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Theorem 2np3bcnp1 40552
Description: Part of induction step for 2ap1caineq 40553. (Contributed by metakunt, 8-Jun-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
2np3bcnp1.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
2np3bcnp1 (𝜑 → (((2 · (𝑁 + 1)) + 1)C(𝑁 + 1)) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2)))))

Proof of Theorem 2np3bcnp1
StepHypRef Expression
1 2cnd 12231 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
2 2np3bcnp1.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
32nn0cnd 12475 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
4 1cnd 11150 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
51, 3, 4adddid 11179 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · (𝑁 + 1)) = ((2 · 𝑁) + (2 · 1)))
6 2t1e2 12316 . . . . . . . 8 (2 · 1) = 2
76oveq2i 7368 . . . . . . 7 ((2 · 𝑁) + (2 · 1)) = ((2 · 𝑁) + 2)
85, 7eqtrdi 2792 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · (𝑁 + 1)) = ((2 · 𝑁) + 2))
98oveq1d 7372 . . . . 5 (𝜑 → ((2 · (𝑁 + 1)) + 1) = (((2 · 𝑁) + 2) + 1))
101, 3mulcld 11175 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
1110, 1, 4addassd 11177 . . . . 5 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 2) + 1) = ((2 · 𝑁) + (2 + 1)))
129, 11eqtrd 2776 . . . 4 (𝜑 → ((2 · (𝑁 + 1)) + 1) = ((2 · 𝑁) + (2 + 1)))
13 2p1e3 12295 . . . . . 6 (2 + 1) = 3
1413a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (2 + 1) = 3)
1514oveq2d 7373 . . . 4 (𝜑 → ((2 · 𝑁) + (2 + 1)) = ((2 · 𝑁) + 3))
1612, 15eqtrd 2776 . . 3 (𝜑 → ((2 · (𝑁 + 1)) + 1) = ((2 · 𝑁) + 3))
1716oveq1d 7372 . 2 (𝜑 → (((2 · (𝑁 + 1)) + 1)C(𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁) + 3)C(𝑁 + 1)))
18 0zd 12511 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
19 2z 12535 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
2019a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
212nn0zd 12525 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
2220, 21zmulcld 12613 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
23 3z 12536 . . . . . . 7 3 ∈ ℤ
2423a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 3 ∈ ℤ)
2522, 24zaddcld 12611 . . . . 5 (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 3) ∈ ℤ)
2621peano2zd 12610 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
272nn0red 12474 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
28 1red 11156 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
292nn0ge0d 12476 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
30 0le1 11678 . . . . . . 7 0 ≤ 1
3130a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 1)
3227, 28, 29, 31addge0d 11731 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁 + 1))
33 2re 12227 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
3433a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
3534, 27remulcld 11185 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
36 3re 12233 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ
3736a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
38 1le2 12362 . . . . . . . 8 1 ≤ 2
3938a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ≤ 2)
4027, 34, 29, 39lemulge12d 12093 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ≤ (2 · 𝑁))
41 1le3 12365 . . . . . . 7 1 ≤ 3
4241a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ≤ 3)
4327, 28, 35, 37, 40, 42le2addd 11774 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 + 1) ≤ ((2 · 𝑁) + 3))
4418, 25, 26, 32, 43elfzd 13432 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (0...((2 · 𝑁) + 3)))
45 bcval2 14205 . . . 4 ((𝑁 + 1) ∈ (0...((2 · 𝑁) + 3)) → (((2 · 𝑁) + 3)C(𝑁 + 1)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 3)) / ((!‘(((2 · 𝑁) + 3) − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1)))))
4644, 45syl 17 . . 3 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 3)C(𝑁 + 1)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 3)) / ((!‘(((2 · 𝑁) + 3) − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1)))))
4737recnd 11183 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
4810, 47, 3, 4addsub4d 11559 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 3) − (𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁) − 𝑁) + (3 − 1)))
49 2txmxeqx 12293 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℂ → ((2 · 𝑁) − 𝑁) = 𝑁)
503, 49syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · 𝑁) − 𝑁) = 𝑁)
51 3m1e2 12281 . . . . . . . . . 10 (3 − 1) = 2
5251a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (3 − 1) = 2)
5350, 52oveq12d 7375 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 · 𝑁) − 𝑁) + (3 − 1)) = (𝑁 + 2))
5448, 53eqtrd 2776 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 3) − (𝑁 + 1)) = (𝑁 + 2))
5554fveq2d 6846 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘(((2 · 𝑁) + 3) − (𝑁 + 1))) = (!‘(𝑁 + 2)))
5655oveq1d 7372 . . . . 5 (𝜑 → ((!‘(((2 · 𝑁) + 3) − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1))) = ((!‘(𝑁 + 2)) · (!‘(𝑁 + 1))))
5756oveq2d 7373 . . . 4 (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 3)) / ((!‘(((2 · 𝑁) + 3) − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1)))) = ((!‘((2 · 𝑁) + 3)) / ((!‘(𝑁 + 2)) · (!‘(𝑁 + 1)))))
58 2nn0 12430 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ0
5958a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
602, 59nn0addcld 12477 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 + 2) ∈ ℕ0)
6160faccld 14184 . . . . . . . 8 (𝜑 → (!‘(𝑁 + 2)) ∈ ℕ)
6261nncnd 12169 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘(𝑁 + 2)) ∈ ℂ)
63 1nn0 12429 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ0
6463a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
652, 64nn0addcld 12477 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
6665faccld 14184 . . . . . . . 8 (𝜑 → (!‘(𝑁 + 1)) ∈ ℕ)
6766nncnd 12169 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
6862, 67mulcomd 11176 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘(𝑁 + 2)) · (!‘(𝑁 + 1))) = ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘(𝑁 + 2))))
