MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem14 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4sqlem14 16765
Description: Lemma for 4sq 16771. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
4sq.1 ๐‘† = {๐‘› โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค ๐‘› = (((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) + ((๐‘งโ†‘2) + (๐‘คโ†‘2)))}
4sq.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
4sq.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ = ((2 ยท ๐‘) + 1))
4sq.4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
4sq.5 (๐œ‘ โ†’ (0...(2 ยท ๐‘)) โŠ† ๐‘†)
4sq.6 ๐‘‡ = {๐‘– โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘– ยท ๐‘ƒ) โˆˆ ๐‘†}
4sq.7 ๐‘€ = inf(๐‘‡, โ„, < )
4sq.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
4sq.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
4sq.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
4sq.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
4sq.d (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„ค)
4sq.e ๐ธ = (((๐ด + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))
4sq.f ๐น = (((๐ต + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))
4sq.g ๐บ = (((๐ถ + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))
4sq.h ๐ป = (((๐ท + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))
4sq.r ๐‘… = ((((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) + ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))) / ๐‘€)
4sq.p (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘ƒ) = (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) + ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2))))
Assertion
Ref Expression
4sqlem14 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•0)
Distinct variable groups:   ๐‘ค,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐ต,๐‘›   ๐‘›,๐ธ   ๐‘›,๐บ   ๐‘›,๐ป   ๐ด,๐‘›   ๐ถ,๐‘›   ๐ท,๐‘›   ๐‘›,๐น   ๐‘–,๐‘›,๐‘€   ๐‘›,๐‘   ๐‘ƒ,๐‘–,๐‘›   ๐œ‘,๐‘›   ๐‘†,๐‘–,๐‘›   ๐‘…,๐‘–
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘–)   ๐ด(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘–)   ๐ต(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘–)   ๐ถ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘–)   ๐ท(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘–)   ๐‘ƒ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค)   ๐‘…(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘›)   ๐‘†(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค)   ๐‘‡(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘–,๐‘›)   ๐ธ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘–)   ๐น(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘–)   ๐บ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘–)   ๐ป(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘–)   ๐‘€(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค)   ๐‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘–)

Proof of Theorem 4sqlem14
StepHypRef Expression
1 4sq.r . 2 ๐‘… = ((((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) + ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))) / ๐‘€)
2 4sq.6 . . . . . . . . 9 ๐‘‡ = {๐‘– โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘– ยท ๐‘ƒ) โˆˆ ๐‘†}
32ssrab3 4039 . . . . . . . 8 ๐‘‡ โŠ† โ„•
4 4sq.7 . . . . . . . . 9 ๐‘€ = inf(๐‘‡, โ„, < )
5 nnuz 12735 . . . . . . . . . . 11 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
63, 5sseqtri 3979 . . . . . . . . . 10 ๐‘‡ โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
7 4sq.1 . . . . . . . . . . . 12 ๐‘† = {๐‘› โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค ๐‘› = (((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) + ((๐‘งโ†‘2) + (๐‘คโ†‘2)))}
8 4sq.2 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
9 4sq.3 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ = ((2 ยท ๐‘) + 1))
10 4sq.4 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
11 4sq.5 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (0...(2 ยท ๐‘)) โŠ† ๐‘†)
127, 8, 9, 10, 11, 2, 44sqlem13 16764 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡ โ‰  โˆ… โˆง ๐‘€ < ๐‘ƒ))
1312simpld 496 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โ‰  โˆ…)
14 infssuzcl 12786 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‡ โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โˆง ๐‘‡ โ‰  โˆ…) โ†’ inf(๐‘‡, โ„, < ) โˆˆ ๐‘‡)
156, 13, 14sylancr 588 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ inf(๐‘‡, โ„, < ) โˆˆ ๐‘‡)
164, 15eqeltrid 2843 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐‘‡)
173, 16sselid 3941 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
1817nnzd 12539 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
19 prmz 16486 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
2010, 19syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
2118, 20zmulcld 12546 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘ƒ) โˆˆ โ„ค)
22 4sq.a . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
23 4sq.e . . . . . . . . . . . . 13 ๐ธ = (((๐ด + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))
2422, 17, 234sqlem5 16749 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐ธ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ธ) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
2524simpld 496 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„ค)
26 zsqcl2 13970 . . . . . . . . . . 11 (๐ธ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ธโ†‘2) โˆˆ โ„•0)
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ธโ†‘2) โˆˆ โ„•0)
28 4sq.b . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
29 4sq.f . . . . . . . . . . . . 13 ๐น = (((๐ต + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))
3028, 17, 294sqlem5 16749 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐น โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ต โˆ’ ๐น) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
3130simpld 496 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ โ„ค)
32 zsqcl2 13970 . . . . . . . . . . 11 (๐น โˆˆ โ„ค โ†’ (๐นโ†‘2) โˆˆ โ„•0)
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ†‘2) โˆˆ โ„•0)
3427, 33nn0addcld 12411 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) โˆˆ โ„•0)
3534nn0zd 12538 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) โˆˆ โ„ค)
36 4sq.c . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
37 4sq.g . . . . . . . . . . . . 13 ๐บ = (((๐ถ + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))
3836, 17, 374sqlem5 16749 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐บ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐บ) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
3938simpld 496 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ โ„ค)
40 zsqcl2 13970 . . . . . . . . . . 11 (๐บ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐บโ†‘2) โˆˆ โ„•0)
