Theorem hashfz1 14317

Description: The set (1...𝑁) has 𝑁 elements. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
hashfz1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)

Proof of Theorem hashfz1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
2	1	cardfz 13941	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (card‘(1...𝑁)) = (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘𝑁))
3	2	fveq2d 6864	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘(1...𝑁))) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘𝑁)))
4		fzfid 13944	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1...𝑁) ∈ Fin)
5	1	hashgval 14304	. . 3 ⊢ ((1...𝑁) ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘(1...𝑁))) = (♯‘(1...𝑁)))
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘(1...𝑁))) = (♯‘(1...𝑁)))
7	1	hashgf1o 13942	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
8		f1ocnvfv2 7254	. . 3 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘𝑁)) = 𝑁)
9	7, 8	mpan 690	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘𝑁)) = 𝑁)
10	3, 6, 9	3eqtr3d 2773	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   ↦ cmpt 5190  ^◡ccnv 5639   ↾ cres 5642  –1-1-onto→wf1o 6512  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  ωcom 7844  reccrdg 8379  Fincfn 8920  cardccrd 9894  0cc0 11074  1c1 11075   + caddc 11077  ℕ₀cn0 12448  ...cfz 13474  ♯chash 14301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-card 9898  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800  df-fz 13475  df-hash 14302

This theorem is referenced by:  fz1eqb  14325  isfinite4  14333  hasheq0  14334  hashsng  14340  fseq1hash  14347  hashdom  14350  hashfz  14398  ishashinf  14434  isercolllem2  15638  isercoll  15640  summolem3  15686  summolem2a  15687  o1fsum  15785  climcndslem1  15821  climcndslem2  15822  harmonic  15831  mertenslem1  15856  prodmolem3  15905  prodmolem2a  15906  risefallfac  15996  bpolylem  16020  phicl2  16744  phibnd  16747  hashdvds  16751  phiprmpw  16752  eulerth  16759  pcfac  16876  prmreclem2  16894  prmreclem3  16895  prmreclem5  16897  4sqlem11  16932  vdwlem12  16969  ramub2  16991  ramlb  16996  0ram  16997  ram0  16999  dfod2  19500  gsumval3  19843  uniioombllem4  25493  birthdaylem2  26868  birthdaylem3  26869  basellem4  27000  basellem5  27001  basellem8  27004  ppiltx  27093  vmasum  27133  logfac2  27134  chpval2  27135  chpchtsum  27136  chpub  27137  logfaclbnd  27139  bposlem1  27201  lgsqrlem4  27266  gausslemma2dlem6  27289  lgseisenlem4  27295  lgsquadlem1  27297  lgsquadlem2  27298  lgsquadlem3  27299  dchrmusum2  27411  dchrisum0lem2a  27434  mudivsum  27447  mulogsumlem  27448  selberglem2  27463  cyclnumvtx  29736  ballotlem1  34484  ballotlemfmpn  34492  derangen2  35161  subfaclefac  35163  subfacp1lem1  35166  erdszelem10  35187  erdsze2lem1  35190  snmlff  35316  bcprod  35720  bj-finsumval0  37268  hashscontpow  42105  sticksstones2  42130  sticksstones5  42133  sticksstones10  42138  sticksstones12a  42140  fz1sumconst  42292  eldioph2lem1  42741  rp-isfinite5  43499  rp-isfinite6  43500  stoweidlem38  46029  dirkertrigeq  46092  etransclem32  46257  nn0mulfsum  48603  aacllem  49767