Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2np3bcnp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2np3bcnp1 41521
Description: Part of induction step for 2ap1caineq 41522. (Contributed by metakunt, 8-Jun-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
2np3bcnp1.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
Assertion
Ref Expression
2np3bcnp1 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท (๐‘ + 1)) + 1)C(๐‘ + 1)) = ((((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘) ยท (2 ยท (((2 ยท ๐‘) + 3) / (๐‘ + 2)))))

Proof of Theorem 2np3bcnp1
StepHypRef Expression
1 2cnd 12294 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
2 2np3bcnp1.1 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
32nn0cnd 12538 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
4 1cnd 11213 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
51, 3, 4adddid 11242 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐‘ + 1)) = ((2 ยท ๐‘) + (2 ยท 1)))
6 2t1e2 12379 . . . . . . . 8 (2 ยท 1) = 2
76oveq2i 7416 . . . . . . 7 ((2 ยท ๐‘) + (2 ยท 1)) = ((2 ยท ๐‘) + 2)
85, 7eqtrdi 2782 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐‘ + 1)) = ((2 ยท ๐‘) + 2))
98oveq1d 7420 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท (๐‘ + 1)) + 1) = (((2 ยท ๐‘) + 2) + 1))
101, 3mulcld 11238 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
1110, 1, 4addassd 11240 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 2) + 1) = ((2 ยท ๐‘) + (2 + 1)))
129, 11eqtrd 2766 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท (๐‘ + 1)) + 1) = ((2 ยท ๐‘) + (2 + 1)))
13 2p1e3 12358 . . . . . 6 (2 + 1) = 3
1413a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (2 + 1) = 3)
1514oveq2d 7421 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘) + (2 + 1)) = ((2 ยท ๐‘) + 3))
1612, 15eqtrd 2766 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท (๐‘ + 1)) + 1) = ((2 ยท ๐‘) + 3))
1716oveq1d 7420 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท (๐‘ + 1)) + 1)C(๐‘ + 1)) = (((2 ยท ๐‘) + 3)C(๐‘ + 1)))
18 0zd 12574 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
19 2z 12598 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„ค
2019a1i 11 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
212nn0zd 12588 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
2220, 21zmulcld 12676 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค)
23 3z 12599 . . . . . . 7 3 โˆˆ โ„ค
2423a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 3 โˆˆ โ„ค)
2522, 24zaddcld 12674 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 3) โˆˆ โ„ค)
2621peano2zd 12673 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„ค)
272nn0red 12537 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
28 1red 11219 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
292nn0ge0d 12539 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐‘)
30 0le1 11741 . . . . . . 7 0 โ‰ค 1
3130a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค 1)
3227, 28, 29, 31addge0d 11794 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐‘ + 1))
33 2re 12290 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„
3433a1i 11 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„)
3534, 27remulcld 11248 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
36 3re 12296 . . . . . . 7 3 โˆˆ โ„
3736a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 3 โˆˆ โ„)
38 1le2 12425 . . . . . . . 8 1 โ‰ค 2
3938a1i 11 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค 2)
4027, 34, 29, 39lemulge12d 12156 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โ‰ค (2 ยท ๐‘))
41 1le3 12428 . . . . . . 7 1 โ‰ค 3
4241a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค 3)
4327, 28, 35, 37, 40, 42le2addd 11837 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โ‰ค ((2 ยท ๐‘) + 3))
4418, 25, 26, 32, 43elfzd 13498 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ (0...((2 ยท ๐‘) + 3)))
45 bcval2 14270 . . . 4 ((๐‘ + 1) โˆˆ (0...((2 ยท ๐‘) + 3)) โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 3)C(๐‘ + 1)) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 3)) / ((!โ€˜(((2 ยท ๐‘) + 3) โˆ’ (๐‘ + 1))) ยท (!โ€˜(๐‘ + 1)))))
4644, 45syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 3)C(๐‘ + 1)) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 3)) / ((!โ€˜(((2 ยท ๐‘) + 3) โˆ’ (๐‘ + 1))) ยท (!โ€˜(๐‘ + 1)))))
4737recnd 11246 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 3 โˆˆ โ„‚)
4810, 47, 3, 4addsub4d 11622 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 3) โˆ’ (๐‘ + 1)) = (((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐‘) + (3 โˆ’ 1)))
49 2txmxeqx 12356 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐‘) = ๐‘)
503, 49syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐‘) = ๐‘)
51 3m1e2 12344 . . . . . . . . . 10 (3 โˆ’ 1) = 2
5251a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (3 โˆ’ 1) = 2)
5350, 52oveq12d 7423 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐‘) + (3 โˆ’ 1)) = (๐‘ + 2))
5448, 53eqtrd 2766 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 3) โˆ’ (๐‘ + 1)) = (๐‘ + 2))
5554fveq2d 6889 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜(((2 ยท ๐‘) + 3) โˆ’ (๐‘ + 1))) = (!โ€˜(๐‘ + 2)))
