Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2np3bcnp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2np3bcnp1 41672
Description: Part of induction step for 2ap1caineq 41673. (Contributed by metakunt, 8-Jun-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
2np3bcnp1.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
Assertion
Ref Expression
2np3bcnp1 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท (๐‘ + 1)) + 1)C(๐‘ + 1)) = ((((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘) ยท (2 ยท (((2 ยท ๐‘) + 3) / (๐‘ + 2)))))

Proof of Theorem 2np3bcnp1
StepHypRef Expression
1 2cnd 12320 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
2 2np3bcnp1.1 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
32nn0cnd 12564 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
4 1cnd 11239 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
51, 3, 4adddid 11268 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐‘ + 1)) = ((2 ยท ๐‘) + (2 ยท 1)))
6 2t1e2 12405 . . . . . . . 8 (2 ยท 1) = 2
76oveq2i 7427 . . . . . . 7 ((2 ยท ๐‘) + (2 ยท 1)) = ((2 ยท ๐‘) + 2)
85, 7eqtrdi 2781 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐‘ + 1)) = ((2 ยท ๐‘) + 2))
98oveq1d 7431 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท (๐‘ + 1)) + 1) = (((2 ยท ๐‘) + 2) + 1))
101, 3mulcld 11264 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
1110, 1, 4addassd 11266 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 2) + 1) = ((2 ยท ๐‘) + (2 + 1)))
129, 11eqtrd 2765 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท (๐‘ + 1)) + 1) = ((2 ยท ๐‘) + (2 + 1)))
13 2p1e3 12384 . . . . . 6 (2 + 1) = 3
1413a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (2 + 1) = 3)
1514oveq2d 7432 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘) + (2 + 1)) = ((2 ยท ๐‘) + 3))
1612, 15eqtrd 2765 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท (๐‘ + 1)) + 1) = ((2 ยท ๐‘) + 3))
1716oveq1d 7431 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท (๐‘ + 1)) + 1)C(๐‘ + 1)) = (((2 ยท ๐‘) + 3)C(๐‘ + 1)))
18 0zd 12600 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
19 2z 12624 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„ค
2019a1i 11 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
212nn0zd 12614 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
2220, 21zmulcld 12702 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค)
23 3z 12625 . . . . . . 7 3 โˆˆ โ„ค
2423a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 3 โˆˆ โ„ค)
2522, 24zaddcld 12700 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 3) โˆˆ โ„ค)
2621peano2zd 12699 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„ค)
272nn0red 12563 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
28 1red 11245 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
292nn0ge0d 12565 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐‘)
30 0le1 11767 . . . . . . 7 0 โ‰ค 1
3130a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค 1)
3227, 28, 29, 31addge0d 11820 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐‘ + 1))
33 2re 12316 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„
3433a1i 11 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„)
3534, 27remulcld 11274 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
36 3re 12322 . . . . . . 7 3 โˆˆ โ„
3736a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 3 โˆˆ โ„)
38 1le2 12451 . . . . . . . 8 1 โ‰ค 2
3938a1i 11 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค 2)
4027, 34, 29, 39lemulge12d 12182 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โ‰ค (2 ยท ๐‘))
41 1le3 12454 . . . . . . 7 1 โ‰ค 3
4241a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค 3)
4327, 28, 35, 37, 40, 42le2addd 11863 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โ‰ค ((2 ยท ๐‘) + 3))
4418, 25, 26, 32, 43elfzd 13524 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ (0...((2 ยท ๐‘) + 3)))
45 bcval2 14296 . . . 4 ((๐‘ + 1) โˆˆ (0...((2 ยท ๐‘) + 3)) โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 3)C(๐‘ + 1)) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 3)) / ((!โ€˜(((2 ยท ๐‘) + 3) โˆ’ (๐‘ + 1))) ยท (!โ€˜(๐‘ + 1)))))
4644, 45syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 3)C(๐‘ + 1)) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 3)) / ((!โ€˜(((2 ยท ๐‘) + 3) โˆ’ (๐‘ + 1))) ยท (!โ€˜(๐‘ + 1)))))
4737recnd 11272 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 3 โˆˆ โ„‚)
4810, 47, 3, 4addsub4d 11648 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 3) โˆ’ (๐‘ + 1)) = (((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐‘) + (3 โˆ’ 1)))
49 2txmxeqx 12382 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐‘) = ๐‘)
503, 49syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐‘) = ๐‘)
51 3m1e2 12370 . . . . . . . . . 10 (3 โˆ’ 1) = 2
5251a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (3 โˆ’ 1) = 2)
5350, 52oveq12d 7434 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐‘) + (3 โˆ’ 1)) = (๐‘ + 2))
5448, 53eqtrd 2765 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 3) โˆ’ (๐‘ + 1)) = (๐‘ + 2))
5554fveq2d 6896 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜(((2 ยท ๐‘) + 3) โˆ’ (๐‘ + 1))) = (!โ€˜(๐‘ + 2)))
