Theorem 2np3bcnp1 40552

Description: Part of induction step for 2ap1caineq 40553. (Contributed by metakunt, 8-Jun-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
2np3bcnp1.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
2np3bcnp1	⊢ (𝜑 → (((2 · (𝑁 + 1)) + 1)C(𝑁 + 1)) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2)))))

Proof of Theorem 2np3bcnp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cnd 12231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
2		2np3bcnp1.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3	2	nn0cnd 12475	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
4		1cnd 11150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
5	1, 3, 4	adddid 11179	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁 + 1)) = ((2 · 𝑁) + (2 · 1)))
6		2t1e2 12316	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
7	6	oveq2i 7368	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 𝑁) + (2 · 1)) = ((2 · 𝑁) + 2)
8	5, 7	eqtrdi 2792	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁 + 1)) = ((2 · 𝑁) + 2))
9	8	oveq1d 7372	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑁 + 1)) + 1) = (((2 · 𝑁) + 2) + 1))
10	1, 3	mulcld 11175	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
11	10, 1, 4	addassd 11177	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 2) + 1) = ((2 · 𝑁) + (2 + 1)))
12	9, 11	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑁 + 1)) + 1) = ((2 · 𝑁) + (2 + 1)))
13		2p1e3 12295	. . . . . 6 ⊢ (2 + 1) = 3
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 + 1) = 3)
15	14	oveq2d 7373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + (2 + 1)) = ((2 · 𝑁) + 3))
16	12, 15	eqtrd 2776	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑁 + 1)) + 1) = ((2 · 𝑁) + 3))
17	16	oveq1d 7372	. 2 ⊢ (𝜑 → (((2 · (𝑁 + 1)) + 1)C(𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁) + 3)C(𝑁 + 1)))
18		0zd 12511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
19		2z 12535	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
20	19	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
21	2	nn0zd 12525	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
22	20, 21	zmulcld 12613	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
23		3z 12536	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℤ
24	23	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℤ)
25	22, 24	zaddcld 12611	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 3) ∈ ℤ)
26	21	peano2zd 12610	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
27	2	nn0red 12474	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
28		1red 11156	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
29	2	nn0ge0d 12476	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
30		0le1 11678	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 1
31	30	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1)
32	27, 28, 29, 31	addge0d 11731	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑁 + 1))
33		2re 12227	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
34	33	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
35	34, 27	remulcld 11185	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
36		3re 12233	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ
37	36	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
38		1le2 12362	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≤ 2
39	38	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 2)
40	27, 34, 29, 39	lemulge12d 12093	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ (2 · 𝑁))
41		1le3 12365	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≤ 3
42	41	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 3)
43	27, 28, 35, 37, 40, 42	le2addd 11774	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ≤ ((2 · 𝑁) + 3))
44	18, 25, 26, 32, 43	elfzd 13432	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (0...((2 · 𝑁) + 3)))
45		bcval2 14205	. . . 4 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (0...((2 · 𝑁) + 3)) → (((2 · 𝑁) + 3)C(𝑁 + 1)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 3)) / ((!‘(((2 · 𝑁) + 3) − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1)))))
46	44, 45	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 3)C(𝑁 + 1)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 3)) / ((!‘(((2 · 𝑁) + 3) − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1)))))
47	37	recnd 11183	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
48	10, 47, 3, 4	addsub4d 11559	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 3) − (𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁) − 𝑁) + (3 − 1)))
49		2txmxeqx 12293	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((2 · 𝑁) − 𝑁) = 𝑁)
50	3, 49	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) − 𝑁) = 𝑁)
51		3m1e2 12281	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 − 1) = 2
52	51	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (3 − 1) = 2)
53	50, 52	oveq12d 7375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) − 𝑁) + (3 − 1)) = (𝑁 + 2))
54	48, 53	eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 3) − (𝑁 + 1)) = (𝑁 + 2))
55	54	fveq2d 6846	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (!‘(((2 · 𝑁) + 3) − (𝑁 + 1))) = (!‘(𝑁 + 2)))
56	55	oveq1d 7372	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((!‘(((2 · 𝑁) + 3) − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1))) = ((!‘(𝑁 + 2)) · (!‘(𝑁 + 1))))
57	56	oveq2d 7373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 3)) / ((!‘(((2 · 𝑁) + 3) − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1)))) = ((!‘((2 · 𝑁) + 3)) / ((!‘(𝑁 + 2)) · (!‘(𝑁 + 1)))))
58		2nn0 12430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
60	2, 59	nn0addcld 12477	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 2) ∈ ℕ0)
61	60	faccld 14184	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑁 + 2)) ∈ ℕ)
62	61	nncnd 12169	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑁 + 2)) ∈ ℂ)
63		1nn0 12429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ0
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
65	2, 64	nn0addcld 12477	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
66	65	faccld 14184	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑁 + 1)) ∈ ℕ)
67	66	nncnd 12169	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
