4sqlem14 - Metamath Proof Explorer

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Theorem 4sqlem14 16284

Description: Lemma for 4sq 16290. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
4sq.1	⊢ 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
4sq.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4sq.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
4sq.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
4sq.5	⊢ (𝜑 → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
4sq.6	⊢ 𝑇 = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
4sq.7	⊢ 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < )
4sq.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘2))
4sq.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
4sq.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
4sq.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
4sq.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
4sq.e	⊢ 𝐸 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.f	⊢ 𝐹 = (((𝐵 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.g	⊢ 𝐺 = (((𝐶 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.h	⊢ 𝐻 = (((𝐷 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.r	⊢ 𝑅 = ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀)
4sq.p	⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))

**Assertion**
Ref	Expression
4sqlem14	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ₀)

Distinct variable groups: 𝑤,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧 𝐵,𝑛 𝑛,𝐸 𝑛,𝐺 𝑛,𝐻 𝐴,𝑛 𝐶,𝑛 𝐷,𝑛 𝑛,𝐹 𝑖,𝑛,𝑀 𝑛,𝑁 𝑃,𝑖,𝑛 𝜑,𝑛 𝑆,𝑖,𝑛 𝑅,𝑖 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝑃(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤) 𝑅(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑛) 𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤) 𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑛) 𝐸(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤) 𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)