5655oveq1d 7431 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜(((2 ยท ๐‘) + 3) โˆ’ (๐‘ + 1))) ยท (!โ€˜(๐‘ + 1))) = ((!โ€˜(๐‘ + 2)) ยท (!โ€˜(๐‘ + 1))))
5756oveq2d 7432 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 3)) / ((!โ€˜(((2 ยท ๐‘) + 3) โˆ’ (๐‘ + 1))) ยท (!โ€˜(๐‘ + 1)))) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 3)) / ((!โ€˜(๐‘ + 2)) ยท (!โ€˜(๐‘ + 1)))))
58 2nn0 12519 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„•0
5958a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„•0)
602, 59nn0addcld 12566 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 2) โˆˆ โ„•0)
6160faccld 14275 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜(๐‘ + 2)) โˆˆ โ„•)
6261nncnd 12258 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜(๐‘ + 2)) โˆˆ โ„‚)
63 1nn0 12518 . . . . . . . . . . 11 1 โˆˆ โ„•0
6463a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„•0)
652, 64nn0addcld 12566 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„•0)
6665faccld 14275 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜(๐‘ + 1)) โˆˆ โ„•)
6766nncnd 12258 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜(๐‘ + 1)) โˆˆ โ„‚)
6862, 67mulcomd 11265 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜(๐‘ + 2)) ยท (!โ€˜(๐‘ + 1))) = ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜(๐‘ + 2))))
6968oveq2d 7432 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 3)) / ((!โ€˜(๐‘ + 2)) ยท (!โ€˜(๐‘ + 1)))) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 3)) / ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜(๐‘ + 2)))))
7010, 4, 1addassd 11266 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) + 2) = ((2 ยท ๐‘) + (1 + 2)))
71 1p2e3 12385 . . . . . . . . . . . . 13 (1 + 2) = 3
7271oveq2i 7427 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ยท ๐‘) + (1 + 2)) = ((2 ยท ๐‘) + 3)
7370, 72eqtrdi 2781 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) + 2) = ((2 ยท ๐‘) + 3))
7473fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜(((2 ยท ๐‘) + 1) + 2)) = (!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 3)))
7574eqcomd 2731 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 3)) = (!โ€˜(((2 ยท ๐‘) + 1) + 2)))
7659, 2nn0mulcld 12567 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0)
7776, 64nn0addcld 12566 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„•0)
78 facp2 41671 . . . . . . . . . 10 (((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(((2 ยท ๐‘) + 1) + 2)) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท ((((2 ยท ๐‘) + 1) + 1) ยท (((2 ยท ๐‘) + 1) + 2))))
7977, 78syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜(((2 ยท ๐‘) + 1) + 2)) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท ((((2 ยท ๐‘) + 1) + 1) ยท (((2 ยท ๐‘) + 1) + 2))))
8075, 79eqtrd 2765 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 3)) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท ((((2 ยท ๐‘) + 1) + 1) ยท (((2 ยท ๐‘) + 1) + 2))))
8110, 4, 4addassd 11266 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) + 1) = ((2 ยท ๐‘) + (1 + 1)))
82 1p1e2 12367 . . . . . . . . . . . . 13 (1 + 1) = 2
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (1 + 1) = 2)
8483oveq2d 7432 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘) + (1 + 1)) = ((2 ยท ๐‘) + 2))
8581, 84eqtrd 2765 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) + 1) = ((2 ยท ๐‘) + 2))
8671a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (1 + 2) = 3)
8786oveq2d 7432 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘) + (1 + 2)) = ((2 ยท ๐‘) + 3))
8870, 87eqtrd 2765 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) + 2) = ((2 ยท ๐‘) + 3))
8985, 88oveq12d 7434 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘) + 1) + 1) ยท (((2 ยท ๐‘) + 1) + 2)) = (((2 ยท ๐‘) + 2) ยท ((2 ยท ๐‘) + 3)))
9089oveq2d 7432 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท ((((2 ยท ๐‘) + 1) + 1) ยท (((2 ยท ๐‘) + 1) + 2))) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (((2 ยท ๐‘) + 2) ยท ((2 ยท ๐‘) + 3))))
9180, 90eqtrd 2765 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 3)) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (((2 ยท ๐‘) + 2) ยท ((2 ยท ๐‘) + 3))))
9291oveq1d 7431 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 3)) / ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜(๐‘ + 2)))) = (((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (((2 ยท ๐‘) + 2) ยท ((2 ยท ๐‘) + 3))) / ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜(๐‘ + 2)))))
93 facp2 41671 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐‘ + 2)) = ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2))))
942, 93syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜(๐‘ + 2)) = ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2))))
9594oveq2d 7432 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜(๐‘ + 2))) = ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2)))))
9695oveq2d 7432 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (((2 ยท ๐‘) + 2) ยท ((2 ยท ๐‘) + 3))) / ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜(๐‘ + 2)))) = (((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (((2 ยท ๐‘) + 2) ยท ((2 ยท ๐‘) + 3))) / ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2))))))
