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Theorem 4sqlem14 16297
Description: Lemma for 4sq 16303. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
4sq.1 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
4sq.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4sq.3 (𝜑𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
4sq.4 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
4sq.5 (𝜑 → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
4sq.6 𝑇 = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
4sq.7 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < )
4sq.m (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2))
4sq.a (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
4sq.b (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
4sq.c (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
4sq.d (𝜑𝐷 ∈ ℤ)
4sq.e 𝐸 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.f 𝐹 = (((𝐵 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.g 𝐺 = (((𝐶 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.h 𝐻 = (((𝐷 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.r 𝑅 = ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀)
4sq.p (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
Assertion
Ref Expression
4sqlem14 (𝜑𝑅 ∈ ℕ0)
Distinct variable groups:   𝑤,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑛   𝑛,𝐸   𝑛,𝐺   𝑛,𝐻   𝐴,𝑛   𝐶,𝑛   𝐷,𝑛   𝑛,𝐹   𝑖,𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑃,𝑖,𝑛   𝜑,𝑛   𝑆,𝑖,𝑛   𝑅,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑛)   𝐸(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)

Proof of Theorem 4sqlem14
StepHypRef Expression
1 4sq.r . 2 𝑅 = ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀)
2 4sq.6 . . . . . . . . 9 𝑇 = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
32ssrab3 4060 . . . . . . . 8 𝑇 ⊆ ℕ
4 4sq.7 . . . . . . . . 9 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < )
5 nnuz 12284 . . . . . . . . . . 11 ℕ = (ℤ‘1)
63, 5sseqtri 4006 . . . . . . . . . 10 𝑇 ⊆ (ℤ‘1)
7 4sq.1 . . . . . . . . . . . 12 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
8 4sq.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
9 4sq.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
10 4sq.4 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
11 4sq.5 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
127, 8, 9, 10, 11, 2, 44sqlem13 16296 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑇 ≠ ∅ ∧ 𝑀 < 𝑃))
1312simpld 497 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 ≠ ∅)
14 infssuzcl 12335 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ⊆ (ℤ‘1) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
156, 13, 14sylancr 589 . . . . . . . . 9 (𝜑 → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
164, 15eqeltrid 2920 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀𝑇)
173, 16sseldi 3968 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
1817nnzd 12089 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
19 prmz 16022 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
2010, 19syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
21 dvdsmul1 15634 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → 𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑃))
2218, 20, 21syl2anc 586 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑃))
23 4sq.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
24 4sq.e . . . . . . . . . . 11 𝐸 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
2523, 17, 244sqlem8 16284 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∥ ((𝐴↑2) − (𝐸↑2)))
26 4sq.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
27 4sq.f . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (((𝐵 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
2826, 17, 274sqlem8 16284 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∥ ((𝐵↑2) − (𝐹↑2)))
29 zsqcl 13497 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
3023, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
3123, 17, 244sqlem5 16281 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℤ ∧ ((𝐴𝐸) / 𝑀) ∈ ℤ))
3231simpld 497 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐸 ∈ ℤ)
33 zsqcl2 13505 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐸 ∈ ℤ → (𝐸↑2) ∈ ℕ0)
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℕ0)
3534nn0zd 12088 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℤ)
3630, 35zsubcld 12095 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) ∈ ℤ)
37 zsqcl 13497 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
3826, 37syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
3926, 17, 274sqlem5 16281 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐹 ∈ ℤ ∧ ((𝐵𝐹) / 𝑀) ∈ ℤ))
4039simpld 497 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 ∈ ℤ)
41 zsqcl2 13505 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ ℤ → (𝐹↑2) ∈ ℕ0)
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℕ0)
4342nn0zd 12088 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℤ)
4438, 43zsubcld 12095 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐵↑2) − (𝐹↑2)) ∈ ℤ)
45 dvds2add 15646 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) ∈ ℤ ∧ ((𝐵↑2) − (𝐹↑2)) ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ ((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) ∧ 𝑀 ∥ ((𝐵↑2) − (𝐹↑2))) → 𝑀 ∥ (((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) + ((𝐵↑2) − (𝐹↑2)))))
4618, 36, 44, 45syl3anc 1367 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑀 ∥ ((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) ∧ 𝑀 ∥ ((𝐵↑2) − (𝐹↑2))) → 𝑀 ∥ (((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) + ((𝐵↑2) − (𝐹↑2)))))
4725, 28, 46mp2and 697 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∥ (((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) + ((𝐵↑2) − (𝐹↑2))))
4823zcnd 12091 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
4948sqcld 13511 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
5026zcnd 12091 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
5150sqcld 13511 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
5232zcnd 12091 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
5352sqcld 13511 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
5440zcnd 12091 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ ℂ)
5554sqcld 13511 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℂ)
5649, 51, 53, 55addsub4d 11047 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) = (((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) + ((𝐵↑2) − (𝐹↑2))))
5747, 56breqtrrd 5097 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))))
58 4sq.c . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
59 4sq.g . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (((𝐶 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
6058, 17, 594sqlem8 16284 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∥ ((𝐶↑2) − (𝐺↑2)))
61 4sq.d . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷 ∈ ℤ)
62 4sq.h . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (((𝐷 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
6361, 17, 624sqlem8 16284 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∥ ((𝐷↑2) − (𝐻↑2)))
64 zsqcl 13497 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶 ∈ ℤ → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
6558, 64syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
6658, 17, 594sqlem5 16281 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐺 ∈ ℤ ∧ ((𝐶𝐺) / 𝑀) ∈ ℤ))
6766simpld 497 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐺 ∈ ℤ)
68 zsqcl2 13505 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ ℤ → (𝐺↑2) ∈ ℕ0)
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐺↑2) ∈ ℕ0)
7069nn0zd 12088 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐺↑2) ∈ ℤ)
