Theorem ackval1012 45924

Description: The Ackermann function at (1,0), (1,1), (1,2). (Contributed by AV, 4-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackval1012	⊢ ⟨((Ack‘1)‘0), ((Ack‘1)‘1), ((Ack‘1)‘2)⟩ = ⟨2, 3, 4⟩

Proof of Theorem ackval1012

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ackval1 45915	. 2 ⊢ (Ack‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2))
2		oveq1 7262	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 2) = (0 + 2))
3		2cn 11978	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
4	3	addid2i 11093	. . . . 5 ⊢ (0 + 2) = 2
5	2, 4	eqtrdi 2795	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 2) = 2)
6		0nn0 12178	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2)) → 0 ∈ ℕ0)
8		2nn0 12180	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2)) → 2 ∈ ℕ0)
10	1, 5, 7, 9	fvmptd3 6880	. . 3 ⊢ ((Ack‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2)) → ((Ack‘1)‘0) = 2)
11		oveq1 7262	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 2) = (1 + 2))
12		1p2e3 12046	. . . . 5 ⊢ (1 + 2) = 3
13	11, 12	eqtrdi 2795	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 2) = 3)
14		1nn0 12179	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2)) → 1 ∈ ℕ0)
16		3nn0 12181	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2)) → 3 ∈ ℕ0)
18	1, 13, 15, 17	fvmptd3 6880	. . 3 ⊢ ((Ack‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2)) → ((Ack‘1)‘1) = 3)
19		oveq1 7262	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 2) = (2 + 2))
20		2p2e4 12038	. . . . 5 ⊢ (2 + 2) = 4
21	19, 20	eqtrdi 2795	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 2) = 4)
22		4nn0 12182	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
23	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2)) → 4 ∈ ℕ0)
24	1, 21, 9, 23	fvmptd3 6880	. . 3 ⊢ ((Ack‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2)) → ((Ack‘1)‘2) = 4)
25	10, 18, 24	oteq123d 4816	. 2 ⊢ ((Ack‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2)) → ⟨((Ack‘1)‘0), ((Ack‘1)‘1), ((Ack‘1)‘2)⟩ = ⟨2, 3, 4⟩)
26	1, 25	ax-mp 5	1 ⊢ ⟨((Ack‘1)‘0), ((Ack‘1)‘1), ((Ack‘1)‘2)⟩ = ⟨2, 3, 4⟩

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ⟨cotp 4566   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805  2c2 11958  3c3 11959  4c4 11960  ℕ₀cn0 12163  Ackcack 45892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-ot 4567  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-seq 13650  df-itco 45893  df-ack 45894

This theorem is referenced by: (None)