Theorem ausgrumgri 29483

Description: If an alternatively defined simple graph has the vertices and edges of an arbitrary graph, the arbitrary graph is an undirected multigraph. (Contributed by AV, 18-Oct-2020.) (Revised by AV, 25-Nov-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
ausgr.1	⊢ 𝐺 = {⟨𝑣, 𝑒⟩ ∣ 𝑒 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑣 ∣ (♯‘𝑥) = 2}}

Assertion

Ref	Expression
ausgrumgri	⊢ ((𝐻 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐻)𝐺(Edg‘𝐻) ∧ Fun (iEdg‘𝐻)) → 𝐻 ∈ UMGraph)

Distinct variable group:   𝑣,𝑒,𝑥,𝐻

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑣,𝑒)   𝑊(𝑥,𝑣,𝑒)

Proof of Theorem ausgrumgri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6894	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐻) ∈ V
2		fvex 6894	. . . . 5 ⊢ (Edg‘𝐻) ∈ V
3		ausgr.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = {⟨𝑣, 𝑒⟩ ∣ 𝑒 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑣 ∣ (♯‘𝑥) = 2}}
4	3	isausgr 29480	. . . . 5 ⊢ (((Vtx‘𝐻) ∈ V ∧ (Edg‘𝐻) ∈ V) → ((Vtx‘𝐻)𝐺(Edg‘𝐻) ↔ (Edg‘𝐻) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
5	1, 2, 4	mp2an 704	. . . 4 ⊢ ((Vtx‘𝐻)𝐺(Edg‘𝐻) ↔ (Edg‘𝐻) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
6		edgval 29365	. . . . . . 7 ⊢ (Edg‘𝐻) = ran (iEdg‘𝐻)
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ 𝑊 → (Edg‘𝐻) = ran (iEdg‘𝐻))
8	7	sseq1d 3967	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ 𝑊 → ((Edg‘𝐻) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ↔ ran (iEdg‘𝐻) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
9		funfn 6566	. . . . . . . . 9 ⊢ (Fun (iEdg‘𝐻) ↔ (iEdg‘𝐻) Fn dom (iEdg‘𝐻))
10	9	biimpi 219	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun (iEdg‘𝐻) → (iEdg‘𝐻) Fn dom (iEdg‘𝐻))
11	10	3ad2ant3 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑊 ∧ ran (iEdg‘𝐻) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ∧ Fun (iEdg‘𝐻)) → (iEdg‘𝐻) Fn dom (iEdg‘𝐻))
12		simp2 1153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑊 ∧ ran (iEdg‘𝐻) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ∧ Fun (iEdg‘𝐻)) → ran (iEdg‘𝐻) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
13		df-f 6540	. . . . . . 7 ⊢ ((iEdg‘𝐻):dom (iEdg‘𝐻)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ↔ ((iEdg‘𝐻) Fn dom (iEdg‘𝐻) ∧ ran (iEdg‘𝐻) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
14	11, 12, 13	sylanbrc 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑊 ∧ ran (iEdg‘𝐻) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ∧ Fun (iEdg‘𝐻)) → (iEdg‘𝐻):dom (iEdg‘𝐻)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
15	14	3exp 1135	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ 𝑊 → (ran (iEdg‘𝐻) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2} → (Fun (iEdg‘𝐻) → (iEdg‘𝐻):dom (iEdg‘𝐻)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2})))
16	8, 15	sylbid 243	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ 𝑊 → ((Edg‘𝐻) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2} → (Fun (iEdg‘𝐻) → (iEdg‘𝐻):dom (iEdg‘𝐻)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2})))
17	5, 16	biimtrid 245	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ 𝑊 → ((Vtx‘𝐻)𝐺(Edg‘𝐻) → (Fun (iEdg‘𝐻) → (iEdg‘𝐻):dom (iEdg‘𝐻)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2})))
18	17	3imp 1126	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐻)𝐺(Edg‘𝐻) ∧ Fun (iEdg‘𝐻)) → (iEdg‘𝐻):dom (iEdg‘𝐻)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
19		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐻) = (Vtx‘𝐻)
20		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐻) = (iEdg‘𝐻)
21	19, 20	isumgrs 29412	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ 𝑊 → (𝐻 ∈ UMGraph ↔ (iEdg‘𝐻):dom (iEdg‘𝐻)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
22	21	3ad2ant1 1149	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐻)𝐺(Edg‘𝐻) ∧ Fun (iEdg‘𝐻)) → (𝐻 ∈ UMGraph ↔ (iEdg‘𝐻):dom (iEdg‘𝐻)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
23	18, 22	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐻)𝐺(Edg‘𝐻) ∧ Fun (iEdg‘𝐻)) → 𝐻 ∈ UMGraph)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  {crab 3414  Vcvv 3453   ⊆ wss 3904  𝒫 cpw 4561   class class class wbr 5108  {copab 5172  dom cdm 5661  ran crn 5662  Fun wfun 6530   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  2c2 12294  ♯chash 14366  Vtxcvtx 29312  iEdgciedg 29313  Edgcedg 29363  UMGraphcumgr 29397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-hash 14367  df-edg 29364  df-umgr 29399

This theorem is referenced by: (None)