Theorem ackval1012 49896

Description: The Ackermann function at (1,0), (1,1), (1,2). (Contributed by AV, 4-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackval1012	⊢ ⟨((Ack‘1)‘0), ((Ack‘1)‘1), ((Ack‘1)‘2)⟩ = ⟨2, 3, 4⟩

Proof of Theorem ackval1012

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ackval1 49887	. 2 ⊢ (Ack‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2))
2		oveq1 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 2) = (0 + 2))
3		2cn 12422	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
4	3	addlidi 11502	. . . . 5 ⊢ (0 + 2) = 2
5	2, 4	eqtrdi 2811	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 2) = 2)
6		0nn0 12625	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2)) → 0 ∈ ℕ0)
8		2nn0 12627	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2)) → 2 ∈ ℕ0)
10	1, 5, 7, 9	fvmptd3 7018	. . 3 ⊢ ((Ack‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2)) → ((Ack‘1)‘0) = 2)
11		oveq1 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 2) = (1 + 2))
12		1p2e3 12489	. . . . 5 ⊢ (1 + 2) = 3
13	11, 12	eqtrdi 2811	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 2) = 3)
14		1nn0 12626	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2)) → 1 ∈ ℕ0)
16		3nn0 12628	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2)) → 3 ∈ ℕ0)
18	1, 13, 15, 17	fvmptd3 7018	. . 3 ⊢ ((Ack‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2)) → ((Ack‘1)‘1) = 3)
19		oveq1 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 2) = (2 + 2))
20		2p2e4 12481	. . . . 5 ⊢ (2 + 2) = 4
21	19, 20	eqtrdi 2811	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 2) = 4)
22		4nn0 12629	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
23	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2)) → 4 ∈ ℕ0)
24	1, 21, 9, 23	fvmptd3 7018	. . 3 ⊢ ((Ack‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2)) → ((Ack‘1)‘2) = 4)
25	10, 18, 24	oteq123d 4865	. 2 ⊢ ((Ack‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 2)) → ⟨((Ack‘1)‘0), ((Ack‘1)‘1), ((Ack‘1)‘2)⟩ = ⟨2, 3, 4⟩)
26	1, 25	ax-mp 5	1 ⊢ ⟨((Ack‘1)‘0), ((Ack‘1)‘1), ((Ack‘1)‘2)⟩ = ⟨2, 3, 4⟩

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ⟨cotp 4857   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  0cc0 11204  1c1 11205   + caddc 11207  2c2 12401  3c3 12402  4c4 12403  ℕ₀cn0 12610  Ackcack 49864

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-inf2 9646  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-ot 4858  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-seq 14149  df-itco 49865  df-ack 49866

This theorem is used by: (None)