))
24	21, 5, 8, 22, 23	syl112anc 1282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐵↑𝑌) · 𝐵) ∥ ((𝐵↑𝑌) · 𝑋) ↔ 𝐵 ∥ 𝑋))
25	20, 24	bitrd 188	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐵↑𝑌) · 𝐵) ∥ 𝐴 ↔ 𝐵 ∥ 𝑋))
26	19, 25	mtbird 684	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ ((𝐵↑𝑌) · 𝐵) ∥ 𝐴)
27	3	nncnd 9320	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
28	27, 6	expp1d 11125	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑(𝑌 + 1)) = ((𝐵↑𝑌) · 𝐵))
29	28	breq1d 4140	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑(𝑌 + 1)) ∥ 𝐴 ↔ ((𝐵↑𝑌) · 𝐵) ∥ 𝐴))
30	26, 29	mtbird 684	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐵↑(𝑌 + 1)) ∥ 𝐴)
31		pwbdvdseu 12963	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → ∃!𝑧 ∈ ℕ0 ((𝐵↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (𝐵↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))
32	11, 1, 31	syl2anc 415	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑧 ∈ ℕ0 ((𝐵↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (𝐵↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))
33		oveq2 6093	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → (𝐵↑𝑧) = (𝐵↑𝑌))
34	33	breq1d 4140	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → ((𝐵↑𝑧) ∥ 𝐴 ↔ (𝐵↑𝑌) ∥ 𝐴))
35		oveq1 6092	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → (𝑧 + 1) = (𝑌 + 1))
36	35	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → (𝐵↑(𝑧 + 1)) = (𝐵↑(𝑌 + 1)))
37	36	breq1d 4140	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → ((𝐵↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴 ↔ (𝐵↑(𝑌 + 1)) ∥ 𝐴))
38	37	notbid 677	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → (¬ (𝐵↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴 ↔ ¬ (𝐵↑(𝑌 + 1)) ∥ 𝐴))
39	34, 38	anbi12d 477	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → (((𝐵↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (𝐵↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴) ↔ ((𝐵↑𝑌) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (𝐵↑(𝑌 + 1)) ∥ 𝐴)))
40	39	riota2 6062	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ∃!𝑧 ∈ ℕ0 ((𝐵↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (𝐵↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) → (((𝐵↑𝑌) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (𝐵↑(𝑌 + 1)) ∥ 𝐴) ↔ (℩𝑧 ∈ ℕ0 ((𝐵↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (𝐵↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) = 𝑌))
41	6, 32, 40	syl2anc 415	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐵↑𝑌) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (𝐵↑(𝑌 + 1)) ∥ 𝐴) ↔ (℩𝑧 ∈ ℕ0 ((𝐵↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (𝐵↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) = 𝑌))
42	18, 30, 41	mpbi2and 956	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (℩𝑧 ∈ ℕ0 ((𝐵↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (𝐵↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) = 𝑌)
43	42, 6	eqeltrd 2315	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (℩𝑧 ∈ ℕ0 ((𝐵↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (𝐵↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) ∈ ℕ0)
44	3, 43	nnexpcld 11146	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((𝐵↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (𝐵↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) ∈ ℕ)
45	44	nncnd 9320	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((𝐵↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (𝐵↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) ∈ ℂ)
46	44	nnap0d 9352	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((𝐵↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (𝐵↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) # 0)
47	42	eqcomd 2244	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (℩𝑧 ∈ ℕ0 ((𝐵↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (𝐵↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)))
48	47	oveq2d 6101	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑌) = (𝐵↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((𝐵↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (𝐵↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))))
49	48	oveq1d 6100	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑𝑌) · 𝑋) = ((𝐵↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((𝐵↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (𝐵↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) · 𝑋))
50	9, 49	eqtr2d 2272	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((𝐵↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (𝐵↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) · 𝑋) = 𝐴)
51	45, 14, 46, 50	mvllmulapd 9174	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 / (𝐵↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((𝐵↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (𝐵↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)))))
52	51, 47	jca 306	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = (𝐴 / (𝐵↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((𝐵↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (𝐵↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)))) ∧ 𝑌 = (℩𝑧 ∈ ℕ0 ((𝐵↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (𝐵↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  ∃!wreu 2530   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377  ℩crio 6037  (class class class)co 6085  0cc0 8179  1c1 8180   + caddc 8182   · cmul 8184   / cdiv 9004  ℕcn 9306  2c2 9357  ℕ₀cn0 9567  ℤcz 9648  ℤ_≥cuz 9930  ↑cexp 10988   ∥ cdvds 12570

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8500  df-neg 8501  df-reap 8905  df-ap 8912  df-div 9005  df-inn 9307  df-2 9365  df-n0 9568  df-z 9649  df-uz 9931  df-q 10029  df-rp 10065  df-fz 10422  df-fl 10715  df-mod 10773  df-seqfrec 10898  df-exp 10989  df-dvds 12571

This theorem is used by:  nnmaxpwlemparts  12968