4sqlem14 - Metamath Proof Explorer

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Theorem 4sqlem14 16040

Description: Lemma for 4sq 16046. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
4sq.1	⊢ 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
4sq.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4sq.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
4sq.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
4sq.5	⊢ (𝜑 → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
4sq.6	⊢ 𝑇 = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
4sq.7	⊢ 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < )
4sq.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘2))
4sq.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
4sq.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
4sq.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
4sq.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
4sq.e	⊢ 𝐸 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.f	⊢ 𝐹 = (((𝐵 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.g	⊢ 𝐺 = (((𝐶 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.h	⊢ 𝐻 = (((𝐷 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.r	⊢ 𝑅 = ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀)
4sq.p	⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))

**Assertion**
Ref	Expression
4sqlem14	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ₀)

Distinct variable groups: 𝑤,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧 𝐵,𝑛 𝑛,𝐸 𝑛,𝐺 𝑛,𝐻 𝐴,𝑛 𝐶,𝑛 𝐷,𝑛 𝑛,𝐹 𝑖,𝑛,𝑀 𝑛,𝑁 𝑃,𝑖,𝑛 𝜑,𝑛 𝑆,𝑖,𝑛 𝑅,𝑖 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝑃(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤) 𝑅(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑛) 𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤) 𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑛) 𝐸(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤) 𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)

