Theorem s1cld 14511

Description: A singleton word is a word. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
s1cld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
s1cld	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝐵)

Proof of Theorem s1cld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1cld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
2		s1cl 14510	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝐵)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  Word cword 14420  ⟨“cs1 14503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-word 14421  df-s1 14504

This theorem is referenced by:  lswccats1fst  14543  ccats1pfxeqbi  14649  cats1cld  14762  cats1co  14763  s2cld  14778  s2co  14827  ofs2  14878  s1chn  18526  chnind  18527  chnub  18528  chnccats1  18531  gsumwspan  18754  frmdgsum  18770  frmdss2  18771  frmdup2  18773  gsumwrev  19279  psgnunilem5  19407  efginvrel2  19640  efgs1  19648  efgsp1  19650  efgredlemd  19657  efgredlemc  19658  efgrelexlemb  19663  vrgpf  19681  vrgpinv  19682  frgpup2  19689  frgpup3lem  19690  frgpnabllem1  19786  pgpfaclem1  19996  tgcgr4  28510  clwlkclwwlk2  29981  clwlkclwwlkfo  29987  clwwlkel  30024  clwwlkfo  30028  clwwlkwwlksb  30032  ccatws1f1olast  32931  cycpmco2f1  33091  cycpmco2rn  33092  cycpmco2lem2  33094  cycpmco2lem3  33095  cycpmco2lem4  33096  cycpmco2lem5  33097  cycpmco2lem6  33098  cycpmco2lem7  33099  cycpmco2  33100  cyc3genpmlem  33118  elrgspnlem3  33209  unitprodclb  33352  1arithidomlem2  33499  1arithufdlem1  33507  1arithufdlem3  33509  1arithufdlem4  33510  fldext2chn  33739  constrextdg2lem  33759  sseqf  34403  ofcs2  34556  signsvtn  34595  mrsubcv  35552  mrsubff  35554  mrsubrn  35555  mrsubccat  35560  elmrsubrn  35562  mrsubco  35563  mrsubvrs  35564  mvhf  35600  msubvrs  35602  gsumws3  44235  gsumws4  44236