Theorem ackval1012 47875

Description: The Ackermann function at (1,0), (1,1), (1,2). (Contributed by AV, 4-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackval1012	⊢ ⟨((Ack‘1)‘0), ((Ack‘1)‘1), ((Ack‘1)‘2)⟩ = ⟨2, 3, 4⟩

Proof of Theorem ackval1012

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ackval1 47866	. 2 ⊢ (Ack‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2))
2		oveq1 7423	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 2) = (0 + 2))
3		2cn 12317	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
4	3	addlidi 11432	. . . . 5 ⊢ (0 + 2) = 2
5	2, 4	eqtrdi 2781	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 2) = 2)
6		0nn0 12517	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2)) → 0 ∈ ℕ0)
8		2nn0 12519	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2)) → 2 ∈ ℕ0)
10	1, 5, 7, 9	fvmptd3 7023	. . 3 ⊢ ((Ack‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2)) → ((Ack‘1)‘0) = 2)
11		oveq1 7423	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 2) = (1 + 2))
12		1p2e3 12385	. . . . 5 ⊢ (1 + 2) = 3
13	11, 12	eqtrdi 2781	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 2) = 3)
14		1nn0 12518	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2)) → 1 ∈ ℕ0)
16		3nn0 12520	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2)) → 3 ∈ ℕ0)
18	1, 13, 15, 17	fvmptd3 7023	. . 3 ⊢ ((Ack‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2)) → ((Ack‘1)‘1) = 3)
19		oveq1 7423	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 2) = (2 + 2))
20		2p2e4 12377	. . . . 5 ⊢ (2 + 2) = 4
21	19, 20	eqtrdi 2781	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 2) = 4)
22		4nn0 12521	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
23	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2)) → 4 ∈ ℕ0)
24	1, 21, 9, 23	fvmptd3 7023	. . 3 ⊢ ((Ack‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2)) → ((Ack‘1)‘2) = 4)
25	10, 18, 24	oteq123d 4884	. 2 ⊢ ((Ack‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2)) → ⟨((Ack‘1)‘0), ((Ack‘1)‘1), ((Ack‘1)‘2)⟩ = ⟨2, 3, 4⟩)
26	1, 25	ax-mp 5	1 ⊢ ⟨((Ack‘1)‘0), ((Ack‘1)‘1), ((Ack‘1)‘2)⟩ = ⟨2, 3, 4⟩

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ⟨cotp 4632   ↦ cmpt 5226  ‘cfv 6543  (class class class)co 7416  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141  2c2 12297  3c3 12298  4c4 12299  ℕ₀cn0 12502  Ackcack 47843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-seq 13999  df-itco 47844  df-ack 47845

This theorem is referenced by: (None)