**Proof of Theorem 4sqlem14**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sq.r	. 2 ⊢ 𝑅 = ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀)
2		4sq.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
3		ssrab2 3914	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆} ⊆ ℕ
4	2, 3	eqsstri 3860	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 ⊆ ℕ
5		4sq.7	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < )
6		nnuz 12012	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
7	4, 6	sseqtri 3862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 ⊆ (ℤ_≥‘1)
8		4sq.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
9		4sq.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
10		4sq.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
11		4sq.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
12		4sq.5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
13	8, 9, 10, 11, 12, 2, 5	4sqlem13 16039	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ≠ ∅ ∧ 𝑀 < 𝑃))
14	13	simpld 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ ∅)
15		infssuzcl 12062	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇 ⊆ (ℤ_≥‘1) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
16	7, 14, 15	sylancr 581	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
17	5, 16	syl5eqel 2910	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑇)
18	4, 17	sseldi 3825	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
19	18	nnzd 11816	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
20		prmz 15768	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
21	11, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
22		dvdsmul1 15387	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → 𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑃))
23	19, 21, 22	syl2anc 579	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑃))
24		4sq.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
25		4sq.e	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐸 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
26	24, 18, 25	4sqlem8 16027	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ ((𝐴↑2) − (𝐸↑2)))
27		4sq.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
28		4sq.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = (((𝐵 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
29	27, 18, 28	4sqlem8 16027	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ ((𝐵↑2) − (𝐹↑2)))
30		zsqcl 13235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
31	24, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
32	24, 18, 25	4sqlem5 16024	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 𝐸) / 𝑀) ∈ ℤ))
33	32	simpld 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ)
34		zsqcl2 13242	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐸 ∈ ℤ → (𝐸↑2) ∈ ℕ₀)
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℕ₀)
36	35	nn0zd 11815	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℤ)
37	31, 36	zsubcld 11822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) ∈ ℤ)
38		zsqcl 13235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
39	27, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
40	27, 18, 28	4sqlem5 16024	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ℤ ∧ ((𝐵 − 𝐹) / 𝑀) ∈ ℤ))
41	40	simpld 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℤ)
42		zsqcl2 13242	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ ℤ → (𝐹↑2) ∈ ℕ₀)
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℕ₀)
44	43	nn0zd 11815	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℤ)
45	39, 44	zsubcld 11822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) − (𝐹↑2)) ∈ ℤ)
46		dvds2add 15399	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) ∈ ℤ ∧ ((𝐵↑2) − (𝐹↑2)) ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ ((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) ∧ 𝑀 ∥ ((𝐵↑2) − (𝐹↑2))) → 𝑀 ∥ (((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) + ((𝐵↑2) − (𝐹↑2)))))
47	19, 37, 45, 46	syl3anc 1494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∥ ((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) ∧ 𝑀 ∥ ((𝐵↑2) − (𝐹↑2))) → 𝑀 ∥ (((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) + ((𝐵↑2) − (𝐹↑2)))))
48	26, 29, 47	mp2and 690	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ (((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) + ((𝐵↑2) − (𝐹↑2))))
49	24	zcnd 11818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
50	49	sqcld 13307	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
51	27	zcnd 11818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
52	51	sqcld 13307	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
53	33	zcnd 11818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
54	53	sqcld 13307	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
55	41	zcnd 11818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℂ)
56	55	sqcld 13307	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℂ)
57	50, 52, 54, 56	addsub4d 10767	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) = (((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) + ((𝐵↑2) − (𝐹↑2))))
58	48, 57	breqtrrd 4903	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))))
59		4sq.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
60		4sq.g	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 = (((𝐶 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
61	59, 18, 60	4sqlem8 16027	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ ((𝐶↑2) − (𝐺↑2)))
62		4sq.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
63		4sq.h	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐻 = (((𝐷 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
64	62, 18, 63	4sqlem8 16027	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ ((𝐷↑2) − (𝐻↑2)))
65		zsqcl 13235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
66	59, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
67	59, 18, 60	4sqlem5 16024	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ ℤ ∧ ((𝐶 − 𝐺) / 𝑀) ∈ ℤ))
68	67	simpld 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℤ)
69		zsqcl2 13242	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺 ∈ ℤ → (𝐺↑2) ∈ ℕ₀)
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) ∈ ℕ₀)
71	70	nn0zd 11815	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) ∈ ℤ)
72	66, 71	zsubcld 11822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) ∈ ℤ)
73		zsqcl 13235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → (𝐷↑2) ∈ ℤ)
74	62, 73	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℤ)
75	62, 18, 63	4sqlem5 16024	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ ℤ ∧ ((𝐷 − 𝐻) / 𝑀) ∈ ℤ))
76	75	simpld 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℤ)
77		zsqcl2 13242	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐻 ∈ ℤ → (𝐻↑2) ∈ ℕ₀)
78	76, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐻↑2) ∈ ℕ₀)
79	78	nn0zd 11815	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐻↑2) ∈ ℤ)
80	74, 79	zsubcld 11822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) − (𝐻↑2)) ∈ ℤ)
81		dvds2add 15399	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) ∈ ℤ ∧ ((𝐷↑2) − (𝐻↑2)) ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ ((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) ∧ 𝑀 ∥ ((𝐷↑2) − (𝐻↑2))) → 𝑀 ∥ (((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) + ((𝐷↑2) − (𝐻↑2)))))
82	19, 72, 80, 81	syl3anc 1494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∥ ((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) ∧ 𝑀 ∥ ((𝐷↑2) − (𝐻↑2))) → 𝑀 ∥ (((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) + ((𝐷↑2) − (𝐻↑2)))))
83	61, 64, 82	mp2and 690	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ (((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) + ((𝐷↑2) − (𝐻↑2))))
84	59	zcnd 11818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
85	84	sqcld 13307	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
86	62	zcnd 11818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
87	86	sqcld 13307	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
88	68	zcnd 11818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
89	88	sqcld 13307	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) ∈ ℂ)
90	76	zcnd 11818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℂ)
91	90	sqcld 13307	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐻↑2) ∈ ℂ)
92	85, 87, 89, 91	addsub4d 10767	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) = (((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) + ((𝐷↑2) − (𝐻↑2))))
93	83, 92	breqtrrd 4903	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
94	31, 39	zaddcld 11821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℤ)
95	35, 43	nn0addcld 11689	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℕ₀)
96	95	nn0zd 11815	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℤ)
97	94, 96	zsubcld 11822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) ∈ ℤ)
98	66, 74	zaddcld 11821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℤ)
99	70, 78	nn0addcld 11689	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ∈ ℕ₀)
100	99	nn0zd 11815	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ∈ ℤ)
101	98, 100	zsubcld 11822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℤ)
102		dvds2add 15399	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) ∈ ℤ ∧ (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) ∧ 𝑀 ∥ (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) → 𝑀 ∥ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))))
103	19, 97, 101, 102	syl3anc 1494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) ∧ 𝑀 ∥ (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) → 𝑀 ∥ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))))
104	58, 93, 103	mp2and 690	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))
105		4sq.p	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
106	105	oveq1d 6925	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))
107	50, 52	addcld 10383	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
108	85, 87	addcld 10383	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℂ)
109	54, 56	addcld 10383	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℂ)
110	89, 91	addcld 10383	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ∈ ℂ)
111	107, 108, 109, 110	addsub4d 10767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))
112	106, 111	eqtrd 2861	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))
113	104, 112	breqtrrd 4903	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))
114	19, 21	zmulcld 11823	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) ∈ ℤ)
115	96, 100	zaddcld 11821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℤ)
116	114, 115	zsubcld 11822	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) ∈ ℤ)
117		dvds2sub 15400	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑃) ∈ ℤ ∧ ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑃) ∧ 𝑀 ∥ ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))) → 𝑀 ∥ ((𝑀 · 𝑃) − ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))))
118	19, 114, 116, 117	syl3anc 1494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑃) ∧ 𝑀 ∥ ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))) → 𝑀 ∥ ((𝑀 · 𝑃) − ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))))
119	23, 113, 118	mp2and 690	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ ((𝑀 · 𝑃) − ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))))
120	18	nncnd 11375	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
121		prmnn 15767	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
122	11, 121	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
123	122	nncnd 11375	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
124	120, 123	mulcld 10384	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) ∈ ℂ)
125	109, 110	addcld 10383	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℂ)
126	124, 125	nncand 10725	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑃) − ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))) = (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
127	119, 126	breqtrd 4901	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
128	18	nnne0d 11408	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
129	95, 99	nn0addcld 11689	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℕ₀)
130	129	nn0zd 11815	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℤ)
131		dvdsval2 15367	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ↔ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℤ))
132	19, 128, 130, 131	syl3anc 1494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ↔ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℤ))
133	127, 132	mpbid 224	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℤ)
134	129	nn0red 11686	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℝ)
135	129	nn0ge0d 11688	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
136	18	nnred 11374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
137	18	nngt0d 11407	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑀)
138		divge0 11229	. . . 4 ⊢ ((((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀)) → 0 ≤ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀))
139	134, 135, 136, 137, 138	syl22anc 872	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀))
140		elnn0z 11724	. . 3 ⊢ (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℕ₀ ↔ (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀)))
141	133, 139, 140	sylanbrc 578	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℕ₀)
142	1, 141	syl5eqel 2910	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ₀)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 198 ∧ wa 386 = wceq 1656 ∈ wcel 2164 {cab 2811 ≠ wne 2999 ∃wrex 3118 {crab 3121 ⊆ wss 3798 ∅c0 4146 class class class wbr 4875 ‘cfv 6127 (class class class)co 6910 infcinf 8622 ℝcr 10258 0cc0 10259 1c1 10260 + caddc 10262 · cmul 10264 < clt 10398 ≤ cle 10399 − cmin 10592 / cdiv 11016 ℕcn 11357 2c2 11413 ℕ₀cn0 11625 ℤcz 11711 ℤ_≥cuz 11975 ...cfz 12626 mod cmo 12970 ↑cexp 13161 ∥ cdvds 15364 ℙcprime 15764

