Theorem ackval1012 48426

Description: The Ackermann function at (1,0), (1,1), (1,2). (Contributed by AV, 4-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackval1012	⊢ ⟨((Ack‘1)‘0), ((Ack‘1)‘1), ((Ack‘1)‘2)⟩ = ⟨2, 3, 4⟩

Proof of Theorem ackval1012

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ackval1 48417	. 2 ⊢ (Ack‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2))
2		oveq1 7457	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 2) = (0 + 2))
3		2cn 12370	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
4	3	addlidi 11480	. . . . 5 ⊢ (0 + 2) = 2
5	2, 4	eqtrdi 2796	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 2) = 2)
6		0nn0 12570	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2)) → 0 ∈ ℕ0)
8		2nn0 12572	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2)) → 2 ∈ ℕ0)
10	1, 5, 7, 9	fvmptd3 7054	. . 3 ⊢ ((Ack‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2)) → ((Ack‘1)‘0) = 2)
11		oveq1 7457	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 2) = (1 + 2))
12		1p2e3 12438	. . . . 5 ⊢ (1 + 2) = 3
13	11, 12	eqtrdi 2796	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 2) = 3)
14		1nn0 12571	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2)) → 1 ∈ ℕ0)
16		3nn0 12573	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2)) → 3 ∈ ℕ0)
18	1, 13, 15, 17	fvmptd3 7054	. . 3 ⊢ ((Ack‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2)) → ((Ack‘1)‘1) = 3)
19		oveq1 7457	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 2) = (2 + 2))
20		2p2e4 12430	. . . . 5 ⊢ (2 + 2) = 4
21	19, 20	eqtrdi 2796	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 2) = 4)
22		4nn0 12574	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
23	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2)) → 4 ∈ ℕ0)
24	1, 21, 9, 23	fvmptd3 7054	. . 3 ⊢ ((Ack‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2)) → ((Ack‘1)‘2) = 4)
25	10, 18, 24	oteq123d 4912	. 2 ⊢ ((Ack‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2)) → ⟨((Ack‘1)‘0), ((Ack‘1)‘1), ((Ack‘1)‘2)⟩ = ⟨2, 3, 4⟩)
26	1, 25	ax-mp 5	1 ⊢ ⟨((Ack‘1)‘0), ((Ack‘1)‘1), ((Ack‘1)‘2)⟩ = ⟨2, 3, 4⟩

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ⟨cotp 4656   ↦ cmpt 5249  ‘cfv 6575  (class class class)co 7450  0cc0 11186  1c1 11187   + caddc 11189  2c2 12350  3c3 12351  4c4 12352  ℕ₀cn0 12555  Ackcack 48394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-inf2 9712  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-ot 4657  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-om 7906  df-2nd 8033  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-er 8765  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12296  df-2 12358  df-3 12359  df-4 12360  df-n0 12556  df-z 12642  df-uz 12906  df-seq 14055  df-itco 48395  df-ack 48396

This theorem is referenced by: (None)