**Proof of Theorem 4sqlem14**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sq.r	. 2 ⊢ 𝑅 = ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀)
2		4sq.6	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
3	2	ssrab3 4008	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 ⊆ ℕ
4		4sq.7	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < )
5		nnuz 12269	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
6	3, 5	sseqtri 3951	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 ⊆ (ℤ_≥‘1)
7		4sq.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
8		4sq.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
9		4sq.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
10		4sq.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
11		4sq.5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
12	7, 8, 9, 10, 11, 2, 4	4sqlem13 16283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ≠ ∅ ∧ 𝑀 < 𝑃))
13	12	simpld 498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ ∅)
14		infssuzcl 12320	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇 ⊆ (ℤ_≥‘1) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
15	6, 13, 14	sylancr 590	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
16	4, 15	eqeltrid 2894	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑇)
17	3, 16	sseldi 3913	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
18	17	nnzd 12074	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
19		prmz 16009	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
20	10, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
21		dvdsmul1 15623	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → 𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑃))
22	18, 20, 21	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑃))
23		4sq.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
24		4sq.e	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐸 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
25	23, 17, 24	4sqlem8 16271	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ ((𝐴↑2) − (𝐸↑2)))
26		4sq.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
27		4sq.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = (((𝐵 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
28	26, 17, 27	4sqlem8 16271	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ ((𝐵↑2) − (𝐹↑2)))
29		zsqcl 13490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
30	23, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
31	23, 17, 24	4sqlem5 16268	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 𝐸) / 𝑀) ∈ ℤ))
32	31	simpld 498	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ)
33		zsqcl2 13498	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐸 ∈ ℤ → (𝐸↑2) ∈ ℕ₀)
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℕ₀)
35	34	nn0zd 12073	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℤ)
36	30, 35	zsubcld 12080	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) ∈ ℤ)
37		zsqcl 13490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
38	26, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
39	26, 17, 27	4sqlem5 16268	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ℤ ∧ ((𝐵 − 𝐹) / 𝑀) ∈ ℤ))
40	39	simpld 498	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℤ)
41		zsqcl2 13498	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ ℤ → (𝐹↑2) ∈ ℕ₀)
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℕ₀)
43	42	nn0zd 12073	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℤ)
44	38, 43	zsubcld 12080	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) − (𝐹↑2)) ∈ ℤ)
45		dvds2add 15635	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) ∈ ℤ ∧ ((𝐵↑2) − (𝐹↑2)) ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ ((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) ∧ 𝑀 ∥ ((𝐵↑2) − (𝐹↑2))) → 𝑀 ∥ (((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) + ((𝐵↑2) − (𝐹↑2)))))
46	18, 36, 44, 45	syl3anc 1368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∥ ((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) ∧ 𝑀 ∥ ((𝐵↑2) − (𝐹↑2))) → 𝑀 ∥ (((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) + ((𝐵↑2) − (𝐹↑2)))))
47	25, 28, 46	mp2and 698	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ (((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) + ((𝐵↑2) − (𝐹↑2))))
48	23	zcnd 12076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
49	48	sqcld 13504	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
50	26	zcnd 12076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
51	50	sqcld 13504	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
52	32	zcnd 12076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
53	52	sqcld 13504	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
54	40	zcnd 12076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℂ)
55	54	sqcld 13504	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℂ)
56	49, 51, 53, 55	addsub4d 11033	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) = (((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) + ((𝐵↑2) − (𝐹↑2))))
57	47, 56	breqtrrd 5058	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))))
58		4sq.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
59		4sq.g	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 = (((𝐶 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
60	58, 17, 59	4sqlem8 16271	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ ((𝐶↑2) − (𝐺↑2)))
61		4sq.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
62		4sq.h	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐻 = (((𝐷 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
63	61, 17, 62	4sqlem8 16271	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ ((𝐷↑2) − (𝐻↑2)))
64		zsqcl 13490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
65	58, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
66	58, 17, 59	4sqlem5 16268	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ ℤ ∧ ((𝐶 − 𝐺) / 𝑀) ∈ ℤ))
67	66	simpld 498	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℤ)
68		zsqcl2 13498	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺 ∈ ℤ → (𝐺↑2) ∈ ℕ₀)
69	67, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) ∈ ℕ₀)
70	69	nn0zd 12073	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) ∈ ℤ)
71	65, 70	zsubcld 12080	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) ∈ ℤ)
72		zsqcl 13490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → (𝐷↑2) ∈ ℤ)
73	61, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℤ)
74	61, 17, 62	4sqlem5 16268	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ ℤ ∧ ((𝐷 − 𝐻) / 𝑀) ∈ ℤ))
75	74	simpld 498	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℤ)
76		zsqcl2 13498	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐻 ∈ ℤ → (𝐻↑2) ∈ ℕ₀)
77	75, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐻↑2) ∈ ℕ₀)
78	77	nn0zd 12073	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐻↑2) ∈ ℤ)
79	73, 78	zsubcld 12080	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) − (𝐻↑2)) ∈ ℤ)
80		dvds2add 15635	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) ∈ ℤ ∧ ((𝐷↑2) − (𝐻↑2)) ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ ((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) ∧ 𝑀 ∥ ((𝐷↑2) − (𝐻↑2))) → 𝑀 ∥ (((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) + ((𝐷↑2) − (𝐻↑2)))))
81	18, 71, 79, 80	syl3anc 1368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∥ ((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) ∧ 𝑀 ∥ ((𝐷↑2) − (𝐻↑2))) → 𝑀 ∥ (((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) + ((𝐷↑2) − (𝐻↑2)))))
82	60, 63, 81	mp2and 698	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ (((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) + ((𝐷↑2) − (𝐻↑2))))
83	58	zcnd 12076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
84	83	sqcld 13504	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
85	61	zcnd 12076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
86	85	sqcld 13504	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
87	67	zcnd 12076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
88	87	sqcld 13504	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) ∈ ℂ)
89	75	zcnd 12076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℂ)
90	89	sqcld 13504	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐻↑2) ∈ ℂ)
91	84, 86, 88, 90	addsub4d 11033	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) = (((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) + ((𝐷↑2) − (𝐻↑2))))
92	82, 91	breqtrrd 5058	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
93	30, 38	zaddcld 12079	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℤ)
94	34, 42	nn0addcld 11947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℕ₀)
95	94	nn0zd 12073	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℤ)
96	93, 95	zsubcld 12080	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) ∈ ℤ)
97	65, 73	zaddcld 12079	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℤ)
98	69, 77	nn0addcld 11947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ∈ ℕ₀)
99	98	nn0zd 12073	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ∈ ℤ)
100	97, 99	zsubcld 12080	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℤ)
101		dvds2add 15635	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) ∈ ℤ ∧ (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) ∧ 𝑀 ∥ (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) → 𝑀 ∥ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))))
102	18, 96, 100, 101	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) ∧ 𝑀 ∥ (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) → 𝑀 ∥ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))))
103	57, 92, 102	mp2and 698	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))
104		4sq.p	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
105	104	oveq1d 7150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))
106	49, 51	addcld 10649	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
107	84, 86	addcld 10649	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℂ)
108	53, 55	addcld 10649	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℂ)
109	88, 90	addcld 10649	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ∈ ℂ)
110	106, 107, 108, 109	addsub4d 11033	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))
111	105, 110	eqtrd 2833	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))
112	103, 111	breqtrrd 5058	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))
113	18, 20	zmulcld 12081	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) ∈ ℤ)
114	95, 99	zaddcld 12079	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℤ)
115	113, 114	zsubcld 12080	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) ∈ ℤ)
116	18, 22, 112, 113, 115	dvds2subd 15637	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ ((𝑀 · 𝑃) − ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))))
117	17	nncnd 11641	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
118		prmnn 16008	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
119	10, 118	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
120	119	nncnd 11641	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
121	117, 120	mulcld 10650	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) ∈ ℂ)
122	108, 109	addcld 10649	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℂ)
123	121, 122	nncand 10991	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑃) − ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))) = (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
124	116, 123	breqtrd 5056	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
125	17	nnne0d 11675	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
126	94, 98	nn0addcld 11947	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℕ₀)
127	126	nn0zd 12073	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℤ)
128		dvdsval2 15602	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ↔ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℤ))
129	18, 125, 127, 128	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ↔ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℤ))
130	124, 129	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℤ)
131	126	nn0red 11944	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℝ)
132	126	nn0ge0d 11946	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
133	17	nnred 11640	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
134	17	nngt0d 11674	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑀)
135		divge0 11498	. . . 4 ⊢ ((((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀)) → 0 ≤ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀))
136	131, 132, 133, 134, 135	syl22anc 837	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀))
137		elnn0z 11982	. . 3 ⊢ (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℕ₀ ↔ (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀)))
138	130, 136, 137	sylanbrc 586	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℕ₀)
139	1, 138	eqeltrid 2894	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ₀)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 399 = wceq 1538 ∈ wcel 2111 {cab 2776 ≠ wne 2987 ∃wrex 3107 {crab 3110 ⊆ wss 3881 ∅c0 4243 class class class wbr 5030 ‘cfv 6324 (class class class)co 7135 infcinf 8889 ℝcr 10525 0cc0 10526 1c1 10527 + caddc 10529 · cmul 10531 < clt 10664 ≤ cle 10665 − cmin 10859 / cdiv 11286 ℕcn 11625 2c2 11680 ℕ₀cn0 11885 ℤcz 11969 ℤ_≥cuz 12231 ...cfz 12885 mod cmo 13232 ↑cexp 13425 ∥ cdvds 15599 ℙcprime 16005

