Theorem hashfz1 14412

Description: The set (1...𝑁) has 𝑁 elements. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
hashfz1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)

Proof of Theorem hashfz1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
2	1	cardfz 14036	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (card‘(1...𝑁)) = (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘𝑁))
3	2	fveq2d 6886	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘(1...𝑁))) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘𝑁)))
4		fzfid 14039	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1...𝑁) ∈ Fin)
5	1	hashgval 14399	. . 3 ⊢ ((1...𝑁) ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘(1...𝑁))) = (♯‘(1...𝑁)))
6	4, 5	syl 18	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘(1...𝑁))) = (♯‘(1...𝑁)))
7	1	hashgf1o 14037	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
8		f1ocnvfv2 7281	. . 3 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘𝑁)) = 𝑁)
9	7, 8	mpan 703	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘𝑁)) = 𝑁)
10	3, 6, 9	3eqtr3d 2805	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   ↦ cmpt 5190  ^◡ccnv 5658   ↾ cres 5661  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ωcom 7865  reccrdg 8401  Fincfn 8955  cardccrd 9943  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130  ℕ₀cn0 12531  ...cfz 13563  ♯chash 14396

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13564  df-hash 14397

This theorem is used by:  fz1eqb  14420  isfinite4  14428  hasheq0  14429  hashsng  14435  fseq1hash  14442  hashdom  14445  hashfz  14494  ishashinf  14530  isercolllem2  15755  isercoll  15757  summolem3  15802  summolem2a  15803  o1fsum  15902  climcndslem1  15940  climcndslem2  15941  harmonic  15950  mertenslem1  15975  prodmolem3  16024  prodmolem2a  16025  risefallfac  16115  bpolylem  16138  phicl2  16863  phibnd  16866  hashdvds  16870  phiprmpw  16871  eulerth  16878  pcfac  16995  prmreclem2  17013  prmreclem3  17014  prmreclem5  17016  4sqlem11  17051  vdwlem12  17088  ramub2  17110  ramlb  17115  0ram  17116  ram0  17118  dfod2  19692  gsumval3  20035  uniioombllem4  25815  birthdaylem2  27187  birthdaylem3  27188  basellem4  27318  basellem5  27319  basellem8  27322  ppiltx  27411  vmasum  27450  logfac2  27451  chpval2  27452  chpchtsum  27453  chpub  27454  logfaclbnd  27456  bposlem1  27518  lgsqrlem4  27583  gausslemma2dlem6  27606  lgseisenlem4  27612  lgsquadlem1  27614  lgsquadlem2  27615  lgsquadlem3  27616  dchrmusum2  27728  dchrisum0lem2a  27751  mudivsum  27764  mulogsumlem  27765  selberglem2  27780  cyclnumvtx  30253  ballotlem1  34985  ballotlemfmpn  34993  derangen2  35740  subfaclefac  35742  subfacp1lem1  35745  erdszelem10  35766  erdsze2lem1  35769  snmlff  35895  bcprod  36304  bj-finsumval0  38024  hashscontpow  42975  sticksstones2  43000  sticksstones5  43003  sticksstones10  43008  sticksstones12a  43010  fz1sumconst  43171  eldioph2lem1  43592  rp-isfinite5  44344  rp-isfinite6  44345  stoweidlem38  46853  dirkertrigeq  46916  etransclem32  47081  nn0mulfsum  49541  aacllem  50759