Theorem s1cld 14614

Description: A singleton word is a word. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
s1cld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
s1cld	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝐵)

Proof of Theorem s1cld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1cld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
2		s1cl 14613	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝐵)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141  Word cword 14523  ⟨“cs1 14606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-word 14524  df-s1 14607

This theorem is referenced by:  lswccats1fst  14646  ccats1pfxeqbi  14752  cats1cld  14865  cats1co  14866  s2cld  14881  s2co  14930  ofs2  14981  s1chn  18635  chnind  18636  chnub  18637  chnccats1  18640  gsumwspan  18863  frmdgsum  18879  frmdss2  18880  frmdup2  18882  gsumwrev  19389  psgnunilem5  19517  efginvrel2  19750  efgs1  19758  efgsp1  19760  efgredlemd  19767  efgredlemc  19768  efgrelexlemb  19773  vrgpf  19791  vrgpinv  19792  frgpup2  19799  frgpup3lem  19800  frgpnabllem1  19896  pgpfaclem1  20106  tgcgr4  28677  clwlkclwwlk2  30151  clwlkclwwlkfo  30157  clwwlkel  30194  clwwlkfo  30198  clwwlkwwlksb  30202  ccatws1f1olast  33091  cycpmco2f1  33265  cycpmco2rn  33266  cycpmco2lem2  33268  cycpmco2lem3  33269  cycpmco2lem4  33270  cycpmco2lem5  33271  cycpmco2lem6  33272  cycpmco2lem7  33273  cycpmco2  33274  cyc3genpmlem  33292  elrgspnlem3  33386  unitprodclb  33536  1arithidomlem2  33693  1arithufdlem1  33701  1arithufdlem3  33703  1arithufdlem4  33704  fldext2chn  33986  constrextdg2lem  34006  sseqf  34650  ofcs2  34803  signsvtn  34842  mrsubcv  35824  mrsubff  35826  mrsubrn  35827  mrsubccat  35832  elmrsubrn  35834  mrsubco  35835  mrsubvrs  35836  mvhf  35872  msubvrs  35874  gsumws3  44736  gsumws4  44737