Proof of Theorem 2np3bcnp1
| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | 2cnd 12344 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 2 ∈
ℂ) |
| 2 | | 2np3bcnp1.1 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈
ℕ0) |
| 3 | 2 | nn0cnd 12589 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ) |
| 4 | | 1cnd 11256 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 1 ∈
ℂ) |
| 5 | 1, 3, 4 | adddid 11285 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁 + 1)) = ((2 · 𝑁) + (2 ·
1))) |
| 6 | | 2t1e2 12429 |
. . . . . . . 8
⊢ (2
· 1) = 2 |
| 7 | 6 | oveq2i 7442 |
. . . . . . 7
⊢ ((2
· 𝑁) + (2 ·
1)) = ((2 · 𝑁) +
2) |
| 8 | 5, 7 | eqtrdi 2793 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁 + 1)) = ((2 · 𝑁) + 2)) |
| 9 | 8 | oveq1d 7446 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑁 + 1)) + 1) = (((2 ·
𝑁) + 2) +
1)) |
| 10 | 1, 3 | mulcld 11281 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈
ℂ) |
| 11 | 10, 1, 4 | addassd 11283 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 2) + 1) = ((2 · 𝑁) + (2 + 1))) |
| 12 | 9, 11 | eqtrd 2777 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑁 + 1)) + 1) = ((2 · 𝑁) + (2 + 1))) |
| 13 | | 2p1e3 12408 |
. . . . . 6
⊢ (2 + 1) =
3 |
| 14 | 13 | a1i 11 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (2 + 1) =
3) |
| 15 | 14 | oveq2d 7447 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + (2 + 1)) = ((2 ·
𝑁) + 3)) |
| 16 | 12, 15 | eqtrd 2777 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑁 + 1)) + 1) = ((2 · 𝑁) + 3)) |
| 17 | 16 | oveq1d 7446 |
. 2
⊢ (𝜑 → (((2 · (𝑁 + 1)) + 1)C(𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁) + 3)C(𝑁 + 1))) |
| 18 | | 0zd 12625 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 0 ∈
ℤ) |
| 19 | | 2z 12649 |
. . . . . . . 8
⊢ 2 ∈
ℤ |
| 20 | 19 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 2 ∈
ℤ) |
| 21 | 2 | nn0zd 12639 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ) |
| 22 | 20, 21 | zmulcld 12728 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈
ℤ) |
| 23 | | 3z 12650 |
. . . . . . 7
⊢ 3 ∈
ℤ |
| 24 | 23 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 3 ∈
ℤ) |
| 25 | 22, 24 | zaddcld 12726 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 3) ∈
ℤ) |
| 26 | 21 | peano2zd 12725 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ) |
| 27 | 2 | nn0red 12588 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ) |
| 28 | | 1red 11262 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 1 ∈
ℝ) |
| 29 | 2 | nn0ge0d 12590 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑁) |
| 30 | | 0le1 11786 |
. . . . . . 7
⊢ 0 ≤
1 |
| 31 | 30 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1) |
| 32 | 27, 28, 29, 31 | addge0d 11839 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑁 + 1)) |
| 33 | | 2re 12340 |
. . . . . . . 8
⊢ 2 ∈
ℝ |
| 34 | 33 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 2 ∈
ℝ) |
| 35 | 34, 27 | remulcld 11291 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈
ℝ) |
| 36 | | 3re 12346 |
. . . . . . 7
⊢ 3 ∈
ℝ |
| 37 | 36 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 3 ∈
ℝ) |
| 38 | | 1le2 12475 |
. . . . . . . 8
⊢ 1 ≤
2 |
| 39 | 38 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 1 ≤ 2) |
| 40 | 27, 34, 29, 39 | lemulge12d 12206 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ (2 · 𝑁)) |
| 41 | | 1le3 12478 |
. . . . . . 7
⊢ 1 ≤
3 |
| 42 | 41 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 1 ≤ 3) |
| 43 | 27, 28, 35, 37, 40, 42 | le2addd 11882 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ≤ ((2 · 𝑁) + 3)) |
| 44 | 18, 25, 26, 32, 43 | elfzd 13555 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (0...((2 · 𝑁) + 3))) |
| 45 | | bcval2 14344 |
. . . 4
⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (0...((2 ·
𝑁) + 3)) → (((2
· 𝑁) + 3)C(𝑁 + 1)) = ((!‘((2 ·
𝑁) + 3)) / ((!‘(((2
· 𝑁) + 3) −
(𝑁 + 1))) ·
(!‘(𝑁 +
1))))) |
