MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frusgrnn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frusgrnn0 26702
Description: In a nonempty finite k-regular simple graph, the degree of each vertex is finite. (Contributed by AV, 7-May-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
frusgrnn0.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
frusgrnn0 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾𝑉 ≠ ∅) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem frusgrnn0
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3simpb 1144 . 2 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾𝑉 ≠ ∅) → (𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅))
2 frusgrnn0.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3 eqid 2771 . . . . 5 (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
42, 3rusgrprop0 26698 . . . 4 (𝐺RegUSGraph𝐾 → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾))
54simp3d 1138 . . 3 (𝐺RegUSGraph𝐾 → ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾)
653ad2ant2 1128 . 2 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾𝑉 ≠ ∅) → ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾)
72, 3fusgrregdegfi 26700 . 2 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾𝐾 ∈ ℕ0))
81, 6, 7sylc 65 1 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾𝑉 ≠ ∅) → 𝐾 ∈ ℕ0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  c0 4063   class class class wbr 4786  cfv 6031  0cn0 11494  0*cxnn0 11565  Vtxcvtx 26095  USGraphcusgr 26266  FinUSGraphcfusgr 26431  VtxDegcvtxdg 26596  RegUSGraphcrusgr 26687
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-card 8965  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-n0 11495  df-xnn0 11566  df-z 11580  df-uz 11889  df-xadd 12152  df-fz 12534  df-hash 13322  df-vtx 26097  df-iedg 26098  df-edg 26161  df-uhgr 26174  df-upgr 26198  df-umgr 26199  df-uspgr 26267  df-usgr 26268  df-fusgr 26432  df-vtxdg 26597  df-rgr 26688  df-rusgr 26689
This theorem is referenced by:  rusgrnumwwlks  27123  rusgrnumwwlk  27124  numclwwlk1  27548  numclwlk1lem1  27560  numclwwlk3  27584  numclwwlk5  27587  numclwwlk7lem  27588
  Copyright terms: Public domain W3C validator