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1894 ax-4 1908 ax-5 2009 ax-6 2075 ax-7 2112 ax-8 2166 ax-9 2173 ax-10 2192 ax-11 2207 ax-12 2220 ax-13 2389 ax-ext 2803 ax-rep 4996 ax-sep 5007 ax-nul 5015 ax-pow 5067 ax-pr 5129 ax-un 7214 ax-cnex 10315 ax-resscn 10316 ax-1cn 10317 ax-icn 10318 ax-addcl 10319 ax-addrcl 10320 ax-mulcl 10321 ax-mulrcl 10322 ax-mulcom 10323 ax-addass 10324 ax-mulass 10325 ax-distr 10326 ax-i2m1 10327 ax-1ne0 10328 ax-1rid 10329 ax-rnegex 10330 ax-rrecex 10331 ax-cnre 10332 ax-pre-lttri 10333 ax-pre-lttrn 10334 ax-pre-ltadd 10335 ax-pre-mulgt0 10336 ax-pre-sup 10337

This theorem depends on definitions: df-bi 199 df-an 387 df-or 879 df-3or 1112 df-3an 1113 df-tru 1660 df-ex 1879 df-nf 1883 df-sb 2068 df-mo 2605 df-eu 2640 df-clab 2812 df-cleq 2818 df-clel 2821 df-nfc 2958 df-ne 3000 df-nel 3103 df-ral 3122 df-rex 3123 df-reu 3124 df-rmo 3125 df-rab 3126 df-v 3416 df-sbc 3663 df-csb 3758 df-dif 3801 df-un 3803 df-in 3805 df-ss 3812 df-pss 3814 df-nul 4147 df-if 4309 df-pw 4382 df-sn 4400 df-pr 4402 df-tp 4404 df-op 4406 df-uni 4661 df-int 4700 df-iun 4744 df-br 4876 df-opab 4938 df-mpt 4955 df-tr 4978 df-id 5252 df-eprel 5257 df-po 5265 df-so 5266 df-fr 5305 df-we 5307 df-xp 5352 df-rel 5353 df-cnv 5354 df-co 5355 df-dm 5356 df-rn 5357 df-res 5358 df-ima 5359 df-pred 5924 df-ord 5970 df-on 5971 df-lim 5972 df-suc 5973 df-iota 6090 df-fun 6129 df-fn 6130 df-f 6131 df-f1 6132 df-fo 6133 df-f1o 6134 df-fv 6135 df-riota 6871 df-ov 6913 df-oprab 6914 df-mpt2 6915 df-om 7332 df-1st 7433 df-2nd 7434 df-wrecs 7677 df-recs 7739 df-rdg 7777 df-1o 7831 df-2o 7832 df-oadd 7835 df-er 8014 df-en 8229 df-dom 8230 df-sdom 8231 df-fin 8232 df-sup 8623 df-inf 8624 df-card 9085 df-cda 9312 df-pnf 10400 df-mnf 10401 df-xr 10402 df-ltxr 10403 df-le 10404 df-sub 10594 df-neg 10595 df-div 11017 df-nn 11358 df-2 11421 df-3 11422 df-4 11423 df-n0 11626 df-xnn0 11698 df-z 11712 df-uz 11976 df-rp 12120 df-fz 12627 df-fl 12895 df-mod 12971 df-seq 13103 df-exp 13162 df-hash 13418 df-cj 14223 df-re 14224 df-im 14225 df-sqrt 14359 df-abs 14360 df-dvds 15365 df-gcd 15597 df-prm 15765 df-gz 16012

This theorem is referenced by: 4sqlem17 16043

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