Theorem 0edg0rgr 27842

Description: A graph is 0-regular if it has no edges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Jul-2018.) (Revised by AV, 26-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
0edg0rgr	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → 𝐺 RegGraph 0)

Proof of Theorem 0edg0rgr

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) ∧ 𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺))
2		simplr 765	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) ∧ 𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (iEdg‘𝐺) = ∅)
3		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
4		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
5	3, 4	vtxdg0e 27744	. . . . 5 ⊢ ((𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0)
6	1, 2, 5	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) ∧ 𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0)
7	6	ralrimiva 3107	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0)
8		0xnn0 12241	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0*
9	7, 8	jctil 519	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → (0 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0))
10	8	a1i 11	. . 3 ⊢ ((iEdg‘𝐺) = ∅ → 0 ∈ ℕ0*)
11		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
12	3, 11	isrgr 27829	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 0 ∈ ℕ0*) → (𝐺 RegGraph 0 ↔ (0 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0)))
13	10, 12	sylan2 592	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → (𝐺 RegGraph 0 ↔ (0 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0)))
14	9, 13	mpbird 256	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → 𝐺 RegGraph 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∅c0 4253   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  0cc0 10802  ℕ₀^*cxnn0 12235  Vtxcvtx 27269  iEdgciedg 27270  VtxDegcvtxdg 27735   RegGraph crgr 27825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-uz 12512  df-xadd 12778  df-fz 13169  df-hash 13973  df-vtxdg 27736  df-rgr 27827

This theorem is referenced by:  uhgr0edg0rgr  27843