MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem14 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4sqlem14 16996
Description: Lemma for 4sq 17002. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
4sq.1 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
4sq.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4sq.3 (𝜑𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
4sq.4 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
4sq.5 (𝜑 → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
4sq.6 𝑇 = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
4sq.7 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < )
4sq.m (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2))
4sq.a (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
4sq.b (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
4sq.c (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
4sq.d (𝜑𝐷 ∈ ℤ)
4sq.e 𝐸 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.f 𝐹 = (((𝐵 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.g 𝐺 = (((𝐶 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.h 𝐻 = (((𝐷 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.r 𝑅 = ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀)
4sq.p (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
Assertion
Ref Expression
4sqlem14 (𝜑𝑅 ∈ ℕ0)
Distinct variable groups:   𝑤,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑛   𝑛,𝐸   𝑛,𝐺   𝑛,𝐻   𝐴,𝑛   𝐶,𝑛   𝐷,𝑛   𝑛,𝐹   𝑖,𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑃,𝑖,𝑛   𝜑,𝑛   𝑆,𝑖,𝑛   𝑅,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑛)   𝐸(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)

Proof of Theorem 4sqlem14
StepHypRef Expression
1 4sq.r . 2 𝑅 = ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀)
2 4sq.6 . . . . . . . . 9 𝑇 = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
32ssrab3 4082 . . . . . . . 8 𝑇 ⊆ ℕ
4 4sq.7 . . . . . . . . 9 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < )
5 nnuz 12921 . . . . . . . . . . 11 ℕ = (ℤ‘1)
63, 5sseqtri 4032 . . . . . . . . . 10 𝑇 ⊆ (ℤ‘1)
7 4sq.1 . . . . . . . . . . . 12 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
8 4sq.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
9 4sq.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
10 4sq.4 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
11 4sq.5 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
127, 8, 9, 10, 11, 2, 44sqlem13 16995 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑇 ≠ ∅ ∧ 𝑀 < 𝑃))
1312simpld 494 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 ≠ ∅)
14 infssuzcl 12974 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ⊆ (ℤ‘1) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
156, 13, 14sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
164, 15eqeltrid 2845 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀𝑇)
173, 16sselid 3981 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
1817nnzd 12640 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
19 prmz 16712 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
2010, 19syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
2118, 20zmulcld 12728 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) ∈ ℤ)
22 4sq.a . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
23 4sq.e . . . . . . . . . . . . 13 𝐸 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
2422, 17, 234sqlem5 16980 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℤ ∧ ((𝐴𝐸) / 𝑀) ∈ ℤ))
2524simpld 494 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ ℤ)
26 zsqcl2 14178 . . . . . . . . . . 11 (𝐸 ∈ ℤ → (𝐸↑2) ∈ ℕ0)
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℕ0)
28 4sq.b . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
29 4sq.f . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 = (((𝐵 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
3028, 17, 294sqlem5 16980 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹 ∈ ℤ ∧ ((𝐵𝐹) / 𝑀) ∈ ℤ))
3130simpld 494 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ ℤ)
32 zsqcl2 14178 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ ℤ → (𝐹↑2) ∈ ℕ0)
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℕ0)
3427, 33nn0addcld 12591 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℕ0)
3534nn0zd 12639 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℤ)
36 4sq.c . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
37 4sq.g . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = (((𝐶 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
3836, 17, 374sqlem5 16980 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐺 ∈ ℤ ∧ ((𝐶𝐺) / 𝑀) ∈ ℤ))
3938simpld 494 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 ∈ ℤ)
40 zsqcl2 14178 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ ℤ → (𝐺↑2) ∈ ℕ0)
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺↑2) ∈ ℕ0)
42 4sq.d . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐷 ∈ ℤ)
43 4sq.h . . . . . . . . . . . . 13 𝐻 = (((𝐷 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4442, 17, 434sqlem5 16980 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐻 ∈ ℤ ∧ ((𝐷𝐻) / 𝑀) ∈ ℤ))
4544simpld 494 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐻 ∈ ℤ)
46 zsqcl2 14178 . . . . . . . . . . 11 (𝐻 ∈ ℤ → (𝐻↑2) ∈ ℕ0)
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐻↑2) ∈ ℕ0)
4841, 47nn0addcld 12591 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ∈ ℕ0)
4948nn0zd 12639 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ∈ ℤ)
5035, 49zaddcld 12726 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℤ)
5121, 50zsubcld 12727 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) ∈ ℤ)
52 dvdsmul1 16315 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → 𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑃))
5318, 20, 52syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑃))
54 zsqcl 14169 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
5522, 54syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
56 zsqcl 14169 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
5728, 56syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
5855, 57zaddcld 12726 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℤ)
5958, 35zsubcld 12727 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) ∈ ℤ)
60 zsqcl 14169 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ ℤ → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
6136, 60syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
62 zsqcl 14169 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ ℤ → (𝐷↑2) ∈ ℤ)
6342, 62syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℤ)
6461, 63zaddcld 12726 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℤ)
6564, 49zsubcld 12727 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℤ)
