4sqlem14 - Metamath Proof Explorer

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Theorem 4sqlem14 16286

Description: Lemma for 4sq 16292. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
4sq.1	⊢ 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
4sq.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4sq.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
4sq.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
4sq.5	⊢ (𝜑 → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
4sq.6	⊢ 𝑇 = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
4sq.7	⊢ 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < )
4sq.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘2))
4sq.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
4sq.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
4sq.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
4sq.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
4sq.e	⊢ 𝐸 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.f	⊢ 𝐹 = (((𝐵 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.g	⊢ 𝐺 = (((𝐶 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.h	⊢ 𝐻 = (((𝐷 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.r	⊢ 𝑅 = ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀)
4sq.p	⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))

**Assertion**
Ref	Expression
4sqlem14	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ₀)

Distinct variable groups: 𝑤,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧 𝐵,𝑛 𝑛,𝐸 𝑛,𝐺 𝑛,𝐻 𝐴,𝑛 𝐶,𝑛 𝐷,𝑛 𝑛,𝐹 𝑖,𝑛,𝑀 𝑛,𝑁 𝑃,𝑖,𝑛 𝜑,𝑛 𝑆,𝑖,𝑛 𝑅,𝑖 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝑃(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤) 𝑅(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑛) 𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤) 𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑛) 𝐸(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤) 𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)

**Proof of Theorem 4sqlem14**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sq.r	. 2 ⊢ 𝑅 = ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀)
2		4sq.6	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
3	2	ssrab3 4055	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 ⊆ ℕ
4		4sq.7	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < )
5		nnuz 12273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
6	3, 5	sseqtri 4001	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 ⊆ (ℤ_≥‘1)
7		4sq.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
8		4sq.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
9		4sq.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
10		4sq.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
11		4sq.5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
12	7, 8, 9, 10, 11, 2, 4	4sqlem13 16285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ≠ ∅ ∧ 𝑀 < 𝑃))
13	12	simpld 497	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ ∅)
14		infssuzcl 12324	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇 ⊆ (ℤ_≥‘1) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
15	6, 13, 14	sylancr 589	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
16	4, 15	eqeltrid 2915	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑇)
17	3, 16	sseldi 3963	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
18	17	nnzd 12078	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
19		prmz 16011	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
20	10, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
21		dvdsmul1 15623	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → 𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑃))
22	18, 20, 21	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑃))
23		4sq.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
24		4sq.e	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐸 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
25	23, 17, 24	4sqlem8 16273	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ ((𝐴↑2) − (𝐸↑2)))
26		4sq.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
27		4sq.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = (((𝐵 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
28	26, 17, 27	4sqlem8 16273	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ ((𝐵↑2) − (𝐹↑2)))
29		zsqcl 13486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
30	23, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
31	23, 17, 24	4sqlem5 16270	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 𝐸) / 𝑀) ∈ ℤ))
32	31	simpld 497	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ)
33		zsqcl2 13494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐸 ∈ ℤ → (𝐸↑2) ∈ ℕ₀)
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℕ₀)
35	34	nn0zd 12077	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℤ)
36	30, 35	zsubcld 12084	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) ∈ ℤ)
37		zsqcl 13486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
38	26, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
39	26, 17, 27	4sqlem5 16270	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ℤ ∧ ((𝐵 − 𝐹) / 𝑀) ∈ ℤ))
40	39	simpld 497	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℤ)
41		zsqcl2 13494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ ℤ → (𝐹↑2) ∈ ℕ₀)
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℕ₀)
43	42	nn0zd 12077	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℤ)
44	38, 43	zsubcld 12084	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) − (𝐹↑2)) ∈ ℤ)
45		dvds2add 15635	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) ∈ ℤ ∧ ((𝐵↑2) − (𝐹↑2)) ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ ((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) ∧ 𝑀 ∥ ((𝐵↑2) − (𝐹↑2))) → 𝑀 ∥ (((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) + ((𝐵↑2) − (𝐹↑2)))))
46	18, 36, 44, 45	syl3anc 1366	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∥ ((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) ∧ 𝑀 ∥ ((𝐵↑2) − (𝐹↑2))) → 𝑀 ∥ (((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) + ((𝐵↑2) − (𝐹↑2)))))
47	25, 28, 46	mp2and 697	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ (((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) + ((𝐵↑2) − (𝐹↑2))))
48	23	zcnd 12080	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
49	48	sqcld 13500	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
50	26	zcnd 12080	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
51	50	sqcld 13500	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
52	32	zcnd 12080	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
53	52	sqcld 13500	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
54	40	zcnd 12080	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℂ)
55	54	sqcld 13500	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℂ)
56	49, 51, 53, 55	addsub4d 11036	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) = (((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) + ((𝐵↑2) − (𝐹↑2))))
57	47, 56	breqtrrd 5085	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))))
58		4sq.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
59		4sq.g	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 = (((𝐶 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
60	58, 17, 59	4sqlem8 16273	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ ((𝐶↑2) − (𝐺↑2)))
61		4sq.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
62		4sq.h	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐻 = (((𝐷 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
63	61, 17, 62	4sqlem8 16273	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ ((𝐷↑2) − (𝐻↑2)))
64		zsqcl 13486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
65	58, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
66	58, 17, 59	4sqlem5 16270	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ ℤ ∧ ((𝐶 − 𝐺) / 𝑀) ∈ ℤ))
67	66	simpld 497	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℤ)
68		zsqcl2 13494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺 ∈ ℤ → (𝐺↑2) ∈ ℕ₀)
69	67, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) ∈ ℕ₀)
70	69	nn0zd 12077	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) ∈ ℤ)
71	65, 70	zsubcld 12084	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) ∈ ℤ)
72		zsqcl 13486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → (𝐷↑2) ∈ ℤ)
73	61, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℤ)
74	61, 17, 62	4sqlem5 16270	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ ℤ ∧ ((𝐷 − 𝐻) / 𝑀) ∈ ℤ))
75	74	simpld 497	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℤ)
76		zsqcl2 13494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐻 ∈ ℤ → (𝐻↑2) ∈ ℕ₀)
77	75, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐻↑2) ∈ ℕ₀)
78	77	nn0zd 12077	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐻↑2) ∈ ℤ)
79	73, 78	zsubcld 12084	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) − (𝐻↑2)) ∈ ℤ)
80		dvds2add 15635	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) ∈ ℤ ∧ ((𝐷↑2) − (𝐻↑2)) ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ ((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) ∧ 𝑀 ∥ ((𝐷↑2) − (𝐻↑2))) → 𝑀 ∥ (((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) + ((𝐷↑2) − (𝐻↑2)))))
81	18, 71, 79, 80	syl3anc 1366	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∥ ((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) ∧ 𝑀 ∥ ((𝐷↑2) − (𝐻↑2))) → 𝑀 ∥ (((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) + ((𝐷↑2) − (𝐻↑2)))))
82	60, 63, 81	mp2and 697	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ (((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) + ((𝐷↑2) − (𝐻↑2))))
83	58	zcnd 12080	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
84	83	sqcld 13500	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
85	61	zcnd 12080	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
86	85	sqcld 13500	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
87	67	zcnd 12080	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
88	87	sqcld 13500	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) ∈ ℂ)
89	75	zcnd 12080	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℂ)
90	89	sqcld 13500	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐻↑2) ∈ ℂ)
91	84, 86, 88, 90	addsub4d 11036	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) = (((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) + ((𝐷↑2) − (𝐻↑2))))
92	82, 91	breqtrrd 5085	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
93	30, 38	zaddcld 12083	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℤ)
94	34, 42	nn0addcld 11951	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℕ₀)
95	94	nn0zd 12077	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℤ)
96	93, 95	zsubcld 12084	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) ∈ ℤ)
97	65, 73	zaddcld 12083	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℤ)
98	69, 77	nn0addcld 11951	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ∈ ℕ₀)
99	98	nn0zd 12077	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ∈ ℤ)
100	97, 99	zsubcld 12084	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℤ)
101		dvds2add 15635	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) ∈ ℤ ∧ (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) ∧ 𝑀 ∥ (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) → 𝑀 ∥ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))))
102	18, 96, 100, 101	syl3anc 1366	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) ∧ 𝑀 ∥ (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) → 𝑀 ∥ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))))
103	57, 92, 102	mp2and 697	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))
104		4sq.p	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
105	104	oveq1d 7163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))
106	49, 51	addcld 10652	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
107	84, 86	addcld 10652	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℂ)
108	53, 55	addcld 10652	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℂ)
109	88, 90	addcld 10652	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ∈ ℂ)
110	106, 107, 108, 109	addsub4d 11036	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))
111	105, 110	eqtrd 2854	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))
112	103, 111	breqtrrd 5085	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))
113	18, 20	zmulcld 12085	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) ∈ ℤ)
114	95, 99	zaddcld 12083	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℤ)
115	113, 114	zsubcld 12084	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) ∈ ℤ)
116	18, 22, 112, 113, 115	dvds2subd 15637	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ ((𝑀 · 𝑃) − ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))))
117	17	nncnd 11646	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
118		prmnn 16010	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
119	10, 118	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
120	119	nncnd 11646	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
121	117, 120	mulcld 10653	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) ∈ ℂ)
122	108, 109	addcld 10652	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℂ)
123	121, 122	nncand 10994	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑃) − ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))) = (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
124	116, 123	breqtrd 5083	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
125	17	nnne0d 11679	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
126	94, 98	nn0addcld 11951	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℕ₀)
127	126	nn0zd 12077	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℤ)
128		dvdsval2 15602	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ↔ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℤ))
129	18, 125, 127, 128	syl3anc 1366	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ↔ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℤ))
130	124, 129	mpbid 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℤ)
131	126	nn0red 11948	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℝ)
132	126	nn0ge0d 11950	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
133	17	nnred 11645	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
134	17	nngt0d 11678	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑀)
135		divge0 11501	. . . 4 ⊢ ((((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀)) → 0 ≤ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀))
136	131, 132, 133, 134, 135	syl22anc 836	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀))
137		elnn0z 11986	. . 3 ⊢ (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℕ₀ ↔ (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀)))
138	130, 136, 137	sylanbrc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℕ₀)
139	1, 138	eqeltrid 2915	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ₀)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 208 ∧ wa 398 = wceq 1531 ∈ wcel 2108 {cab 2797 ≠ wne 3014 ∃wrex 3137 {crab 3140 ⊆ wss 3934 ∅c0 4289 class class class wbr 5057 ‘cfv 6348 (class class class)co 7148 infcinf 8897 ℝcr 10528 0cc0 10529 1c1 10530 + caddc 10532 · cmul 10534 < clt 10667 ≤ cle 10668 − cmin 10862 / cdiv 11289 ℕcn 11630 2c2 11684 ℕ₀cn0 11889 ℤcz 11973 ℤ_≥cuz 12235 ...cfz 12884 mod cmo 13229 ↑cexp 13421 ∥ cdvds 15599 ℙcprime 16007

