Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem14 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4sqlem14 16040
 Description: Lemma for 4sq 16046. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
4sq.1 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
4sq.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4sq.3 (𝜑𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
4sq.4 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
4sq.5 (𝜑 → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
4sq.6 𝑇 = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
4sq.7 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < )
4sq.m (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2))
4sq.a (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
4sq.b (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
4sq.c (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
4sq.d (𝜑𝐷 ∈ ℤ)
4sq.e 𝐸 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.f 𝐹 = (((𝐵 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.g 𝐺 = (((𝐶 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.h 𝐻 = (((𝐷 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.r 𝑅 = ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀)
4sq.p (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
Assertion
Ref Expression
4sqlem14 (𝜑𝑅 ∈ ℕ0)
Distinct variable groups:   𝑤,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑛   𝑛,𝐸   𝑛,𝐺   𝑛,𝐻   𝐴,𝑛   𝐶,𝑛   𝐷,𝑛   𝑛,𝐹   𝑖,𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑃,𝑖,𝑛   𝜑,𝑛   𝑆,𝑖,𝑛   𝑅,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑛)   𝐸(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)

Proof of Theorem 4sqlem14
StepHypRef Expression
1 4sq.r . 2 𝑅 = ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀)
2 4sq.6 . . . . . . . . . 10 𝑇 = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
3 ssrab2 3914 . . . . . . . . . 10 {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆} ⊆ ℕ
42, 3eqsstri 3860 . . . . . . . . 9 𝑇 ⊆ ℕ
5 4sq.7 . . . . . . . . . 10 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < )
6 nnuz 12012 . . . . . . . . . . . 12 ℕ = (ℤ‘1)
74, 6sseqtri 3862 . . . . . . . . . . 11 𝑇 ⊆ (ℤ‘1)
8 4sq.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
9 4sq.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
10 4sq.3 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
11 4sq.4 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
12 4sq.5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
138, 9, 10, 11, 12, 2, 54sqlem13 16039 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑇 ≠ ∅ ∧ 𝑀 < 𝑃))
1413simpld 490 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇 ≠ ∅)
15 infssuzcl 12062 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ⊆ (ℤ‘1) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
167, 14, 15sylancr 581 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
175, 16syl5eqel 2910 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀𝑇)
184, 17sseldi 3825 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
1918nnzd 11816 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
20 prmz 15768 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
2111, 20syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
22 dvdsmul1 15387 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → 𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑃))
2319, 21, 22syl2anc 579 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑃))
24 4sq.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
25 4sq.e . . . . . . . . . . 11 𝐸 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
2624, 18, 254sqlem8 16027 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∥ ((𝐴↑2) − (𝐸↑2)))
27 4sq.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
28 4sq.f . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (((𝐵 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
2927, 18, 284sqlem8 16027 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∥ ((𝐵↑2) − (𝐹↑2)))
30 zsqcl 13235 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
3124, 30syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
3224, 18, 254sqlem5 16024 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℤ ∧ ((𝐴𝐸) / 𝑀) ∈ ℤ))
3332simpld 490 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐸 ∈ ℤ)
34 zsqcl2 13242 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐸 ∈ ℤ → (𝐸↑2) ∈ ℕ0)
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℕ0)
3635nn0zd 11815 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℤ)
3731, 36zsubcld 11822 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) ∈ ℤ)
38 zsqcl 13235 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
3927, 38syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
4027, 18, 284sqlem5 16024 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐹 ∈ ℤ ∧ ((𝐵𝐹) / 𝑀) ∈ ℤ))
4140simpld 490 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 ∈ ℤ)
42 zsqcl2 13242 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ ℤ → (𝐹↑2) ∈ ℕ0)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℕ0)
4443nn0zd 11815 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℤ)
4539, 44zsubcld 11822 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐵↑2) − (𝐹↑2)) ∈ ℤ)
46 dvds2add 15399 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) ∈ ℤ ∧ ((𝐵↑2) − (𝐹↑2)) ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ ((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) ∧ 𝑀 ∥ ((𝐵↑2) − (𝐹↑2))) → 𝑀 ∥ (((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) + ((𝐵↑2) − (𝐹↑2)))))
