MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cats1len Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cats1len 14211
Description: The length of concatenation with a singleton word. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cats1cld.1 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)
cats1cli.2 𝑆 ∈ Word V
cats1fvn.3 (♯‘𝑆) = 𝑀
cats1len.4 (𝑀 + 1) = 𝑁
Assertion
Ref Expression
cats1len (♯‘𝑇) = 𝑁

Proof of Theorem cats1len
StepHypRef Expression
1 cats1cld.1 . . 3 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)
21fveq2i 6654 . 2 (♯‘𝑇) = (♯‘(𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩))
3 cats1cli.2 . . . . 5 𝑆 ∈ Word V
4 s1cli 13948 . . . . 5 ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V
5 ccatlen 13916 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word V ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V) → (♯‘(𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((♯‘𝑆) + (♯‘⟨“𝑋”⟩)))
63, 4, 5mp2an 691 . . . 4 (♯‘(𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((♯‘𝑆) + (♯‘⟨“𝑋”⟩))
7 cats1fvn.3 . . . . 5 (♯‘𝑆) = 𝑀
8 s1len 13949 . . . . 5 (♯‘⟨“𝑋”⟩) = 1
97, 8oveq12i 7150 . . . 4 ((♯‘𝑆) + (♯‘⟨“𝑋”⟩)) = (𝑀 + 1)
106, 9eqtri 2847 . . 3 (♯‘(𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑀 + 1)
11 cats1len.4 . . 3 (𝑀 + 1) = 𝑁
1210, 11eqtri 2847 . 2 (♯‘(𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = 𝑁
132, 12eqtri 2847 1 (♯‘𝑇) = 𝑁
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1538  wcel 2115  Vcvv 3479  cfv 6336  (class class class)co 7138  1c1 10523   + caddc 10525  chash 13684  Word cword 13855   ++ cconcat 13911  ⟨“cs1 13938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-card 9352  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-nn 11624  df-n0 11884  df-z 11968  df-uz 12230  df-fz 12884  df-fzo 13027  df-hash 13685  df-word 13856  df-concat 13912  df-s1 13939
This theorem is referenced by:  s2len  14240  s3len  14245  s4len  14250  s5len  14251  s6len  14252  s7len  14253  s8len  14254
  Copyright terms: Public domain W3C validator