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1911 ax-6 1970 ax-7 2015 ax-8 2113 ax-9 2121 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2175 ax-ext 2770 ax-rep 5154 ax-sep 5167 ax-nul 5174 ax-pow 5231 ax-pr 5295 ax-un 7441 ax-cnex 10582 ax-resscn 10583 ax-1cn 10584 ax-icn 10585 ax-addcl 10586 ax-addrcl 10587 ax-mulcl 10588 ax-mulrcl 10589 ax-mulcom 10590 ax-addass 10591 ax-mulass 10592 ax-distr 10593 ax-i2m1 10594 ax-1ne0 10595 ax-1rid 10596 ax-rnegex 10597 ax-rrecex 10598 ax-cnre 10599 ax-pre-lttri 10600 ax-pre-lttrn 10601 ax-pre-ltadd 10602 ax-pre-mulgt0 10603 ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 400 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1541 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2070 df-mo 2598 df-eu 2629 df-clab 2777 df-cleq 2791 df-clel 2870 df-nfc 2938 df-ne 2988 df-nel 3092 df-ral 3111 df-rex 3112 df-reu 3113 df-rmo 3114 df-rab 3115 df-v 3443 df-sbc 3721 df-csb 3829 df-dif 3884 df-un 3886 df-in 3888 df-ss 3898 df-pss 3900 df-nul 4244 df-if 4426 df-pw 4499 df-sn 4526 df-pr 4528 df-tp 4530 df-op 4532 df-uni 4801 df-int 4839 df-iun 4883 df-br 5031 df-opab 5093 df-mpt 5111 df-tr 5137 df-id 5425 df-eprel 5430 df-po 5438 df-so 5439 df-fr 5478 df-we 5480 df-xp 5525 df-rel 5526 df-cnv 5527 df-co 5528 df-dm 5529 df-rn 5530 df-res 5531 df-ima 5532 df-pred 6116 df-ord 6162 df-on 6163 df-lim 6164 df-suc 6165 df-iota 6283 df-fun 6326 df-fn 6327 df-f 6328 df-f1 6329 df-fo 6330 df-f1o 6331 df-fv 6332 df-riota 7093 df-ov 7138 df-oprab 7139 df-mpo 7140 df-om 7561 df-1st 7671 df-2nd 7672 df-wrecs 7930 df-recs 7991 df-rdg 8029 df-1o 8085 df-2o 8086 df-oadd 8089 df-er 8272 df-en 8493 df-dom 8494 df-sdom 8495 df-fin 8496 df-sup 8890 df-inf 8891 df-dju 9314 df-card 9352 df-pnf 10666 df-mnf 10667 df-xr 10668 df-ltxr 10669 df-le 10670 df-sub 10861 df-neg 10862 df-div 11287 df-nn 11626 df-2 11688 df-3 11689 df-4 11690 df-n0 11886 df-xnn0 11956 df-z 11970 df-uz 12232 df-rp 12378 df-fz 12886 df-fl 13157 df-mod 13233 df-seq 13365 df-exp 13426 df-hash 13687 df-cj 14450 df-re 14451 df-im 14452 df-sqrt 14586 df-abs 14587 df-dvds 15600 df-gcd 15834 df-prm 16006 df-gz 16256

This theorem is referenced by: 4sqlem17 16287

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