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Theorem 4sqlem14 16927
Description: Lemma for 4sq 16933. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
4sq.1 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
4sq.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4sq.3 (𝜑𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
4sq.4 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
4sq.5 (𝜑 → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
4sq.6 𝑇 = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
4sq.7 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < )
4sq.m (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2))
4sq.a (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
4sq.b (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
4sq.c (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
4sq.d (𝜑𝐷 ∈ ℤ)
4sq.e 𝐸 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.f 𝐹 = (((𝐵 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.g 𝐺 = (((𝐶 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.h 𝐻 = (((𝐷 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.r 𝑅 = ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀)
4sq.p (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
Assertion
Ref Expression
4sqlem14 (𝜑𝑅 ∈ ℕ0)
Distinct variable groups:   𝑤,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑛   𝑛,𝐸   𝑛,𝐺   𝑛,𝐻   𝐴,𝑛   𝐶,𝑛   𝐷,𝑛   𝑛,𝐹   𝑖,𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑃,𝑖,𝑛   𝜑,𝑛   𝑆,𝑖,𝑛   𝑅,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑛)   𝐸(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)

Proof of Theorem 4sqlem14
StepHypRef Expression
1 4sq.r . 2 𝑅 = ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀)
2 4sq.6 . . . . . . . . 9 𝑇 = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
32ssrab3 4078 . . . . . . . 8 𝑇 ⊆ ℕ
4 4sq.7 . . . . . . . . 9 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < )
5 nnuz 12896 . . . . . . . . . . 11 ℕ = (ℤ‘1)
63, 5sseqtri 4016 . . . . . . . . . 10 𝑇 ⊆ (ℤ‘1)
7 4sq.1 . . . . . . . . . . . 12 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
8 4sq.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
9 4sq.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
10 4sq.4 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
11 4sq.5 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
127, 8, 9, 10, 11, 2, 44sqlem13 16926 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑇 ≠ ∅ ∧ 𝑀 < 𝑃))
1312simpld 494 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 ≠ ∅)
14 infssuzcl 12947 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ⊆ (ℤ‘1) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
156, 13, 14sylancr 586 . . . . . . . . 9 (𝜑 → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
164, 15eqeltrid 2833 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀𝑇)
173, 16sselid 3978 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
1817nnzd 12616 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
19 prmz 16646 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
2010, 19syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
2118, 20zmulcld 12703 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) ∈ ℤ)
22 4sq.a . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
23 4sq.e . . . . . . . . . . . . 13 𝐸 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
2422, 17, 234sqlem5 16911 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℤ ∧ ((𝐴𝐸) / 𝑀) ∈ ℤ))
2524simpld 494 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ ℤ)
26 zsqcl2 14135 . . . . . . . . . . 11 (𝐸 ∈ ℤ → (𝐸↑2) ∈ ℕ0)
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℕ0)
28 4sq.b . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
29 4sq.f . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 = (((𝐵 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
3028, 17, 294sqlem5 16911 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹 ∈ ℤ ∧ ((𝐵𝐹) / 𝑀) ∈ ℤ))
3130simpld 494 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ ℤ)
32 zsqcl2 14135 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ ℤ → (𝐹↑2) ∈ ℕ0)
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℕ0)
3427, 33nn0addcld 12567 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℕ0)
3534nn0zd 12615 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℤ)
36 4sq.c . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
37 4sq.g . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = (((𝐶 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
3836, 17, 374sqlem5 16911 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐺 ∈ ℤ ∧ ((𝐶𝐺) / 𝑀) ∈ ℤ))
3938simpld 494 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 ∈ ℤ)
40 zsqcl2 14135 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ ℤ → (𝐺↑2) ∈ ℕ0)
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺↑2) ∈ ℕ0)
42 4sq.d . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐷 ∈ ℤ)
43 4sq.h . . . . . . . . . . . . 13 𝐻 = (((𝐷 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4442, 17, 434sqlem5 16911 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐻 ∈ ℤ ∧ ((𝐷𝐻) / 𝑀) ∈ ℤ))
4544simpld 494 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐻 ∈ ℤ)
46 zsqcl2 14135 . . . . . . . . . . 11 (𝐻 ∈ ℤ → (𝐻↑2) ∈ ℕ0)
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐻↑2) ∈ ℕ0)
4841, 47nn0addcld 12567 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ∈ ℕ0)
4948nn0zd 12615 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ∈ ℤ)
5035, 49zaddcld 12701 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℤ)
5121, 50zsubcld 12702 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) ∈ ℤ)
52 dvdsmul1 16255 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → 𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑃))
5318, 20, 52syl2anc 583 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑃))
54 zsqcl 14126 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
5522, 54syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
56 zsqcl 14126 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
5728, 56syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
5855, 57zaddcld 12701 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℤ)
5958, 35zsubcld 12702 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) ∈ ℤ)
60 zsqcl 14126 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ ℤ → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
6136, 60syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
62 zsqcl 14126 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ ℤ → (𝐷↑2) ∈ ℤ)
6342, 62syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℤ)
6461, 63zaddcld 12701 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℤ)
6564, 49zsubcld 12702 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℤ)
6627nn0zd 12615 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℤ)
6755, 66zsubcld 12702 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) ∈ ℤ)
6833nn0zd 12615 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℤ)
6957, 68zsubcld 12702 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐵↑2) − (𝐹↑2)) ∈ ℤ)
7022, 17, 234sqlem8 16914 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∥ ((𝐴↑2) − (𝐸↑2)))
7128, 17, 294sqlem8 16914 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∥ ((𝐵↑2) − (𝐹↑2)))
7218, 67, 69, 70, 71dvds2addd 16269 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∥ (((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) + ((𝐵↑2) − (𝐹↑2))))
7322zcnd 12698 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
7473sqcld 14141 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
7528zcnd 12698 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
7675sqcld 14141 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
7725zcnd 12698 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
7877sqcld 14141 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
7931zcnd 12698 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ ℂ)
8079sqcld 14141 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℂ)
8174, 76, 78, 80addsub4d 11649 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) = (((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) + ((𝐵↑2) − (𝐹↑2))))
8272, 81breqtrrd 5176 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))))
8341nn0zd 12615 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐺↑2) ∈ ℤ)
8461, 83zsubcld 12702 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) ∈ ℤ)
8547nn0zd 12615 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐻↑2) ∈ ℤ)
8663, 85zsubcld 12702 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐷↑2) − (𝐻↑2)) ∈ ℤ)
8736, 17, 374sqlem8 16914 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∥ ((𝐶↑2) − (𝐺↑2)))
8842, 17, 434sqlem8 16914 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∥ ((𝐷↑2) − (𝐻↑2)))
8918, 84, 86, 87, 88dvds2addd 16269 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∥ (((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) + ((𝐷↑2) − (𝐻↑2))))
9036zcnd 12698 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
9190sqcld 14141 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
9242zcnd 12698 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
9392sqcld 14141 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
9439zcnd 12698 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 ∈ ℂ)
9594sqcld 14141 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺↑2) ∈ ℂ)
9645zcnd 12698 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐻 ∈ ℂ)
9796sqcld 14141 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐻↑2) ∈ ℂ)
9891, 93, 95, 97addsub4d 11649 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) = (((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) + ((𝐷↑2) − (𝐻↑2))))
9989, 98breqtrrd 5176 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∥ (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
10018, 59, 65, 82, 99dvds2addd 16269 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∥ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))
101 4sq.p . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
102101oveq1d 7435 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))
10374, 76addcld 11264 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
10491, 93addcld 11264 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℂ)
10578, 80addcld 11264 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℂ)
10695, 97addcld 11264 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ∈ ℂ)
107103, 104, 105, 106addsub4d 11649 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))
108102, 107eqtrd 2768 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))
109100, 108breqtrrd 5176 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∥ ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))
11018, 21, 51, 53, 109dvds2subd 16270 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∥ ((𝑀 · 𝑃) − ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))))
11117nncnd 12259 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
112 prmnn 16645 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
11310, 112syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
114113nncnd 12259 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
115111, 114mulcld 11265 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) ∈ ℂ)
116105, 106addcld 11264 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℂ)
117115, 116nncand 11607 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑃) − ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))) = (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
118110, 117breqtrd 5174 . . . 4 (𝜑𝑀 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
11917nnne0d 12293 . . . . 5 (𝜑𝑀 ≠ 0)
12034, 48nn0addcld 12567 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℕ0)
121120nn0zd 12615 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℤ)
122 dvdsval2 16234 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ↔ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℤ))
12318, 119, 121, 122syl3anc 1369 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ↔ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℤ))
124118, 123mpbid 231 . . 3 (𝜑 → ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℤ)
125120nn0red 12564 . . . 4 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℝ)
126120nn0ge0d 12566 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
12717nnred 12258 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
12817nngt0d 12292 . . . 4 (𝜑 → 0 < 𝑀)
129 divge0 12114 . . . 4 ((((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀)) → 0 ≤ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀))
130125, 126, 127, 128, 129syl22anc 838 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀))
131 elnn0z 12602 . . 3 (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℕ0 ↔ (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀)))
132124, 130, 131sylanbrc 582 . 2 (𝜑 → ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℕ0)
1331, 132eqeltrid 2833 1 (𝜑𝑅 ∈ ℕ0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1534  wcel 2099  {cab 2705  wne 2937  wrex 3067  {crab 3429  wss 3947  c0 4323   class class class wbr 5148  cfv 6548  (class class class)co 7420  infcinf 9465  cr 11138  0cc0 11139  1c1 11140   + caddc 11142   · cmul 11144   < clt 11279  cle 11280  cmin 11475   / cdiv 11902  cn 12243  2c2 12298  0cn0 12503  cz 12589  cuz 12853  ...cfz 13517   mod cmo 13867  cexp 14059  cdvds 16231  cprime 16642
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9466  df-inf 9467  df-dju 9925  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-n0 12504  df-xnn0 12576  df-z 12590  df-uz 12854  df-rp 13008  df-fz 13518  df-fl 13790  df-mod 13868  df-seq 14000  df-exp 14060  df-hash 14323  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-dvds 16232  df-gcd 16470  df-prm 16643  df-gz 16899
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