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Theorem 2np3bcnp1 42125
Description: Part of induction step for 2ap1caineq 42126. (Contributed by metakunt, 8-Jun-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
2np3bcnp1.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
2np3bcnp1 (𝜑 → (((2 · (𝑁 + 1)) + 1)C(𝑁 + 1)) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2)))))

Proof of Theorem 2np3bcnp1
StepHypRef Expression
1 2cnd 12341 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
2 2np3bcnp1.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
32nn0cnd 12586 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
4 1cnd 11253 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
51, 3, 4adddid 11282 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · (𝑁 + 1)) = ((2 · 𝑁) + (2 · 1)))
6 2t1e2 12426 . . . . . . . 8 (2 · 1) = 2
76oveq2i 7441 . . . . . . 7 ((2 · 𝑁) + (2 · 1)) = ((2 · 𝑁) + 2)
85, 7eqtrdi 2790 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · (𝑁 + 1)) = ((2 · 𝑁) + 2))
98oveq1d 7445 . . . . 5 (𝜑 → ((2 · (𝑁 + 1)) + 1) = (((2 · 𝑁) + 2) + 1))
101, 3mulcld 11278 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
1110, 1, 4addassd 11280 . . . . 5 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 2) + 1) = ((2 · 𝑁) + (2 + 1)))
129, 11eqtrd 2774 . . . 4 (𝜑 → ((2 · (𝑁 + 1)) + 1) = ((2 · 𝑁) + (2 + 1)))
13 2p1e3 12405 . . . . . 6 (2 + 1) = 3
1413a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (2 + 1) = 3)
1514oveq2d 7446 . . . 4 (𝜑 → ((2 · 𝑁) + (2 + 1)) = ((2 · 𝑁) + 3))
1612, 15eqtrd 2774 . . 3 (𝜑 → ((2 · (𝑁 + 1)) + 1) = ((2 · 𝑁) + 3))
1716oveq1d 7445 . 2 (𝜑 → (((2 · (𝑁 + 1)) + 1)C(𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁) + 3)C(𝑁 + 1)))
18 0zd 12622 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
19 2z 12646 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
2019a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
212nn0zd 12636 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
2220, 21zmulcld 12725 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
23 3z 12647 . . . . . . 7 3 ∈ ℤ
2423a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 3 ∈ ℤ)
2522, 24zaddcld 12723 . . . . 5 (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 3) ∈ ℤ)
2621peano2zd 12722 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
272nn0red 12585 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
28 1red 11259 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
292nn0ge0d 12587 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
30 0le1 11783 . . . . . . 7 0 ≤ 1
3130a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 1)
3227, 28, 29, 31addge0d 11836 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁 + 1))
33 2re 12337 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
3433a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
3534, 27remulcld 11288 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
36 3re 12343 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ
3736a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
38 1le2 12472 . . . . . . . 8 1 ≤ 2
3938a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ≤ 2)
4027, 34, 29, 39lemulge12d 12203 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ≤ (2 · 𝑁))
41 1le3 12475 . . . . . . 7 1 ≤ 3
4241a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ≤ 3)
4327, 28, 35, 37, 40, 42le2addd 11879 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 + 1) ≤ ((2 · 𝑁) + 3))
4418, 25, 26, 32, 43elfzd 13551 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (0...((2 · 𝑁) + 3)))
45 bcval2 14340 . . . 4 ((𝑁 + 1) ∈ (0...((2 · 𝑁) + 3)) → (((2 · 𝑁) + 3)C(𝑁 + 1)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 3)) / ((!‘(((2 · 𝑁) + 3) − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1)))))
4644, 45syl 17 . . 3 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 3)C(𝑁 + 1)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 3)) / ((!‘(((2 · 𝑁) + 3) − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1)))))
4737recnd 11286 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
4810, 47, 3, 4addsub4d 11664 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 3) − (𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁) − 𝑁) + (3 − 1)))
49 2txmxeqx 12403 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℂ → ((2 · 𝑁) − 𝑁) = 𝑁)
503, 49syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · 𝑁) − 𝑁) = 𝑁)
51 3m1e2 12391 . . . . . . . . . 10 (3 − 1) = 2
5251a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (3 − 1) = 2)
5350, 52oveq12d 7448 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 · 𝑁) − 𝑁) + (3 − 1)) = (𝑁 + 2))
5448, 53eqtrd 2774 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 3) − (𝑁 + 1)) = (𝑁 + 2))
5554fveq2d 6910 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘(((2 · 𝑁) + 3) − (𝑁 + 1))) = (!‘(𝑁 + 2)))
5655oveq1d 7445 . . . . 5 (𝜑 → ((!‘(((2 · 𝑁) + 3) − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1))) = ((!‘(𝑁 + 2)) · (!‘(𝑁 + 1))))
5756oveq2d 7446 . . . 4 (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 3)) / ((!‘(((2 · 𝑁) + 3) − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1)))) = ((!‘((2 · 𝑁) + 3)) / ((!‘(𝑁 + 2)) · (!‘(𝑁 + 1)))))
58 2nn0 12540 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ0
5958a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
602, 59nn0addcld 12588 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 + 2) ∈ ℕ0)
6160faccld 14319 . . . . . . . 8 (𝜑 → (!‘(𝑁 + 2)) ∈ ℕ)
6261nncnd 12279 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘(𝑁 + 2)) ∈ ℂ)
63 1nn0 12539 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ0
6463a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
652, 64nn0addcld 12588 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
6665faccld 14319 . . . . . . . 8 (𝜑 → (!‘(𝑁 + 1)) ∈ ℕ)
6766nncnd 12279 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
6862, 67mulcomd 11279 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘(𝑁 + 2)) · (!‘(𝑁 + 1))) = ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘(𝑁 + 2))))
6968oveq2d 7446 . . . . 5 (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 3)) / ((!‘(𝑁 + 2)) · (!‘(𝑁 + 1)))) = ((!‘((2 · 𝑁) + 3)) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘(𝑁 + 2)))))
