Theorem ackval1012 48852

Description: The Ackermann function at (1,0), (1,1), (1,2). (Contributed by AV, 4-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackval1012	⊢ ⟨((Ack‘1)‘0), ((Ack‘1)‘1), ((Ack‘1)‘2)⟩ = ⟨2, 3, 4⟩

Proof of Theorem ackval1012

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ackval1 48843	. 2 ⊢ (Ack‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2))
2		oveq1 7362	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 2) = (0 + 2))
3		2cn 12211	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
4	3	addlidi 11312	. . . . 5 ⊢ (0 + 2) = 2
5	2, 4	eqtrdi 2784	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 2) = 2)
6		0nn0 12407	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2)) → 0 ∈ ℕ0)
8		2nn0 12409	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2)) → 2 ∈ ℕ0)
10	1, 5, 7, 9	fvmptd3 6961	. . 3 ⊢ ((Ack‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2)) → ((Ack‘1)‘0) = 2)
11		oveq1 7362	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 2) = (1 + 2))
12		1p2e3 12274	. . . . 5 ⊢ (1 + 2) = 3
13	11, 12	eqtrdi 2784	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 2) = 3)
14		1nn0 12408	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2)) → 1 ∈ ℕ0)
16		3nn0 12410	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2)) → 3 ∈ ℕ0)
18	1, 13, 15, 17	fvmptd3 6961	. . 3 ⊢ ((Ack‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2)) → ((Ack‘1)‘1) = 3)
19		oveq1 7362	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 2) = (2 + 2))
20		2p2e4 12266	. . . . 5 ⊢ (2 + 2) = 4
21	19, 20	eqtrdi 2784	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 2) = 4)
22		4nn0 12411	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
23	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2)) → 4 ∈ ℕ0)
24	1, 21, 9, 23	fvmptd3 6961	. . 3 ⊢ ((Ack‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2)) → ((Ack‘1)‘2) = 4)
25	10, 18, 24	oteq123d 4841	. 2 ⊢ ((Ack‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2)) → ⟨((Ack‘1)‘0), ((Ack‘1)‘1), ((Ack‘1)‘2)⟩ = ⟨2, 3, 4⟩)
26	1, 25	ax-mp 5	1 ⊢ ⟨((Ack‘1)‘0), ((Ack‘1)‘1), ((Ack‘1)‘2)⟩ = ⟨2, 3, 4⟩

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ⟨cotp 4585   ↦ cmpt 5176  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  0cc0 11017  1c1 11018   + caddc 11020  2c2 12191  3c3 12192  4c4 12193  ℕ₀cn0 12392  Ackcack 48820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-inf2 9542  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-ot 4586  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-n0 12393  df-z 12480  df-uz 12743  df-seq 13916  df-itco 48821  df-ack 48822

This theorem is referenced by: (None)