Theorem s1cld 14629

Description: A singleton word is a word. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
s1cld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
s1cld	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝐵)

Proof of Theorem s1cld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1cld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
2		s1cl 14628	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝐵)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2145  Word cword 14538  ⟨“cs1 14621

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-n0 12493  df-z 12580  df-uz 12851  df-fz 13524  df-fzo 13671  df-word 14539  df-s1 14622

This theorem is referenced by:  lswccats1fst  14661  ccats1pfxeqbi  14767  cats1cld  14880  cats1co  14881  s2cld  14896  s2co  14945  ofs2  14996  s1chn  18664  chnind  18665  chnub  18666  chnccats1  18669  gsumwspan  18893  frmdgsum  18909  frmdss2  18910  frmdup2  18912  gsumwrev  19424  psgnunilem5  19552  efginvrel2  19785  efgs1  19793  efgsp1  19795  efgredlemd  19802  efgredlemc  19803  efgrelexlemb  19808  vrgpf  19826  vrgpinv  19827  frgpup2  19834  frgpup3lem  19835  frgpnabllem1  19931  pgpfaclem1  20141  tgcgr4  28754  clwlkclwwlk2  30259  clwlkclwwlkfo  30265  clwwlkel  30302  clwwlkfo  30306  clwwlkwwlksb  30310  ccatws1f1olast  33180  cycpmco2f1  33352  cycpmco2rn  33353  cycpmco2lem2  33355  cycpmco2lem3  33356  cycpmco2lem4  33357  cycpmco2lem5  33358  cycpmco2lem6  33359  cycpmco2lem7  33360  cycpmco2  33361  cyc3genpmlem  33379  elrgspnlem3  33472  unitprodclb  33613  1arithidomlem2  33738  1arithufdlem1  33746  1arithufdlem3  33748  1arithufdlem4  33749  fldext2chn  34030  constrextdg2lem  34050  sseqf  34694  ofcs2  34847  signsvtn  34883  mrsubcv  35868  mrsubff  35870  mrsubrn  35871  mrsubccat  35876  elmrsubrn  35878  mrsubco  35879  mrsubvrs  35880  mvhf  35916  msubvrs  35918  gsumws3  44779  gsumws4  44780