Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2np3bcnp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2np3bcnp1 40948
Description: Part of induction step for 2ap1caineq 40949. (Contributed by metakunt, 8-Jun-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
2np3bcnp1.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
Assertion
Ref Expression
2np3bcnp1 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท (๐‘ + 1)) + 1)C(๐‘ + 1)) = ((((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘) ยท (2 ยท (((2 ยท ๐‘) + 3) / (๐‘ + 2)))))

Proof of Theorem 2np3bcnp1
StepHypRef Expression
1 2cnd 12286 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
2 2np3bcnp1.1 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
32nn0cnd 12530 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
4 1cnd 11205 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
51, 3, 4adddid 11234 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐‘ + 1)) = ((2 ยท ๐‘) + (2 ยท 1)))
6 2t1e2 12371 . . . . . . . 8 (2 ยท 1) = 2
76oveq2i 7416 . . . . . . 7 ((2 ยท ๐‘) + (2 ยท 1)) = ((2 ยท ๐‘) + 2)
85, 7eqtrdi 2788 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐‘ + 1)) = ((2 ยท ๐‘) + 2))
98oveq1d 7420 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท (๐‘ + 1)) + 1) = (((2 ยท ๐‘) + 2) + 1))
101, 3mulcld 11230 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
1110, 1, 4addassd 11232 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 2) + 1) = ((2 ยท ๐‘) + (2 + 1)))
129, 11eqtrd 2772 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท (๐‘ + 1)) + 1) = ((2 ยท ๐‘) + (2 + 1)))
13 2p1e3 12350 . . . . . 6 (2 + 1) = 3
1413a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (2 + 1) = 3)
1514oveq2d 7421 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘) + (2 + 1)) = ((2 ยท ๐‘) + 3))
1612, 15eqtrd 2772 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท (๐‘ + 1)) + 1) = ((2 ยท ๐‘) + 3))
1716oveq1d 7420 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท (๐‘ + 1)) + 1)C(๐‘ + 1)) = (((2 ยท ๐‘) + 3)C(๐‘ + 1)))
18 0zd 12566 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
19 2z 12590 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„ค
2019a1i 11 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
212nn0zd 12580 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
2220, 21zmulcld 12668 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค)
23 3z 12591 . . . . . . 7 3 โˆˆ โ„ค
2423a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 3 โˆˆ โ„ค)
2522, 24zaddcld 12666 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 3) โˆˆ โ„ค)
2621peano2zd 12665 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„ค)
272nn0red 12529 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
28 1red 11211 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
292nn0ge0d 12531 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐‘)
30 0le1 11733 . . . . . . 7 0 โ‰ค 1
3130a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค 1)
3227, 28, 29, 31addge0d 11786 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐‘ + 1))
33 2re 12282 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„
3433a1i 11 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„)
3534, 27remulcld 11240 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
36 3re 12288 . . . . . . 7 3 โˆˆ โ„
3736a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 3 โˆˆ โ„)
38 1le2 12417 . . . . . . . 8 1 โ‰ค 2
3938a1i 11 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค 2)
4027, 34, 29, 39lemulge12d 12148 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โ‰ค (2 ยท ๐‘))
41 1le3 12420 . . . . . . 7 1 โ‰ค 3
4241a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค 3)
4327, 28, 35, 37, 40, 42le2addd 11829 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โ‰ค ((2 ยท ๐‘) + 3))
4418, 25, 26, 32, 43elfzd 13488 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ (0...((2 ยท ๐‘) + 3)))
45 bcval2 14261 . . . 4 ((๐‘ + 1) โˆˆ (0...((2 ยท ๐‘) + 3)) โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 3)C(๐‘ + 1)) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 3)) / ((!โ€˜(((2 ยท ๐‘) + 3) โˆ’ (๐‘ + 1))) ยท (!โ€˜(๐‘ + 1)))))
4644, 45syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 3)C(๐‘ + 1)) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 3)) / ((!โ€˜(((2 ยท ๐‘) + 3) โˆ’ (๐‘ + 1))) ยท (!โ€˜(๐‘ + 1)))))
4737recnd 11238 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 3 โˆˆ โ„‚)
4810, 47, 3, 4addsub4d 11614 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 3) โˆ’ (๐‘ + 1)) = (((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐‘) + (3 โˆ’ 1)))
49 2txmxeqx 12348 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐‘) = ๐‘)
503, 49syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐‘) = ๐‘)
51 3m1e2 12336 . . . . . . . . . 10 (3 โˆ’ 1) = 2
5251a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (3 โˆ’ 1) = 2)
5350, 52oveq12d 7423 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐‘) + (3 โˆ’ 1)) = (๐‘ + 2))
5448, 53eqtrd 2772 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 3) โˆ’ (๐‘ + 1)) = (๐‘ + 2))
5554fveq2d 6892 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜(((2 ยท ๐‘) + 3) โˆ’ (๐‘ + 1))) = (!โ€˜(๐‘ + 2)))
