Theorem 2np3bcnp1 39769

Description: Part of induction step for 2ap1caineq 39770. (Contributed by metakunt, 8-Jun-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
2np3bcnp1.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
2np3bcnp1	⊢ (𝜑 → (((2 · (𝑁 + 1)) + 1)C(𝑁 + 1)) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2)))))

Proof of Theorem 2np3bcnp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cnd 11873	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
2		2np3bcnp1.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3	2	nn0cnd 12117	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
4		1cnd 10793	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
5	1, 3, 4	adddid 10822	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁 + 1)) = ((2 · 𝑁) + (2 · 1)))
6		2t1e2 11958	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
7	6	oveq2i 7202	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 𝑁) + (2 · 1)) = ((2 · 𝑁) + 2)
8	5, 7	eqtrdi 2787	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁 + 1)) = ((2 · 𝑁) + 2))
9	8	oveq1d 7206	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑁 + 1)) + 1) = (((2 · 𝑁) + 2) + 1))
10	1, 3	mulcld 10818	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
11	10, 1, 4	addassd 10820	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 2) + 1) = ((2 · 𝑁) + (2 + 1)))
12	9, 11	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑁 + 1)) + 1) = ((2 · 𝑁) + (2 + 1)))
13		2p1e3 11937	. . . . . 6 ⊢ (2 + 1) = 3
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 + 1) = 3)
15	14	oveq2d 7207	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + (2 + 1)) = ((2 · 𝑁) + 3))
16	12, 15	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑁 + 1)) + 1) = ((2 · 𝑁) + 3))
17	16	oveq1d 7206	. 2 ⊢ (𝜑 → (((2 · (𝑁 + 1)) + 1)C(𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁) + 3)C(𝑁 + 1)))
18		0zd 12153	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
19		2z 12174	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
20	19	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
21	2	nn0zd 12245	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
22	20, 21	zmulcld 12253	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
23		3z 12175	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℤ
24	23	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℤ)
25	22, 24	zaddcld 12251	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 3) ∈ ℤ)
26	21	peano2zd 12250	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
27	2	nn0red 12116	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
28		1red 10799	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
29	2	nn0ge0d 12118	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
30		0le1 11320	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 1
31	30	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1)
32	27, 28, 29, 31	addge0d 11373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑁 + 1))
33		2re 11869	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
34	33	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
35	34, 27	remulcld 10828	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
36		3re 11875	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ
37	36	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
38		1le2 12004	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≤ 2
39	38	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 2)
40	27, 34, 29, 39	lemulge12d 11735	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ (2 · 𝑁))
41		1le3 12007	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≤ 3
42	41	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 3)
43	27, 28, 35, 37, 40, 42	le2addd 11416	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ≤ ((2 · 𝑁) + 3))
44	18, 25, 26, 32, 43	elfzd 13068	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (0...((2 · 𝑁) + 3)))
45		bcval2 13836	. . . 4 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (0...((2 · 𝑁) + 3)) → (((2 · 𝑁) + 3)C(𝑁 + 1)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 3)) / ((!‘(((2 · 𝑁) + 3) − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1)))))
46	44, 45	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 3)C(𝑁 + 1)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 3)) / ((!‘(((2 · 𝑁) + 3) − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1)))))
47	37	recnd 10826	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
48	10, 47, 3, 4	addsub4d 11201	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 3) − (𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁) − 𝑁) + (3 − 1)))
49		2txmxeqx 11935	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((2 · 𝑁) − 𝑁) = 𝑁)
50	3, 49	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) − 𝑁) = 𝑁)
51		3m1e2 11923	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 − 1) = 2
52	51	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (3 − 1) = 2)
53	50, 52	oveq12d 7209	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) − 𝑁) + (3 − 1)) = (𝑁 + 2))
54	48, 53	eqtrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 3) − (𝑁 + 1)) = (𝑁 + 2))
55	54	fveq2d 6699	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (!‘(((2 · 𝑁) + 3) − (𝑁 + 1))) = (!‘(𝑁 + 2)))
56	55	oveq1d 7206	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((!‘(((2 · 𝑁) + 3) − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1))) = ((!‘(𝑁 + 2)) · (!‘(𝑁 + 1))))
57	56	oveq2d 7207	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 3)) / ((!‘(((2 · 𝑁) + 3) − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1)))) = ((!‘((2 · 𝑁) + 3)) / ((!‘(𝑁 + 2)) · (!‘(𝑁 + 1)))))
58		2nn0 12072	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
60	2, 59	nn0addcld 12119	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 2) ∈ ℕ0)
61	60	faccld 13815	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑁 + 2)) ∈ ℕ)
62	61	nncnd 11811	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑁 + 2)) ∈ ℂ)
63		1nn0 12071	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ0
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
65	2, 64	nn0addcld 12119	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
66	65	faccld 13815	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑁 + 1)) ∈ ℕ)
67	66	nncnd 11811	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
68	62, 67	mulcomd 10819	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑁 + 2)) · (!‘(𝑁 + 1))) = ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘(𝑁 + 2))))
