Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ackval0012 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ackval0012 46676
Description: The Ackermann function at (0,0), (0,1), (0,2). (Contributed by AV, 2-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
ackval0012 ⟨((Ack‘0)‘0), ((Ack‘0)‘1), ((Ack‘0)‘2)⟩ = ⟨1, 2, 3⟩

Proof of Theorem ackval0012
StepHypRef Expression
1 ackval0 46667 . 2 (Ack‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 1))
2 oveq1 7358 . . . . 5 (𝑛 = 0 → (𝑛 + 1) = (0 + 1))
3 0p1e1 12233 . . . . 5 (0 + 1) = 1
42, 3eqtrdi 2793 . . . 4 (𝑛 = 0 → (𝑛 + 1) = 1)
5 0nn0 12386 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
65a1i 11 . . . 4 ((Ack‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 1)) → 0 ∈ ℕ0)
7 1nn0 12387 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
87a1i 11 . . . 4 ((Ack‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 1)) → 1 ∈ ℕ0)
91, 4, 6, 8fvmptd3 6968 . . 3 ((Ack‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 1)) → ((Ack‘0)‘0) = 1)
10 oveq1 7358 . . . . 5 (𝑛 = 1 → (𝑛 + 1) = (1 + 1))
11 1p1e2 12236 . . . . 5 (1 + 1) = 2
1210, 11eqtrdi 2793 . . . 4 (𝑛 = 1 → (𝑛 + 1) = 2)
13 2nn0 12388 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
1413a1i 11 . . . 4 ((Ack‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 1)) → 2 ∈ ℕ0)
151, 12, 8, 14fvmptd3 6968 . . 3 ((Ack‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 1)) → ((Ack‘0)‘1) = 2)
16 oveq1 7358 . . . . 5 (𝑛 = 2 → (𝑛 + 1) = (2 + 1))
17 2p1e3 12253 . . . . 5 (2 + 1) = 3
1816, 17eqtrdi 2793 . . . 4 (𝑛 = 2 → (𝑛 + 1) = 3)
19 3nn0 12389 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
2019a1i 11 . . . 4 ((Ack‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 1)) → 3 ∈ ℕ0)
211, 18, 14, 20fvmptd3 6968 . . 3 ((Ack‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 1)) → ((Ack‘0)‘2) = 3)
229, 15, 21oteq123d 4843 . 2 ((Ack‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 1)) → ⟨((Ack‘0)‘0), ((Ack‘0)‘1), ((Ack‘0)‘2)⟩ = ⟨1, 2, 3⟩)
231, 22ax-mp 5 1 ⟨((Ack‘0)‘0), ((Ack‘0)‘1), ((Ack‘0)‘2)⟩ = ⟨1, 2, 3⟩
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1541  wcel 2106  cotp 4592  cmpt 5186  cfv 6493  (class class class)co 7351  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012  2c2 12166  3c3 12167  0cn0 12371  Ackcack 46645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-n0 12372  df-z 12458  df-uz 12722  df-seq 13861  df-ack 46647
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator