Theorem s1cld 14643

Description: A singleton word is a word. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
s1cld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
s1cld	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝐵)

Proof of Theorem s1cld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1cld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
2		s1cl 14642	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝐵)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143  Word cword 14552  ⟨“cs1 14635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-word 14553  df-s1 14636

This theorem is referenced by:  lswccats1fst  14675  ccats1pfxeqbi  14781  cats1cld  14894  cats1co  14895  s2cld  14910  s2co  14959  ofs2  15010  s1chn  18677  chnind  18678  chnub  18679  chnccats1  18682  gsumwspan  18906  frmdgsum  18922  frmdss2  18923  frmdup2  18925  gsumwrev  19437  psgnunilem5  19565  efginvrel2  19798  efgs1  19806  efgsp1  19808  efgredlemd  19815  efgredlemc  19816  efgrelexlemb  19821  vrgpf  19839  vrgpinv  19840  frgpup2  19847  frgpup3lem  19848  frgpnabllem1  19944  pgpfaclem1  20154  tgcgr4  28781  clwlkclwwlk2  30335  clwlkclwwlkfo  30341  clwwlkel  30378  clwwlkfo  30382  clwwlkwwlksb  30386  ccatws1f1olast  33253  cycpmco2f1  33425  cycpmco2rn  33426  cycpmco2lem2  33428  cycpmco2lem3  33429  cycpmco2lem4  33430  cycpmco2lem5  33431  cycpmco2lem6  33432  cycpmco2lem7  33433  cycpmco2  33434  cyc3genpmlem  33452  elrgspnlem3  33545  unitprodclb  33683  1arithidomlem2  33807  1arithufdlem1  33815  1arithufdlem3  33817  1arithufdlem4  33818  fldext2chn  34099  constrextdg2lem  34119  sseqf  34763  ofcs2  34916  signsvtn  34952  mrsubcv  35983  mrsubff  35985  mrsubrn  35986  mrsubccat  35991  elmrsubrn  35993  mrsubco  35994  mrsubvrs  35995  mvhf  36031  msubvrs  36033  gsumws3  44905  gsumws4  44906