68	62, 67	mulcomd 11176	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑁 + 2)) · (!‘(𝑁 + 1))) = ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘(𝑁 + 2))))
69	68	oveq2d 7373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 3)) / ((!‘(𝑁 + 2)) · (!‘(𝑁 + 1)))) = ((!‘((2 · 𝑁) + 3)) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘(𝑁 + 2)))))
70	10, 4, 1	addassd 11177	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) + 2) = ((2 · 𝑁) + (1 + 2)))
71		1p2e3 12296	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 + 2) = 3
72	71	oveq2i 7368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · 𝑁) + (1 + 2)) = ((2 · 𝑁) + 3)
73	70, 72	eqtrdi 2792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) + 2) = ((2 · 𝑁) + 3))
74	73	fveq2d 6846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (!‘(((2 · 𝑁) + 1) + 2)) = (!‘((2 · 𝑁) + 3)))
75	74	eqcomd 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (!‘((2 · 𝑁) + 3)) = (!‘(((2 · 𝑁) + 1) + 2)))
76	59, 2	nn0mulcld 12478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
77	76, 64	nn0addcld 12477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ0)
78		facp2 40551	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ0 → (!‘(((2 · 𝑁) + 1) + 2)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) + 2))))
79	77, 78	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (!‘(((2 · 𝑁) + 1) + 2)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) + 2))))
80	75, 79	eqtrd 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (!‘((2 · 𝑁) + 3)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) + 2))))
81	10, 4, 4	addassd 11177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) + 1) = ((2 · 𝑁) + (1 + 1)))
82		1p1e2 12278	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 + 1) = 2
83	82	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1 + 1) = 2)
84	83	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + (1 + 1)) = ((2 · 𝑁) + 2))
85	81, 84	eqtrd 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) + 1) = ((2 · 𝑁) + 2))
86	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1 + 2) = 3)
87	86	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + (1 + 2)) = ((2 · 𝑁) + 3))
88	70, 87	eqtrd 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) + 2) = ((2 · 𝑁) + 3))
89	85, 88	oveq12d 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 1) + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) + 2)) = (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3)))
90	89	oveq2d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) + 2))) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3))))
91	80, 90	eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (!‘((2 · 𝑁) + 3)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3))))
92	91	oveq1d 7372	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 3)) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘(𝑁 + 2)))) = (((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3))) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘(𝑁 + 2)))))
93		facp2 40551	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 2)) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))))
94	2, 93	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑁 + 2)) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))))
95	94	oveq2d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘(𝑁 + 2))) = ((!‘(𝑁 + 1)) · ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)))))
96	95	oveq2d 7373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3))) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘(𝑁 + 2)))) = (((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3))) / ((!‘(𝑁 + 1)) · ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))))))
97	2	faccld 14184	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
98	97	nncnd 12169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
99	3, 4	addcld 11174	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
100	3, 1	addcld 11174	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 2) ∈ ℂ)
101	99, 100	mulcld 11175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)) ∈ ℂ)
102	67, 98, 101	mulassd 11178	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))) = ((!‘(𝑁 + 1)) · ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)))))
103	102	eqcomd 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑁 + 1)) · ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)))) = (((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))))
104	103	oveq2d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3))) / ((!‘(𝑁 + 1)) · ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))))) = (((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3))) / (((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)))))
105	77	faccld 14184	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (!‘((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℕ)
106	105	nncnd 12169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (!‘((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℂ)
107	67, 98	mulcld 11175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)) ∈ ℂ)
108	10, 1	addcld 11174	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 2) ∈ ℂ)
109	10, 47	addcld 11174	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 3) ∈ ℂ)
110	108, 109	mulcld 11175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3)) ∈ ℂ)
111	66	nnne0d 12203	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑁 + 1)) ≠ 0)
112	97	nnne0d 12203	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ≠ 0)
113	67, 98, 111, 112	mulne0d 11807	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)) ≠ 0)
114		0red 11158	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
115	27, 28	readdcld 11184	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
116	27	ltp1d 12085	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < (𝑁 + 1))
117	114, 27, 115, 29, 116	lelttrd 11313	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝑁 + 1))
118	114, 117	ltned 11291	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ (𝑁 + 1))
119	118	necomd 2999	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ≠ 0)
120	27, 34	readdcld 11184	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 2) ∈ ℝ)
121		2rp 12920	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℝ+
122	121	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
123	27, 122	ltaddrpd 12990	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < (𝑁 + 2))