5655oveq1d 7420 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜(((2 ยท ๐‘) + 3) โˆ’ (๐‘ + 1))) ยท (!โ€˜(๐‘ + 1))) = ((!โ€˜(๐‘ + 2)) ยท (!โ€˜(๐‘ + 1))))
5756oveq2d 7421 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 3)) / ((!โ€˜(((2 ยท ๐‘) + 3) โˆ’ (๐‘ + 1))) ยท (!โ€˜(๐‘ + 1)))) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 3)) / ((!โ€˜(๐‘ + 2)) ยท (!โ€˜(๐‘ + 1)))))
58 2nn0 12485 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„•0
5958a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„•0)
602, 59nn0addcld 12532 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 2) โˆˆ โ„•0)
6160faccld 14240 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜(๐‘ + 2)) โˆˆ โ„•)
6261nncnd 12224 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜(๐‘ + 2)) โˆˆ โ„‚)
63 1nn0 12484 . . . . . . . . . . 11 1 โˆˆ โ„•0
6463a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„•0)
652, 64nn0addcld 12532 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„•0)
6665faccld 14240 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜(๐‘ + 1)) โˆˆ โ„•)
6766nncnd 12224 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜(๐‘ + 1)) โˆˆ โ„‚)
6862, 67mulcomd 11231 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜(๐‘ + 2)) ยท (!โ€˜(๐‘ + 1))) = ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜(๐‘ + 2))))
6968oveq2d 7421 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 3)) / ((!โ€˜(๐‘ + 2)) ยท (!โ€˜(๐‘ + 1)))) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 3)) / ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜(๐‘ + 2)))))
7010, 4, 1addassd 11232 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) + 2) = ((2 ยท ๐‘) + (1 + 2)))
71 1p2e3 12351 . . . . . . . . . . . . 13 (1 + 2) = 3
7271oveq2i 7416 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ยท ๐‘) + (1 + 2)) = ((2 ยท ๐‘) + 3)
7370, 72eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) + 2) = ((2 ยท ๐‘) + 3))
7473fveq2d 6892 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜(((2 ยท ๐‘) + 1) + 2)) = (!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 3)))
7574eqcomd 2738 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 3)) = (!โ€˜(((2 ยท ๐‘) + 1) + 2)))
7659, 2nn0mulcld 12533 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0)
7776, 64nn0addcld 12532 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„•0)
78 facp2 40947 . . . . . . . . . 10 (((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(((2 ยท ๐‘) + 1) + 2)) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท ((((2 ยท ๐‘) + 1) + 1) ยท (((2 ยท ๐‘) + 1) + 2))))
7977, 78syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜(((2 ยท ๐‘) + 1) + 2)) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท ((((2 ยท ๐‘) + 1) + 1) ยท (((2 ยท ๐‘) + 1) + 2))))
8075, 79eqtrd 2772 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 3)) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท ((((2 ยท ๐‘) + 1) + 1) ยท (((2 ยท ๐‘) + 1) + 2))))
8110, 4, 4addassd 11232 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) + 1) = ((2 ยท ๐‘) + (1 + 1)))
82 1p1e2 12333 . . . . . . . . . . . . 13 (1 + 1) = 2
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (1 + 1) = 2)
8483oveq2d 7421 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘) + (1 + 1)) = ((2 ยท ๐‘) + 2))
8581, 84eqtrd 2772 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) + 1) = ((2 ยท ๐‘) + 2))
8671a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (1 + 2) = 3)
8786oveq2d 7421 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘) + (1 + 2)) = ((2 ยท ๐‘) + 3))
8870, 87eqtrd 2772 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) + 2) = ((2 ยท ๐‘) + 3))
8985, 88oveq12d 7423 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘) + 1) + 1) ยท (((2 ยท ๐‘) + 1) + 2)) = (((2 ยท ๐‘) + 2) ยท ((2 ยท ๐‘) + 3)))
9089oveq2d 7421 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท ((((2 ยท ๐‘) + 1) + 1) ยท (((2 ยท ๐‘) + 1) + 2))) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (((2 ยท ๐‘) + 2) ยท ((2 ยท ๐‘) + 3))))
9180, 90eqtrd 2772 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 3)) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (((2 ยท ๐‘) + 2) ยท ((2 ยท ๐‘) + 3))))
9291oveq1d 7420 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 3)) / ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜(๐‘ + 2)))) = (((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (((2 ยท ๐‘) + 2) ยท ((2 ยท ๐‘) + 3))) / ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜(๐‘ + 2)))))
93 facp2 40947 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐‘ + 2)) = ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2))))
942, 93syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜(๐‘ + 2)) = ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2))))
9594oveq2d 7421 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜(๐‘ + 2))) = ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2)))))
9695oveq2d 7421 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (((2 ยท ๐‘) + 2) ยท ((2 ยท ๐‘) + 3))) / ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜(๐‘ + 2)))) = (((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (((2 ยท ๐‘) + 2) ยท ((2 ยท ๐‘) + 3))) / ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2))))))