6968oveq2d 7373 . . . . 5 (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 3)) / ((!‘(𝑁 + 2)) · (!‘(𝑁 + 1)))) = ((!‘((2 · 𝑁) + 3)) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘(𝑁 + 2)))))
7010, 4, 1addassd 11177 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) + 2) = ((2 · 𝑁) + (1 + 2)))
71 1p2e3 12296 . . . . . . . . . . . . 13 (1 + 2) = 3
7271oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 𝑁) + (1 + 2)) = ((2 · 𝑁) + 3)
7370, 72eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) + 2) = ((2 · 𝑁) + 3))
7473fveq2d 6846 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (!‘(((2 · 𝑁) + 1) + 2)) = (!‘((2 · 𝑁) + 3)))
7574eqcomd 2742 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (!‘((2 · 𝑁) + 3)) = (!‘(((2 · 𝑁) + 1) + 2)))
7659, 2nn0mulcld 12478 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
7776, 64nn0addcld 12477 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ0)
78 facp2 40551 . . . . . . . . . 10 (((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ0 → (!‘(((2 · 𝑁) + 1) + 2)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) + 2))))
7977, 78syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (!‘(((2 · 𝑁) + 1) + 2)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) + 2))))
8075, 79eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (𝜑 → (!‘((2 · 𝑁) + 3)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) + 2))))
8110, 4, 4addassd 11177 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) + 1) = ((2 · 𝑁) + (1 + 1)))
82 1p1e2 12278 . . . . . . . . . . . . 13 (1 + 1) = 2
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 + 1) = 2)
8483oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · 𝑁) + (1 + 1)) = ((2 · 𝑁) + 2))
8581, 84eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) + 1) = ((2 · 𝑁) + 2))
8671a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 + 2) = 3)
8786oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · 𝑁) + (1 + 2)) = ((2 · 𝑁) + 3))
8870, 87eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) + 2) = ((2 · 𝑁) + 3))
8985, 88oveq12d 7375 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 1) + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) + 2)) = (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3)))
9089oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) + 2))) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3))))
9180, 90eqtrd 2776 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘((2 · 𝑁) + 3)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3))))
9291oveq1d 7372 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 3)) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘(𝑁 + 2)))) = (((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3))) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘(𝑁 + 2)))))
93 facp2 40551 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 2)) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))))
942, 93syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (!‘(𝑁 + 2)) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))))
9594oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘(𝑁 + 2))) = ((!‘(𝑁 + 1)) · ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)))))
9695oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝜑 → (((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3))) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘(𝑁 + 2)))) = (((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3))) / ((!‘(𝑁 + 1)) · ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))))))
972faccld 14184 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
9897nncnd 12169 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
993, 4addcld 11174 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
1003, 1addcld 11174 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 + 2) ∈ ℂ)
10199, 100mulcld 11175 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)) ∈ ℂ)
10267, 98, 101mulassd 11178 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))) = ((!‘(𝑁 + 1)) · ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)))))
103102eqcomd 2742 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((!‘(𝑁 + 1)) · ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)))) = (((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))))
104103oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3))) / ((!‘(𝑁 + 1)) · ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))))) = (((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3))) / (((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)))))
10577faccld 14184 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (!‘((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℕ)
106105nncnd 12169 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (!‘((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℂ)
10767, 98mulcld 11175 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)) ∈ ℂ)
10810, 1addcld 11174 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 2) ∈ ℂ)
10910, 47addcld 11174 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 3) ∈ ℂ)
110108, 109mulcld 11175 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3)) ∈ ℂ)
11166nnne0d 12203 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (!‘(𝑁 + 1)) ≠ 0)
11297nnne0d 12203 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (!‘𝑁) ≠ 0)
11367, 98, 111, 112mulne0d 11807 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)) ≠ 0)
114 0red 11158 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
11527, 28readdcld 11184 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
11627ltp1d 12085 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 < (𝑁 + 1))
117114, 27, 115, 29, 116lelttrd 11313 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < (𝑁 + 1))
118114, 117ltned 11291 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ≠ (𝑁 + 1))
119118necomd 2999 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 + 1) ≠ 0)
12027, 34readdcld 11184 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁 + 2) ∈ ℝ)
121 2rp 12920 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ+
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
12327, 122ltaddrpd 12990 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 < (𝑁 + 2))
