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Theorem 4sqlem14 16394
Description: Lemma for 4sq 16400. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
4sq.1 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
4sq.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4sq.3 (𝜑𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
4sq.4 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
4sq.5 (𝜑 → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
4sq.6 𝑇 = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
4sq.7 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < )
4sq.m (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2))
4sq.a (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
4sq.b (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
4sq.c (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
4sq.d (𝜑𝐷 ∈ ℤ)
4sq.e 𝐸 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.f 𝐹 = (((𝐵 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.g 𝐺 = (((𝐶 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.h 𝐻 = (((𝐷 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.r 𝑅 = ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀)
4sq.p (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
Assertion
Ref Expression
4sqlem14 (𝜑𝑅 ∈ ℕ0)
Distinct variable groups:   𝑤,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑛   𝑛,𝐸   𝑛,𝐺   𝑛,𝐻   𝐴,𝑛   𝐶,𝑛   𝐷,𝑛   𝑛,𝐹   𝑖,𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑃,𝑖,𝑛   𝜑,𝑛   𝑆,𝑖,𝑛   𝑅,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑛)   𝐸(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)

Proof of Theorem 4sqlem14
StepHypRef Expression
1 4sq.r . 2 𝑅 = ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀)
2 4sq.6 . . . . . . . . 9 𝑇 = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
32ssrab3 3971 . . . . . . . 8 𝑇 ⊆ ℕ
4 4sq.7 . . . . . . . . 9 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < )
5 nnuz 12363 . . . . . . . . . . 11 ℕ = (ℤ‘1)
63, 5sseqtri 3913 . . . . . . . . . 10 𝑇 ⊆ (ℤ‘1)
7 4sq.1 . . . . . . . . . . . 12 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
8 4sq.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
9 4sq.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
10 4sq.4 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
11 4sq.5 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
127, 8, 9, 10, 11, 2, 44sqlem13 16393 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑇 ≠ ∅ ∧ 𝑀 < 𝑃))
1312simpld 498 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 ≠ ∅)
14 infssuzcl 12414 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ⊆ (ℤ‘1) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
156, 13, 14sylancr 590 . . . . . . . . 9 (𝜑 → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
164, 15eqeltrid 2837 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀𝑇)
173, 16sseldi 3875 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
1817nnzd 12167 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
19 prmz 16116 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
2010, 19syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
2118, 20zmulcld 12174 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) ∈ ℤ)
22 4sq.a . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
23 4sq.e . . . . . . . . . . . . 13 𝐸 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
2422, 17, 234sqlem5 16378 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℤ ∧ ((𝐴𝐸) / 𝑀) ∈ ℤ))
2524simpld 498 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ ℤ)
26 zsqcl2 13594 . . . . . . . . . . 11 (𝐸 ∈ ℤ → (𝐸↑2) ∈ ℕ0)
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℕ0)
28 4sq.b . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
29 4sq.f . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 = (((𝐵 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
3028, 17, 294sqlem5 16378 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹 ∈ ℤ ∧ ((𝐵𝐹) / 𝑀) ∈ ℤ))
3130simpld 498 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ ℤ)
32 zsqcl2 13594 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ ℤ → (𝐹↑2) ∈ ℕ0)
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℕ0)
3427, 33nn0addcld 12040 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℕ0)
3534nn0zd 12166 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℤ)
36 4sq.c . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
37 4sq.g . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = (((𝐶 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
3836, 17, 374sqlem5 16378 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐺 ∈ ℤ ∧ ((𝐶𝐺) / 𝑀) ∈ ℤ))
3938simpld 498 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 ∈ ℤ)
40 zsqcl2 13594 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ ℤ → (𝐺↑2) ∈ ℕ0)
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺↑2) ∈ ℕ0)
42 4sq.d . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐷 ∈ ℤ)
43 4sq.h . . . . . . . . . . . . 13 𝐻 = (((𝐷 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4442, 17, 434sqlem5 16378 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐻 ∈ ℤ ∧ ((𝐷𝐻) / 𝑀) ∈ ℤ))
4544simpld 498 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐻 ∈ ℤ)
46 zsqcl2 13594 . . . . . . . . . . 11 (𝐻 ∈ ℤ → (𝐻↑2) ∈ ℕ0)
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐻↑2) ∈ ℕ0)
4841, 47nn0addcld 12040 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ∈ ℕ0)
4948nn0zd 12166 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ∈ ℤ)
5035, 49zaddcld 12172 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℤ)
5121, 50zsubcld 12173 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) ∈ ℤ)
52 dvdsmul1 15723 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → 𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑃))
5318, 20, 52syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑃))
54 zsqcl 13586 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
5522, 54syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
56 zsqcl 13586 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
5728, 56syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
5855, 57zaddcld 12172 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℤ)
5958, 35zsubcld 12173 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) ∈ ℤ)
60 zsqcl 13586 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ ℤ → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
6136, 60syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
62 zsqcl 13586 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ ℤ → (𝐷↑2) ∈ ℤ)
6342, 62syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℤ)
6461, 63zaddcld 12172 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℤ)
6564, 49zsubcld 12173 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℤ)
6627nn0zd 12166 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℤ)
6755, 66zsubcld 12173 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) ∈ ℤ)
6833nn0zd 12166 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℤ)
