Theorem ausgrumgri 29138

Description: If an alternatively defined simple graph has the vertices and edges of an arbitrary graph, the arbitrary graph is an undirected multigraph. (Contributed by AV, 18-Oct-2020.) (Revised by AV, 25-Nov-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
ausgr.1	⊢ 𝐺 = {⟨𝑣, 𝑒⟩ ∣ 𝑒 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑣 ∣ (♯‘𝑥) = 2}}

Assertion

Ref	Expression
ausgrumgri	⊢ ((𝐻 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐻)𝐺(Edg‘𝐻) ∧ Fun (iEdg‘𝐻)) → 𝐻 ∈ UMGraph)

Distinct variable group:   𝑣,𝑒,𝑥,𝐻

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑣,𝑒)   𝑊(𝑥,𝑣,𝑒)

Proof of Theorem ausgrumgri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6830	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐻) ∈ V
2		fvex 6830	. . . . 5 ⊢ (Edg‘𝐻) ∈ V
3		ausgr.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = {⟨𝑣, 𝑒⟩ ∣ 𝑒 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑣 ∣ (♯‘𝑥) = 2}}
4	3	isausgr 29135	. . . . 5 ⊢ (((Vtx‘𝐻) ∈ V ∧ (Edg‘𝐻) ∈ V) → ((Vtx‘𝐻)𝐺(Edg‘𝐻) ↔ (Edg‘𝐻) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
5	1, 2, 4	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ((Vtx‘𝐻)𝐺(Edg‘𝐻) ↔ (Edg‘𝐻) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
6		edgval 29020	. . . . . . 7 ⊢ (Edg‘𝐻) = ran (iEdg‘𝐻)
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ 𝑊 → (Edg‘𝐻) = ran (iEdg‘𝐻))
8	7	sseq1d 3964	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ 𝑊 → ((Edg‘𝐻) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ↔ ran (iEdg‘𝐻) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
9		funfn 6507	. . . . . . . . 9 ⊢ (Fun (iEdg‘𝐻) ↔ (iEdg‘𝐻) Fn dom (iEdg‘𝐻))
10	9	biimpi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun (iEdg‘𝐻) → (iEdg‘𝐻) Fn dom (iEdg‘𝐻))
11	10	3ad2ant3 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑊 ∧ ran (iEdg‘𝐻) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ∧ Fun (iEdg‘𝐻)) → (iEdg‘𝐻) Fn dom (iEdg‘𝐻))
12		simp2 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑊 ∧ ran (iEdg‘𝐻) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ∧ Fun (iEdg‘𝐻)) → ran (iEdg‘𝐻) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
13		df-f 6481	. . . . . . 7 ⊢ ((iEdg‘𝐻):dom (iEdg‘𝐻)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ↔ ((iEdg‘𝐻) Fn dom (iEdg‘𝐻) ∧ ran (iEdg‘𝐻) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
14	11, 12, 13	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑊 ∧ ran (iEdg‘𝐻) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ∧ Fun (iEdg‘𝐻)) → (iEdg‘𝐻):dom (iEdg‘𝐻)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
15	14	3exp 1119	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ 𝑊 → (ran (iEdg‘𝐻) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2} → (Fun (iEdg‘𝐻) → (iEdg‘𝐻):dom (iEdg‘𝐻)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2})))
16	8, 15	sylbid 240	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ 𝑊 → ((Edg‘𝐻) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2} → (Fun (iEdg‘𝐻) → (iEdg‘𝐻):dom (iEdg‘𝐻)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2})))
17	5, 16	biimtrid 242	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ 𝑊 → ((Vtx‘𝐻)𝐺(Edg‘𝐻) → (Fun (iEdg‘𝐻) → (iEdg‘𝐻):dom (iEdg‘𝐻)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2})))
18	17	3imp 1110	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐻)𝐺(Edg‘𝐻) ∧ Fun (iEdg‘𝐻)) → (iEdg‘𝐻):dom (iEdg‘𝐻)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
19		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐻) = (Vtx‘𝐻)
20		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐻) = (iEdg‘𝐻)
21	19, 20	isumgrs 29067	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ 𝑊 → (𝐻 ∈ UMGraph ↔ (iEdg‘𝐻):dom (iEdg‘𝐻)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
22	21	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐻)𝐺(Edg‘𝐻) ∧ Fun (iEdg‘𝐻)) → (𝐻 ∈ UMGraph ↔ (iEdg‘𝐻):dom (iEdg‘𝐻)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
23	18, 22	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐻)𝐺(Edg‘𝐻) ∧ Fun (iEdg‘𝐻)) → 𝐻 ∈ UMGraph)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  {crab 3393  Vcvv 3434   ⊆ wss 3900  𝒫 cpw 4548   class class class wbr 5089  {copab 5151  dom cdm 5614  ran crn 5615  Fun wfun 6471   Fn wfn 6472  ⟶wf 6473  ‘cfv 6477  2c2 12172  ♯chash 14229  Vtxcvtx 28967  iEdgciedg 28968  Edgcedg 29018  UMGraphcumgr 29052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-card 9824  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-nn 12118  df-2 12180  df-n0 12374  df-z 12461  df-uz 12725  df-fz 13400  df-hash 14230  df-edg 29019  df-umgr 29054

This theorem is referenced by: (None)