124114, 27, 120, 29, 123lelttrd 11313 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < (𝑁 + 2))
125114, 124ltned 11291 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ≠ (𝑁 + 2))
126125necomd 2999 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 + 2) ≠ 0)
12799, 100, 119, 126mulne0d 11807 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)) ≠ 0)
128106, 107, 110, 101, 113, 127divmuldivd 11972 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁))) · ((((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3)) / ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)))) = (((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3))) / (((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)))))
129128eqcomd 2742 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3))) / (((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)))) = (((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁))) · ((((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3)) / ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)))))
13022peano2zd 12610 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℤ)
13135, 28readdcld 11184 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
13235lep1d 12086 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2 · 𝑁) ≤ ((2 · 𝑁) + 1))
13327, 35, 131, 40, 132letrd 11312 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) + 1))
13418, 130, 21, 29, 133elfzd 13432 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ (0...((2 · 𝑁) + 1)))
135 bcval2 14205 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (0...((2 · 𝑁) + 1)) → (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁)) · (!‘𝑁))))
136134, 135syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁)) · (!‘𝑁))))
13710, 4, 3addsubd 11533 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁) = (((2 · 𝑁) − 𝑁) + 1))
13850oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((2 · 𝑁) − 𝑁) + 1) = (𝑁 + 1))
139137, 138eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁) = (𝑁 + 1))
140139fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (!‘(((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁)) = (!‘(𝑁 + 1)))
141140oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((!‘(((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁)) · (!‘𝑁)) = ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)))
142141oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁)) · (!‘𝑁))) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁))))
143136, 142eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁))))
144143eqcomd 2742 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁))) = (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁))
145108, 99, 109, 100, 119, 126divmuldivd 11972 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 2) / (𝑁 + 1)) · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2))) = ((((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3)) / ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))))
146145eqcomd 2742 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3)) / ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))) = ((((2 · 𝑁) + 2) / (𝑁 + 1)) · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2))))
1478eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 2) = (2 · (𝑁 + 1)))
148147oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 2) / (𝑁 + 1)) = ((2 · (𝑁 + 1)) / (𝑁 + 1)))
1491, 99, 119divcan4d 11937 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 · (𝑁 + 1)) / (𝑁 + 1)) = 2)
150148, 149eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 2) / (𝑁 + 1)) = 2)
151 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2)) = (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2)))
152150, 151oveq12d 7375 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 2) / (𝑁 + 1)) · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2))) = (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2))))
153146, 152eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3)) / ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))) = (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2))))
154144, 153oveq12d 7375 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁))) · ((((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3)) / ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)))) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2)))))
155129, 154eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3))) / (((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)))) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2)))))
156104, 155eqtrd 2776 . . . . . . 7 (𝜑 → (((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3))) / ((!‘(𝑁 + 1)) · ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))))) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2)))))
15796, 156eqtrd 2776 . . . . . 6 (𝜑 → (((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3))) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘(𝑁 + 2)))) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2)))))
15892, 157eqtrd 2776 . . . . 5 (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 3)) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘(𝑁 + 2)))) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2)))))
15969, 158eqtrd 2776 . . . 4 (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 3)) / ((!‘(𝑁 + 2)) · (!‘(𝑁 + 1)))) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2)))))
16057, 159eqtrd 2776 . . 3 (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 3)) / ((!‘(((2 · 𝑁) + 3) − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1)))) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2)))))
16146, 160eqtrd 2776 . 2 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 3)C(𝑁 + 1)) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2)))))
16217, 161eqtrd 2776 1 (𝜑 → (((2 · (𝑁 + 1)) + 1)C(𝑁 + 1)) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  2c2 12208  3c3 12209  0cn0 12413  cz 12499  +crp 12915  ...cfz 13424  !cfa 14173  Ccbc 14202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-seq 13907  df-fac 14174  df-bc 14203
This theorem is referenced by:  2ap1caineq  40553
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