Theorem swrdccat2 11363

Description: Recover the right half of a concatenated word. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
swrdccat2	⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩) = 𝑇)

Proof of Theorem swrdccat2

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatcl 11281	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵)
2		lencl 11228	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 9698	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
4	3	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
5	2	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
6		lencl 11228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑇) ∈ ℕ0)
7	6	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑇) ∈ ℕ0)
8	5, 7	nn0addcld 9557	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ ℕ0)
9	8	nn0zd 9698	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ ℤ)
10		swrdclg 11342	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵 ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ ℤ) → ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩) ∈ Word 𝐵)
11	1, 4, 9, 10	syl3anc 1274	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩) ∈ Word 𝐵)
12		wrdfn 11239	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩) ∈ Word 𝐵 → ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩) Fn (0..^(♯‘((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩))))
13	11, 12	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩) Fn (0..^(♯‘((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩))))
14		nn0uz 9889	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
15	2, 14	eleqtrdi 2325	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘0))
16	15	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘0))
17	3	uzidd 9869	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑆)))
18		uzaddcl 9918	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑆)) ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑆)))
19	17, 6, 18	syl2an 289	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑆)))
20		elfzuzb 10353	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑆) ∈ (0...((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↔ ((♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑆))))
21	16, 19, 20	sylanbrc 417	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑆) ∈ (0...((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
22		nn0addcl 9531	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ ℕ0)
23	2, 6, 22	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ ℕ0)
24	23, 14	eleqtrdi 2325	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘0))
25	23	nn0zd 9698	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ ℤ)
26	25	uzidd 9869	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
27		elfzuzb 10353	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (0...((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↔ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))))
28	24, 26, 27	sylanbrc 417	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (0...((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
29		ccatlen 11283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) = ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))
30	29	oveq2d 6066	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (0...(♯‘(𝑆 ++ 𝑇))) = (0...((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
31	28, 30	eleqtrrd 2312	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (0...(♯‘(𝑆 ++ 𝑇))))
32		swrdlen 11344	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵 ∧ (♯‘𝑆) ∈ (0...((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∧ ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (0...(♯‘(𝑆 ++ 𝑇)))) → (♯‘((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩)) = (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) − (♯‘𝑆)))
33	1, 21, 31, 32	syl3anc 1274	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩)) = (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) − (♯‘𝑆)))
34	2	nn0cnd 9555	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℂ)
35	6	nn0cnd 9555	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑇) ∈ ℂ)
36		pncan2 8480	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑆) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℂ) → (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) − (♯‘𝑆)) = (♯‘𝑇))
37	34, 35, 36	syl2an 289	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) − (♯‘𝑆)) = (♯‘𝑇))
38	33, 37	eqtrd 2265	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩)) = (♯‘𝑇))
39	38	oveq2d 6066	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (0..^(♯‘((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩))) = (0..^(♯‘𝑇)))
40	39	fneq2d 5447	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩) Fn (0..^(♯‘((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩))) ↔ ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩) Fn (0..^(♯‘𝑇))))
41	13, 40	mpbid 147	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩) Fn (0..^(♯‘𝑇)))
42		wrdfn 11239	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ Word 𝐵 → 𝑇 Fn (0..^(♯‘𝑇)))
43	42	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → 𝑇 Fn (0..^(♯‘𝑇)))
44	1, 21, 31	3jca 1204	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵 ∧ (♯‘𝑆) ∈ (0...((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∧ ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (0...(♯‘(𝑆 ++ 𝑇)))))
45	37	oveq2d 6066	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (0..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) − (♯‘𝑆))) = (0..^(♯‘𝑇)))
46	45	eleq2d 2302	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑘 ∈ (0..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) − (♯‘𝑆))) ↔ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑇))))
47	46	biimpar 297	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → 𝑘 ∈ (0..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) − (♯‘𝑆))))
48		swrdfv 11345	. . . 4 ⊢ ((((𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵 ∧ (♯‘𝑆) ∈ (0...((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∧ ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (0...(♯‘(𝑆 ++ 𝑇)))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) − (♯‘𝑆)))) → (((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩)‘𝑘) = ((𝑆 ++ 𝑇)‘(𝑘 + (♯‘𝑆))))
49	44, 47, 48	syl2an2r 599	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩)‘𝑘) = ((𝑆 ++ 𝑇)‘(𝑘 + (♯‘𝑆))))
50		ccatval3 11287	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(𝑘 + (♯‘𝑆))) = (𝑇‘𝑘))
51	50	3expa 1230	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(𝑘 + (♯‘𝑆))) = (𝑇‘𝑘))
52	49, 51	eqtrd 2265	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩)‘𝑘) = (𝑇‘𝑘))
53	41, 43, 52	eqfnfvd 5778	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩) = 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ⟨cop 3692   Fn wfn 5347  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  ℂcc 8125  0cc0 8127   + caddc 8130   − cmin 8444  ℕ₀cn0 9496  ℤcz 9577  ℤ_≥cuz 9853  ...cfz 10342  ..^cfzo 10476  ♯chash 11138  Word cword 11224   ++ cconcat 11278   substr csubstr 11337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-1o 6647  df-er 6767  df-en 6976  df-dom 6977  df-fin 6978  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-fz 10343  df-fzo 10477  df-ihash 11139  df-word 11225  df-concat 11279  df-substr 11338

This theorem is referenced by:  ccatopth  11408