972faccld 14240 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
9897nncnd 12224 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
993, 4addcld 11229 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„‚)
1003, 1addcld 11229 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 2) โˆˆ โ„‚)
10199, 100mulcld 11230 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2)) โˆˆ โ„‚)
10267, 98, 101mulassd 11233 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜๐‘)) ยท ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2))) = ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2)))))
103102eqcomd 2738 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2)))) = (((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜๐‘)) ยท ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2))))
104103oveq2d 7421 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (((2 ยท ๐‘) + 2) ยท ((2 ยท ๐‘) + 3))) / ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2))))) = (((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (((2 ยท ๐‘) + 2) ยท ((2 ยท ๐‘) + 3))) / (((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜๐‘)) ยท ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2)))))
10577faccld 14240 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆˆ โ„•)
106105nncnd 12224 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆˆ โ„‚)
10767, 98mulcld 11230 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„‚)
10810, 1addcld 11229 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 2) โˆˆ โ„‚)
10910, 47addcld 11229 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 3) โˆˆ โ„‚)
110108, 109mulcld 11230 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 2) ยท ((2 ยท ๐‘) + 3)) โˆˆ โ„‚)
11166nnne0d 12258 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜(๐‘ + 1)) โ‰  0)
11297nnne0d 12258 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜๐‘) โ‰  0)
11367, 98, 111, 112mulne0d 11862 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜๐‘)) โ‰  0)
114 0red 11213 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
11527, 28readdcld 11239 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„)
11627ltp1d 12140 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ < (๐‘ + 1))
117114, 27, 115, 29, 116lelttrd 11368 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 0 < (๐‘ + 1))
118114, 117ltned 11346 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰  (๐‘ + 1))
119118necomd 2996 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โ‰  0)
12027, 34readdcld 11239 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 2) โˆˆ โ„)
121 2rp 12975 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 โˆˆ โ„+
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
12327, 122ltaddrpd 13045 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ < (๐‘ + 2))
124114, 27, 120, 29, 123lelttrd 11368 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 0 < (๐‘ + 2))
125114, 124ltned 11346 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰  (๐‘ + 2))
126125necomd 2996 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 2) โ‰  0)
12799, 100, 119, 126mulne0d 11862 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2)) โ‰  0)
128106, 107, 110, 101, 113, 127divmuldivd 12027 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) / ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜๐‘))) ยท ((((2 ยท ๐‘) + 2) ยท ((2 ยท ๐‘) + 3)) / ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2)))) = (((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (((2 ยท ๐‘) + 2) ยท ((2 ยท ๐‘) + 3))) / (((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜๐‘)) ยท ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2)))))
129128eqcomd 2738 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (((2 ยท ๐‘) + 2) ยท ((2 ยท ๐‘) + 3))) / (((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜๐‘)) ยท ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2)))) = (((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) / ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜๐‘))) ยท ((((2 ยท ๐‘) + 2) ยท ((2 ยท ๐‘) + 3)) / ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2)))))
13022peano2zd 12665 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„ค)
13135, 28readdcld 11239 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„)
13235lep1d 12141 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘) โ‰ค ((2 ยท ๐‘) + 1))
13327, 35, 131, 40, 132letrd 11367 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โ‰ค ((2 ยท ๐‘) + 1))
13418, 130, 21, 29, 133elfzd 13488 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (0...((2 ยท ๐‘) + 1)))
135 bcval2 14261 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ (0...((2 ยท ๐‘) + 1)) โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) / ((!โ€˜(((2 ยท ๐‘) + 1) โˆ’ ๐‘)) ยท (!โ€˜๐‘))))
136134, 135syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) / ((!โ€˜(((2 ยท ๐‘) + 1) โˆ’ ๐‘)) ยท (!โ€˜๐‘))))
13710, 4, 3addsubd 11588 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) โˆ’ ๐‘) = (((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐‘) + 1))
13850oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐‘) + 1) = (๐‘ + 1))
