Theorem cats2cat 14771

Description: Closure of concatenation of concatenations with singleton words. (Contributed by AV, 1-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
cats2cat.b	⊢ 𝐵 ∈ Word V
cats2cat.d	⊢ 𝐷 ∈ Word V
cats2cat.a	⊢ 𝐴 = (𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩)
cats2cat.c	⊢ 𝐶 = (⟨“𝑌”⟩ ++ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
cats2cat	⊢ (𝐴 ++ 𝐶) = ((𝐵 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩) ++ 𝐷)

Proof of Theorem cats2cat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cats2cat.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩)
2		cats2cat.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (⟨“𝑌”⟩ ++ 𝐷)
3	1, 2	oveq12i 7364	. 2 ⊢ (𝐴 ++ 𝐶) = ((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ (⟨“𝑌”⟩ ++ 𝐷))
4		cats2cat.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ Word V
5		s1cli 14515	. . . 4 ⊢ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V
6		ccatcl 14483	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Word V ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V) → (𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word V)
7	4, 5, 6	mp2an 692	. . 3 ⊢ (𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word V
8		s1cli 14515	. . 3 ⊢ ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word V
9		cats2cat.d	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ Word V
10		ccatass 14498	. . 3 ⊢ (((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word V ∧ ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word V ∧ 𝐷 ∈ Word V) → (((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ++ 𝐷) = ((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ (⟨“𝑌”⟩ ++ 𝐷)))
11	7, 8, 9, 10	mp3an 1463	. 2 ⊢ (((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ++ 𝐷) = ((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ (⟨“𝑌”⟩ ++ 𝐷))
12		ccatass 14498	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Word V ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word V) → ((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) = (𝐵 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)))
13	4, 5, 8, 12	mp3an 1463	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) = (𝐵 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩))
14		df-s2 14757	. . . . . 6 ⊢ ⟨“𝑋𝑌”⟩ = (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)
15	14	eqcomi 2742	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩) = ⟨“𝑋𝑌”⟩
16	15	oveq2i 7363	. . . 4 ⊢ (𝐵 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)) = (𝐵 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩)
17	13, 16	eqtri 2756	. . 3 ⊢ ((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) = (𝐵 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩)
18	17	oveq1i 7362	. 2 ⊢ (((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ++ 𝐷) = ((𝐵 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩) ++ 𝐷)
19	3, 11, 18	3eqtr2i 2762	1 ⊢ (𝐴 ++ 𝐶) = ((𝐵 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩) ++ 𝐷)

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437  (class class class)co 7352  Word cword 14422   ++ cconcat 14479  ⟨“cs1 14505  ⟨“cs2 14750

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-hash 14240  df-word 14423  df-concat 14480  df-s1 14506  df-s2 14757

This theorem is referenced by:  s3s4  14842  s2s5  14843  s5s2  14844