| 46 | 44, 45 | syl 17 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 3)C(𝑁 + 1)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 3)) / ((!‘(((2
· 𝑁) + 3) −
(𝑁 + 1))) ·
(!‘(𝑁 +
1))))) |
| 47 | 37 | recnd 11289 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 3 ∈
ℂ) |
| 48 | 10, 47, 3, 4 | addsub4d 11667 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 3) − (𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁) − 𝑁) + (3 − 1))) |
| 49 | | 2txmxeqx 12406 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((2
· 𝑁) − 𝑁) = 𝑁) |
| 50 | 3, 49 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) − 𝑁) = 𝑁) |
| 51 | | 3m1e2 12394 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (3
− 1) = 2 |
| 52 | 51 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (3 − 1) =
2) |
| 53 | 50, 52 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) − 𝑁) + (3 − 1)) = (𝑁 + 2)) |
| 54 | 48, 53 | eqtrd 2777 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 3) − (𝑁 + 1)) = (𝑁 + 2)) |
| 55 | 54 | fveq2d 6910 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (!‘(((2 ·
𝑁) + 3) − (𝑁 + 1))) = (!‘(𝑁 + 2))) |
| 56 | 55 | oveq1d 7446 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((!‘(((2 ·
𝑁) + 3) − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1))) = ((!‘(𝑁 + 2)) · (!‘(𝑁 + 1)))) |
| 57 | 56 | oveq2d 7447 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((!‘((2 ·
𝑁) + 3)) / ((!‘(((2
· 𝑁) + 3) −
(𝑁 + 1))) ·
(!‘(𝑁 + 1)))) =
((!‘((2 · 𝑁) +
3)) / ((!‘(𝑁 + 2))
· (!‘(𝑁 +
1))))) |
| 58 | | 2nn0 12543 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 2 ∈
ℕ0 |
| 59 | 58 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 2 ∈
ℕ0) |
| 60 | 2, 59 | nn0addcld 12591 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑁 + 2) ∈
ℕ0) |
| 61 | 60 | faccld 14323 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (!‘(𝑁 + 2)) ∈
ℕ) |
| 62 | 61 | nncnd 12282 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (!‘(𝑁 + 2)) ∈
ℂ) |
| 63 | | 1nn0 12542 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 1 ∈
ℕ0 |
| 64 | 63 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 1 ∈
ℕ0) |
| 65 | 2, 64 | nn0addcld 12591 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈
ℕ0) |
| 66 | 65 | faccld 14323 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (!‘(𝑁 + 1)) ∈
ℕ) |
| 67 | 66 | nncnd 12282 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (!‘(𝑁 + 1)) ∈
ℂ) |
| 68 | 62, 67 | mulcomd 11282 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑁 + 2)) · (!‘(𝑁 + 1))) = ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘(𝑁 + 2)))) |
| 69 | 68 | oveq2d 7447 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((!‘((2 ·
𝑁) + 3)) / ((!‘(𝑁 + 2)) · (!‘(𝑁 + 1)))) = ((!‘((2
· 𝑁) + 3)) /
((!‘(𝑁 + 1)) ·
(!‘(𝑁 +
2))))) |
| 70 | 10, 4, 1 | addassd 11283 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) + 2) = ((2 · 𝑁) + (1 + 2))) |
| 71 | | 1p2e3 12409 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (1 + 2) =
3 |
| 72 | 71 | oveq2i 7442 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((2
· 𝑁) + (1 + 2)) =
((2 · 𝑁) +
3) |
| 73 | 70, 72 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) + 2) = ((2 · 𝑁) + 3)) |
| 74 | 73 | fveq2d 6910 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (!‘(((2 ·
𝑁) + 1) + 2)) =
(!‘((2 · 𝑁) +
3))) |
| 75 | 74 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (!‘((2 ·
𝑁) + 3)) = (!‘(((2
· 𝑁) + 1) +
2))) |
| 76 | 59, 2 | nn0mulcld 12592 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈
ℕ0) |
| 77 | 76, 64 | nn0addcld 12591 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈
ℕ0) |
| 78 | | facp2 42144 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((2
· 𝑁) + 1) ∈
ℕ0 → (!‘(((2 · 𝑁) + 1) + 2)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · ((((2 ·
𝑁) + 1) + 1) · (((2
· 𝑁) + 1) +
2)))) |
| 79 | 77, 78 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (!‘(((2 ·
𝑁) + 1) + 2)) =
((!‘((2 · 𝑁) +
