MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  s1cld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem s1cld 13598
Description: A singleton word is a word. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
s1cld.1 (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
s1cld (𝜑 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝐵)

Proof of Theorem s1cld
StepHypRef Expression
1 s1cld.1 . 2 (𝜑𝐴𝐵)
2 s1cl 13597 . 2 (𝐴𝐵 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝐵)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2156  Word cword 13502  ⟨“cs1 13505
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179  ax-cnex 10277  ax-resscn 10278  ax-1cn 10279  ax-icn 10280  ax-addcl 10281  ax-addrcl 10282  ax-mulcl 10283  ax-mulrcl 10284  ax-mulcom 10285  ax-addass 10286  ax-mulass 10287  ax-distr 10288  ax-i2m1 10289  ax-1ne0 10290  ax-1rid 10291  ax-rnegex 10292  ax-rrecex 10293  ax-cnre 10294  ax-pre-lttri 10295  ax-pre-lttrn 10296  ax-pre-ltadd 10297  ax-pre-mulgt0 10298
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6835  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-om 7296  df-1st 7398  df-2nd 7399  df-wrecs 7642  df-recs 7704  df-rdg 7742  df-er 7979  df-en 8193  df-dom 8194  df-sdom 8195  df-pnf 10361  df-mnf 10362  df-xr 10363  df-ltxr 10364  df-le 10365  df-sub 10553  df-neg 10554  df-nn 11306  df-n0 11560  df-z 11644  df-uz 11905  df-fz 12550  df-fzo 12690  df-word 13510  df-s1 13513
This theorem is referenced by:  eqs1  13607  lswccats1fst  13635  ccats1swrdeqbi  13722  cats1cld  13824  cats1co  13825  s2cld  13840  s2co  13889  ofs2  13935  gsumwspan  17588  frmdgsum  17604  frmdss2  17605  frmdup2  17607  gsumwrev  17997  psgnunilem5  18115  efginvrel2  18341  efgsval2  18347  efgs1  18349  efgsp1  18351  efgredlemd  18358  efgredlemc  18359  efgrelexlemb  18364  vrgpf  18382  vrgpinv  18383  frgpup2  18390  frgpup3lem  18391  frgpnabllem1  18477  pgpfaclem1  18682  tgcgr4  25640  wlklenvclwlk  26779  clwlkclwwlk2  27146  clwlkclwwlkfo  27152  clwwlkel  27195  clwwlkfo  27199  clwwlkwwlksb  27204  clwlksfoclwwlkOLD  27237  sseqf  30779  ofcs2  30947  signstfvneq0  30974  signstfvc  30976  signsvfn  30984  signsvtn  30986  signshf  30990  mrsubcv  31730  mrsubff  31732  mrsubrn  31733  mrsubccat  31738  elmrsubrn  31740  mrsubco  31741  mrsubvrs  31742  mvhf  31778  msubvrs  31780  gsumws3  38999  gsumws4  39000  ccats1pfxeqbi  42006
  Copyright terms: Public domain W3C validator