MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashfz1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashfz1 14381
Description: The set (1...𝑁) has 𝑁 elements. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
hashfz1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)

Proof of Theorem hashfz1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2734 . . . 4 (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
21cardfz 14007 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (card‘(1...𝑁)) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘𝑁))
32fveq2d 6910 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘(1...𝑁))) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘𝑁)))
4 fzfid 14010 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1...𝑁) ∈ Fin)
51hashgval 14368 . . 3 ((1...𝑁) ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘(1...𝑁))) = (♯‘(1...𝑁)))
64, 5syl 17 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘(1...𝑁))) = (♯‘(1...𝑁)))
71hashgf1o 14008 . . 3 (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
8 f1ocnvfv2 7296 . . 3 (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘𝑁)) = 𝑁)
97, 8mpan 690 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘𝑁)) = 𝑁)
103, 6, 93eqtr3d 2782 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1536  wcel 2105  Vcvv 3477  cmpt 5230  ccnv 5687  cres 5690  1-1-ontowf1o 6561  cfv 6562  (class class class)co 7430  ωcom 7886  reccrdg 8447  Fincfn 8983  cardccrd 9972  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155  0cn0 12523  ...cfz 13543  chash 14365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-hash 14366
This theorem is referenced by:  fz1eqb  14389  isfinite4  14397  hasheq0  14398  hashsng  14404  fseq1hash  14411  hashdom  14414  hashfz  14462  ishashinf  14498  isercolllem2  15698  isercoll  15700  summolem3  15746  summolem2a  15747  o1fsum  15845  climcndslem1  15881  climcndslem2  15882  harmonic  15891  mertenslem1  15916  prodmolem3  15965  prodmolem2a  15966  risefallfac  16056  bpolylem  16080  phicl2  16801  phibnd  16804  hashdvds  16808  phiprmpw  16809  eulerth  16816  pcfac  16932  prmreclem2  16950  prmreclem3  16951  prmreclem5  16953  4sqlem11  16988  vdwlem12  17025  ramub2  17047  ramlb  17052  0ram  17053  ram0  17055  dfod2  19596  gsumval3  19939  uniioombllem4  25634  birthdaylem2  27009  birthdaylem3  27010  basellem4  27141  basellem5  27142  basellem8  27145  ppiltx  27234  vmasum  27274  logfac2  27275  chpval2  27276  chpchtsum  27277  chpub  27278  logfaclbnd  27280  bposlem1  27342  lgsqrlem4  27407  gausslemma2dlem6  27430  lgseisenlem4  27436  lgsquadlem1  27438  lgsquadlem2  27439  lgsquadlem3  27440  dchrmusum2  27552  dchrisum0lem2a  27575  mudivsum  27588  mulogsumlem  27589  selberglem2  27604  ballotlem1  34467  ballotlemfmpn  34475  derangen2  35158  subfaclefac  35160  subfacp1lem1  35163  erdszelem10  35184  erdsze2lem1  35187  snmlff  35313  bcprod  35717  bj-finsumval0  37267  hashscontpow  42103  sticksstones2  42128  sticksstones5  42131  sticksstones10  42136  sticksstones12a  42138  fz1sumconst  42321  eldioph2lem1  42747  rp-isfinite5  43506  rp-isfinite6  43507  stoweidlem38  45993  dirkertrigeq  46056  etransclem32  46221  nn0mulfsum  48473  aacllem  49031
  Copyright terms: Public domain W3C validator