MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashfz1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashfz1 14253
Description: The set (1...𝑁) has 𝑁 elements. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
hashfz1 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(1...𝑁)) = 𝑁)

Proof of Theorem hashfz1
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . 4 (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) = (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)
21cardfz 13882 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (cardβ€˜(1...𝑁)) = (β—‘(rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜π‘))
32fveq2d 6851 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜(cardβ€˜(1...𝑁))) = ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜(β—‘(rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜π‘)))
4 fzfid 13885 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (1...𝑁) ∈ Fin)
51hashgval 14240 . . 3 ((1...𝑁) ∈ Fin β†’ ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜(cardβ€˜(1...𝑁))) = (β™―β€˜(1...𝑁)))
64, 5syl 17 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜(cardβ€˜(1...𝑁))) = (β™―β€˜(1...𝑁)))
71hashgf1o 13883 . . 3 (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰):ω–1-1-ontoβ†’β„•0
8 f1ocnvfv2 7228 . . 3 (((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰):ω–1-1-ontoβ†’β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜(β—‘(rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜π‘)) = 𝑁)
97, 8mpan 689 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜(β—‘(rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜π‘)) = 𝑁)
103, 6, 93eqtr3d 2785 1 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(1...𝑁)) = 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3448   ↦ cmpt 5193  β—‘ccnv 5637   β†Ύ cres 5640  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6500  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Ο‰com 7807  reccrdg 8360  Fincfn 8890  cardccrd 9878  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061  β„•0cn0 12420  ...cfz 13431  β™―chash 14237
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-hash 14238
This theorem is referenced by:  fz1eqb  14261  isfinite4  14269  hasheq0  14270  hashsng  14276  fseq1hash  14283  hashdom  14286  hashfz  14334  ishashinf  14369  isercolllem2  15557  isercoll  15559  summolem3  15606  summolem2a  15607  o1fsum  15705  climcndslem1  15741  climcndslem2  15742  harmonic  15751  mertenslem1  15776  prodmolem3  15823  prodmolem2a  15824  risefallfac  15914  bpolylem  15938  phicl2  16647  phibnd  16650  hashdvds  16654  phiprmpw  16655  eulerth  16662  pcfac  16778  prmreclem2  16796  prmreclem3  16797  prmreclem5  16799  4sqlem11  16834  vdwlem12  16871  ramub2  16893  ramlb  16898  0ram  16899  ram0  16901  dfod2  19353  gsumval3  19691  uniioombllem4  24966  birthdaylem2  26318  birthdaylem3  26319  basellem4  26449  basellem5  26450  basellem8  26453  ppiltx  26542  vmasum  26580  logfac2  26581  chpval2  26582  chpchtsum  26583  chpub  26584  logfaclbnd  26586  bposlem1  26648  lgsqrlem4  26713  gausslemma2dlem6  26736  lgseisenlem4  26742  lgsquadlem1  26744  lgsquadlem2  26745  lgsquadlem3  26746  dchrmusum2  26858  dchrisum0lem2a  26881  mudivsum  26894  mulogsumlem  26895  selberglem2  26910  ballotlem1  33126  ballotlemfmpn  33134  derangen2  33808  subfaclefac  33810  subfacp1lem1  33813  erdszelem10  33834  erdsze2lem1  33837  snmlff  33963  bcprod  34350  bj-finsumval0  35785  sticksstones2  40584  sticksstones5  40587  sticksstones10  40592  sticksstones12a  40594  eldioph2lem1  41112  rp-isfinite5  41863  rp-isfinite6  41864  stoweidlem38  44353  dirkertrigeq  44416  etransclem32  44581  nn0mulfsum  46784  aacllem  47322
  Copyright terms: Public domain W3C validator