Theorem cats1len 14781

Description: The length of concatenation with a singleton word. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cats1cld.1	⊢ 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)
cats1cli.2	⊢ 𝑆 ∈ Word V
cats1fvn.3	⊢ (♯‘𝑆) = 𝑀
cats1len.4	⊢ (𝑀 + 1) = 𝑁

Assertion

Ref	Expression
cats1len	⊢ (♯‘𝑇) = 𝑁

Proof of Theorem cats1len

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cats1cld.1	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)
2	1	fveq2i 6835	. 2 ⊢ (♯‘𝑇) = (♯‘(𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩))
3		cats1cli.2	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ∈ Word V
4		s1cli 14527	. . . . 5 ⊢ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V
5		ccatlen 14496	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word V ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V) → (♯‘(𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((♯‘𝑆) + (♯‘⟨“𝑋”⟩)))
6	3, 4, 5	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (♯‘(𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((♯‘𝑆) + (♯‘⟨“𝑋”⟩))
7		cats1fvn.3	. . . . 5 ⊢ (♯‘𝑆) = 𝑀
8		s1len 14528	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“𝑋”⟩) = 1
9	7, 8	oveq12i 7368	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑆) + (♯‘⟨“𝑋”⟩)) = (𝑀 + 1)
10	6, 9	eqtri 2757	. . 3 ⊢ (♯‘(𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑀 + 1)
11		cats1len.4	. . 3 ⊢ (𝑀 + 1) = 𝑁
12	10, 11	eqtri 2757	. 2 ⊢ (♯‘(𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = 𝑁
13	2, 12	eqtri 2757	1 ⊢ (♯‘𝑇) = 𝑁

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  1c1 11025   + caddc 11027  ♯chash 14251  Word cword 14434   ++ cconcat 14491  ⟨“cs1 14517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-hash 14252  df-word 14435  df-concat 14492  df-s1 14518

This theorem is referenced by:  s2len  14810  s3len  14815  s4len  14820  s5len  14821  s6len  14822  s7len  14823  s8len  14824