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐บโ†‘2) โˆˆ โ„•0)
42 4sq.d . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„ค)
43 4sq.h . . . . . . . . . . . . 13 ๐ป = (((๐ท + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))
4442, 17, 434sqlem5 16749 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐ป โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ท โˆ’ ๐ป) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
4544simpld 496 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ โ„ค)
46 zsqcl2 13970 . . . . . . . . . . 11 (๐ป โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ปโ†‘2) โˆˆ โ„•0)
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ปโ†‘2) โˆˆ โ„•0)
4841, 47nn0addcld 12411 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2)) โˆˆ โ„•0)
4948nn0zd 12538 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2)) โˆˆ โ„ค)
5035, 49zaddcld 12544 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) + ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))) โˆˆ โ„ค)
5121, 50zsubcld 12545 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘ƒ) โˆ’ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) + ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2)))) โˆˆ โ„ค)
52 dvdsmul1 16095 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘€ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘ƒ))
5318, 20, 52syl2anc 585 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘ƒ))
54 zsqcl 13962 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
5522, 54syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
56 zsqcl 13962 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
5728, 56syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
5855, 57zaddcld 12544 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„ค)
5958, 35zsubcld 12545 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))) โˆˆ โ„ค)
60 zsqcl 13962 . . . . . . . . . . 11 (๐ถ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
6136, 60syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
62 zsqcl 13962 . . . . . . . . . . 11 (๐ท โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ทโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
6342, 62syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
6461, 63zaddcld 12544 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) โˆˆ โ„ค)
6564, 49zsubcld 12545 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) โˆ’ ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))) โˆˆ โ„ค)
6627nn0zd 12538 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ธโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
6755, 66zsubcld 12545 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ธโ†‘2)) โˆˆ โ„ค)
6833nn0zd 12538 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
6957, 68zsubcld 12545 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (๐นโ†‘2)) โˆˆ โ„ค)
7022, 17, 234sqlem8 16752 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ธโ†‘2)))
7128, 17, 294sqlem8 16752 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (๐นโ†‘2)))
7218, 67, 69, 70, 71dvds2addd 16109 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ธโ†‘2)) + ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (๐นโ†‘2))))
7322zcnd 12541 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
7473sqcld 13976 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
7528zcnd 12541 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
7675sqcld 13976 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
7725zcnd 12541 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„‚)
7877sqcld 13976 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ธโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
7931zcnd 12541 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ โ„‚)
8079sqcld 13976 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
8174, 76, 78, 80addsub4d 11493 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))) = (((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ธโ†‘2)) + ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (๐นโ†‘2))))
8272, 81breqtrrd 5132 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))))
8341nn0zd 12538 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐บโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
8461, 83zsubcld 12545 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘2) โˆ’ (๐บโ†‘2)) โˆˆ โ„ค)
8547nn0zd 12538 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ปโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
8663, 85zsubcld 12545 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ทโ†‘2) โˆ’ (๐ปโ†‘2)) โˆˆ โ„ค)
8736, 17, 374sqlem8 16752 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ ((๐ถโ†‘2) โˆ’ (๐บโ†‘2)))
8842, 17, 434sqlem8 16752 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ ((๐ทโ†‘2) โˆ’ (๐ปโ†‘2)))
8918, 84, 86, 87, 88dvds2addd 16109 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ (((๐ถโ†‘2) โˆ’ (๐บโ†‘2)) + ((๐ทโ†‘2) โˆ’ (๐ปโ†‘2))))
9036zcnd 12541 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
9190sqcld 13976 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
9242zcnd 12541 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
9392sqcld 13976 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
9439zcnd 12541 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ โ„‚)
9594sqcld 13976 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐บโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
9645zcnd 12541 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ โ„‚)
9796sqcld 13976 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ปโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
9891, 93, 95, 97addsub4d 11493 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) โˆ’ ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))) = (((๐ถโ†‘2) โˆ’ (๐บโ†‘2)) + ((๐ทโ†‘2) โˆ’ (๐ปโ†‘2))))
9989, 98breqtrrd 5132 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ (((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) โˆ’ ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))))
10018, 59, 65, 82, 99dvds2addd 16109 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ ((((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))) + (((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) โˆ’ ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2)))))
101 4sq.p . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘ƒ) = (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) + ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2))))
102101oveq1d 7365 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘ƒ) โˆ’ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) + ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2)))) = ((((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) + ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2))) โˆ’ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) + ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2)))))