1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) + 2)))) |
| 80 | 75, 79 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (!‘((2 ·
𝑁) + 3)) = ((!‘((2
· 𝑁) + 1)) ·
((((2 · 𝑁) + 1) + 1)
· (((2 · 𝑁) +
1) + 2)))) |
| 81 | 10, 4, 4 | addassd 11283 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) + 1) = ((2 · 𝑁) + (1 + 1))) |
| 82 | | 1p1e2 12391 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (1 + 1) =
2 |
| 83 | 82 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (1 + 1) =
2) |
| 84 | 83 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + (1 + 1)) = ((2 ·
𝑁) + 2)) |
| 85 | 81, 84 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) + 1) = ((2 · 𝑁) + 2)) |
| 86 | 71 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (1 + 2) =
3) |
| 87 | 86 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + (1 + 2)) = ((2 ·
𝑁) + 3)) |
| 88 | 70, 87 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) + 2) = ((2 · 𝑁) + 3)) |
| 89 | 85, 88 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 1) + 1) · (((2
· 𝑁) + 1) + 2)) =
(((2 · 𝑁) + 2)
· ((2 · 𝑁) +
3))) |
| 90 | 89 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((!‘((2 ·
𝑁) + 1)) · ((((2
· 𝑁) + 1) + 1)
· (((2 · 𝑁) +
1) + 2))) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 ·
𝑁) + 3)))) |
| 91 | 80, 90 | eqtrd 2777 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (!‘((2 ·
𝑁) + 3)) = ((!‘((2
· 𝑁) + 1)) ·
(((2 · 𝑁) + 2)
· ((2 · 𝑁) +
3)))) |
| 92 | 91 | oveq1d 7446 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((!‘((2 ·
𝑁) + 3)) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘(𝑁 + 2)))) = (((!‘((2
· 𝑁) + 1)) ·
(((2 · 𝑁) + 2)
· ((2 · 𝑁) +
3))) / ((!‘(𝑁 + 1))
· (!‘(𝑁 +
2))))) |
| 93 | | facp2 42144 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (!‘(𝑁 + 2)) =
((!‘𝑁) ·
((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)))) |
| 94 | 2, 93 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (!‘(𝑁 + 2)) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)))) |
| 95 | 94 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘(𝑁 + 2))) = ((!‘(𝑁 + 1)) · ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))))) |
| 96 | 95 | oveq2d 7447 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (((!‘((2 ·
𝑁) + 1)) · (((2
· 𝑁) + 2) ·
((2 · 𝑁) + 3))) /
((!‘(𝑁 + 1)) ·
(!‘(𝑁 + 2)))) =
(((!‘((2 · 𝑁)
+ 1)) · (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3))) / ((!‘(𝑁 + 1)) · ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)))))) |
| 97 | 2 | faccld 14323 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ) |
| 98 | 97 | nncnd 12282 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℂ) |
| 99 | 3, 4 | addcld 11280 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ) |
| 100 | 3, 1 | addcld 11280 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝑁 + 2) ∈ ℂ) |
| 101 | 99, 100 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)) ∈ ℂ) |
| 102 | 67, 98, 101 | mulassd 11284 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))) = ((!‘(𝑁 + 1)) · ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))))) |
| 103 | 102 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑁 + 1)) · ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)))) = (((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)))) |
| 104 | 103 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (((!‘((2 ·
𝑁) + 1)) · (((2
· 𝑁) + 2) ·
((2 · 𝑁) + 3))) /
((!‘(𝑁 + 1)) ·
((!‘𝑁) ·
((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))))) = (((!‘((2
· 𝑁) + 1)) ·
(((2 · 𝑁) + 2)
· ((2 · 𝑁) +
3))) / (((!‘(𝑁 + 1))
· (!‘𝑁))
· ((𝑁 + 1) ·
(𝑁 +
2))))) |
| 105 | 77 | faccld 14323 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (!‘((2 ·
𝑁) + 1)) ∈
ℕ) |
| 106 | 105 | nncnd 12282 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (!‘((2 ·
𝑁) + 1)) ∈
ℂ) |
| 107 | 67, 98 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)) ∈
ℂ) |
| 108 | 10, 1 | addcld 11280 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 2) ∈
ℂ) |
| 109 | 10, 47 | addcld 11280 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 3) ∈
ℂ) |
| 110 | 108, 109 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 ·
𝑁) + 3)) ∈
ℂ) |
| 111 | 66 | nnne0d 12316 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (!‘(𝑁 + 1)) ≠ 0) |
| 112 | 97 | nnne0d 12316 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ≠ 0) |
| 113 | 67, 98, 111, 112 | mulne0d 11915 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)) ≠ 0) |
| 114 | | 0red 11264 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 0 ∈
ℝ) |
| 115 | 27, 28 | readdcld 11290 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ) |
| 116 | 27 | ltp1d 12198 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → 𝑁 < (𝑁 + 1)) |
| 117 | 114, 27, 115, 29, 116 | lelttrd 11419 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 0 < (𝑁 + 1)) |
| 118 | 114, 117 | ltned 11397 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 0 ≠ (𝑁 + 1)) |
| 119 | 118 | necomd 2996 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ≠ 0) |
| 120 | 27, 34 | readdcld 11290 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝑁 + 2) ∈ ℝ) |
| 121 | | 2rp 13039 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ 2 ∈
ℝ+ |
| 122 | 121 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 2 ∈
ℝ+) |
| 123 | 27, 122 | ltaddrpd 13110 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → 𝑁 < (𝑁 + 2)) |
| 124 | 114, 27, 120, 29, 123 | lelttrd 11419 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 0 < (𝑁 + 2)) |
| 125 | 114, 124 | ltned 11397 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 0 ≠ (𝑁 + 2)) |
| 126 | 125 | necomd 2996 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝑁 + 2) ≠ 0) |
| 127 | 99, 100, 119, 126 | mulne0d 11915 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)) ≠ 0) |
| 128 | 106, 107,
110, 101, 113, 127 | divmuldivd 12084 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (((!‘((2 ·
𝑁) + 1)) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁))) · ((((2 ·
𝑁) + 2) · ((2
· 𝑁) + 3)) / ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)))) = (((!‘((2
· 𝑁) + 1)) ·
(((2 · 𝑁) + 2)
· ((2 · 𝑁) +
3))) / (((!‘(𝑁 + 1))
· (!‘𝑁))
· ((𝑁 + 1) ·
(𝑁 +
2))))) |
| 129 | 128 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (((!‘((2 ·
𝑁) + 1)) · (((2
· 𝑁) + 2) ·
((2 · 𝑁) + 3))) /
(((!‘(𝑁 + 1))
· (!‘𝑁))
· ((𝑁 + 1) ·
(𝑁 + 2)))) = (((!‘((2
· 𝑁) + 1)) /
((!‘(𝑁 + 1)) ·
(!‘𝑁))) ·
((((2 · 𝑁) + 2)
· ((2 · 𝑁) +
3)) / ((𝑁 + 1) ·
(𝑁 +
2))))) |
| 130 | 22 | peano2zd 12725 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈
ℤ) |
| 131 | 35, 28 | readdcld 11290 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈
ℝ) |
| 132 | 35 | lep1d 12199 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ≤ ((2 · 𝑁) + 1)) |
| 133 | 27, 35, 131, 40, 132 | letrd 11418 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) + 1)) |
| 134 | 18, 130, 21, 29, 133 | elfzd 13555 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...((2 · 𝑁) + 1))) |
| 135 | | bcval2 14344 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑁 ∈ (0...((2 · 𝑁) + 1)) → (((2 ·
𝑁) + 1)C𝑁) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁)) · (!‘𝑁)))) |
| 136 | 134, 135 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁)) · (!‘𝑁)))) |
| 137 | 10, 4, 3 | addsubd 11641 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁) = (((2 · 𝑁) − 𝑁) + 1)) |
| 138 | 50 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) − 𝑁) + 1) = (𝑁 + 1)) |
| 139 | 137, 138 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁) = (𝑁 + 1)) |
| 140 | 139 | fveq2d 6910 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (!‘(((2 ·
𝑁) + 1) − 𝑁)) = (!‘(𝑁 + 1))) |
| 141 | 140 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((!‘(((2 ·
𝑁) + 1) − 𝑁)) · (!‘𝑁)) = ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁))) |
| 142 | 141 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((!‘((2 ·
𝑁) + 1)) / ((!‘(((2
· 𝑁) + 1) −
𝑁)) · (!‘𝑁))) = ((!‘((2 ·
𝑁) + 1)) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)))) |
| 143 | 136, 142 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)))) |
| 144 | 143 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((!‘((2 ·
𝑁) + 1)) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁))) = (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁)) |
| 145 | 108, 99, 109, 100, 119, 126 | divmuldivd 12084 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 2) / (𝑁 + 1)) · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2))) = ((((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3)) / ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)))) |
| 146 | 145 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 2) · ((2 ·
𝑁) + 3)) / ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))) = ((((2 · 𝑁) + 2) / (𝑁 + 1)) · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2)))) |
| 147 | 8 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 2) = (2 · (𝑁 + 1))) |
| 148 | 147 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 2) / (𝑁 + 1)) = ((2 · (𝑁 + 1)) / (𝑁 + 1))) |
| 149 | 1, 99, 119 | divcan4d 12049 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑁 + 1)) / (𝑁 + 1)) = 2) |
| 150 | 148, 149 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 2) / (𝑁 + 1)) = 2) |
| 151 | | eqidd 2738 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2)) = (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2))) |
| 152 | 150, 151 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 2) / (𝑁 + 1)) · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2))) = (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2)))) |
| 153 | 146, 152 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 2) · ((2 ·
𝑁) + 3)) / ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))) = (2 · (((2
· 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2)))) |
| 154 | 144, 153 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (((!‘((2 ·
𝑁) + 1)) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁))) · ((((2 ·
𝑁) + 2) · ((2
· 𝑁) + 3)) / ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)))) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2))))) |
| 155 | 129, 154 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (((!‘((2 ·
𝑁) + 1)) · (((2
· 𝑁) + 2) ·
((2 · 𝑁) + 3))) /
(((!‘(𝑁 + 1))
· (!‘𝑁))
· ((𝑁 + 1) ·
(𝑁 + 2)))) = ((((2 ·
𝑁) + 1)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2))))) |
| 156 | 104, 155 | eqtrd 2777 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (((!‘((2 ·
𝑁) + 1)) · (((2
· 𝑁) + 2) ·
((2 · 𝑁) + 3))) /
((!‘(𝑁 + 1)) ·
((!‘𝑁) ·
((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))))) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2))))) |
| 157 | 96, 156 | eqtrd 2777 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (((!‘((2 ·
𝑁) + 1)) · (((2
· 𝑁) + 2) ·
((2 · 𝑁) + 3))) /
((!‘(𝑁 + 1)) ·
(!‘(𝑁 + 2)))) = ((((2
· 𝑁) + 1)C𝑁) · (2 · (((2
· 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2))))) |
| 158 | 92, 157 | eqtrd 2777 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((!‘((2 ·
𝑁) + 3)) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘(𝑁 + 2)))) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2))))) |
| 159 | 69, 158 | eqtrd 2777 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((!‘((2 ·
𝑁) + 3)) / ((!‘(𝑁 + 2)) · (!‘(𝑁 + 1)))) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2))))) |
| 160 | 57, 159 | eqtrd 2777 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((!‘((2 ·
𝑁) + 3)) / ((!‘(((2
· 𝑁) + 3) −
(𝑁 + 1))) ·
(!‘(𝑁 + 1)))) = ((((2
· 𝑁) + 1)C𝑁) · (2 · (((2
· 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2))))) |
| 161 | 46, 160 | eqtrd 2777 |
. 2
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 3)C(𝑁 + 1)) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2))))) |
| 162 | 17, 161 | eqtrd 2777 |
1
⊢ (𝜑 → (((2 · (𝑁 + 1)) + 1)C(𝑁 + 1)) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2))))) |