MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashfz1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashfz1 13698
Description: The set (1...𝑁) has 𝑁 elements. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
hashfz1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)

Proof of Theorem hashfz1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2819 . . . 4 (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
21cardfz 13330 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (card‘(1...𝑁)) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘𝑁))
32fveq2d 6667 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘(1...𝑁))) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘𝑁)))
4 fzfid 13333 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1...𝑁) ∈ Fin)
51hashgval 13685 . . 3 ((1...𝑁) ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘(1...𝑁))) = (♯‘(1...𝑁)))
64, 5syl 17 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘(1...𝑁))) = (♯‘(1...𝑁)))
71hashgf1o 13331 . . 3 (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
8 f1ocnvfv2 7026 . . 3 (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘𝑁)) = 𝑁)
97, 8mpan 688 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘𝑁)) = 𝑁)
103, 6, 93eqtr3d 2862 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1530  wcel 2107  Vcvv 3493  cmpt 5137  ccnv 5547  cres 5550  1-1-ontowf1o 6347  cfv 6348  (class class class)co 7148  ωcom 7572  reccrdg 8037  Fincfn 8501  cardccrd 9356  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532  0cn0 11889  ...cfz 12884  chash 13682
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12885  df-hash 13683
This theorem is referenced by:  fz1eqb  13707  isfinite4  13715  hasheq0  13716  hashsng  13722  fseq1hash  13729  hashdom  13732  hashfz  13780  ishashinf  13813  isercolllem2  15014  isercoll  15016  summolem3  15063  summolem2a  15064  o1fsum  15160  climcndslem1  15196  climcndslem2  15197  harmonic  15206  mertenslem1  15232  prodmolem3  15279  prodmolem2a  15280  risefallfac  15370  bpolylem  15394  phicl2  16097  phibnd  16100  hashdvds  16104  phiprmpw  16105  eulerth  16112  pcfac  16227  prmreclem2  16245  prmreclem3  16246  prmreclem5  16248  4sqlem11  16283  vdwlem12  16320  ramub2  16342  ramlb  16347  0ram  16348  ram0  16350  dfod2  18683  gsumval3  19019  uniioombllem4  24179  birthdaylem2  25522  birthdaylem3  25523  basellem4  25653  basellem5  25654  basellem8  25657  ppiltx  25746  vmasum  25784  logfac2  25785  chpval2  25786  chpchtsum  25787  chpub  25788  logfaclbnd  25790  bposlem1  25852  lgsqrlem4  25917  gausslemma2dlem6  25940  lgseisenlem4  25946  lgsquadlem1  25948  lgsquadlem2  25949  lgsquadlem3  25950  dchrmusum2  26062  dchrisum0lem2a  26085  mudivsum  26098  mulogsumlem  26099  selberglem2  26114  ballotlem1  31732  ballotlemfmpn  31740  derangen2  32409  subfaclefac  32411  subfacp1lem1  32414  erdszelem10  32435  erdsze2lem1  32438  snmlff  32564  bcprod  32958  bj-finsumval0  34554  eldioph2lem1  39342  rp-isfinite5  39868  rp-isfinite6  39869  stoweidlem38  42308  dirkertrigeq  42371  etransclem32  42536  nn0mulfsum  44669  aacllem  44887
  Copyright terms: Public domain W3C validator