Theorem s1cld 14730

Description: A singleton word is a word. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
s1cld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
s1cld	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝐵)

Proof of Theorem s1cld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1cld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
2		s1cl 14729	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝐵)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  Word cword 14638  ⟨“cs1 14722

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-word 14639  df-s1 14723

This theorem is used by:  lswccats1fst  14763  ccats1pfxeqbi  14871  cats1cld  14986  cats1co  14987  s2cld  15002  s2co  15051  ofs2  15104  s1chn  18774  chnind  18775  chnub  18776  chnccats1  18779  gsumwspan  19022  frmdgsum  19038  frmdss2  19039  frmdup2  19041  gsumwrev  19560  psgnunilem5  19688  efginvrel2  19921  efgs1  19929  efgsp1  19931  efgredlemd  19938  efgredlemc  19939  efgrelexlemb  19944  vrgpf  19962  vrgpinv  19963  frgpup2  19970  frgpup3lem  19971  frgpnabllem1  20067  pgpfaclem1  20277  tgcgr4  28976  clwlkclwwlk2  30576  clwlkclwwlkfo  30582  clwwlkel  30619  clwwlkfo  30623  clwwlkwwlksb  30627  ccatws1f1olast  33497  cycpmco2f1  33667  cycpmco2rn  33668  cycpmco2lem2  33670  cycpmco2lem3  33671  cycpmco2lem4  33672  cycpmco2lem5  33673  cycpmco2lem6  33674  cycpmco2lem7  33675  cycpmco2  33676  cyc3genpmlem  33694  elrgspnlem3  33787  unitprodclb  33926  1arithidomlem2  34050  1arithufdlem1  34058  1arithufdlem3  34060  1arithufdlem4  34061  fldext2chn  34342  constrextdg2lem  34362  sseqf  35007  ofcs2  35160  signsvtn  35196  mrsubcv  36244  mrsubff  36246  mrsubrn  36247  mrsubccat  36252  elmrsubrn  36254  mrsubco  36255  mrsubvrs  36256  mvhf  36292  msubvrs  36294  gsumws3  45155  gsumws4  45156