Theorem hashfz1 14443

Description: The set (1...𝑁) has 𝑁 elements. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
hashfz1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)

Proof of Theorem hashfz1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
2	1	cardfz 14067	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (card‘(1...𝑁)) = (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘𝑁))
3	2	fveq2d 6878	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘(1...𝑁))) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘𝑁)))
4		fzfid 14070	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1...𝑁) ∈ Fin)
5	1	hashgval 14430	. . 3 ⊢ ((1...𝑁) ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘(1...𝑁))) = (♯‘(1...𝑁)))
6	4, 5	syl 18	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘(1...𝑁))) = (♯‘(1...𝑁)))
7	1	hashgf1o 14068	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
8		f1ocnvfv2 7274	. . 3 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘𝑁)) = 𝑁)
9	7, 8	mpan 703	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘𝑁)) = 𝑁)
10	3, 6, 9	3eqtr3d 2803	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ↦ cmpt 5186  ^◡ccnv 5647   ↾ cres 5650  –1-1-onto→wf1o 6527  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  ωcom 7861  reccrdg 8396  Fincfn 8952  cardccrd 9973  0cc0 11157  1c1 11158   + caddc 11160  ℕ₀cn0 12561  ...cfz 13594  ♯chash 14427

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-card 9977  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-nn 12291  df-n0 12562  df-z 12649  df-uz 12921  df-fz 13595  df-hash 14428

This theorem is used by:  fz1eqb  14451  isfinite4  14459  hasheq0  14460  hashsng  14466  fseq1hash  14473  hashdom  14476  hashfz  14525  ishashinf  14561  isercolllem2  15786  isercoll  15788  summolem3  15833  summolem2a  15834  o1fsum  15933  climcndslem1  15971  climcndslem2  15972  harmonic  15981  mertenslem1  16006  prodmolem3  16053  prodmolem2a  16054  risefallfac  16144  bpolylem  16167  phicl2  16892  phibnd  16895  hashdvds  16899  phiprmpw  16900  eulerth  16907  pcfac  17024  prmreclem2  17042  prmreclem3  17043  prmreclem5  17045  4sqlem11  17080  vdwlem12  17117  ramub2  17139  ramlb  17144  0ram  17145  ram0  17147  dfod2  19725  gsumval3  20068  uniioombllem4  25854  birthdaylem2  27229  birthdaylem3  27230  basellem4  27360  basellem5  27361  basellem8  27364  ppiltx  27453  vmasum  27492  logfac2  27493  chpval2  27494  chpchtsum  27495  chpub  27496  logfaclbnd  27498  bposlem1  27560  lgsqrlem4  27625  gausslemma2dlem6  27648  lgseisenlem4  27654  lgsquadlem1  27656  lgsquadlem2  27657  lgsquadlem3  27658  dchrmusum2  27770  dchrisum0lem2a  27793  mudivsum  27806  mulogsumlem  27807  selberglem2  27822  cyclnumvtx  30307  ballotlem1  35039  ballotlemfmpn  35047  derangen2  35854  subfaclefac  35856  subfacp1lem1  35859  erdszelem10  35880  erdsze2lem1  35883  snmlff  36009  bcprod  36418  bj-finsumval0  38120  hashscontpow  43086  sticksstones2  43111  sticksstones5  43114  sticksstones10  43119  sticksstones12a  43121  fz1sumconst  43282  eldioph2lem1  43703  rp-isfinite5  44455  rp-isfinite6  44456  stoweidlem38  46964  dirkertrigeq  47027  etransclem32  47192  nn0mulfsum  49652  aacllem  50855