Theorem 0edg0rgr 28169

Description: A graph is 0-regular if it has no edges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Jul-2018.) (Revised by AV, 26-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
0edg0rgr	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → 𝐺 RegGraph 0)

Proof of Theorem 0edg0rgr

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) ∧ 𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺))
2		simplr 766	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) ∧ 𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (iEdg‘𝐺) = ∅)
3		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
4		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
5	3, 4	vtxdg0e 28071	. . . . 5 ⊢ ((𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0)
6	1, 2, 5	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) ∧ 𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0)
7	6	ralrimiva 3139	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0)
8		0xnn0 12404	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0*
9	7, 8	jctil 520	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → (0 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0))
10	8	a1i 11	. . 3 ⊢ ((iEdg‘𝐺) = ∅ → 0 ∈ ℕ0*)
11		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
12	3, 11	isrgr 28156	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 0 ∈ ℕ0*) → (𝐺 RegGraph 0 ↔ (0 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0)))
13	10, 12	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → (𝐺 RegGraph 0 ↔ (0 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0)))
14	9, 13	mpbird 256	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → 𝐺 RegGraph 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3061  ∅c0 4268   class class class wbr 5089  ‘cfv 6473  0cc0 10964  ℕ₀^*cxnn0 12398  Vtxcvtx 27596  iEdgciedg 27597  VtxDegcvtxdg 28062   RegGraph crgr 28152

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5226  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-int 4894  df-iun 4940  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-om 7773  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-1o 8359  df-er 8561  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-fin 8800  df-card 9788  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-nn 12067  df-n0 12327  df-xnn0 12399  df-z 12413  df-uz 12676  df-xadd 12942  df-fz 13333  df-hash 14138  df-vtxdg 28063  df-rgr 28154

This theorem is referenced by:  uhgr0edg0rgr  28170