Theorem s1cld 14662

Description: A singleton word is a word. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
s1cld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
s1cld	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝐵)

Proof of Theorem s1cld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1cld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
2		s1cl 14661	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝐵)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  Word cword 14570  ⟨“cs1 14654

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-word 14571  df-s1 14655

This theorem is used by:  lswccats1fst  14695  ccats1pfxeqbi  14803  cats1cld  14918  cats1co  14919  s2cld  14934  s2co  14983  ofs2  15034  s1chn  18701  chnind  18702  chnub  18703  chnccats1  18706  gsumwspan  18936  frmdgsum  18952  frmdss2  18953  frmdup2  18955  gsumwrev  19467  psgnunilem5  19595  efginvrel2  19828  efgs1  19836  efgsp1  19838  efgredlemd  19845  efgredlemc  19846  efgrelexlemb  19851  vrgpf  19869  vrgpinv  19870  frgpup2  19877  frgpup3lem  19878  frgpnabllem1  19974  pgpfaclem1  20184  tgcgr4  28837  clwlkclwwlk2  30391  clwlkclwwlkfo  30397  clwwlkel  30434  clwwlkfo  30438  clwwlkwwlksb  30442  ccatws1f1olast  33305  cycpmco2f1  33475  cycpmco2rn  33476  cycpmco2lem2  33478  cycpmco2lem3  33479  cycpmco2lem4  33480  cycpmco2lem5  33481  cycpmco2lem6  33482  cycpmco2lem7  33483  cycpmco2  33484  cyc3genpmlem  33502  elrgspnlem3  33595  unitprodclb  33733  1arithidomlem2  33857  1arithufdlem1  33865  1arithufdlem3  33867  1arithufdlem4  33868  fldext2chn  34149  constrextdg2lem  34169  sseqf  34814  ofcs2  34967  signsvtn  35003  mrsubcv  36023  mrsubff  36025  mrsubrn  36026  mrsubccat  36031  elmrsubrn  36033  mrsubco  36034  mrsubvrs  36035  mvhf  36071  msubvrs  36073  gsumws3  44963  gsumws4  44964