7165, 70zsubcld 12095 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) ∈ ℤ)
72 zsqcl 13497 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ ℤ → (𝐷↑2) ∈ ℤ)
7361, 72syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℤ)
7461, 17, 624sqlem5 16281 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐻 ∈ ℤ ∧ ((𝐷𝐻) / 𝑀) ∈ ℤ))
7574simpld 497 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐻 ∈ ℤ)
76 zsqcl2 13505 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐻 ∈ ℤ → (𝐻↑2) ∈ ℕ0)
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐻↑2) ∈ ℕ0)
7877nn0zd 12088 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐻↑2) ∈ ℤ)
7973, 78zsubcld 12095 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐷↑2) − (𝐻↑2)) ∈ ℤ)
80 dvds2add 15646 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) ∈ ℤ ∧ ((𝐷↑2) − (𝐻↑2)) ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ ((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) ∧ 𝑀 ∥ ((𝐷↑2) − (𝐻↑2))) → 𝑀 ∥ (((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) + ((𝐷↑2) − (𝐻↑2)))))
8118, 71, 79, 80syl3anc 1367 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑀 ∥ ((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) ∧ 𝑀 ∥ ((𝐷↑2) − (𝐻↑2))) → 𝑀 ∥ (((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) + ((𝐷↑2) − (𝐻↑2)))))
8260, 63, 81mp2and 697 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∥ (((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) + ((𝐷↑2) − (𝐻↑2))))
8358zcnd 12091 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
8483sqcld 13511 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
8561zcnd 12091 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
8685sqcld 13511 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
8767zcnd 12091 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 ∈ ℂ)
8887sqcld 13511 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺↑2) ∈ ℂ)
8975zcnd 12091 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐻 ∈ ℂ)
9089sqcld 13511 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐻↑2) ∈ ℂ)
9184, 86, 88, 90addsub4d 11047 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) = (((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) + ((𝐷↑2) − (𝐻↑2))))
9282, 91breqtrrd 5097 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∥ (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
9330, 38zaddcld 12094 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℤ)
9434, 42nn0addcld 11962 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℕ0)
9594nn0zd 12088 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℤ)
9693, 95zsubcld 12095 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) ∈ ℤ)
9765, 73zaddcld 12094 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℤ)
9869, 77nn0addcld 11962 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ∈ ℕ0)
9998nn0zd 12088 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ∈ ℤ)
10097, 99zsubcld 12095 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℤ)
101 dvds2add 15646 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) ∈ ℤ ∧ (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) ∧ 𝑀 ∥ (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) → 𝑀 ∥ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))))
10218, 96, 100, 101syl3anc 1367 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑀 ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) ∧ 𝑀 ∥ (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) → 𝑀 ∥ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))))
10357, 92, 102mp2and 697 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∥ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))
104 4sq.p . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
105104oveq1d 7174 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))
10649, 51addcld 10663 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
10784, 86addcld 10663 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℂ)
10853, 55addcld 10663 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℂ)
10988, 90addcld 10663 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ∈ ℂ)
110106, 107, 108, 109addsub4d 11047 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))
111105, 110eqtrd 2859 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))
112103, 111breqtrrd 5097 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∥ ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))
11318, 20zmulcld 12096 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) ∈ ℤ)
11495, 99zaddcld 12094 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℤ)
115113, 114zsubcld 12095 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) ∈ ℤ)
11618, 22, 112, 113, 115dvds2subd 15648 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∥ ((𝑀 · 𝑃) − ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))))
11717nncnd 11657 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
118 prmnn 16021 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
11910, 118syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
120119nncnd 11657 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
121117, 120mulcld 10664 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) ∈ ℂ)
122108, 109addcld 10663 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℂ)
123121, 122nncand 11005 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑃) − ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))) = (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
124116, 123breqtrd 5095 . . . 4 (𝜑𝑀 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
12517nnne0d 11690 . . . . 5 (𝜑𝑀 ≠ 0)
12694, 98nn0addcld 11962 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℕ0)
127126nn0zd 12088 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℤ)
128 dvdsval2 15613 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ↔ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℤ))
12918, 125, 127, 128syl3anc 1367 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ↔ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℤ))
130124, 129mpbid 234 . . 3 (𝜑 → ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℤ)
131126nn0red 11959 . . . 4 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℝ)
132126nn0ge0d 11961 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
13317nnred 11656 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
13417nngt0d 11689 . . . 4 (𝜑 → 0 < 𝑀)
135 divge0 11512 . . . 4 ((((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀)) → 0 ≤ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀))
136131, 132, 133, 134, 135syl22anc 836 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀))
137 elnn0z 11997 . . 3 (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℕ0 ↔ (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀)))
138130, 136, 137sylanbrc 585 . 2 (𝜑 → ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℕ0)
1391, 138eqeltrid 2920 1 (𝜑𝑅 ∈ ℕ0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1536  wcel 2113  {cab 2802  wne 3019  wrex 3142  {crab 3145  wss 3939  c0 4294   class class class wbr 5069  cfv 6358  (class class class)co 7159  infcinf 8908  cr 10539  0cc0 10540  1c1 10541   + caddc 10543   · cmul 10545   < clt 10678  cle 10679  cmin 10873   / cdiv 11300  cn 11641  2c2 11695  0cn0 11900  cz 11984  cuz 12246  ...cfz 12895   mod cmo 13240  cexp 13432  cdvds 15610  cprime 16018
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-2o 8106  df-oadd 8109  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-sup 8909  df-inf 8910  df-dju 9333  df-card 9371  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-n0 11901  df-xnn0 11971  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-fz 12896  df-fl 13165  df-mod 13241  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-dvds 15611  df-gcd 15847  df-prm 16019  df-gz 16269
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