Theorem s1cld 14754

Description: A singleton word is a word. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
s1cld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
s1cld	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝐵)

Proof of Theorem s1cld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1cld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
2		s1cl 14753	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝐵)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  Word cword 14662  ⟨“cs1 14746

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-word 14663  df-s1 14747

This theorem is used by:  s1mapd  14760  lswccats1fst  14788  ccats1pfxeqbi  14896  cats1cld  15011  cats1co  15012  s2cld  15027  s2co  15077  ofs2  15130  s1chn  18800  chnind  18801  chnub  18802  chnccats1  18805  gsumwspan  19048  frmdgsum  19064  frmdss2  19065  frmdup2  19067  gsumwrev  19586  psgnunilem5  19714  efginvrel2  19947  efgs1  19955  efgsp1  19957  efgredlemd  19964  efgredlemc  19965  efgrelexlemb  19970  vrgpf  19988  vrgpinv  19989  frgpup2  19996  frgpup3lem  19997  frgpnabllem1  20093  pgpfaclem1  20303  tgcgr4  29000  clwlkclwwlk2  30600  clwlkclwwlkfo  30606  clwwlkel  30643  clwwlkfo  30647  clwwlkwwlksb  30651  ccatws1f1olast  33562  cycpmco2f1  33732  cycpmco2rn  33733  cycpmco2lem2  33735  cycpmco2lem3  33736  cycpmco2lem4  33737  cycpmco2lem5  33738  cycpmco2lem6  33739  cycpmco2lem7  33740  cycpmco2  33741  cyc3genpmlem  33759  elrgspnlem3  33852  unitprodclb  33991  1arithidomlem2  34115  1arithufdlem1  34123  1arithufdlem3  34125  1arithufdlem4  34126  fldext2chn  34407  constrextdg2lem  34427  sseqf  35071  ofcs2  35224  signsvtn  35260  mrsubcv  36362  mrsubff  36364  mrsubrn  36365  mrsubccat  36370  elmrsubrn  36372  mrsubco  36373  mrsubvrs  36374  mvhf  36410  msubvrs  36412  gsumws3  45290  gsumws4  45291