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1905 ax-6 1964 ax-7 2009 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2139 ax-11 2154 ax-12 2170 ax-ext 2791 ax-rep 5181 ax-sep 5194 ax-nul 5201 ax-pow 5257 ax-pr 5320 ax-un 7453 ax-cnex 10585 ax-resscn 10586 ax-1cn 10587 ax-icn 10588 ax-addcl 10589 ax-addrcl 10590 ax-mulcl 10591 ax-mulrcl 10592 ax-mulcom 10593 ax-addass 10594 ax-mulass 10595 ax-distr 10596 ax-i2m1 10597 ax-1ne0 10598 ax-1rid 10599 ax-rnegex 10600 ax-rrecex 10601 ax-cnre 10602 ax-pre-lttri 10603 ax-pre-lttrn 10604 ax-pre-ltadd 10605 ax-pre-mulgt0 10606 ax-pre-sup 10607

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 399 df-or 844 df-3or 1083 df-3an 1084 df-tru 1534 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2064 df-mo 2616 df-eu 2648 df-clab 2798 df-cleq 2812 df-clel 2891 df-nfc 2961 df-ne 3015 df-nel 3122 df-ral 3141 df-rex 3142 df-reu 3143 df-rmo 3144 df-rab 3145 df-v 3495 df-sbc 3771 df-csb 3882 df-dif 3937 df-un 3939 df-in 3941 df-ss 3950 df-pss 3952 df-nul 4290 df-if 4466 df-pw 4539 df-sn 4560 df-pr 4562 df-tp 4564 df-op 4566 df-uni 4831 df-int 4868 df-iun 4912 df-br 5058 df-opab 5120 df-mpt 5138 df-tr 5164 df-id 5453 df-eprel 5458 df-po 5467 df-so 5468 df-fr 5507 df-we 5509 df-xp 5554 df-rel 5555 df-cnv 5556 df-co 5557 df-dm 5558 df-rn 5559 df-res 5560 df-ima 5561 df-pred 6141 df-ord 6187 df-on 6188 df-lim 6189 df-suc 6190 df-iota 6307 df-fun 6350 df-fn 6351 df-f 6352 df-f1 6353 df-fo 6354 df-f1o 6355 df-fv 6356 df-riota 7106 df-ov 7151 df-oprab 7152 df-mpo 7153 df-om 7573 df-1st 7681 df-2nd 7682 df-wrecs 7939 df-recs 8000 df-rdg 8038 df-1o 8094 df-2o 8095 df-oadd 8098 df-er 8281 df-en 8502 df-dom 8503 df-sdom 8504 df-fin 8505 df-sup 8898 df-inf 8899 df-dju 9322 df-card 9360 df-pnf 10669 df-mnf 10670 df-xr 10671 df-ltxr 10672 df-le 10673 df-sub 10864 df-neg 10865 df-div 11290 df-nn 11631 df-2 11692 df-3 11693 df-4 11694 df-n0 11890 df-xnn0 11960 df-z 11974 df-uz 12236 df-rp 12382 df-fz 12885 df-fl 13154 df-mod 13230 df-seq 13362 df-exp 13422 df-hash 13683 df-cj 14450 df-re 14451 df-im 14452 df-sqrt 14586 df-abs 14587 df-dvds 15600 df-gcd 15836 df-prm 16008 df-gz 16258

This theorem is referenced by: 4sqlem17 16289

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