4719, 37, 45, 46syl3anc 1494 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑀 ∥ ((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) ∧ 𝑀 ∥ ((𝐵↑2) − (𝐹↑2))) → 𝑀 ∥ (((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) + ((𝐵↑2) − (𝐹↑2)))))
4826, 29, 47mp2and 690 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∥ (((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) + ((𝐵↑2) − (𝐹↑2))))
4924zcnd 11818 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
5049sqcld 13307 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
5127zcnd 11818 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
5251sqcld 13307 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
5333zcnd 11818 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
5453sqcld 13307 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
5541zcnd 11818 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ ℂ)
5655sqcld 13307 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℂ)
5750, 52, 54, 56addsub4d 10767 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) = (((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) + ((𝐵↑2) − (𝐹↑2))))
5848, 57breqtrrd 4903 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))))
59 4sq.c . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
60 4sq.g . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (((𝐶 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
6159, 18, 604sqlem8 16027 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∥ ((𝐶↑2) − (𝐺↑2)))
62 4sq.d . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷 ∈ ℤ)
63 4sq.h . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (((𝐷 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
6462, 18, 634sqlem8 16027 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∥ ((𝐷↑2) − (𝐻↑2)))
65 zsqcl 13235 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶 ∈ ℤ → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
6659, 65syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
6759, 18, 604sqlem5 16024 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐺 ∈ ℤ ∧ ((𝐶𝐺) / 𝑀) ∈ ℤ))
6867simpld 490 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐺 ∈ ℤ)
69 zsqcl2 13242 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ ℤ → (𝐺↑2) ∈ ℕ0)
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐺↑2) ∈ ℕ0)
7170nn0zd 11815 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐺↑2) ∈ ℤ)
7266, 71zsubcld 11822 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) ∈ ℤ)
73 zsqcl 13235 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ ℤ → (𝐷↑2) ∈ ℤ)
7462, 73syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℤ)
7562, 18, 634sqlem5 16024 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐻 ∈ ℤ ∧ ((𝐷𝐻) / 𝑀) ∈ ℤ))
7675simpld 490 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐻 ∈ ℤ)
77 zsqcl2 13242 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐻 ∈ ℤ → (𝐻↑2) ∈ ℕ0)
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐻↑2) ∈ ℕ0)
7978nn0zd 11815 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐻↑2) ∈ ℤ)
8074, 79zsubcld 11822 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐷↑2) − (𝐻↑2)) ∈ ℤ)
81 dvds2add 15399 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) ∈ ℤ ∧ ((𝐷↑2) − (𝐻↑2)) ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ ((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) ∧ 𝑀 ∥ ((𝐷↑2) − (𝐻↑2))) → 𝑀 ∥ (((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) + ((𝐷↑2) − (𝐻↑2)))))
8219, 72, 80, 81syl3anc 1494 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑀 ∥ ((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) ∧ 𝑀 ∥ ((𝐷↑2) − (𝐻↑2))) → 𝑀 ∥ (((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) + ((𝐷↑2) − (𝐻↑2)))))
8361, 64, 82mp2and 690 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∥ (((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) + ((𝐷↑2) − (𝐻↑2))))
8459zcnd 11818 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
8584sqcld 13307 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
8662zcnd 11818 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
8786sqcld 13307 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
8868zcnd 11818 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 ∈ ℂ)
8988sqcld 13307 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺↑2) ∈ ℂ)
9076zcnd 11818 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐻 ∈ ℂ)
9190sqcld 13307 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐻↑2) ∈ ℂ)
9285, 87, 89, 91addsub4d 10767 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) = (((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) + ((𝐷↑2) − (𝐻↑2))))
9383, 92breqtrrd 4903 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∥ (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
9431, 39zaddcld 11821 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℤ)
9535, 43nn0addcld 11689 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℕ0)
9695nn0zd 11815 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℤ)
9794, 96zsubcld 11822 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) ∈ ℤ)
9866, 74zaddcld 11821 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℤ)
9970, 78nn0addcld 11689 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ∈ ℕ0)
10099nn0zd 11815 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ∈ ℤ)
10198, 100zsubcld 11822 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℤ)
