Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ackval1012 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ackval1012 45497
 Description: The Ackermann function at (1,0), (1,1), (1,2). (Contributed by AV, 4-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
ackval1012 ⟨((Ack‘1)‘0), ((Ack‘1)‘1), ((Ack‘1)‘2)⟩ = ⟨2, 3, 4⟩

Proof of Theorem ackval1012
StepHypRef Expression
1 ackval1 45488 . 2 (Ack‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2))
2 oveq1 7162 . . . . 5 (𝑛 = 0 → (𝑛 + 2) = (0 + 2))
3 2cn 11754 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
43addid2i 10871 . . . . 5 (0 + 2) = 2
52, 4eqtrdi 2809 . . . 4 (𝑛 = 0 → (𝑛 + 2) = 2)
6 0nn0 11954 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
76a1i 11 . . . 4 ((Ack‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2)) → 0 ∈ ℕ0)
8 2nn0 11956 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
98a1i 11 . . . 4 ((Ack‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2)) → 2 ∈ ℕ0)
101, 5, 7, 9fvmptd3 6786 . . 3 ((Ack‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2)) → ((Ack‘1)‘0) = 2)
11 oveq1 7162 . . . . 5 (𝑛 = 1 → (𝑛 + 2) = (1 + 2))
12 1p2e3 11822 . . . . 5 (1 + 2) = 3
1311, 12eqtrdi 2809 . . . 4 (𝑛 = 1 → (𝑛 + 2) = 3)
14 1nn0 11955 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
1514a1i 11 . . . 4 ((Ack‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2)) → 1 ∈ ℕ0)
16 3nn0 11957 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
1716a1i 11 . . . 4 ((Ack‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2)) → 3 ∈ ℕ0)
181, 13, 15, 17fvmptd3 6786 . . 3 ((Ack‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2)) → ((Ack‘1)‘1) = 3)
19 oveq1 7162 . . . . 5 (𝑛 = 2 → (𝑛 + 2) = (2 + 2))
20 2p2e4 11814 . . . . 5 (2 + 2) = 4
2119, 20eqtrdi 2809 . . . 4 (𝑛 = 2 → (𝑛 + 2) = 4)
22 4nn0 11958 . . . . 5 4 ∈ ℕ0
2322a1i 11 . . . 4 ((Ack‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2)) → 4 ∈ ℕ0)
241, 21, 9, 23fvmptd3 6786 . . 3 ((Ack‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2)) → ((Ack‘1)‘2) = 4)
2510, 18, 24oteq123d 4781 . 2 ((Ack‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2)) → ⟨((Ack‘1)‘0), ((Ack‘1)‘1), ((Ack‘1)‘2)⟩ = ⟨2, 3, 4⟩)
261, 25ax-mp 5 1 ⟨((Ack‘1)‘0), ((Ack‘1)‘1), ((Ack‘1)‘2)⟩ = ⟨2, 3, 4⟩
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ⟨cotp 4533   ↦ cmpt 5115  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155  0cc0 10580  1c1 10581   + caddc 10583  2c2 11734  3c3 11735  4c4 11736  ℕ0cn0 11939  Ackcack 45465 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-inf2 9142  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-ot 4534  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-2nd 7699  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-er 8304  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-4 11744  df-n0 11940  df-z 12026  df-uz 12288  df-seq 13424  df-itco 45466  df-ack 45467 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator