Proof of Theorem 2np3bcnp1
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | 2cnd 11737 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 2 ∈
ℂ) |
2 | | 2np3bcnp1.1 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈
ℕ0) |
3 | 2 | nn0cnd 11981 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ) |
4 | | 1cnd 10659 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 1 ∈
ℂ) |
5 | 1, 3, 4 | adddid 10688 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁 + 1)) = ((2 · 𝑁) + (2 ·
1))) |
6 | | 2t1e2 11822 |
. . . . . . . 8
⊢ (2
· 1) = 2 |
7 | 6 | oveq2i 7154 |
. . . . . . 7
⊢ ((2
· 𝑁) + (2 ·
1)) = ((2 · 𝑁) +
2) |
8 | 5, 7 | eqtrdi 2810 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁 + 1)) = ((2 · 𝑁) + 2)) |
9 | 8 | oveq1d 7158 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑁 + 1)) + 1) = (((2 ·
𝑁) + 2) +
1)) |
10 | 1, 3 | mulcld 10684 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈
ℂ) |
11 | 10, 1, 4 | addassd 10686 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 2) + 1) = ((2 · 𝑁) + (2 + 1))) |
12 | 9, 11 | eqtrd 2794 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑁 + 1)) + 1) = ((2 · 𝑁) + (2 + 1))) |
13 | | 2p1e3 11801 |
. . . . . 6
⊢ (2 + 1) =
3 |
14 | 13 | a1i 11 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (2 + 1) =
3) |
15 | 14 | oveq2d 7159 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + (2 + 1)) = ((2 ·
𝑁) + 3)) |
16 | 12, 15 | eqtrd 2794 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑁 + 1)) + 1) = ((2 · 𝑁) + 3)) |
17 | 16 | oveq1d 7158 |
. 2
⊢ (𝜑 → (((2 · (𝑁 + 1)) + 1)C(𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁) + 3)C(𝑁 + 1))) |
18 | | 0zd 12017 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 0 ∈
ℤ) |
19 | | 2z 12038 |
. . . . . . . 8
⊢ 2 ∈
ℤ |
20 | 19 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 2 ∈
ℤ) |
21 | 2 | nn0zd 12109 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ) |
22 | 20, 21 | zmulcld 12117 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈
ℤ) |
23 | | 3z 12039 |
. . . . . . 7
⊢ 3 ∈
ℤ |
24 | 23 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 3 ∈
ℤ) |
25 | 22, 24 | zaddcld 12115 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 3) ∈
ℤ) |
26 | 21 | peano2zd 12114 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ) |
27 | 2 | nn0red 11980 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ) |
28 | | 1red 10665 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 1 ∈
ℝ) |
29 | 2 | nn0ge0d 11982 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑁) |
30 | | 0le1 11186 |
. . . . . . 7
⊢ 0 ≤
1 |
31 | 30 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1) |
32 | 27, 28, 29, 31 | addge0d 11239 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑁 + 1)) |
33 | | 2re 11733 |
. . . . . . . 8
⊢ 2 ∈
ℝ |
34 | 33 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 2 ∈
ℝ) |
35 | 34, 27 | remulcld 10694 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈
ℝ) |
36 | | 3re 11739 |
. . . . . . 7
⊢ 3 ∈
ℝ |
37 | 36 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 3 ∈
ℝ) |
38 | | 1le2 11868 |
. . . . . . . 8
⊢ 1 ≤
2 |
39 | 38 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 1 ≤ 2) |
40 | 27, 34, 29, 39 | lemulge12d 11601 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ (2 · 𝑁)) |
41 | | 1le3 11871 |
. . . . . . 7
⊢ 1 ≤
3 |
42 | 41 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 1 ≤ 3) |
43 | 27, 28, 35, 37, 40, 42 | le2addd 11282 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ≤ ((2 · 𝑁) + 3)) |
44 | 18, 25, 26, 32, 43 | elfzd 12932 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (0...((2 · 𝑁) + 3))) |
45 | | bcval2 13700 |
. . . 4
⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (0...((2 ·
𝑁) + 3)) → (((2
· 𝑁) + 3)C(𝑁 + 1)) = ((!‘((2 ·
𝑁) + 3)) / ((!‘(((2
· 𝑁) + 3) −
(𝑁 + 1))) ·
(!‘(𝑁 +
1))))) |
46 | 44, 45 | syl 17 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 3)C(𝑁 + 1)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 3)) / ((!‘(((2
· 𝑁) + 3) −
(𝑁 + 1))) ·
(!‘(𝑁 +
1))))) |
47 | 37 | recnd 10692 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 3 ∈
ℂ) |
48 | 10, 47, 3, 4 | addsub4d 11067 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 3) − (𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁) − 𝑁) + (3 − 1))) |
49 | | 2txmxeqx 11799 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((2
· 𝑁) − 𝑁) = 𝑁) |
50 | 3, 49 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) − 𝑁) = 𝑁) |
51 | | 3m1e2 11787 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (3
− 1) = 2 |
52 | 51 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (3 − 1) =
2) |
53 | 50, 52 | oveq12d 7161 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) − 𝑁) + (3 − 1)) = (𝑁 + 2)) |
54 | 48, 53 | eqtrd 2794 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 3) − (𝑁 + 1)) = (𝑁 + 2)) |
55 | 54 | fveq2d 6655 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (!‘(((2 ·
𝑁) + 3) − (𝑁 + 1))) = (!‘(𝑁 + 2))) |
56 | 55 | oveq1d 7158 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((!‘(((2 ·
𝑁) + 3) − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1))) = ((!‘(𝑁 + 2)) · (!‘(𝑁 + 1)))) |
57 | 56 | oveq2d 7159 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((!‘((2 ·
𝑁) + 3)) / ((!‘(((2
· 𝑁) + 3) −
(𝑁 + 1))) ·
(!‘(𝑁 + 1)))) =
((!‘((2 · 𝑁) +
3)) / ((!‘(𝑁 + 2))
· (!‘(𝑁 +
1))))) |
58 | | 2nn0 11936 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 2 ∈
ℕ0 |
59 | 58 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 2 ∈
ℕ0) |
60 | 2, 59 | nn0addcld 11983 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑁 + 2) ∈
ℕ0) |
61 | 60 | faccld 13679 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (!‘(𝑁 + 2)) ∈
ℕ) |
62 | 61 | nncnd 11675 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (!‘(𝑁 + 2)) ∈
ℂ) |
63 | | 1nn0 11935 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 1 ∈
ℕ0 |
64 | 63 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 1 ∈
ℕ0) |
65 | 2, 64 | nn0addcld 11983 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈
ℕ0) |
66 | 65 | faccld 13679 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (!‘(𝑁 + 1)) ∈
ℕ) |
67 | 66 | nncnd 11675 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (!‘(𝑁 + 1)) ∈
ℂ) |
68 | 62, 67 | mulcomd 10685 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑁 + 2)) · (!‘(𝑁 + 1))) = ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘(𝑁 + 2)))) |
69 | 68 | oveq2d 7159 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((!‘((2 ·
𝑁) + 3)) / ((!‘(𝑁 + 2)) · (!‘(𝑁 + 1)))) = ((!‘((2
· 𝑁) + 3)) /
((!‘(𝑁 + 1)) ·
(!‘(𝑁 +
2))))) |
70 | 10, 4, 1 | addassd 10686 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) + 2) = ((2 · 𝑁) + (1 + 2))) |
71 | | 1p2e3 11802 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (1 + 2) =
3 |
72 | 71 | oveq2i 7154 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((2
· 𝑁) + (1 + 2)) =
((2 · 𝑁) +
3) |
73 | 70, 72 | eqtrdi 2810 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) + 2) = ((2 · 𝑁) + 3)) |
74 | 73 | fveq2d 6655 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (!‘(((2 ·
𝑁) + 1) + 2)) =
(!‘((2 · 𝑁) +
3))) |
75 | 74 | eqcomd 2765 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (!‘((2 ·
𝑁) + 3)) = (!‘(((2
· 𝑁) + 1) +
2))) |
76 | 59, 2 | nn0mulcld 11984 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈
ℕ0) |
77 | 76, 64 | nn0addcld 11983 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈
ℕ0) |
78 | | facp2 39629 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((2
· 𝑁) + 1) ∈
ℕ0 → (!‘(((2 · 𝑁) + 1) + 2)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · ((((2 ·
𝑁) + 1) + 1) · (((2
· 𝑁) + 1) +
2)))) |
79 | 77, 78 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (!‘(((2 ·
𝑁) + 1) + 2)) =
((!‘((2 · 𝑁) +
1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) + 2)))) |
80 | 75, 79 | eqtrd 2794 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (!‘((2 ·
𝑁) + 3)) = ((!‘((2
· 𝑁) + 1)) ·
((((2 · 𝑁) + 1) + 1)
· (((2 · 𝑁) +
1) + 2)))) |
81 | 10, 4, 4 | addassd 10686 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) + 1) = ((2 · 𝑁) + (1 + 1))) |
82 | | 1p1e2 11784 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (1 + 1) =
2 |
83 | 82 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (1 + 1) =
2) |
84 | 83 | oveq2d 7159 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + (1 + 1)) = ((2 ·
𝑁) + 2)) |
85 | 81, 84 | eqtrd 2794 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) + 1) = ((2 · 𝑁) + 2)) |
86 | 71 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (1 + 2) =
3) |
87 | 86 | oveq2d 7159 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + (1 + 2)) = ((2 ·
𝑁) + 3)) |
88 | 70, 87 | eqtrd 2794 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) + 2) = ((2 · 𝑁) + 3)) |
89 | 85, 88 | oveq12d 7161 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 1) + 1) · (((2
· 𝑁) + 1) + 2)) =
(((2 · 𝑁) + 2)
· ((2 · 𝑁) +
3))) |
90 | 89 | oveq2d 7159 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((!‘((2 ·
𝑁) + 1)) · ((((2
· 𝑁) + 1) + 1)
· (((2 · 𝑁) +
1) + 2))) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 ·
𝑁) + 3)))) |
91 | 80, 90 | eqtrd 2794 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (!‘((2 ·
𝑁) + 3)) = ((!‘((2
· 𝑁) + 1)) ·
(((2 · 𝑁) + 2)
· ((2 · 𝑁) +
3)))) |
92 | 91 | oveq1d 7158 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((!‘((2 ·
𝑁) + 3)) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘(𝑁 + 2)))) = (((!‘((2
· 𝑁) + 1)) ·
(((2 · 𝑁) + 2)
· ((2 · 𝑁) +
3))) / ((!‘(𝑁 + 1))
· (!‘(𝑁 +
2))))) |
93 | | facp2 39629 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (!‘(𝑁 + 2)) =
((!‘𝑁) ·
((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)))) |
94 | 2, 93 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (!‘(𝑁 + 2)) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)))) |
95 | 94 | oveq2d 7159 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘(𝑁 + 2))) = ((!‘(𝑁 + 1)) · ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))))) |
96 | 95 | oveq2d 7159 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (((!‘((2 ·
𝑁) + 1)) · (((2
· 𝑁) + 2) ·
((2 · 𝑁) + 3))) /
((!‘(𝑁 + 1)) ·
(!‘(𝑁 + 2)))) =
(((!‘((2 · 𝑁)
+ 1)) · (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3))) / ((!‘(𝑁 + 1)) · ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)))))) |
97 | 2 | faccld 13679 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ) |
98 | 97 | nncnd 11675 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℂ) |
99 | 3, 4 | addcld 10683 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ) |
100 | 3, 1 | addcld 10683 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝑁 + 2) ∈ ℂ) |
101 | 99, 100 | mulcld 10684 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)) ∈ ℂ) |
102 | 67, 98, 101 | mulassd 10687 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))) = ((!‘(𝑁 + 1)) · ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))))) |
103 | 102 | eqcomd 2765 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑁 + 1)) · ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)))) = (((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)))) |
104 | 103 | oveq2d 7159 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (((!‘((2 ·
𝑁) + 1)) · (((2
· 𝑁) + 2) ·
((2 · 𝑁) + 3))) /
((!‘(𝑁 + 1)) ·
((!‘𝑁) ·
((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))))) = (((!‘((2
· 𝑁) + 1)) ·
(((2 · 𝑁) + 2)
· ((2 · 𝑁) +
3))) / (((!‘(𝑁 + 1))
· (!‘𝑁))
· ((𝑁 + 1) ·
(𝑁 +
2))))) |
105 | 77 | faccld 13679 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (!‘((2 ·
𝑁) + 1)) ∈
ℕ) |
106 | 105 | nncnd 11675 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (!‘((2 ·
𝑁) + 1)) ∈
ℂ) |
107 | 67, 98 | mulcld 10684 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)) ∈
ℂ) |
108 | 10, 1 | addcld 10683 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 2) ∈
ℂ) |
109 | 10, 47 | addcld 10683 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 3) ∈