102 dvds2add 15399 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) ∈ ℤ ∧ (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) ∧ 𝑀 ∥ (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) → 𝑀 ∥ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))))
10319, 97, 101, 102syl3anc 1494 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑀 ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) ∧ 𝑀 ∥ (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) → 𝑀 ∥ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))))
10458, 93, 103mp2and 690 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∥ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))
105 4sq.p . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
106105oveq1d 6925 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))
10750, 52addcld 10383 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
10885, 87addcld 10383 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℂ)
10954, 56addcld 10383 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℂ)
11089, 91addcld 10383 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ∈ ℂ)
111107, 108, 109, 110addsub4d 10767 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))
112106, 111eqtrd 2861 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))
113104, 112breqtrrd 4903 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∥ ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))
11419, 21zmulcld 11823 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) ∈ ℤ)
11596, 100zaddcld 11821 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℤ)
116114, 115zsubcld 11822 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) ∈ ℤ)
117 dvds2sub 15400 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑃) ∈ ℤ ∧ ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑃) ∧ 𝑀 ∥ ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))) → 𝑀 ∥ ((𝑀 · 𝑃) − ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))))
11819, 114, 116, 117syl3anc 1494 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑃) ∧ 𝑀 ∥ ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))) → 𝑀 ∥ ((𝑀 · 𝑃) − ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))))
11923, 113, 118mp2and 690 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∥ ((𝑀 · 𝑃) − ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))))
12018nncnd 11375 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
121 prmnn 15767 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
12211, 121syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
123122nncnd 11375 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
124120, 123mulcld 10384 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) ∈ ℂ)
125109, 110addcld 10383 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℂ)
126124, 125nncand 10725 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑃) − ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))) = (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
127119, 126breqtrd 4901 . . . 4 (𝜑𝑀 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
12818nnne0d 11408 . . . . 5 (𝜑𝑀 ≠ 0)
12995, 99nn0addcld 11689 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℕ0)
130129nn0zd 11815 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℤ)
131 dvdsval2 15367 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ↔ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℤ))
13219, 128, 130, 131syl3anc 1494 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ↔ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℤ))
133127, 132mpbid 224 . . 3 (𝜑 → ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℤ)
134129nn0red 11686 . . . 4 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℝ)
135129nn0ge0d 11688 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
13618nnred 11374 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
13718nngt0d 11407 . . . 4 (𝜑 → 0 < 𝑀)
138 divge0 11229 . . . 4 ((((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀)) → 0 ≤ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀))
139134, 135, 136, 137, 138syl22anc 872 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀))
140 elnn0z 11724 . . 3 (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℕ0 ↔ (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀)))
141133, 139, 140sylanbrc 578 . 2 (𝜑 → ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℕ0)
1421, 141syl5eqel 2910 1 (𝜑𝑅 ∈ ℕ0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  {cab 2811   ≠ wne 2999  ∃wrex 3118  {crab 3121   ⊆ wss 3798  ∅c0 4146   class class class wbr 4875  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910  infcinf 8622  ℝcr 10258  0cc0 10259  1c1 10260   + caddc 10262   · cmul 10264   < clt 10398   ≤ cle 10399   − cmin 10592   / cdiv 11016  ℕcn 11357  2c2 11413  ℕ0cn0 11625  ℤcz 11711  ℤ≥cuz 11975  ...cfz 12626   mod cmo 12970  ↑cexp 13161   ∥ cdvds 15364  ℙcprime 15764 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-2o 7832  df-oadd 7835  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-sup 8623  df-inf 8624  df-card 9085  df-cda 9312  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-n0 11626  df-xnn0 11698  df-z 11712  df-uz 11976  df-rp 12120  df-fz 12627  df-fl 12895  df-mod 12971  df-seq 13103  df-exp 13162  df-hash 13418  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-dvds 15365  df-gcd 15597  df-prm 15765  df-gz 16012 This theorem is referenced by:  4sqlem17  16043
 Copyright terms: Public domain W3C validator