6627nn0zd 12639 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℤ)
6755, 66zsubcld 12727 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) ∈ ℤ)
6833nn0zd 12639 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℤ)
6957, 68zsubcld 12727 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐵↑2) − (𝐹↑2)) ∈ ℤ)
7022, 17, 234sqlem8 16983 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∥ ((𝐴↑2) − (𝐸↑2)))
7128, 17, 294sqlem8 16983 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∥ ((𝐵↑2) − (𝐹↑2)))
7218, 67, 69, 70, 71dvds2addd 16329 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∥ (((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) + ((𝐵↑2) − (𝐹↑2))))
7322zcnd 12723 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
7473sqcld 14184 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
7528zcnd 12723 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
7675sqcld 14184 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
7725zcnd 12723 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
7877sqcld 14184 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
7931zcnd 12723 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ ℂ)
8079sqcld 14184 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℂ)
8174, 76, 78, 80addsub4d 11667 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) = (((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) + ((𝐵↑2) − (𝐹↑2))))
8272, 81breqtrrd 5171 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))))
8341nn0zd 12639 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐺↑2) ∈ ℤ)
8461, 83zsubcld 12727 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) ∈ ℤ)
8547nn0zd 12639 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐻↑2) ∈ ℤ)
8663, 85zsubcld 12727 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐷↑2) − (𝐻↑2)) ∈ ℤ)
8736, 17, 374sqlem8 16983 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∥ ((𝐶↑2) − (𝐺↑2)))
8842, 17, 434sqlem8 16983 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∥ ((𝐷↑2) − (𝐻↑2)))
8918, 84, 86, 87, 88dvds2addd 16329 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∥ (((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) + ((𝐷↑2) − (𝐻↑2))))
9036zcnd 12723 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
9190sqcld 14184 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
9242zcnd 12723 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
9392sqcld 14184 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
9439zcnd 12723 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 ∈ ℂ)
9594sqcld 14184 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺↑2) ∈ ℂ)
9645zcnd 12723 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐻 ∈ ℂ)
9796sqcld 14184 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐻↑2) ∈ ℂ)
9891, 93, 95, 97addsub4d 11667 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) = (((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) + ((𝐷↑2) − (𝐻↑2))))
9989, 98breqtrrd 5171 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∥ (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
10018, 59, 65, 82, 99dvds2addd 16329 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∥ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))
101 4sq.p . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
102101oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))
10374, 76addcld 11280 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
10491, 93addcld 11280 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℂ)
10578, 80addcld 11280 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℂ)
10695, 97addcld 11280 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ∈ ℂ)
107103, 104, 105, 106addsub4d 11667 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))
108102, 107eqtrd 2777 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))
109100, 108breqtrrd 5171 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∥ ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))
11018, 21, 51, 53, 109dvds2subd 16330 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∥ ((𝑀 · 𝑃) − ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))))
11117nncnd 12282 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
112 prmnn 16711 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
11310, 112syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
114113nncnd 12282 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
115111, 114mulcld 11281 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) ∈ ℂ)
116105, 106addcld 11280 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℂ)
117115, 116nncand 11625 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑃) − ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))) = (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
118110, 117breqtrd 5169 . . . 4 (𝜑𝑀 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
11917nnne0d 12316 . . . . 5 (𝜑𝑀 ≠ 0)
12034, 48nn0addcld 12591 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℕ0)
121120nn0zd 12639 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℤ)
122 dvdsval2 16293 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ↔ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℤ))
12318, 119, 121, 122syl3anc 1373 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ↔ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℤ))
124118, 123mpbid 232 . . 3 (𝜑 → ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℤ)
125120nn0red 12588 . . . 4 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℝ)
126120nn0ge0d 12590 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
12717nnred 12281 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
12817nngt0d 12315 . . . 4 (𝜑 → 0 < 𝑀)
129 divge0 12137 . . . 4 ((((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀)) → 0 ≤ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀))
130125, 126, 127, 128, 129syl22anc 839 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀))
131 elnn0z 12626 . . 3 (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℕ0 ↔ (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀)))
132124, 130, 131sylanbrc 583 . 2 (𝜑 → ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℕ0)
1331, 132eqeltrid 2845 1 (𝜑𝑅 ∈ ℕ0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206   = wceq 1540  wcel 2108  {cab 2714  wne 2940  wrex 3070  {crab 3436  wss 3951  c0 4333   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  infcinf 9481  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878  ...cfz 13547   mod cmo 13909  cexp 14102  cdvds 16290  cprime 16708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709  df-gz 16968
This theorem is referenced by:  4sqlem17  16999
  Copyright terms: Public domain W3C validator