10374, 76addcld 11108 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
10491, 93addcld 11108 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
10578, 80addcld 11108 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
10695, 97addcld 11108 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
107103, 104, 105, 106addsub4d 11493 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) + ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2))) โˆ’ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) + ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2)))) = ((((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))) + (((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) โˆ’ ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2)))))
108102, 107eqtrd 2778 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘ƒ) โˆ’ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) + ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2)))) = ((((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))) + (((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) โˆ’ ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2)))))
109100, 108breqtrrd 5132 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ ((๐‘€ ยท ๐‘ƒ) โˆ’ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) + ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2)))))
11018, 21, 51, 53, 109dvds2subd 16110 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ ((๐‘€ ยท ๐‘ƒ) โˆ’ ((๐‘€ ยท ๐‘ƒ) โˆ’ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) + ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))))))
11117nncnd 12103 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
112 prmnn 16485 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
11310, 112syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
114113nncnd 12103 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
115111, 114mulcld 11109 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘ƒ) โˆˆ โ„‚)
116105, 106addcld 11108 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) + ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))) โˆˆ โ„‚)
117115, 116nncand 11451 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘ƒ) โˆ’ ((๐‘€ ยท ๐‘ƒ) โˆ’ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) + ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))))) = (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) + ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))))
118110, 117breqtrd 5130 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) + ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))))
11917nnne0d 12137 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
12034, 48nn0addcld 12411 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) + ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))) โˆˆ โ„•0)
121120nn0zd 12538 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) + ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))) โˆˆ โ„ค)
122 dvdsval2 16074 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) + ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) + ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))) โ†” ((((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) + ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
12318, 119, 121, 122syl3anc 1372 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆฅ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) + ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))) โ†” ((((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) + ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
124118, 123mpbid 231 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) + ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค)
125120nn0red 12408 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) + ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))) โˆˆ โ„)
126120nn0ge0d 12410 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) + ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))))
12717nnred 12102 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
12817nngt0d 12136 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐‘€)
129 divge0 11958 . . . 4 ((((((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) + ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) + ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2)))) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘€)) โ†’ 0 โ‰ค ((((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) + ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))) / ๐‘€))
130125, 126, 127, 128, 129syl22anc 838 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ((((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) + ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))) / ๐‘€))
131 elnn0z 12446 . . 3 (((((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) + ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))) / ๐‘€) โˆˆ โ„•0 โ†” (((((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) + ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค ((((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) + ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))) / ๐‘€)))
132124, 130, 131sylanbrc 584 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) + ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))) / ๐‘€) โˆˆ โ„•0)
1331, 132eqeltrid 2843 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  {cab 2715   โ‰  wne 2942  โˆƒwrex 3072  {crab 3406   โŠ† wss 3909  โˆ…c0 4281   class class class wbr 5104  โ€˜cfv 6492  (class class class)co 7350  infcinf 9311  โ„cr 10984  0cc0 10985  1c1 10986   + caddc 10988   ยท cmul 10990   < clt 11123   โ‰ค cle 11124   โˆ’ cmin 11319   / cdiv 11746  โ„•cn 12087  2c2 12142  โ„•0cn0 12347  โ„คcz 12433  โ„คโ‰ฅcuz 12696  ...cfz 13353   mod cmo 13703  โ†‘cexp 13896   โˆฅ cdvds 16071  โ„™cprime 16482
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-pre-sup 11063
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-oadd 8384  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-fin 8821  df-sup 9312  df-inf 9313  df-dju 9771  df-card 9809  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-4 12152  df-n0 12348  df-xnn0 12420  df-z 12434  df-uz 12697  df-rp 12845  df-fz 13354  df-fl 13626  df-mod 13704  df-seq 13836  df-exp 13897  df-hash 14159  df-cj 14918  df-re 14919  df-im 14920  df-sqrt 15054  df-abs 15055  df-dvds 16072  df-gcd 16310  df-prm 16483  df-gz 16737
This theorem is referenced by:  4sqlem17  16768
  Copyright terms: Public domain W3C validator