Theorem cats2cat 14818

Description: Closure of concatenation of concatenations with singleton words. (Contributed by AV, 1-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
cats2cat.b	⊢ 𝐵 ∈ Word V
cats2cat.d	⊢ 𝐷 ∈ Word V
cats2cat.a	⊢ 𝐴 = (𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩)
cats2cat.c	⊢ 𝐶 = (⟨“𝑌”⟩ ++ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
cats2cat	⊢ (𝐴 ++ 𝐶) = ((𝐵 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩) ++ 𝐷)

Proof of Theorem cats2cat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cats2cat.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩)
2		cats2cat.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (⟨“𝑌”⟩ ++ 𝐷)
3	1, 2	oveq12i 7424	. 2 ⊢ (𝐴 ++ 𝐶) = ((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ (⟨“𝑌”⟩ ++ 𝐷))
4		cats2cat.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ Word V
5		s1cli 14560	. . . 4 ⊢ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V
6		ccatcl 14529	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Word V ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V) → (𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word V)
7	4, 5, 6	mp2an 689	. . 3 ⊢ (𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word V
8		s1cli 14560	. . 3 ⊢ ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word V
9		cats2cat.d	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ Word V
10		ccatass 14543	. . 3 ⊢ (((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word V ∧ ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word V ∧ 𝐷 ∈ Word V) → (((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ++ 𝐷) = ((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ (⟨“𝑌”⟩ ++ 𝐷)))
11	7, 8, 9, 10	mp3an 1460	. 2 ⊢ (((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ++ 𝐷) = ((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ (⟨“𝑌”⟩ ++ 𝐷))
12		ccatass 14543	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Word V ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word V) → ((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) = (𝐵 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)))
13	4, 5, 8, 12	mp3an 1460	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) = (𝐵 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩))
14		df-s2 14804	. . . . . 6 ⊢ ⟨“𝑋𝑌”⟩ = (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)
15	14	eqcomi 2740	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩) = ⟨“𝑋𝑌”⟩
16	15	oveq2i 7423	. . . 4 ⊢ (𝐵 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)) = (𝐵 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩)
17	13, 16	eqtri 2759	. . 3 ⊢ ((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) = (𝐵 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩)
18	17	oveq1i 7422	. 2 ⊢ (((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ++ 𝐷) = ((𝐵 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩) ++ 𝐷)
19	3, 11, 18	3eqtr2i 2765	1 ⊢ (𝐴 ++ 𝐶) = ((𝐵 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩) ++ 𝐷)

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473  (class class class)co 7412  Word cword 14469   ++ cconcat 14525  ⟨“cs1 14550  ⟨“cs2 14797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-hash 14296  df-word 14470  df-concat 14526  df-s1 14551  df-s2 14804

This theorem is referenced by:  s3s4  14889  s2s5  14890  s5s2  14891