Theorem cats1len 14707

Description: The length of concatenation with a singleton word. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cats1cld.1	⊢ 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)
cats1cli.2	⊢ 𝑆 ∈ Word V
cats1fvn.3	⊢ (♯‘𝑆) = 𝑀
cats1len.4	⊢ (𝑀 + 1) = 𝑁

Assertion

Ref	Expression
cats1len	⊢ (♯‘𝑇) = 𝑁

Proof of Theorem cats1len

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cats1cld.1	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)
2	1	fveq2i 6842	. 2 ⊢ (♯‘𝑇) = (♯‘(𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩))
3		cats1cli.2	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ∈ Word V
4		s1cli 14447	. . . . 5 ⊢ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V
5		ccatlen 14417	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word V ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V) → (♯‘(𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((♯‘𝑆) + (♯‘⟨“𝑋”⟩)))
6	3, 4, 5	mp2an 690	. . . 4 ⊢ (♯‘(𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((♯‘𝑆) + (♯‘⟨“𝑋”⟩))
7		cats1fvn.3	. . . . 5 ⊢ (♯‘𝑆) = 𝑀
8		s1len 14448	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“𝑋”⟩) = 1
9	7, 8	oveq12i 7363	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑆) + (♯‘⟨“𝑋”⟩)) = (𝑀 + 1)
10	6, 9	eqtri 2765	. . 3 ⊢ (♯‘(𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑀 + 1)
11		cats1len.4	. . 3 ⊢ (𝑀 + 1) = 𝑁
12	10, 11	eqtri 2765	. 2 ⊢ (♯‘(𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = 𝑁
13	2, 12	eqtri 2765	1 ⊢ (♯‘𝑇) = 𝑁

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3443  ‘cfv 6493  (class class class)co 7351  1c1 11010   + caddc 11012  ♯chash 14184  Word cword 14356   ++ cconcat 14412  ⟨“cs1 14437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-card 9833  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-n0 12372  df-z 12458  df-uz 12722  df-fz 13379  df-fzo 13522  df-hash 14185  df-word 14357  df-concat 14413  df-s1 14438

This theorem is referenced by:  s2len  14736  s3len  14741  s4len  14746  s5len  14747  s6len  14748  s7len  14749  s8len  14750