Theorem hashfz1 14389

Description: The set (1...𝑁) has 𝑁 elements. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
hashfz1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)

Proof of Theorem hashfz1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
2	1	cardfz 14013	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (card‘(1...𝑁)) = (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘𝑁))
3	2	fveq2d 6885	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘(1...𝑁))) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘𝑁)))
4		fzfid 14016	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1...𝑁) ∈ Fin)
5	1	hashgval 14376	. . 3 ⊢ ((1...𝑁) ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘(1...𝑁))) = (♯‘(1...𝑁)))
6	4, 5	syl 18	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘(1...𝑁))) = (♯‘(1...𝑁)))
7	1	hashgf1o 14014	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
8		f1ocnvfv2 7275	. . 3 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘𝑁)) = 𝑁)
9	7, 8	mpan 702	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘𝑁)) = 𝑁)
10	3, 6, 9	3eqtr3d 2805	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454   ↦ cmpt 5191  ^◡ccnv 5659   ↾ cres 5662  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  ωcom 7860  reccrdg 8394  Fincfn 8941  cardccrd 9928  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109  ℕ₀cn0 12510  ...cfz 13541  ♯chash 14373

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-fz 13542  df-hash 14374

This theorem is used by:  fz1eqb  14397  isfinite4  14405  hasheq0  14406  hashsng  14412  fseq1hash  14419  hashdom  14422  hashfz  14471  ishashinf  14507  isercolllem2  15724  isercoll  15726  summolem3  15772  summolem2a  15773  o1fsum  15872  climcndslem1  15910  climcndslem2  15911  harmonic  15920  mertenslem1  15945  prodmolem3  15994  prodmolem2a  15995  risefallfac  16085  bpolylem  16108  phicl2  16833  phibnd  16836  hashdvds  16840  phiprmpw  16841  eulerth  16848  pcfac  16965  prmreclem2  16983  prmreclem3  16984  prmreclem5  16986  4sqlem11  17021  vdwlem12  17058  ramub2  17080  ramlb  17085  0ram  17086  ram0  17088  dfod2  19640  gsumval3  19983  uniioombllem4  25756  birthdaylem2  27128  birthdaylem3  27129  basellem4  27259  basellem5  27260  basellem8  27263  ppiltx  27352  vmasum  27391  logfac2  27392  chpval2  27393  chpchtsum  27394  chpub  27395  logfaclbnd  27397  bposlem1  27459  lgsqrlem4  27524  gausslemma2dlem6  27547  lgseisenlem4  27553  lgsquadlem1  27555  lgsquadlem2  27556  lgsquadlem3  27557  dchrmusum2  27669  dchrisum0lem2a  27692  mudivsum  27705  mulogsumlem  27706  selberglem2  27721  cyclnumvtx  30160  ballotlem1  34886  ballotlemfmpn  34894  derangen2  35674  subfaclefac  35676  subfacp1lem1  35679  erdszelem10  35700  erdsze2lem1  35703  snmlff  35829  bcprod  36238  bj-finsumval0  37957  hashscontpow  42917  sticksstones2  42942  sticksstones5  42945  sticksstones10  42950  sticksstones12a  42952  fz1sumconst  43098  eldioph2lem1  43519  rp-isfinite5  44271  rp-isfinite6  44272  stoweidlem38  46780  dirkertrigeq  46843  etransclem32  47008  nn0mulfsum  49432  aacllem  50649