972faccld 14275 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
9897nncnd 12258 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
993, 4addcld 11263 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„‚)
1003, 1addcld 11263 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 2) โˆˆ โ„‚)
10199, 100mulcld 11264 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2)) โˆˆ โ„‚)
10267, 98, 101mulassd 11267 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜๐‘)) ยท ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2))) = ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2)))))
103102eqcomd 2731 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2)))) = (((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜๐‘)) ยท ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2))))
104103oveq2d 7432 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (((2 ยท ๐‘) + 2) ยท ((2 ยท ๐‘) + 3))) / ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2))))) = (((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (((2 ยท ๐‘) + 2) ยท ((2 ยท ๐‘) + 3))) / (((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜๐‘)) ยท ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2)))))
10577faccld 14275 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆˆ โ„•)
106105nncnd 12258 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆˆ โ„‚)
10767, 98mulcld 11264 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„‚)
10810, 1addcld 11263 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 2) โˆˆ โ„‚)
10910, 47addcld 11263 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 3) โˆˆ โ„‚)
110108, 109mulcld 11264 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 2) ยท ((2 ยท ๐‘) + 3)) โˆˆ โ„‚)
11166nnne0d 12292 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜(๐‘ + 1)) โ‰  0)
11297nnne0d 12292 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜๐‘) โ‰  0)
11367, 98, 111, 112mulne0d 11896 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜๐‘)) โ‰  0)
114 0red 11247 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
11527, 28readdcld 11273 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„)
11627ltp1d 12174 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ < (๐‘ + 1))
117114, 27, 115, 29, 116lelttrd 11402 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 0 < (๐‘ + 1))
118114, 117ltned 11380 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰  (๐‘ + 1))
119118necomd 2986 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โ‰  0)
12027, 34readdcld 11273 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 2) โˆˆ โ„)
121 2rp 13011 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 โˆˆ โ„+
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
12327, 122ltaddrpd 13081 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ < (๐‘ + 2))
124114, 27, 120, 29, 123lelttrd 11402 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 0 < (๐‘ + 2))
125114, 124ltned 11380 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰  (๐‘ + 2))
126125necomd 2986 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 2) โ‰  0)
12799, 100, 119, 126mulne0d 11896 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2)) โ‰  0)
128106, 107, 110, 101, 113, 127divmuldivd 12061 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) / ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜๐‘))) ยท ((((2 ยท ๐‘) + 2) ยท ((2 ยท ๐‘) + 3)) / ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2)))) = (((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (((2 ยท ๐‘) + 2) ยท ((2 ยท ๐‘) + 3))) / (((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜๐‘)) ยท ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2)))))
129128eqcomd 2731 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (((2 ยท ๐‘) + 2) ยท ((2 ยท ๐‘) + 3))) / (((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜๐‘)) ยท ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2)))) = (((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) / ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜๐‘))) ยท ((((2 ยท ๐‘) + 2) ยท ((2 ยท ๐‘) + 3)) / ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2)))))
13022peano2zd 12699 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„ค)
13135, 28readdcld 11273 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„)
13235lep1d 12175 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘) โ‰ค ((2 ยท ๐‘) + 1))
13327, 35, 131, 40, 132letrd 11401 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โ‰ค ((2 ยท ๐‘) + 1))
13418, 130, 21, 29, 133elfzd 13524 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (0...((2 ยท ๐‘) + 1)))
135 bcval2 14296 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ (0...((2 ยท ๐‘) + 1)) โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) / ((!โ€˜(((2 ยท ๐‘) + 1) โˆ’ ๐‘)) ยท (!โ€˜๐‘))))
136134, 135syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) / ((!โ€˜(((2 ยท ๐‘) + 1) โˆ’ ๐‘)) ยท (!โ€˜๐‘))))
13710, 4, 3addsubd 11622 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) โˆ’ ๐‘) = (((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐‘) + 1))
13850oveq1d 7431 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐‘) + 1) = (๐‘ + 1))