ℂ) |
110 | 108, 109 | mulcld 10684 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 ·
𝑁) + 3)) ∈
ℂ) |
111 | 66 | nnne0d 11709 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (!‘(𝑁 + 1)) ≠ 0) |
112 | 97 | nnne0d 11709 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ≠ 0) |
113 | 67, 98, 111, 112 | mulne0d 11315 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)) ≠ 0) |
114 | | 0red 10667 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 0 ∈
ℝ) |
115 | 27, 28 | readdcld 10693 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ) |
116 | 27 | ltp1d 11593 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → 𝑁 < (𝑁 + 1)) |
117 | 114, 27, 115, 29, 116 | lelttrd 10821 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 0 < (𝑁 + 1)) |
118 | 114, 117 | ltned 10799 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 0 ≠ (𝑁 + 1)) |
119 | 118 | necomd 3004 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ≠ 0) |
120 | 27, 34 | readdcld 10693 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝑁 + 2) ∈ ℝ) |
121 | | 2rp 12420 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ 2 ∈
ℝ+ |
122 | 121 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 2 ∈
ℝ+) |
123 | 27, 122 | ltaddrpd 12490 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → 𝑁 < (𝑁 + 2)) |
124 | 114, 27, 120, 29, 123 | lelttrd 10821 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 0 < (𝑁 + 2)) |
125 | 114, 124 | ltned 10799 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 0 ≠ (𝑁 + 2)) |
126 | 125 | necomd 3004 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝑁 + 2) ≠ 0) |
127 | 99, 100, 119, 126 | mulne0d 11315 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)) ≠ 0) |
128 | 106, 107,
110, 101, 113, 127 | divmuldivd 11480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (((!‘((2 ·
𝑁) + 1)) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁))) · ((((2 ·
𝑁) + 2) · ((2
· 𝑁) + 3)) / ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)))) = (((!‘((2
· 𝑁) + 1)) ·
(((2 · 𝑁) + 2)
· ((2 · 𝑁) +
3))) / (((!‘(𝑁 + 1))
· (!‘𝑁))
· ((𝑁 + 1) ·
(𝑁 +
2))))) |
129 | 128 | eqcomd 2765 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (((!‘((2 ·
𝑁) + 1)) · (((2
· 𝑁) + 2) ·
((2 · 𝑁) + 3))) /
(((!‘(𝑁 + 1))
· (!‘𝑁))
· ((𝑁 + 1) ·
(𝑁 + 2)))) = (((!‘((2
· 𝑁) + 1)) /
((!‘(𝑁 + 1)) ·
(!‘𝑁))) ·
((((2 · 𝑁) + 2)
· ((2 · 𝑁) +
3)) / ((𝑁 + 1) ·
(𝑁 +
2))))) |
130 | 22 | peano2zd 12114 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈
ℤ) |
131 | 35, 28 | readdcld 10693 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈
ℝ) |
132 | 35 | lep1d 11594 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ≤ ((2 · 𝑁) + 1)) |
133 | 27, 35, 131, 40, 132 | letrd 10820 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) + 1)) |
134 | 18, 130, 21, 29, 133 | elfzd 12932 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...((2 · 𝑁) + 1))) |
135 | | bcval2 13700 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑁 ∈ (0...((2 · 𝑁) + 1)) → (((2 ·
𝑁) + 1)C𝑁) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁)) · (!‘𝑁)))) |
136 | 134, 135 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁)) · (!‘𝑁)))) |
137 | 10, 4, 3 | addsubd 11041 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁) = (((2 · 𝑁) − 𝑁) + 1)) |
138 | 50 | oveq1d 7158 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) − 𝑁) + 1) = (𝑁 + 1)) |
139 | 137, 138 | eqtrd 2794 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁) = (𝑁 + 1)) |
140 | 139 | fveq2d 6655 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (!‘(((2 ·
𝑁) + 1) − 𝑁)) = (!‘(𝑁 + 1))) |
141 | 140 | oveq1d 7158 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((!‘(((2 ·
𝑁) + 1) − 𝑁)) · (!‘𝑁)) = ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁))) |
142 | 141 | oveq2d 7159 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((!‘((2 ·
𝑁) + 1)) / ((!‘(((2
· 𝑁) + 1) −
𝑁)) · (!‘𝑁))) = ((!‘((2 ·
𝑁) + 1)) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)))) |