7010, 4, 1addassd 11280 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) + 2) = ((2 · 𝑁) + (1 + 2)))
71 1p2e3 12406 . . . . . . . . . . . . 13 (1 + 2) = 3
7271oveq2i 7441 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 𝑁) + (1 + 2)) = ((2 · 𝑁) + 3)
7370, 72eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) + 2) = ((2 · 𝑁) + 3))
7473fveq2d 6910 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (!‘(((2 · 𝑁) + 1) + 2)) = (!‘((2 · 𝑁) + 3)))
7574eqcomd 2740 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (!‘((2 · 𝑁) + 3)) = (!‘(((2 · 𝑁) + 1) + 2)))
7659, 2nn0mulcld 12589 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
7776, 64nn0addcld 12588 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ0)
78 facp2 42124 . . . . . . . . . 10 (((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ0 → (!‘(((2 · 𝑁) + 1) + 2)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) + 2))))
7977, 78syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (!‘(((2 · 𝑁) + 1) + 2)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) + 2))))
8075, 79eqtrd 2774 . . . . . . . 8 (𝜑 → (!‘((2 · 𝑁) + 3)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) + 2))))
8110, 4, 4addassd 11280 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) + 1) = ((2 · 𝑁) + (1 + 1)))
82 1p1e2 12388 . . . . . . . . . . . . 13 (1 + 1) = 2
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 + 1) = 2)
8483oveq2d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · 𝑁) + (1 + 1)) = ((2 · 𝑁) + 2))
8581, 84eqtrd 2774 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) + 1) = ((2 · 𝑁) + 2))
8671a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 + 2) = 3)
8786oveq2d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · 𝑁) + (1 + 2)) = ((2 · 𝑁) + 3))
8870, 87eqtrd 2774 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) + 2) = ((2 · 𝑁) + 3))
8985, 88oveq12d 7448 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 1) + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) + 2)) = (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3)))
9089oveq2d 7446 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) + 2))) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3))))
9180, 90eqtrd 2774 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘((2 · 𝑁) + 3)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3))))
9291oveq1d 7445 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 3)) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘(𝑁 + 2)))) = (((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3))) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘(𝑁 + 2)))))
93 facp2 42124 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 2)) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))))
942, 93syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (!‘(𝑁 + 2)) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))))
9594oveq2d 7446 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘(𝑁 + 2))) = ((!‘(𝑁 + 1)) · ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)))))
9695oveq2d 7446 . . . . . . 7 (𝜑 → (((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3))) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘(𝑁 + 2)))) = (((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3))) / ((!‘(𝑁 + 1)) · ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))))))
972faccld 14319 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
9897nncnd 12279 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
993, 4addcld 11277 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
1003, 1addcld 11277 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 + 2) ∈ ℂ)
10199, 100mulcld 11278 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)) ∈ ℂ)
10267, 98, 101mulassd 11281 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))) = ((!‘(𝑁 + 1)) · ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)))))
103102eqcomd 2740 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((!‘(𝑁 + 1)) · ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)))) = (((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))))
104103oveq2d 7446 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3))) / ((!‘(𝑁 + 1)) · ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))))) = (((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3))) / (((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)))))
10577faccld 14319 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (!‘((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℕ)
106105nncnd 12279 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (!‘((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℂ)
10767, 98mulcld 11278 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)) ∈ ℂ)
10810, 1addcld 11277 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 2) ∈ ℂ)
10910, 47addcld 11277 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 3) ∈ ℂ)
110108, 109mulcld 11278 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3)) ∈ ℂ)
11166nnne0d 12313 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (!‘(𝑁 + 1)) ≠ 0)
11297nnne0d 12313 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (!‘𝑁) ≠ 0)
11367, 98, 111, 112mulne0d 11912 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)) ≠ 0)
114 0red 11261 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
11527, 28readdcld 11287 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
11627ltp1d 12195 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 < (𝑁 + 1))
117114, 27, 115, 29, 116lelttrd 11416 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < (𝑁 + 1))
118114, 117ltned 11394 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ≠ (𝑁 + 1))
119118necomd 2993 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 + 1) ≠ 0)
12027, 34readdcld 11287 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁 + 2) ∈ ℝ)
121 2rp 13036 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ+
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
12327, 122ltaddrpd 13107 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 < (𝑁 + 2))
124114, 27, 120, 29, 123lelttrd 11416 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < (𝑁 + 2))
125114, 124ltned 11394 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ≠ (𝑁 + 2))
