Theorem ackval0012 47650

Description: The Ackermann function at (0,0), (0,1), (0,2). (Contributed by AV, 2-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackval0012	⊢ ⟨((Ack‘0)‘0), ((Ack‘0)‘1), ((Ack‘0)‘2)⟩ = ⟨1, 2, 3⟩

Proof of Theorem ackval0012

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ackval0 47641	. 2 ⊢ (Ack‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 1))
2		oveq1 7412	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 1) = (0 + 1))
3		0p1e1 12338	. . . . 5 ⊢ (0 + 1) = 1
4	2, 3	eqtrdi 2782	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 1) = 1)
5		0nn0 12491	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 1)) → 0 ∈ ℕ0)
7		1nn0 12492	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 1)) → 1 ∈ ℕ0)
9	1, 4, 6, 8	fvmptd3 7015	. . 3 ⊢ ((Ack‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 1)) → ((Ack‘0)‘0) = 1)
10		oveq1 7412	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 1) = (1 + 1))
11		1p1e2 12341	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) = 2
12	10, 11	eqtrdi 2782	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 1) = 2)
13		2nn0 12493	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 1)) → 2 ∈ ℕ0)
15	1, 12, 8, 14	fvmptd3 7015	. . 3 ⊢ ((Ack‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 1)) → ((Ack‘0)‘1) = 2)
16		oveq1 7412	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 1) = (2 + 1))
17		2p1e3 12358	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
18	16, 17	eqtrdi 2782	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 1) = 3)
19		3nn0 12494	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 1)) → 3 ∈ ℕ0)
21	1, 18, 14, 20	fvmptd3 7015	. . 3 ⊢ ((Ack‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 1)) → ((Ack‘0)‘2) = 3)
22	9, 15, 21	oteq123d 4883	. 2 ⊢ ((Ack‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 1)) → ⟨((Ack‘0)‘0), ((Ack‘0)‘1), ((Ack‘0)‘2)⟩ = ⟨1, 2, 3⟩)
23	1, 22	ax-mp 5	1 ⊢ ⟨((Ack‘0)‘0), ((Ack‘0)‘1), ((Ack‘0)‘2)⟩ = ⟨1, 2, 3⟩

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ⟨cotp 4631   ↦ cmpt 5224  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  2c2 12271  3c3 12272  ℕ₀cn0 12476  Ackcack 47619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-seq 13973  df-ack 47621

This theorem is referenced by: (None)