143 | 136, 142 | eqtrd 2794 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)))) |
144 | 143 | eqcomd 2765 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((!‘((2 ·
𝑁) + 1)) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁))) = (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁)) |
145 | 108, 99, 109, 100, 119, 126 | divmuldivd 11480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 2) / (𝑁 + 1)) · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2))) = ((((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3)) / ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)))) |
146 | 145 | eqcomd 2765 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 2) · ((2 ·
𝑁) + 3)) / ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))) = ((((2 · 𝑁) + 2) / (𝑁 + 1)) · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2)))) |
147 | 8 | eqcomd 2765 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 2) = (2 · (𝑁 + 1))) |
148 | 147 | oveq1d 7158 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 2) / (𝑁 + 1)) = ((2 · (𝑁 + 1)) / (𝑁 + 1))) |
149 | 1, 99, 119 | divcan4d 11445 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑁 + 1)) / (𝑁 + 1)) = 2) |
150 | 148, 149 | eqtrd 2794 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 2) / (𝑁 + 1)) = 2) |
151 | | eqidd 2760 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2)) = (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2))) |
152 | 150, 151 | oveq12d 7161 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 2) / (𝑁 + 1)) · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2))) = (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2)))) |
153 | 146, 152 | eqtrd 2794 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 2) · ((2 ·
𝑁) + 3)) / ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))) = (2 · (((2
· 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2)))) |
154 | 144, 153 | oveq12d 7161 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (((!‘((2 ·
𝑁) + 1)) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁))) · ((((2 ·
𝑁) + 2) · ((2
· 𝑁) + 3)) / ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)))) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2))))) |
155 | 129, 154 | eqtrd 2794 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (((!‘((2 ·
𝑁) + 1)) · (((2
· 𝑁) + 2) ·
((2 · 𝑁) + 3))) /
(((!‘(𝑁 + 1))
· (!‘𝑁))
· ((𝑁 + 1) ·
(𝑁 + 2)))) = ((((2 ·
𝑁) + 1)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2))))) |
156 | 104, 155 | eqtrd 2794 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (((!‘((2 ·
𝑁) + 1)) · (((2
· 𝑁) + 2) ·
((2 · 𝑁) + 3))) /
((!‘(𝑁 + 1)) ·
((!‘𝑁) ·
((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))))) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2))))) |
157 | 96, 156 | eqtrd 2794 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (((!‘((2 ·
𝑁) + 1)) · (((2
· 𝑁) + 2) ·
((2 · 𝑁) + 3))) /
((!‘(𝑁 + 1)) ·
(!‘(𝑁 + 2)))) = ((((2
· 𝑁) + 1)C𝑁) · (2 · (((2
· 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2))))) |
158 | 92, 157 | eqtrd 2794 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((!‘((2 ·
𝑁) + 3)) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘(𝑁 + 2)))) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2))))) |
159 | 69, 158 | eqtrd 2794 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((!‘((2 ·
𝑁) + 3)) / ((!‘(𝑁 + 2)) · (!‘(𝑁 + 1)))) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2))))) |
160 | 57, 159 | eqtrd 2794 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((!‘((2 ·
𝑁) + 3)) / ((!‘(((2
· 𝑁) + 3) −
(𝑁 + 1))) ·
(!‘(𝑁 + 1)))) = ((((2
· 𝑁) + 1)C𝑁) · (2 · (((2
· 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2))))) |
161 | 46, 160 | eqtrd 2794 |
. 2
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 3)C(𝑁 + 1)) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2))))) |
162 | 17, 161 | eqtrd 2794 |
1
⊢ (𝜑 → (((2 · (𝑁 + 1)) + 1)C(𝑁 + 1)) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2))))) |