139137, 138eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) โˆ’ ๐‘) = (๐‘ + 1))
140139fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜(((2 ยท ๐‘) + 1) โˆ’ ๐‘)) = (!โ€˜(๐‘ + 1)))
141140oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜(((2 ยท ๐‘) + 1) โˆ’ ๐‘)) ยท (!โ€˜๐‘)) = ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜๐‘)))
142141oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) / ((!โ€˜(((2 ยท ๐‘) + 1) โˆ’ ๐‘)) ยท (!โ€˜๐‘))) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) / ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜๐‘))))
143136, 142eqtrd 2772 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) / ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜๐‘))))
144143eqcomd 2738 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) / ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜๐‘))) = (((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘))
145108, 99, 109, 100, 119, 126divmuldivd 12027 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘) + 2) / (๐‘ + 1)) ยท (((2 ยท ๐‘) + 3) / (๐‘ + 2))) = ((((2 ยท ๐‘) + 2) ยท ((2 ยท ๐‘) + 3)) / ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2))))
146145eqcomd 2738 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘) + 2) ยท ((2 ยท ๐‘) + 3)) / ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2))) = ((((2 ยท ๐‘) + 2) / (๐‘ + 1)) ยท (((2 ยท ๐‘) + 3) / (๐‘ + 2))))
1478eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 2) = (2 ยท (๐‘ + 1)))
148147oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 2) / (๐‘ + 1)) = ((2 ยท (๐‘ + 1)) / (๐‘ + 1)))
1491, 99, 119divcan4d 11992 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท (๐‘ + 1)) / (๐‘ + 1)) = 2)
150148, 149eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 2) / (๐‘ + 1)) = 2)
151 eqidd 2733 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 3) / (๐‘ + 2)) = (((2 ยท ๐‘) + 3) / (๐‘ + 2)))
152150, 151oveq12d 7423 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘) + 2) / (๐‘ + 1)) ยท (((2 ยท ๐‘) + 3) / (๐‘ + 2))) = (2 ยท (((2 ยท ๐‘) + 3) / (๐‘ + 2))))
153146, 152eqtrd 2772 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘) + 2) ยท ((2 ยท ๐‘) + 3)) / ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2))) = (2 ยท (((2 ยท ๐‘) + 3) / (๐‘ + 2))))
154144, 153oveq12d 7423 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) / ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜๐‘))) ยท ((((2 ยท ๐‘) + 2) ยท ((2 ยท ๐‘) + 3)) / ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2)))) = ((((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘) ยท (2 ยท (((2 ยท ๐‘) + 3) / (๐‘ + 2)))))
155129, 154eqtrd 2772 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (((2 ยท ๐‘) + 2) ยท ((2 ยท ๐‘) + 3))) / (((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜๐‘)) ยท ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2)))) = ((((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘) ยท (2 ยท (((2 ยท ๐‘) + 3) / (๐‘ + 2)))))
156104, 155eqtrd 2772 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (((2 ยท ๐‘) + 2) ยท ((2 ยท ๐‘) + 3))) / ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2))))) = ((((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘) ยท (2 ยท (((2 ยท ๐‘) + 3) / (๐‘ + 2)))))
15796, 156eqtrd 2772 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (((2 ยท ๐‘) + 2) ยท ((2 ยท ๐‘) + 3))) / ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜(๐‘ + 2)))) = ((((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘) ยท (2 ยท (((2 ยท ๐‘) + 3) / (๐‘ + 2)))))
15892, 157eqtrd 2772 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 3)) / ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜(๐‘ + 2)))) = ((((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘) ยท (2 ยท (((2 ยท ๐‘) + 3) / (๐‘ + 2)))))
15969, 158eqtrd 2772 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 3)) / ((!โ€˜(๐‘ + 2)) ยท (!โ€˜(๐‘ + 1)))) = ((((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘) ยท (2 ยท (((2 ยท ๐‘) + 3) / (๐‘ + 2)))))
16057, 159eqtrd 2772 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 3)) / ((!โ€˜(((2 ยท ๐‘) + 3) โˆ’ (๐‘ + 1))) ยท (!โ€˜(๐‘ + 1)))) = ((((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘) ยท (2 ยท (((2 ยท ๐‘) + 3) / (๐‘ + 2)))))
16146, 160eqtrd 2772 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 3)C(๐‘ + 1)) = ((((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘) ยท (2 ยท (((2 ยท ๐‘) + 3) / (๐‘ + 2)))))
16217, 161eqtrd 2772 1 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท (๐‘ + 1)) + 1)C(๐‘ + 1)) = ((((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘) ยท (2 ยท (((2 ยท ๐‘) + 3) / (๐‘ + 2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   class class class wbr 5147  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11104  โ„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   ยท cmul 11111   โ‰ค cle 11245   โˆ’ cmin 11440   / cdiv 11867  2c2 12263  3c3 12264  โ„•0cn0 12468  โ„คcz 12554  โ„+crp 12970  ...cfz 13480  !cfa 14229  Ccbc 14258
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-seq 13963  df-fac 14230  df-bc 14259
This theorem is referenced by:  2ap1caineq  40949
  Copyright terms: Public domain W3C validator