Theorem cats1len 14826

Description: The length of concatenation with a singleton word. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cats1cld.1	⊢ 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)
cats1cli.2	⊢ 𝑆 ∈ Word V
cats1fvn.3	⊢ (♯‘𝑆) = 𝑀
cats1len.4	⊢ (𝑀 + 1) = 𝑁

Assertion

Ref	Expression
cats1len	⊢ (♯‘𝑇) = 𝑁

Proof of Theorem cats1len

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cats1cld.1	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)
2	1	fveq2i 6861	. 2 ⊢ (♯‘𝑇) = (♯‘(𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩))
3		cats1cli.2	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ∈ Word V
4		s1cli 14570	. . . . 5 ⊢ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V
5		ccatlen 14540	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word V ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V) → (♯‘(𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((♯‘𝑆) + (♯‘⟨“𝑋”⟩)))
6	3, 4, 5	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (♯‘(𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((♯‘𝑆) + (♯‘⟨“𝑋”⟩))
7		cats1fvn.3	. . . . 5 ⊢ (♯‘𝑆) = 𝑀
8		s1len 14571	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“𝑋”⟩) = 1
9	7, 8	oveq12i 7399	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑆) + (♯‘⟨“𝑋”⟩)) = (𝑀 + 1)
10	6, 9	eqtri 2752	. . 3 ⊢ (♯‘(𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑀 + 1)
11		cats1len.4	. . 3 ⊢ (𝑀 + 1) = 𝑁
12	10, 11	eqtri 2752	. 2 ⊢ (♯‘(𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = 𝑁
13	2, 12	eqtri 2752	1 ⊢ (♯‘𝑇) = 𝑁

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  1c1 11069   + caddc 11071  ♯chash 14295  Word cword 14478   ++ cconcat 14535  ⟨“cs1 14560

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-hash 14296  df-word 14479  df-concat 14536  df-s1 14561

This theorem is referenced by:  s2len  14855  s3len  14860  s4len  14865  s5len  14866  s6len  14867  s7len  14868  s8len  14869