124	114, 27, 120, 29, 123	lelttrd 11313	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝑁 + 2))
125	114, 124	ltned 11291	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ (𝑁 + 2))
126	125	necomd 2999	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 2) ≠ 0)
127	99, 100, 119, 126	mulne0d 11807	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)) ≠ 0)
128	106, 107, 110, 101, 113, 127	divmuldivd 11972	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁))) · ((((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3)) / ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)))) = (((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3))) / (((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)))))
129	128	eqcomd 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3))) / (((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)))) = (((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁))) · ((((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3)) / ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)))))
130	22	peano2zd 12610	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℤ)
131	35, 28	readdcld 11184	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
132	35	lep1d 12086	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ≤ ((2 · 𝑁) + 1))
133	27, 35, 131, 40, 132	letrd 11312	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) + 1))
134	18, 130, 21, 29, 133	elfzd 13432	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...((2 · 𝑁) + 1)))
135		bcval2 14205	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (0...((2 · 𝑁) + 1)) → (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁)) · (!‘𝑁))))
136	134, 135	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁)) · (!‘𝑁))))
137	10, 4, 3	addsubd 11533	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁) = (((2 · 𝑁) − 𝑁) + 1))
138	50	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) − 𝑁) + 1) = (𝑁 + 1))
139	137, 138	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁) = (𝑁 + 1))
140	139	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (!‘(((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁)) = (!‘(𝑁 + 1)))
141	140	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((!‘(((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁)) · (!‘𝑁)) = ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)))
142	141	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁)) · (!‘𝑁))) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁))))
143	136, 142	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁))))
144	143	eqcomd 2742	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁))) = (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁))
145	108, 99, 109, 100, 119, 126	divmuldivd 11972	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 2) / (𝑁 + 1)) · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2))) = ((((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3)) / ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))))
146	145	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3)) / ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))) = ((((2 · 𝑁) + 2) / (𝑁 + 1)) · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2))))
147	8	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 2) = (2 · (𝑁 + 1)))
148	147	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 2) / (𝑁 + 1)) = ((2 · (𝑁 + 1)) / (𝑁 + 1)))
149	1, 99, 119	divcan4d 11937	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑁 + 1)) / (𝑁 + 1)) = 2)
150	148, 149	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 2) / (𝑁 + 1)) = 2)
151		eqidd 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2)) = (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2)))
152	150, 151	oveq12d 7375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 2) / (𝑁 + 1)) · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2))) = (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2))))
153	146, 152	eqtrd 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3)) / ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))) = (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2))))
154	144, 153	oveq12d 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁))) · ((((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3)) / ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)))) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2)))))
155	129, 154	eqtrd 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3))) / (((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)))) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2)))))
156	104, 155	eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3))) / ((!‘(𝑁 + 1)) · ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))))) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2)))))
157	96, 156	eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3))) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘(𝑁 + 2)))) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2)))))
158	92, 157	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 3)) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘(𝑁 + 2)))) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2)))))
159	69, 158	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 3)) / ((!‘(𝑁 + 2)) · (!‘(𝑁 + 1)))) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2)))))
160	57, 159	eqtrd 2776	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 3)) / ((!‘(((2 · 𝑁) + 3) − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1)))) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2)))))
161	46, 160	eqtrd 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 3)C(𝑁 + 1)) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2)))))
162	17, 161	eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → (((2 · (𝑁 + 1)) + 1)C(𝑁 + 1)) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2)))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5105  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   ≤ cle 11190   − cmin 11385   / cdiv 11812  2c2 12208  3c3 12209  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12499  ℝ⁺crp 12915  ...cfz 13424  !cfa 14173  Ccbc 14202

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-seq 13907  df-fac 14174  df-bc 14203

This theorem is referenced by:  2ap1caineq  40553