Theorem 0edg0rgr 30210

Description: A graph is 0-regular if it has no edges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Jul-2018.) (Revised by AV, 26-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
0edg0rgr	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → 𝐺 RegGraph 0)

Proof of Theorem 0edg0rgr

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) ∧ 𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺))
2		simplr 781	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) ∧ 𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (iEdg‘𝐺) = ∅)
3		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
4		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
5	3, 4	vtxdg0e 30112	. . . . 5 ⊢ ((𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0)
6	1, 2, 5	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) ∧ 𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0)
7	6	ralrimiva 3158	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0)
8		0xnn0 12725	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0*
9	7, 8	jctil 529	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → (0 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0))
10	8	a1i 11	. . 3 ⊢ ((iEdg‘𝐺) = ∅ → 0 ∈ ℕ0*)
11		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
12	3, 11	isrgr 30197	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 0 ∈ ℕ0*) → (𝐺 RegGraph 0 ↔ (0 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0)))
13	10, 12	sylan2 605	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → (𝐺 RegGraph 0 ↔ (0 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0)))
14	9, 13	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → 𝐺 RegGraph 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∅c0 4281   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  0cc0 11239  ℕ₀^*cxnn0 12719  Vtxcvtx 29631  iEdgciedg 29632  VtxDegcvtxdg 30103   RegGraph crgr 30193

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-xnn0 12720  df-z 12734  df-uz 13006  df-xadd 13282  df-fz 13680  df-hash 14516  df-vtxdg 30104  df-rgr 30195

This theorem is used by:  uhgr0edg0rgr  30211