MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashfz1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashfz1 14311
Description: The set (1...𝑁) has 𝑁 elements. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
hashfz1 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(1...𝑁)) = 𝑁)

Proof of Theorem hashfz1
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . . 4 (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) = (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)
21cardfz 13941 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (cardβ€˜(1...𝑁)) = (β—‘(rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜π‘))
32fveq2d 6889 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜(cardβ€˜(1...𝑁))) = ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜(β—‘(rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜π‘)))
4 fzfid 13944 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (1...𝑁) ∈ Fin)
51hashgval 14298 . . 3 ((1...𝑁) ∈ Fin β†’ ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜(cardβ€˜(1...𝑁))) = (β™―β€˜(1...𝑁)))
64, 5syl 17 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜(cardβ€˜(1...𝑁))) = (β™―β€˜(1...𝑁)))
71hashgf1o 13942 . . 3 (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰):ω–1-1-ontoβ†’β„•0
8 f1ocnvfv2 7271 . . 3 (((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰):ω–1-1-ontoβ†’β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜(β—‘(rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜π‘)) = 𝑁)
97, 8mpan 687 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜(β—‘(rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜π‘)) = 𝑁)
103, 6, 93eqtr3d 2774 1 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(1...𝑁)) = 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   ↦ cmpt 5224  β—‘ccnv 5668   β†Ύ cres 5671  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6536  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Ο‰com 7852  reccrdg 8410  Fincfn 8941  cardccrd 9932  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  β„•0cn0 12476  ...cfz 13490  β™―chash 14295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-hash 14296
This theorem is referenced by:  fz1eqb  14319  isfinite4  14327  hasheq0  14328  hashsng  14334  fseq1hash  14341  hashdom  14344  hashfz  14392  ishashinf  14430  isercolllem2  15618  isercoll  15620  summolem3  15666  summolem2a  15667  o1fsum  15765  climcndslem1  15801  climcndslem2  15802  harmonic  15811  mertenslem1  15836  prodmolem3  15883  prodmolem2a  15884  risefallfac  15974  bpolylem  15998  phicl2  16710  phibnd  16713  hashdvds  16717  phiprmpw  16718  eulerth  16725  pcfac  16841  prmreclem2  16859  prmreclem3  16860  prmreclem5  16862  4sqlem11  16897  vdwlem12  16934  ramub2  16956  ramlb  16961  0ram  16962  ram0  16964  dfod2  19484  gsumval3  19827  uniioombllem4  25470  birthdaylem2  26839  birthdaylem3  26840  basellem4  26971  basellem5  26972  basellem8  26975  ppiltx  27064  vmasum  27104  logfac2  27105  chpval2  27106  chpchtsum  27107  chpub  27108  logfaclbnd  27110  bposlem1  27172  lgsqrlem4  27237  gausslemma2dlem6  27260  lgseisenlem4  27266  lgsquadlem1  27268  lgsquadlem2  27269  lgsquadlem3  27270  dchrmusum2  27382  dchrisum0lem2a  27405  mudivsum  27418  mulogsumlem  27419  selberglem2  27434  ballotlem1  34015  ballotlemfmpn  34023  derangen2  34693  subfaclefac  34695  subfacp1lem1  34698  erdszelem10  34719  erdsze2lem1  34722  snmlff  34848  bcprod  35241  bj-finsumval0  36673  hashscontpow  41499  sticksstones2  41521  sticksstones5  41524  sticksstones10  41529  sticksstones12a  41531  fz1sumconst  41762  eldioph2lem1  42073  rp-isfinite5  42841  rp-isfinite6  42842  stoweidlem38  45323  dirkertrigeq  45386  etransclem32  45551  nn0mulfsum  47582  aacllem  48119
  Copyright terms: Public domain W3C validator