Theorem cats1cat 14900

Description: Closure of concatenation with a singleton word. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cats1cld.1	⊢ 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)
cats1cat.2	⊢ 𝐴 ∈ Word V
cats1cat.3	⊢ 𝑆 ∈ Word V
cats1cat.4	⊢ 𝐶 = (𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩)
cats1cat.5	⊢ 𝐵 = (𝐴 ++ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
cats1cat	⊢ 𝐶 = (𝐴 ++ 𝑇)

Proof of Theorem cats1cat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cats1cat.5	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝐴 ++ 𝑆)
2	1	oveq1i 7441	. . 3 ⊢ (𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) = ((𝐴 ++ 𝑆) ++ ⟨“𝑋”⟩)
3		cats1cat.2	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Word V
4		cats1cat.3	. . . 4 ⊢ 𝑆 ∈ Word V
5		s1cli 14643	. . . 4 ⊢ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V
6		ccatass 14626	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝑆 ∈ Word V ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V) → ((𝐴 ++ 𝑆) ++ ⟨“𝑋”⟩) = (𝐴 ++ (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)))
7	3, 4, 5, 6	mp3an 1463	. . 3 ⊢ ((𝐴 ++ 𝑆) ++ ⟨“𝑋”⟩) = (𝐴 ++ (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩))
8	2, 7	eqtri 2765	. 2 ⊢ (𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) = (𝐴 ++ (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩))
9		cats1cat.4	. 2 ⊢ 𝐶 = (𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩)
10		cats1cld.1	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)
11	10	oveq2i 7442	. 2 ⊢ (𝐴 ++ 𝑇) = (𝐴 ++ (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩))
12	8, 9, 11	3eqtr4i 2775	1 ⊢ 𝐶 = (𝐴 ++ 𝑇)

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480  (class class class)co 7431  Word cword 14552   ++ cconcat 14608  ⟨“cs1 14633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-s1 14634

This theorem is referenced by:  s1s2  14962  s1s3  14963  s1s4  14964  s1s5  14965  s1s6  14966  s1s7  14967  s2s2  14968  s4s2  14969  s4s3  14970  s4s4  14971