139137, 138eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) โˆ’ ๐‘) = (๐‘ + 1))
140139fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜(((2 ยท ๐‘) + 1) โˆ’ ๐‘)) = (!โ€˜(๐‘ + 1)))
141140oveq1d 7431 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜(((2 ยท ๐‘) + 1) โˆ’ ๐‘)) ยท (!โ€˜๐‘)) = ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜๐‘)))
142141oveq2d 7432 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) / ((!โ€˜(((2 ยท ๐‘) + 1) โˆ’ ๐‘)) ยท (!โ€˜๐‘))) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) / ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜๐‘))))
143136, 142eqtrd 2765 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) / ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜๐‘))))
144143eqcomd 2731 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) / ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜๐‘))) = (((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘))
145108, 99, 109, 100, 119, 126divmuldivd 12061 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘) + 2) / (๐‘ + 1)) ยท (((2 ยท ๐‘) + 3) / (๐‘ + 2))) = ((((2 ยท ๐‘) + 2) ยท ((2 ยท ๐‘) + 3)) / ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2))))
146145eqcomd 2731 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘) + 2) ยท ((2 ยท ๐‘) + 3)) / ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2))) = ((((2 ยท ๐‘) + 2) / (๐‘ + 1)) ยท (((2 ยท ๐‘) + 3) / (๐‘ + 2))))
1478eqcomd 2731 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 2) = (2 ยท (๐‘ + 1)))
148147oveq1d 7431 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 2) / (๐‘ + 1)) = ((2 ยท (๐‘ + 1)) / (๐‘ + 1)))
1491, 99, 119divcan4d 12026 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท (๐‘ + 1)) / (๐‘ + 1)) = 2)
150148, 149eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 2) / (๐‘ + 1)) = 2)
151 eqidd 2726 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 3) / (๐‘ + 2)) = (((2 ยท ๐‘) + 3) / (๐‘ + 2)))
152150, 151oveq12d 7434 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘) + 2) / (๐‘ + 1)) ยท (((2 ยท ๐‘) + 3) / (๐‘ + 2))) = (2 ยท (((2 ยท ๐‘) + 3) / (๐‘ + 2))))
153146, 152eqtrd 2765 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘) + 2) ยท ((2 ยท ๐‘) + 3)) / ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2))) = (2 ยท (((2 ยท ๐‘) + 3) / (๐‘ + 2))))
154144, 153oveq12d 7434 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) / ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜๐‘))) ยท ((((2 ยท ๐‘) + 2) ยท ((2 ยท ๐‘) + 3)) / ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2)))) = ((((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘) ยท (2 ยท (((2 ยท ๐‘) + 3) / (๐‘ + 2)))))
155129, 154eqtrd 2765 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (((2 ยท ๐‘) + 2) ยท ((2 ยท ๐‘) + 3))) / (((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜๐‘)) ยท ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2)))) = ((((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘) ยท (2 ยท (((2 ยท ๐‘) + 3) / (๐‘ + 2)))))
156104, 155eqtrd 2765 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (((2 ยท ๐‘) + 2) ยท ((2 ยท ๐‘) + 3))) / ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2))))) = ((((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘) ยท (2 ยท (((2 ยท ๐‘) + 3) / (๐‘ + 2)))))
15796, 156eqtrd 2765 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (((2 ยท ๐‘) + 2) ยท ((2 ยท ๐‘) + 3))) / ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜(๐‘ + 2)))) = ((((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘) ยท (2 ยท (((2 ยท ๐‘) + 3) / (๐‘ + 2)))))
15892, 157eqtrd 2765 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 3)) / ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜(๐‘ + 2)))) = ((((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘) ยท (2 ยท (((2 ยท ๐‘) + 3) / (๐‘ + 2)))))
15969, 158eqtrd 2765 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 3)) / ((!โ€˜(๐‘ + 2)) ยท (!โ€˜(๐‘ + 1)))) = ((((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘) ยท (2 ยท (((2 ยท ๐‘) + 3) / (๐‘ + 2)))))
16057, 159eqtrd 2765 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 3)) / ((!โ€˜(((2 ยท ๐‘) + 3) โˆ’ (๐‘ + 1))) ยท (!โ€˜(๐‘ + 1)))) = ((((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘) ยท (2 ยท (((2 ยท ๐‘) + 3) / (๐‘ + 2)))))
16146, 160eqtrd 2765 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 3)C(๐‘ + 1)) = ((((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘) ยท (2 ยท (((2 ยท ๐‘) + 3) / (๐‘ + 2)))))
16217, 161eqtrd 2765 1 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท (๐‘ + 1)) + 1)C(๐‘ + 1)) = ((((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘) ยท (2 ยท (((2 ยท ๐‘) + 3) / (๐‘ + 2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5143  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  โ„‚cc 11136  โ„cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   ยท cmul 11143   โ‰ค cle 11279   โˆ’ cmin 11474   / cdiv 11901  2c2 12297  3c3 12298  โ„•0cn0 12502  โ„คcz 12588  โ„+crp 13006  ...cfz 13516  !cfa 14264  Ccbc 14293
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-seq 13999  df-fac 14265  df-bc 14294
This theorem is referenced by:  2ap1caineq  41673
  Copyright terms: Public domain W3C validator