Theorem ackval0012 48674

Description: The Ackermann function at (0,0), (0,1), (0,2). (Contributed by AV, 2-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackval0012	⊢ ⟨((Ack‘0)‘0), ((Ack‘0)‘1), ((Ack‘0)‘2)⟩ = ⟨1, 2, 3⟩

Proof of Theorem ackval0012

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ackval0 48665	. 2 ⊢ (Ack‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 1))
2		oveq1 7356	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 1) = (0 + 1))
3		0p1e1 12245	. . . . 5 ⊢ (0 + 1) = 1
4	2, 3	eqtrdi 2780	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 1) = 1)
5		0nn0 12399	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 1)) → 0 ∈ ℕ0)
7		1nn0 12400	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 1)) → 1 ∈ ℕ0)
9	1, 4, 6, 8	fvmptd3 6953	. . 3 ⊢ ((Ack‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 1)) → ((Ack‘0)‘0) = 1)
10		oveq1 7356	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 1) = (1 + 1))
11		1p1e2 12248	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) = 2
12	10, 11	eqtrdi 2780	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 1) = 2)
13		2nn0 12401	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 1)) → 2 ∈ ℕ0)
15	1, 12, 8, 14	fvmptd3 6953	. . 3 ⊢ ((Ack‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 1)) → ((Ack‘0)‘1) = 2)
16		oveq1 7356	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 1) = (2 + 1))
17		2p1e3 12265	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
18	16, 17	eqtrdi 2780	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 1) = 3)
19		3nn0 12402	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 1)) → 3 ∈ ℕ0)
21	1, 18, 14, 20	fvmptd3 6953	. . 3 ⊢ ((Ack‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 1)) → ((Ack‘0)‘2) = 3)
22	9, 15, 21	oteq123d 4839	. 2 ⊢ ((Ack‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 1)) → ⟨((Ack‘0)‘0), ((Ack‘0)‘1), ((Ack‘0)‘2)⟩ = ⟨1, 2, 3⟩)
23	1, 22	ax-mp 5	1 ⊢ ⟨((Ack‘0)‘0), ((Ack‘0)‘1), ((Ack‘0)‘2)⟩ = ⟨1, 2, 3⟩

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟨cotp 4585   ↦ cmpt 5173  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012  2c2 12183  3c3 12184  ℕ₀cn0 12384  Ackcack 48643

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-ot 4586  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-seq 13909  df-ack 48645

This theorem is referenced by: (None)