Theorem ackval0012 49388

Description: The Ackermann function at (0,0), (0,1), (0,2). (Contributed by AV, 2-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackval0012	⊢ ⟨((Ack‘0)‘0), ((Ack‘0)‘1), ((Ack‘0)‘2)⟩ = ⟨1, 2, 3⟩

Proof of Theorem ackval0012

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ackval0 49379	. 2 ⊢ (Ack‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 1))
2		oveq1 7418	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 1) = (0 + 1))
3		0p1e1 12361	. . . . 5 ⊢ (0 + 1) = 1
4	2, 3	eqtrdi 2820	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 1) = 1)
5		0nn0 12519	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 1)) → 0 ∈ ℕ0)
7		1nn0 12520	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 1)) → 1 ∈ ℕ0)
9	1, 4, 6, 8	fvmptd3 7014	. . 3 ⊢ ((Ack‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 1)) → ((Ack‘0)‘0) = 1)
10		oveq1 7418	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 1) = (1 + 1))
11		1p1e2 12364	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) = 2
12	10, 11	eqtrdi 2820	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 1) = 2)
13		2nn0 12521	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 1)) → 2 ∈ ℕ0)
15	1, 12, 8, 14	fvmptd3 7014	. . 3 ⊢ ((Ack‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 1)) → ((Ack‘0)‘1) = 2)
16		oveq1 7418	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 1) = (2 + 1))
17		2p1e3 12382	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
18	16, 17	eqtrdi 2820	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 1) = 3)
19		3nn0 12522	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 1)) → 3 ∈ ℕ0)
21	1, 18, 14, 20	fvmptd3 7014	. . 3 ⊢ ((Ack‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 1)) → ((Ack‘0)‘2) = 3)
22	9, 15, 21	oteq123d 4857	. 2 ⊢ ((Ack‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 1)) → ⟨((Ack‘0)‘0), ((Ack‘0)‘1), ((Ack‘0)‘2)⟩ = ⟨1, 2, 3⟩)
23	1, 22	ax-mp 5	1 ⊢ ⟨((Ack‘0)‘0), ((Ack‘0)‘1), ((Ack‘0)‘2)⟩ = ⟨1, 2, 3⟩

Syntax hints:   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ⟨cotp 4602   ↦ cmpt 5196  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  0cc0 11100  1c1 11101   + caddc 11103  2c2 12295  3c3 12296  ℕ₀cn0 12504  Ackcack 49357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-ot 4603  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-seq 14038  df-ack 49359

This theorem is referenced by: (None)