Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ackval0012 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ackval0012 45042
Description: The Ackermann function at (0,0), (0,1), (0,2). (Contributed by AV, 2-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
ackval0012 ⟨((Ack‘0)‘0), ((Ack‘0)‘1), ((Ack‘0)‘2)⟩ = ⟨1, 2, 3⟩

Proof of Theorem ackval0012
StepHypRef Expression
1 ackval0 45033 . 2 (Ack‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 1))
2 oveq1 7147 . . . . 5 (𝑛 = 0 → (𝑛 + 1) = (0 + 1))
3 0p1e1 11747 . . . . 5 (0 + 1) = 1
42, 3syl6eq 2873 . . . 4 (𝑛 = 0 → (𝑛 + 1) = 1)
5 0nn0 11900 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
65a1i 11 . . . 4 ((Ack‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 1)) → 0 ∈ ℕ0)
7 1nn0 11901 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
87a1i 11 . . . 4 ((Ack‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 1)) → 1 ∈ ℕ0)
91, 4, 6, 8fvmptd3 6773 . . 3 ((Ack‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 1)) → ((Ack‘0)‘0) = 1)
10 oveq1 7147 . . . . 5 (𝑛 = 1 → (𝑛 + 1) = (1 + 1))
11 1p1e2 11750 . . . . 5 (1 + 1) = 2
1210, 11syl6eq 2873 . . . 4 (𝑛 = 1 → (𝑛 + 1) = 2)
13 2nn0 11902 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
1413a1i 11 . . . 4 ((Ack‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 1)) → 2 ∈ ℕ0)
151, 12, 8, 14fvmptd3 6773 . . 3 ((Ack‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 1)) → ((Ack‘0)‘1) = 2)
16 oveq1 7147 . . . . 5 (𝑛 = 2 → (𝑛 + 1) = (2 + 1))
17 2p1e3 11767 . . . . 5 (2 + 1) = 3
1816, 17syl6eq 2873 . . . 4 (𝑛 = 2 → (𝑛 + 1) = 3)
19 3nn0 11903 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
2019a1i 11 . . . 4 ((Ack‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 1)) → 3 ∈ ℕ0)
211, 18, 14, 20fvmptd3 6773 . . 3 ((Ack‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 1)) → ((Ack‘0)‘2) = 3)
229, 15, 21oteq123d 4793 . 2 ((Ack‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 1)) → ⟨((Ack‘0)‘0), ((Ack‘0)‘1), ((Ack‘0)‘2)⟩ = ⟨1, 2, 3⟩)
231, 22ax-mp 5 1 ⟨((Ack‘0)‘0), ((Ack‘0)‘1), ((Ack‘0)‘2)⟩ = ⟨1, 2, 3⟩
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1538  wcel 2114  cotp 4547  cmpt 5122  cfv 6334  (class class class)co 7140  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529  2c2 11680  3c3 11681  0cn0 11885  Ackcack 45011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-ot 4548  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-seq 13365  df-ack 45013
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator