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Theorem 2np3bcnp1 39339
Description: Part of induction step for 2ap1caineq 39340. (Contributed by metakunt, 8-Jun-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
2np3bcnp1.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
2np3bcnp1 (𝜑 → (((2 · (𝑁 + 1)) + 1)C(𝑁 + 1)) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2)))))

Proof of Theorem 2np3bcnp1
StepHypRef Expression
1 2cnd 11707 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
2 2np3bcnp1.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
32nn0cnd 11949 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
4 1cnd 10629 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
51, 3, 4adddid 10658 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · (𝑁 + 1)) = ((2 · 𝑁) + (2 · 1)))
6 2t1e2 11792 . . . . . . . 8 (2 · 1) = 2
76oveq2i 7150 . . . . . . 7 ((2 · 𝑁) + (2 · 1)) = ((2 · 𝑁) + 2)
85, 7eqtrdi 2852 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · (𝑁 + 1)) = ((2 · 𝑁) + 2))
98oveq1d 7154 . . . . 5 (𝜑 → ((2 · (𝑁 + 1)) + 1) = (((2 · 𝑁) + 2) + 1))
101, 3mulcld 10654 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
1110, 1, 4addassd 10656 . . . . 5 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 2) + 1) = ((2 · 𝑁) + (2 + 1)))
129, 11eqtrd 2836 . . . 4 (𝜑 → ((2 · (𝑁 + 1)) + 1) = ((2 · 𝑁) + (2 + 1)))
13 2p1e3 11771 . . . . . 6 (2 + 1) = 3
1413a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (2 + 1) = 3)
1514oveq2d 7155 . . . 4 (𝜑 → ((2 · 𝑁) + (2 + 1)) = ((2 · 𝑁) + 3))
1612, 15eqtrd 2836 . . 3 (𝜑 → ((2 · (𝑁 + 1)) + 1) = ((2 · 𝑁) + 3))
1716oveq1d 7154 . 2 (𝜑 → (((2 · (𝑁 + 1)) + 1)C(𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁) + 3)C(𝑁 + 1)))
18 0zd 11985 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
19 2z 12006 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
2019a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
212nn0zd 12077 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
2220, 21zmulcld 12085 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
23 3z 12007 . . . . . . 7 3 ∈ ℤ
2423a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 3 ∈ ℤ)
2522, 24zaddcld 12083 . . . . 5 (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 3) ∈ ℤ)
2621peano2zd 12082 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
272nn0red 11948 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
28 1red 10635 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
292nn0ge0d 11950 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
30 0le1 11156 . . . . . . 7 0 ≤ 1
3130a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 1)
3227, 28, 29, 31addge0d 11209 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁 + 1))
33 2re 11703 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
3433a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
3534, 27remulcld 10664 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
36 3re 11709 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ
3736a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
38 1le2 11838 . . . . . . . 8 1 ≤ 2
3938a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ≤ 2)
4027, 34, 29, 39lemulge12d 11571 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ≤ (2 · 𝑁))
41 1le3 11841 . . . . . . 7 1 ≤ 3
4241a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ≤ 3)
4327, 28, 35, 37, 40, 42le2addd 11252 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 + 1) ≤ ((2 · 𝑁) + 3))
4418, 25, 26, 32, 43elfzd 12897 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (0...((2 · 𝑁) + 3)))
45 bcval2 13665 . . . 4 ((𝑁 + 1) ∈ (0...((2 · 𝑁) + 3)) → (((2 · 𝑁) + 3)C(𝑁 + 1)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 3)) / ((!‘(((2 · 𝑁) + 3) − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1)))))
4644, 45syl 17 . . 3 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 3)C(𝑁 + 1)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 3)) / ((!‘(((2 · 𝑁) + 3) − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1)))))
4737recnd 10662 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
4810, 47, 3, 4addsub4d 11037 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 3) − (𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁) − 𝑁) + (3 − 1)))
49 2txmxeqx 11769 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℂ → ((2 · 𝑁) − 𝑁) = 𝑁)
503, 49syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · 𝑁) − 𝑁) = 𝑁)
51 3m1e2 11757 . . . . . . . . . 10 (3 − 1) = 2
5251a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (3 − 1) = 2)
5350, 52oveq12d 7157 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 · 𝑁) − 𝑁) + (3 − 1)) = (𝑁 + 2))
5448, 53eqtrd 2836 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 3) − (𝑁 + 1)) = (𝑁 + 2))
5554fveq2d 6653 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘(((2 · 𝑁) + 3) − (𝑁 + 1))) = (!‘(𝑁 + 2)))
5655oveq1d 7154 . . . . 5 (𝜑 → ((!‘(((2 · 𝑁) + 3) − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1))) = ((!‘(𝑁 + 2)) · (!‘(𝑁 + 1))))
5756oveq2d 7155 . . . 4 (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 3)) / ((!‘(((2 · 𝑁) + 3) − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1)))) = ((!‘((2 · 𝑁) + 3)) / ((!‘(𝑁 + 2)) · (!‘(𝑁 + 1)))))
58 2nn0 11906 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ0
5958a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
602, 59nn0addcld 11951 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 + 2) ∈ ℕ0)
6160faccld 13644 . . . . . . . 8 (𝜑 → (!‘(𝑁 + 2)) ∈ ℕ)
6261nncnd 11645 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘(𝑁 + 2)) ∈ ℂ)
63 1nn0 11905 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ0
6463a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
652, 64nn0addcld 11951 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
6665faccld 13644 . . . . . . . 8 (𝜑 → (!‘(𝑁 + 1)) ∈ ℕ)
6766nncnd 11645 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
6862, 67mulcomd 10655 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘(𝑁 + 2)) · (!‘(𝑁 + 1))) = ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘(𝑁 + 2))))
6968oveq2d 7155 . . . . 5 (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 3)) / ((!‘(𝑁 + 2)) · (!‘(𝑁 + 1)))) = ((!‘((2 · 𝑁) + 3)) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘(𝑁 + 2)))))
7010, 4, 1addassd 10656 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) + 2) = ((2 · 𝑁) + (1 + 2)))
71 1p2e3 11772 . . . . . . . . . . . . 13 (1 + 2) = 3
7271oveq2i 7150 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 𝑁) + (1 + 2)) = ((2 · 𝑁) + 3)
7370, 72eqtrdi 2852 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) + 2) = ((2 · 𝑁) + 3))
7473fveq2d 6653 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (!‘(((2 · 𝑁) + 1) + 2)) = (!‘((2 · 𝑁) + 3)))
7574eqcomd 2807 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (!‘((2 · 𝑁) + 3)) = (!‘(((2 · 𝑁) + 1) + 2)))
7659, 2nn0mulcld 11952 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
7776, 64nn0addcld 11951 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ0)
78 facp2 39338 . . . . . . . . . 10 (((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ0 → (!‘(((2 · 𝑁) + 1) + 2)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) + 2))))
7977, 78syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (!‘(((2 · 𝑁) + 1) + 2)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) + 2))))
8075, 79eqtrd 2836 . . . . . . . 8 (𝜑 → (!‘((2 · 𝑁) + 3)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) + 2))))
8110, 4, 4addassd 10656 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) + 1) = ((2 · 𝑁) + (1 + 1)))
82 1p1e2 11754 . . . . . . . . . . . . 13 (1 + 1) = 2
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 + 1) = 2)
8483oveq2d 7155 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · 𝑁) + (1 + 1)) = ((2 · 𝑁) + 2))
8581, 84eqtrd 2836 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) + 1) = ((2 · 𝑁) + 2))
8671a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 + 2) = 3)
8786oveq2d 7155 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · 𝑁) + (1 + 2)) = ((2 · 𝑁) + 3))
8870, 87eqtrd 2836 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) + 2) = ((2 · 𝑁) + 3))
8985, 88oveq12d 7157 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 1) + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) + 2)) = (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3)))
9089oveq2d 7155 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) + 2))) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3))))
9180, 90eqtrd 2836 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘((2 · 𝑁) + 3)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3))))
9291oveq1d 7154 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 3)) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘(𝑁 + 2)))) = (((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3))) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘(𝑁 + 2)))))
93 facp2 39338 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 2)) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))))
942, 93syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (!‘(𝑁 + 2)) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))))
9594oveq2d 7155 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘(𝑁 + 2))) = ((!‘(𝑁 + 1)) · ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)))))
9695oveq2d 7155 . . . . . . 7 (𝜑 → (((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3))) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘(𝑁 + 2)))) = (((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3))) / ((!‘(𝑁 + 1)) · ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))))))
972faccld 13644 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
9897nncnd 11645 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
993, 4addcld 10653 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
1003, 1addcld 10653 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 + 2) ∈ ℂ)
10199, 100mulcld 10654 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)) ∈ ℂ)
10267, 98, 101mulassd 10657 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))) = ((!‘(𝑁 + 1)) · ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)))))
103102eqcomd 2807 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((!‘(𝑁 + 1)) · ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)))) = (((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))))
104103oveq2d 7155 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3))) / ((!‘(𝑁 + 1)) · ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))))) = (((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3))) / (((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)))))
10577faccld 13644 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (!‘((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℕ)
106105nncnd 11645 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (!‘((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℂ)
10767, 98mulcld 10654 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)) ∈ ℂ)
10810, 1addcld 10653 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 2) ∈ ℂ)
10910, 47addcld 10653 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 3) ∈ ℂ)
110108, 109mulcld 10654 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3)) ∈ ℂ)
11166nnne0d 11679 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (!‘(𝑁 + 1)) ≠ 0)
11297nnne0d 11679 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (!‘𝑁) ≠ 0)
11367, 98, 111, 112mulne0d 11285 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)) ≠ 0)
114 0red 10637 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
11527, 28readdcld 10663 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
11627ltp1d 11563 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 < (𝑁 + 1))
117114, 27, 115, 29, 116lelttrd 10791 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < (𝑁 + 1))
118114, 117ltned 10769 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ≠ (𝑁 + 1))
119118necomd 3045 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 + 1) ≠ 0)
12027, 34readdcld 10663 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁 + 2) ∈ ℝ)
121 2rp 12386 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ+
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
12327, 122ltaddrpd 12456 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 < (𝑁 + 2))
124114, 27, 120, 29, 123lelttrd 10791 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < (𝑁 + 2))
125114, 124ltned 10769 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ≠ (𝑁 + 2))
126125necomd 3045 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 + 2) ≠ 0)
12799, 100, 119, 126mulne0d 11285 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)) ≠ 0)
128106, 107, 110, 101, 113, 127divmuldivd 11450 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁))) · ((((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3)) / ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)))) = (((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3))) / (((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)))))
129128eqcomd 2807 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3))) / (((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)))) = (((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁))) · ((((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3)) / ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)))))
13022peano2zd 12082 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℤ)
13135, 28readdcld 10663 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
13235lep1d 11564 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2 · 𝑁) ≤ ((2 · 𝑁) + 1))
13327, 35, 131, 40, 132letrd 10790 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) + 1))
13418, 130, 21, 29, 133elfzd 12897 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ (0...((2 · 𝑁) + 1)))
135 bcval2 13665 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (0...((2 · 𝑁) + 1)) → (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁)) · (!‘𝑁))))
136134, 135syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁)) · (!‘𝑁))))
13710, 4, 3addsubd 11011 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁) = (((2 · 𝑁) − 𝑁) + 1))
13850oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((2 · 𝑁) − 𝑁) + 1) = (𝑁 + 1))
139137, 138eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁) = (𝑁 + 1))
140139fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (!‘(((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁)) = (!‘(𝑁 + 1)))
141140oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((!‘(((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁)) · (!‘𝑁)) = ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)))
142141oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁)) · (!‘𝑁))) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁))))
143136, 142eqtrd 2836 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁))))
144143eqcomd 2807 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁))) = (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁))
145108, 99, 109, 100, 119, 126divmuldivd 11450 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 2) / (𝑁 + 1)) · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2))) = ((((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3)) / ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))))
146145eqcomd 2807 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3)) / ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))) = ((((2 · 𝑁) + 2) / (𝑁 + 1)) · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2))))
1478eqcomd 2807 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 2) = (2 · (𝑁 + 1)))
148147oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 2) / (𝑁 + 1)) = ((2 · (𝑁 + 1)) / (𝑁 + 1)))
1491, 99, 119divcan4d 11415 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 · (𝑁 + 1)) / (𝑁 + 1)) = 2)
150148, 149eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 2) / (𝑁 + 1)) = 2)
151 eqidd 2802 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2)) = (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2)))
152150, 151oveq12d 7157 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 2) / (𝑁 + 1)) · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2))) = (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2))))
153146, 152eqtrd 2836 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3)) / ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))) = (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2))))
154144, 153oveq12d 7157 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁))) · ((((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3)) / ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)))) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2)))))
155129, 154eqtrd 2836 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3))) / (((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2)))) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2)))))
156104, 155eqtrd 2836 . . . . . . 7 (𝜑 → (((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3))) / ((!‘(𝑁 + 1)) · ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))))) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2)))))
15796, 156eqtrd 2836 . . . . . 6 (𝜑 → (((!‘((2 · 𝑁) + 1)) · (((2 · 𝑁) + 2) · ((2 · 𝑁) + 3))) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘(𝑁 + 2)))) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2)))))
15892, 157eqtrd 2836 . . . . 5 (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 3)) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘(𝑁 + 2)))) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2)))))
15969, 158eqtrd 2836 . . . 4 (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 3)) / ((!‘(𝑁 + 2)) · (!‘(𝑁 + 1)))) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2)))))
16057, 159eqtrd 2836 . . 3 (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 3)) / ((!‘(((2 · 𝑁) + 3) − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1)))) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2)))))
16146, 160eqtrd 2836 . 2 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 3)C(𝑁 + 1)) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2)))))
16217, 161eqtrd 2836 1 (𝜑 → (((2 · (𝑁 + 1)) + 1)C(𝑁 + 1)) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 3) / (𝑁 + 2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2112   class class class wbr 5033  cfv 6328  (class class class)co 7139  cc 10528  cr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535  cle 10669  cmin 10863   / cdiv 11290  2c2 11684  3c3 11685  0cn0 11889  cz 11973  +crp 12381  ...cfz 12889  !cfa 13633  Ccbc 13662
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12890  df-seq 13369  df-fac 13634  df-bc 13663
This theorem is referenced by:  2ap1caineq  39340
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