Theorem hashfz1 14253

Description: The set (1...𝑁) has 𝑁 elements. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
hashfz1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)

Proof of Theorem hashfz1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
2	1	cardfz 13877	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (card‘(1...𝑁)) = (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘𝑁))
3	2	fveq2d 6826	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘(1...𝑁))) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘𝑁)))
4		fzfid 13880	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1...𝑁) ∈ Fin)
5	1	hashgval 14240	. . 3 ⊢ ((1...𝑁) ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘(1...𝑁))) = (♯‘(1...𝑁)))
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘(1...𝑁))) = (♯‘(1...𝑁)))
7	1	hashgf1o 13878	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
8		f1ocnvfv2 7214	. . 3 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘𝑁)) = 𝑁)
9	7, 8	mpan 690	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘𝑁)) = 𝑁)
10	3, 6, 9	3eqtr3d 2772	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436   ↦ cmpt 5173  ^◡ccnv 5618   ↾ cres 5621  –1-1-onto→wf1o 6481  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ωcom 7799  reccrdg 8331  Fincfn 8872  cardccrd 9831  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012  ℕ₀cn0 12384  ...cfz 13410  ♯chash 14237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-hash 14238

This theorem is referenced by:  fz1eqb  14261  isfinite4  14269  hasheq0  14270  hashsng  14276  fseq1hash  14283  hashdom  14286  hashfz  14334  ishashinf  14370  isercolllem2  15573  isercoll  15575  summolem3  15621  summolem2a  15622  o1fsum  15720  climcndslem1  15756  climcndslem2  15757  harmonic  15766  mertenslem1  15791  prodmolem3  15840  prodmolem2a  15841  risefallfac  15931  bpolylem  15955  phicl2  16679  phibnd  16682  hashdvds  16686  phiprmpw  16687  eulerth  16694  pcfac  16811  prmreclem2  16829  prmreclem3  16830  prmreclem5  16832  4sqlem11  16867  vdwlem12  16904  ramub2  16926  ramlb  16931  0ram  16932  ram0  16934  dfod2  19443  gsumval3  19786  uniioombllem4  25485  birthdaylem2  26860  birthdaylem3  26861  basellem4  26992  basellem5  26993  basellem8  26996  ppiltx  27085  vmasum  27125  logfac2  27126  chpval2  27127  chpchtsum  27128  chpub  27129  logfaclbnd  27131  bposlem1  27193  lgsqrlem4  27258  gausslemma2dlem6  27281  lgseisenlem4  27287  lgsquadlem1  27289  lgsquadlem2  27290  lgsquadlem3  27291  dchrmusum2  27403  dchrisum0lem2a  27426  mudivsum  27439  mulogsumlem  27440  selberglem2  27455  cyclnumvtx  29749  ballotlem1  34471  ballotlemfmpn  34479  derangen2  35167  subfaclefac  35169  subfacp1lem1  35172  erdszelem10  35193  erdsze2lem1  35196  snmlff  35322  bcprod  35731  bj-finsumval0  37279  hashscontpow  42115  sticksstones2  42140  sticksstones5  42143  sticksstones10  42148  sticksstones12a  42150  fz1sumconst  42302  eldioph2lem1  42753  rp-isfinite5  43510  rp-isfinite6  43511  stoweidlem38  46039  dirkertrigeq  46102  etransclem32  46267  nn0mulfsum  48629  aacllem  49806