6957, 68zsubcld 12173 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐵↑2) − (𝐹↑2)) ∈ ℤ)
7022, 17, 234sqlem8 16381 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∥ ((𝐴↑2) − (𝐸↑2)))
7128, 17, 294sqlem8 16381 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∥ ((𝐵↑2) − (𝐹↑2)))
7218, 67, 69, 70, 71dvds2addd 15737 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∥ (((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) + ((𝐵↑2) − (𝐹↑2))))
7322zcnd 12169 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
7473sqcld 13600 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
7528zcnd 12169 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
7675sqcld 13600 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
7725zcnd 12169 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
7877sqcld 13600 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
7931zcnd 12169 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ ℂ)
8079sqcld 13600 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℂ)
8174, 76, 78, 80addsub4d 11122 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) = (((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) + ((𝐵↑2) − (𝐹↑2))))
8272, 81breqtrrd 5058 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))))
8341nn0zd 12166 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐺↑2) ∈ ℤ)
8461, 83zsubcld 12173 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) ∈ ℤ)
8547nn0zd 12166 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐻↑2) ∈ ℤ)
8663, 85zsubcld 12173 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐷↑2) − (𝐻↑2)) ∈ ℤ)
8736, 17, 374sqlem8 16381 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∥ ((𝐶↑2) − (𝐺↑2)))
8842, 17, 434sqlem8 16381 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∥ ((𝐷↑2) − (𝐻↑2)))
8918, 84, 86, 87, 88dvds2addd 15737 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∥ (((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) + ((𝐷↑2) − (𝐻↑2))))
9036zcnd 12169 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
9190sqcld 13600 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
9242zcnd 12169 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
9392sqcld 13600 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
9439zcnd 12169 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 ∈ ℂ)
9594sqcld 13600 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺↑2) ∈ ℂ)
9645zcnd 12169 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐻 ∈ ℂ)
9796sqcld 13600 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐻↑2) ∈ ℂ)
9891, 93, 95, 97addsub4d 11122 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) = (((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) + ((𝐷↑2) − (𝐻↑2))))
9989, 98breqtrrd 5058 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∥ (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
10018, 59, 65, 82, 99dvds2addd 15737 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∥ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))
101 4sq.p . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
102101oveq1d 7185 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))
10374, 76addcld 10738 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
10491, 93addcld 10738 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℂ)
10578, 80addcld 10738 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℂ)
10695, 97addcld 10738 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ∈ ℂ)
107103, 104, 105, 106addsub4d 11122 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))
108102, 107eqtrd 2773 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))
109100, 108breqtrrd 5058 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∥ ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))
11018, 21, 51, 53, 109dvds2subd 15738 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∥ ((𝑀 · 𝑃) − ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))))
11117nncnd 11732 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
112 prmnn 16115 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
11310, 112syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
114113nncnd 11732 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
115111, 114mulcld 10739 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) ∈ ℂ)
116105, 106addcld 10738 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℂ)
117115, 116nncand 11080 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑃) − ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))) = (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
118110, 117breqtrd 5056 . . . 4 (𝜑𝑀 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
11917nnne0d 11766 . . . . 5 (𝜑𝑀 ≠ 0)
12034, 48nn0addcld 12040 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℕ0)
121120nn0zd 12166 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℤ)
122 dvdsval2 15702 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ↔ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℤ))
12318, 119, 121, 122syl3anc 1372 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ↔ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℤ))
124118, 123mpbid 235 . . 3 (𝜑 → ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℤ)
125120nn0red 12037 . . . 4 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℝ)
126120nn0ge0d 12039 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
12717nnred 11731 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
12817nngt0d 11765 . . . 4 (𝜑 → 0 < 𝑀)
129 divge0 11587 . . . 4 ((((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀)) → 0 ≤ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀))
130125, 126, 127, 128, 129syl22anc 838 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀))
131 elnn0z 12075 . . 3 (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℕ0 ↔ (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀)))
132124, 130, 131sylanbrc 586 . 2 (𝜑 → ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℕ0)
1331, 132eqeltrid 2837 1 (𝜑𝑅 ∈ ℕ0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209   = wceq 1542  wcel 2114  {cab 2716  wne 2934  wrex 3054  {crab 3057  wss 3843  c0 4211   class class class wbr 5030  cfv 6339  (class class class)co 7170  infcinf 8978  cr 10614  0cc0 10615  1c1 10616   + caddc 10618   · cmul 10620   < clt 10753  cle 10754  cmin 10948   / cdiv 11375  cn 11716  2c2 11771  0cn0 11976  cz 12062  cuz 12324  ...cfz 12981   mod cmo 13328  cexp 13521  cdvds 15699  cprime 16112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-2o 8132  df-oadd 8135  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-sup 8979  df-inf 8980  df-dju 9403  df-card 9441  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-n0 11977  df-xnn0 12049  df-z 12063  df-uz 12325  df-rp 12473  df-fz 12982  df-fl 13253  df-mod 13329  df-seq 13461  df-exp 13522  df-hash 13783  df-cj 14548  df-re 14549  df-im 14550  df-sqrt 14684  df-abs 14685  df-dvds 15700  df-gcd 15938  df-prm 16113  df-gz 16366
This theorem is referenced by:  4sqlem17  16397
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