Theorem frusgrnn0 27934

Description: In a nonempty finite k-regular simple graph, the degree of each vertex is finite. (Contributed by AV, 7-May-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
frusgrnn0.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frusgrnn0	⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem frusgrnn0

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpb 1148	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅))
2		frusgrnn0.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
4	2, 3	rusgrprop0 27930	. . . 4 ⊢ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾))
5	4	simp3d 1143	. . 3 ⊢ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾)
6	5	3ad2ant2 1133	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾)
7	2, 3	fusgrregdegfi 27932	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → 𝐾 ∈ ℕ0))
8	1, 6, 7	sylc 65	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2945  ∀wral 3066  ∅c0 4262   class class class wbr 5079  ‘cfv 6431  ℕ₀cn0 12231  ℕ₀^*cxnn0 12303  Vtxcvtx 27362  USGraphcusgr 27515  FinUSGraphcfusgr 27679  VtxDegcvtxdg 27828   RegUSGraph crusgr 27919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10926  ax-resscn 10927  ax-1cn 10928  ax-icn 10929  ax-addcl 10930  ax-addrcl 10931  ax-mulcl 10932  ax-mulrcl 10933  ax-mulcom 10934  ax-addass 10935  ax-mulass 10936  ax-distr 10937  ax-i2m1 10938  ax-1ne0 10939  ax-1rid 10940  ax-rnegex 10941  ax-rrecex 10942  ax-cnre 10943  ax-pre-lttri 10944  ax-pre-lttrn 10945  ax-pre-ltadd 10946  ax-pre-mulgt0 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7705  df-1st 7822  df-2nd 7823  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-1o 8286  df-2o 8287  df-oadd 8290  df-er 8479  df-en 8715  df-dom 8716  df-sdom 8717  df-fin 8718  df-dju 9658  df-card 9696  df-pnf 11010  df-mnf 11011  df-xr 11012  df-ltxr 11013  df-le 11014  df-sub 11205  df-neg 11206  df-nn 11972  df-2 12034  df-n0 12232  df-xnn0 12304  df-z 12318  df-uz 12580  df-xadd 12846  df-fz 13237  df-hash 14041  df-vtx 27364  df-iedg 27365  df-edg 27414  df-uhgr 27424  df-upgr 27448  df-umgr 27449  df-uspgr 27516  df-usgr 27517  df-fusgr 27680  df-vtxdg 27829  df-rgr 27920  df-rusgr 27921

This theorem is referenced by:  rusgrnumwwlks  28333  rusgrnumwwlk  28334  numclwwlk1  28719  numclwlk1lem1  28727  numclwwlk3  28743  numclwwlk5  28746  numclwwlk7lem  28747