69	68	oveq2d 7207	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 3)) / ((!‘(𝑁 + 2)) · (!‘(𝑁 + 1)))) = ((!‘((2 · 𝑁) + 3)) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘(𝑁 + 2)))))
70	10, 4, 1	addassd 10820	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) + 2) = ((2 · 𝑁) + (1 + 2)))
71		1p2e3 11938	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 + 2) = 3
72	71	oveq2i 7202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · 𝑁) + (1 + 2)) = ((2 · 𝑁) + 3)
73	70, 72	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) + 2) = ((2 · 𝑁) + 3))
74	73	fveq2d 6699	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (!‘(((2 · 𝑁) + 1) + 2)) = (!‘((2 · 𝑁) + 3)))
75	74	eqcomd 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (!‘((2 · 𝑁) + 3)) = (!‘(((2 · 𝑁) + 1) + 2)))
76	59, 2	nn0mulcld 12120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
77	76, 64	nn0addcld 12119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ0)
78		facp2 39768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ0 → (!‘(((2 · 𝑁) + 1) + 2)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) + 2))))
79	77, 78	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (!‘(((2 · 𝑁) + 1) + 2)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) + 2))))
80	75, 79	eqtrd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (!‘((2 · 𝑁) + 3)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) + 2))))
81	10, 4, 4	addassd 10820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) + 1) = ((2 · 𝑁) + (1 + 1)))
82		1p1e2 11920	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 + 1) = 2
83	82	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1 + 1) = 2)
84	83	oveq2d 7207	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + (1 + 1)) = ((2 · 𝑁) + 2))
85	81, 84	eqtrd 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) + 1) = ((2 · 𝑁) + 2))
86	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1 + 2) = 3)
87	86	oveq2d 7207	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + (1 + 2)) = ((2 · 𝑁) + 3))
88	70, 87	eqtrd 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) + 2) = ((2 · 𝑁) + 3))
89	85, 88	oveq12d 7209	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 1) + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) + 2)) = (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3)))
90	89	oveq2d 7207	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) + 2))) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3))))
91	80, 90	eqtrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (!‘((2 · 𝑁) + 3)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3))))
92	91	oveq1d 7206	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 3)) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘(𝑁 + 2)))) = (((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3))) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘(𝑁 + 2)))))
93		facp2 39768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 2)) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))))
94	2, 93	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑁 + 2)) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))))
95	94	oveq2d 7207	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘(𝑁 + 2))) = ((!‘(𝑁 + 1)) · ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)))))
96	95	oveq2d 7207	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3))) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘(𝑁 + 2)))) = (((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3))) / ((!‘(𝑁 + 1)) · ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))))))
97	2	faccld 13815	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
98	97	nncnd 11811	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
99	3, 4	addcld 10817	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
100	3, 1	addcld 10817	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 2) ∈ ℂ)
101	99, 100	mulcld 10818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)) ∈ ℂ)
102	67, 98, 101	mulassd 10821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))) = ((!‘(𝑁 + 1)) · ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)))))
103	102	eqcomd 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑁 + 1)) · ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)))) = (((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))))
104	103	oveq2d 7207	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3))) / ((!‘(𝑁 + 1)) · ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))))) = (((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3))) / (((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)))))
105	77	faccld 13815	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (!‘((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℕ)
106	105	nncnd 11811	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (!‘((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℂ)
107	67, 98	mulcld 10818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)) ∈ ℂ)
108	10, 1	addcld 10817	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 2) ∈ ℂ)
109	10, 47	addcld 10817	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 3) ∈ ℂ)
110	108, 109	mulcld 10818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3)) ∈ ℂ)
111	66	nnne0d 11845	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑁 + 1)) ≠ 0)
112	97	nnne0d 11845	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ≠ 0)
113	67, 98, 111, 112	mulne0d 11449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)) ≠ 0)
114		0red 10801	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
115	27, 28	readdcld 10827	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
116	27	ltp1d 11727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < (𝑁 + 1))
117	114, 27, 115, 29, 116	lelttrd 10955	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝑁 + 1))
118	114, 117	ltned 10933	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ (𝑁 + 1))
119	118	necomd 2987	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ≠ 0)
120	27, 34	readdcld 10827	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 2) ∈ ℝ)
121		2rp 12556	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℝ+
122	121	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
123	27, 122	ltaddrpd 12626	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < (𝑁 + 2))
124	114, 27, 120, 29, 123	lelttrd 10955	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝑁 + 2))
125	114, 124	ltned 10933	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ (𝑁 + 2))
126	125	necomd 2987	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 2) ≠ 0)
127	99, 100, 119, 126	mulne0d 11449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)) ≠ 0)
128	106, 107, 110, 101, 113, 127	divmuldivd 11614	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁))) · ((((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3)) / ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)))) = (((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3))) / (((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)))))
129	128	eqcomd 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3))) / (((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)))) = (((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁))) · ((((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3)) / ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)))))
130	22	peano2zd 12250	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℤ)
131	35, 28	readdcld 10827	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
132	35	lep1d 11728	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ≤ ((2 · 𝑁) + 1))
133	27, 35, 131, 40, 132	letrd 10954	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) + 1))
134	18, 130, 21, 29, 133	elfzd 13068	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...((2 · 𝑁) + 1)))
135		bcval2 13836	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (0...((2 · 𝑁) + 1)) → (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁)) · (!‘𝑁))))
136	134, 135	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁)) · (!‘𝑁))))
137	10, 4, 3	addsubd 11175	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁) = (((2 · 𝑁) − 𝑁) + 1))
138	50	oveq1d 7206	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) − 𝑁) + 1) = (𝑁 + 1))
139	137, 138	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁) = (𝑁 + 1))
140	139	fveq2d 6699	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (!‘(((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁)) = (!‘(𝑁 + 1)))
141	140	oveq1d 7206	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((!‘(((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁)) · (!‘𝑁)) = ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)))
142	141	oveq2d 7207	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁)) · (!‘𝑁))) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁))))
143	136, 142	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁))))
144	143	eqcomd 2742	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁))) = (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁))
145	108, 99, 109, 100, 119, 126	divmuldivd 11614	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 2) / (𝑁 + 1)) · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2))) = ((((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3)) / ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))))
146	145	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3)) / ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))) = ((((2 · 𝑁) + 2) / (𝑁 + 1)) · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2))))
147	8	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 2) = (2 · (𝑁 + 1)))
148	147	oveq1d 7206	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 2) / (𝑁 + 1)) = ((2 · (𝑁 + 1)) / (𝑁 + 1)))
149	1, 99, 119	divcan4d 11579	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑁 + 1)) / (𝑁 + 1)) = 2)
150	148, 149	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 2) / (𝑁 + 1)) = 2)
151		eqidd 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2)) = (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2)))
152	150, 151	oveq12d 7209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 2) / (𝑁 + 1)) · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2))) = (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2))))
153	146, 152	eqtrd 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3)) / ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))) = (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2))))
154	144, 153	oveq12d 7209	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁))) · ((((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3)) / ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)))) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2)))))
155	129, 154	eqtrd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3))) / (((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)))) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2)))))
156	104, 155	eqtrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3))) / ((!‘(𝑁 + 1)) · ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))))) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2)))))
157	96, 156	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3))) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘(𝑁 + 2)))) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2)))))
158	92, 157	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 3)) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘(𝑁 + 2)))) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2)))))
159	69, 158	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 3)) / ((!‘(𝑁 + 2)) · (!‘(𝑁 + 1)))) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2)))))
160	57, 159	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 3)) / ((!‘(((2 · 𝑁) + 3) − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1)))) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2)))))
161	46, 160	eqtrd 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 3)C(𝑁 + 1)) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2)))))
162	17, 161	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → (((2 · (𝑁 + 1)) + 1)C(𝑁 + 1)) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2)))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   class class class wbr 5039  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  ℂcc 10692  ℝcr 10693  0cc0 10694  1c1 10695   + caddc 10697   · cmul 10699   ≤ cle 10833   − cmin 11027   / cdiv 11454  2c2 11850  3c3 11851  ℕ₀cn0 12055  ℤcz 12141  ℝ⁺crp 12551  ...cfz 13060  !cfa 13804  Ccbc 13833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-div 11455  df-nn 11796  df-2 11858  df-3 11859  df-n0 12056  df-z 12142  df-uz 12404  df-rp 12552  df-fz 13061  df-seq 13540  df-fac 13805  df-bc 13834

This theorem is referenced by:  2ap1caineq  39770