5655oveq1d 7420 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜(((2 ยท ๐‘) + 3) โˆ’ (๐‘ + 1))) ยท (!โ€˜(๐‘ + 1))) = ((!โ€˜(๐‘ + 2)) ยท (!โ€˜(๐‘ + 1))))
5756oveq2d 7421 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 3)) / ((!โ€˜(((2 ยท ๐‘) + 3) โˆ’ (๐‘ + 1))) ยท (!โ€˜(๐‘ + 1)))) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 3)) / ((!โ€˜(๐‘ + 2)) ยท (!โ€˜(๐‘ + 1)))))
58 2nn0 12493 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„•0
5958a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„•0)
602, 59nn0addcld 12540 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 2) โˆˆ โ„•0)
6160faccld 14249 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜(๐‘ + 2)) โˆˆ โ„•)
6261nncnd 12232 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜(๐‘ + 2)) โˆˆ โ„‚)
63 1nn0 12492 . . . . . . . . . . 11 1 โˆˆ โ„•0
6463a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„•0)
652, 64nn0addcld 12540 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„•0)
6665faccld 14249 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜(๐‘ + 1)) โˆˆ โ„•)
6766nncnd 12232 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜(๐‘ + 1)) โˆˆ โ„‚)
6862, 67mulcomd 11239 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜(๐‘ + 2)) ยท (!โ€˜(๐‘ + 1))) = ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜(๐‘ + 2))))
6968oveq2d 7421 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 3)) / ((!โ€˜(๐‘ + 2)) ยท (!โ€˜(๐‘ + 1)))) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 3)) / ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜(๐‘ + 2)))))
7010, 4, 1addassd 11240 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) + 2) = ((2 ยท ๐‘) + (1 + 2)))
71 1p2e3 12359 . . . . . . . . . . . . 13 (1 + 2) = 3
7271oveq2i 7416 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ยท ๐‘) + (1 + 2)) = ((2 ยท ๐‘) + 3)
7370, 72eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) + 2) = ((2 ยท ๐‘) + 3))
7473fveq2d 6889 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜(((2 ยท ๐‘) + 1) + 2)) = (!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 3)))
7574eqcomd 2732 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 3)) = (!โ€˜(((2 ยท ๐‘) + 1) + 2)))
7659, 2nn0mulcld 12541 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0)
7776, 64nn0addcld 12540 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„•0)
78 facp2 41520 . . . . . . . . . 10 (((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(((2 ยท ๐‘) + 1) + 2)) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท ((((2 ยท ๐‘) + 1) + 1) ยท (((2 ยท ๐‘) + 1) + 2))))
7977, 78syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜(((2 ยท ๐‘) + 1) + 2)) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท ((((2 ยท ๐‘) + 1) + 1) ยท (((2 ยท ๐‘) + 1) + 2))))
8075, 79eqtrd 2766 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 3)) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท ((((2 ยท ๐‘) + 1) + 1) ยท (((2 ยท ๐‘) + 1) + 2))))
8110, 4, 4addassd 11240 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) + 1) = ((2 ยท ๐‘) + (1 + 1)))
82 1p1e2 12341 . . . . . . . . . . . . 13 (1 + 1) = 2
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (1 + 1) = 2)
8483oveq2d 7421 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘) + (1 + 1)) = ((2 ยท ๐‘) + 2))
8581, 84eqtrd 2766 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) + 1) = ((2 ยท ๐‘) + 2))
8671a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (1 + 2) = 3)
8786oveq2d 7421 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘) + (1 + 2)) = ((2 ยท ๐‘) + 3))
8870, 87eqtrd 2766 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) + 2) = ((2 ยท ๐‘) + 3))
8985, 88oveq12d 7423 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘) + 1) + 1) ยท (((2 ยท ๐‘) + 1) + 2)) = (((2 ยท ๐‘) + 2) ยท ((2 ยท ๐‘) + 3)))
9089oveq2d 7421 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท ((((2 ยท ๐‘) + 1) + 1) ยท (((2 ยท ๐‘) + 1) + 2))) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (((2 ยท ๐‘) + 2) ยท ((2 ยท ๐‘) + 3))))
9180, 90eqtrd 2766 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 3)) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (((2 ยท ๐‘) + 2) ยท ((2 ยท ๐‘) + 3))))
9291oveq1d 7420 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 3)) / ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜(๐‘ + 2)))) = (((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (((2 ยท ๐‘) + 2) ยท ((2 ยท ๐‘) + 3))) / ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜(๐‘ + 2)))))
93 facp2 41520 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐‘ + 2)) = ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2))))
942, 93syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜(๐‘ + 2)) = ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2))))
9594oveq2d 7421 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜(๐‘ + 2))) = ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2)))))
9695oveq2d 7421 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (((2 ยท ๐‘) + 2) ยท ((2 ยท ๐‘) + 3))) / ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜(๐‘ + 2)))) = (((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (((2 ยท ๐‘) + 2) ยท ((2 ยท ๐‘) + 3))) / ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2))))))
972faccld 14249 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
9897nncnd 12232 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
993, 4addcld 11237 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„‚)
1003, 1addcld 11237 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 2) โˆˆ โ„‚)
10199, 100mulcld 11238 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2)) โˆˆ โ„‚)
10267, 98, 101mulassd 11241 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜๐‘)) ยท ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2))) = ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2)))))
103102eqcomd 2732 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2)))) = (((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜๐‘)) ยท ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2))))
104103oveq2d 7421 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (((2 ยท ๐‘) + 2) ยท ((2 ยท ๐‘) + 3))) / ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2))))) = (((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (((2 ยท ๐‘) + 2) ยท ((2 ยท ๐‘) + 3))) / (((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜๐‘)) ยท ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2)))))
10577faccld 14249 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆˆ โ„•)
106105nncnd 12232 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆˆ โ„‚)
10767, 98mulcld 11238 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„‚)
10810, 1addcld 11237 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 2) โˆˆ โ„‚)
10910, 47addcld 11237 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 3) โˆˆ โ„‚)
110108, 109mulcld 11238 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 2) ยท ((2 ยท ๐‘) + 3)) โˆˆ โ„‚)
11166nnne0d 12266 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜(๐‘ + 1)) โ‰  0)
11297nnne0d 12266 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜๐‘) โ‰  0)
11367, 98, 111, 112mulne0d 11870 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜๐‘)) โ‰  0)
114 0red 11221 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
11527, 28readdcld 11247 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„)
11627ltp1d 12148 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ < (๐‘ + 1))
117114, 27, 115, 29, 116lelttrd 11376 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 0 < (๐‘ + 1))
118114, 117ltned 11354 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰  (๐‘ + 1))
119118necomd 2990 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โ‰  0)
12027, 34readdcld 11247 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 2) โˆˆ โ„)
121 2rp 12985 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 โˆˆ โ„+
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
12327, 122ltaddrpd 13055 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ < (๐‘ + 2))
124114, 27, 120, 29, 123lelttrd 11376 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 0 < (๐‘ + 2))
125114, 124ltned 11354 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰  (๐‘ + 2))
126125necomd 2990 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 2) โ‰  0)
12799, 100, 119, 126mulne0d 11870 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2)) โ‰  0)
128106, 107, 110, 101, 113, 127divmuldivd 12035 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) / ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜๐‘))) ยท ((((2 ยท ๐‘) + 2) ยท ((2 ยท ๐‘) + 3)) / ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2)))) = (((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (((2 ยท ๐‘) + 2) ยท ((2 ยท ๐‘) + 3))) / (((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜๐‘)) ยท ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2)))))
129128eqcomd 2732 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (((2 ยท ๐‘) + 2) ยท ((2 ยท ๐‘) + 3))) / (((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜๐‘)) ยท ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2)))) = (((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) / ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜๐‘))) ยท ((((2 ยท ๐‘) + 2) ยท ((2 ยท ๐‘) + 3)) / ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2)))))
13022peano2zd 12673 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„ค)
13135, 28readdcld 11247 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„)
13235lep1d 12149 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘) โ‰ค ((2 ยท ๐‘) + 1))
13327, 35, 131, 40, 132letrd 11375 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โ‰ค ((2 ยท ๐‘) + 1))
13418, 130, 21, 29, 133elfzd 13498 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (0...((2 ยท ๐‘) + 1)))
135 bcval2 14270 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ (0...((2 ยท ๐‘) + 1)) โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) / ((!โ€˜(((2 ยท ๐‘) + 1) โˆ’ ๐‘)) ยท (!โ€˜๐‘))))
136134, 135syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) / ((!โ€˜(((2 ยท ๐‘) + 1) โˆ’ ๐‘)) ยท (!โ€˜๐‘))))
13710, 4, 3addsubd 11596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) โˆ’ ๐‘) = (((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐‘) + 1))
13850oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐‘) + 1) = (๐‘ + 1))
139137, 138eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) โˆ’ ๐‘) = (๐‘ + 1))
140139fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜(((2 ยท ๐‘) + 1) โˆ’ ๐‘)) = (!โ€˜(๐‘ + 1)))
141140oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜(((2 ยท ๐‘) + 1) โˆ’ ๐‘)) ยท (!โ€˜๐‘)) = ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜๐‘)))
142141oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) / ((!โ€˜(((2 ยท ๐‘) + 1) โˆ’ ๐‘)) ยท (!โ€˜๐‘))) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) / ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜๐‘))))
143136, 142eqtrd 2766 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) / ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜๐‘))))
144143eqcomd 2732 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) / ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜๐‘))) = (((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘))
145108, 99, 109, 100, 119, 126divmuldivd 12035 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘) + 2) / (๐‘ + 1)) ยท (((2 ยท ๐‘) + 3) / (๐‘ + 2))) = ((((2 ยท ๐‘) + 2) ยท ((2 ยท ๐‘) + 3)) / ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2))))
146145eqcomd 2732 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘) + 2) ยท ((2 ยท ๐‘) + 3)) / ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2))) = ((((2 ยท ๐‘) + 2) / (๐‘ + 1)) ยท (((2 ยท ๐‘) + 3) / (๐‘ + 2))))
1478eqcomd 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 2) = (2 ยท (๐‘ + 1)))
148147oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 2) / (๐‘ + 1)) = ((2 ยท (๐‘ + 1)) / (๐‘ + 1)))
1491, 99, 119divcan4d 12000 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท (๐‘ + 1)) / (๐‘ + 1)) = 2)
150148, 149eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 2) / (๐‘ + 1)) = 2)
151 eqidd 2727 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 3) / (๐‘ + 2)) = (((2 ยท ๐‘) + 3) / (๐‘ + 2)))
152150, 151oveq12d 7423 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘) + 2) / (๐‘ + 1)) ยท (((2 ยท ๐‘) + 3) / (๐‘ + 2))) = (2 ยท (((2 ยท ๐‘) + 3) / (๐‘ + 2))))
153146, 152eqtrd 2766 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘) + 2) ยท ((2 ยท ๐‘) + 3)) / ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2))) = (2 ยท (((2 ยท ๐‘) + 3) / (๐‘ + 2))))
154144, 153oveq12d 7423 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) / ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜๐‘))) ยท ((((2 ยท ๐‘) + 2) ยท ((2 ยท ๐‘) + 3)) / ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2)))) = ((((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘) ยท (2 ยท (((2 ยท ๐‘) + 3) / (๐‘ + 2)))))
155129, 154eqtrd 2766 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (((2 ยท ๐‘) + 2) ยท ((2 ยท ๐‘) + 3))) / (((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜๐‘)) ยท ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2)))) = ((((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘) ยท (2 ยท (((2 ยท ๐‘) + 3) / (๐‘ + 2)))))
156104, 155eqtrd 2766 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (((2 ยท ๐‘) + 2) ยท ((2 ยท ๐‘) + 3))) / ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2))))) = ((((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘) ยท (2 ยท (((2 ยท ๐‘) + 3) / (๐‘ + 2)))))
15796, 156eqtrd 2766 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (((2 ยท ๐‘) + 2) ยท ((2 ยท ๐‘) + 3))) / ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜(๐‘ + 2)))) = ((((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘) ยท (2 ยท (((2 ยท ๐‘) + 3) / (๐‘ + 2)))))
15892, 157eqtrd 2766 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 3)) / ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (!โ€˜(๐‘ + 2)))) = ((((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘) ยท (2 ยท (((2 ยท ๐‘) + 3) / (๐‘ + 2)))))
15969, 158eqtrd 2766 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 3)) / ((!โ€˜(๐‘ + 2)) ยท (!โ€˜(๐‘ + 1)))) = ((((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘) ยท (2 ยท (((2 ยท ๐‘) + 3) / (๐‘ + 2)))))
16057, 159eqtrd 2766 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜((2 ยท ๐‘) + 3)) / ((!โ€˜(((2 ยท ๐‘) + 3) โˆ’ (๐‘ + 1))) ยท (!โ€˜(๐‘ + 1)))) = ((((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘) ยท (2 ยท (((2 ยท ๐‘) + 3) / (๐‘ + 2)))))
16146, 160eqtrd 2766 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 3)C(๐‘ + 1)) = ((((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘) ยท (2 ยท (((2 ยท ๐‘) + 3) / (๐‘ + 2)))))
16217, 161eqtrd 2766 1 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท (๐‘ + 1)) + 1)C(๐‘ + 1)) = ((((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘) ยท (2 ยท (((2 ยท ๐‘) + 3) / (๐‘ + 2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5141  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  2c2 12271  3c3 12272  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โ„+crp 12980  ...cfz 13490  !cfa 14238  Ccbc 14267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-seq 13973  df-fac 14239  df-bc 14268
This theorem is referenced by:  2ap1caineq  41522
  Copyright terms: Public domain W3C validator