126125necomd 2993 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 + 2) ≠ 0)
12799, 100, 119, 126mulne0d 11912 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)) ≠ 0)
128106, 107, 110, 101, 113, 127divmuldivd 12081 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁))) · ((((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3)) / ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)))) = (((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3))) / (((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)))))
129128eqcomd 2740 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3))) / (((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)))) = (((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁))) · ((((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3)) / ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)))))
13022peano2zd 12722 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℤ)
13135, 28readdcld 11287 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
13235lep1d 12196 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2 · 𝑁) ≤ ((2 · 𝑁) + 1))
13327, 35, 131, 40, 132letrd 11415 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) + 1))
13418, 130, 21, 29, 133elfzd 13551 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ (0...((2 · 𝑁) + 1)))
135 bcval2 14340 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (0...((2 · 𝑁) + 1)) → (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁)) · (!‘𝑁))))
136134, 135syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁)) · (!‘𝑁))))
13710, 4, 3addsubd 11638 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁) = (((2 · 𝑁) − 𝑁) + 1))
13850oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((2 · 𝑁) − 𝑁) + 1) = (𝑁 + 1))
139137, 138eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁) = (𝑁 + 1))
140139fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (!‘(((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁)) = (!‘(𝑁 + 1)))
141140oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((!‘(((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁)) · (!‘𝑁)) = ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)))
142141oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁)) · (!‘𝑁))) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁))))
143136, 142eqtrd 2774 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁))))
144143eqcomd 2740 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁))) = (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁))
145108, 99, 109, 100, 119, 126divmuldivd 12081 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 2) / (𝑁 + 1)) · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2))) = ((((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3)) / ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))))
146145eqcomd 2740 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3)) / ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))) = ((((2 · 𝑁) + 2) / (𝑁 + 1)) · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2))))
1478eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 2) = (2 · (𝑁 + 1)))
148147oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 2) / (𝑁 + 1)) = ((2 · (𝑁 + 1)) / (𝑁 + 1)))
1491, 99, 119divcan4d 12046 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 · (𝑁 + 1)) / (𝑁 + 1)) = 2)
150148, 149eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 2) / (𝑁 + 1)) = 2)
151 eqidd 2735 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2)) = (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2)))
152150, 151oveq12d 7448 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 2) / (𝑁 + 1)) · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2))) = (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2))))
153146, 152eqtrd 2774 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3)) / ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))) = (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2))))
154144, 153oveq12d 7448 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁))) · ((((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3)) / ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)))) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2)))))
155129, 154eqtrd 2774 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3))) / (((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)))) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2)))))
156104, 155eqtrd 2774 . . . . . . 7 (𝜑 → (((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3))) / ((!‘(𝑁 + 1)) · ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))))) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2)))))
15796, 156eqtrd 2774 . . . . . 6 (𝜑 → (((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3))) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘(𝑁 + 2)))) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2)))))
15892, 157eqtrd 2774 . . . . 5 (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 3)) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘(𝑁 + 2)))) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2)))))
15969, 158eqtrd 2774 . . . 4 (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 3)) / ((!‘(𝑁 + 2)) · (!‘(𝑁 + 1)))) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2)))))
16057, 159eqtrd 2774 . . 3 (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 3)) / ((!‘(((2 · 𝑁) + 3) − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1)))) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2)))))
16146, 160eqtrd 2774 . 2 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 3)C(𝑁 + 1)) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2)))))
16217, 161eqtrd 2774 1 (𝜑 → (((2 · (𝑁 + 1)) + 1)C(𝑁 + 1)) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1536  wcel 2105   class class class wbr 5147  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  cle 11293  cmin 11489   / cdiv 11917  2c2 12318  3c3 12319  0cn0 12523  cz 12610  +crp 13031  ...cfz 13543  !cfa 14308  Ccbc 14337
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-seq 14039  df-fac 14309  df-bc 14338
This theorem is referenced by:  2ap1caineq  42126
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