Theorem s1cld 14631

Description: A singleton word is a word. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
s1cld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
s1cld	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝐵)

Proof of Theorem s1cld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1cld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
2		s1cl 14630	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝐵)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2145  Word cword 14540  ⟨“cs1 14623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-word 14541  df-s1 14624

This theorem is referenced by:  lswccats1fst  14663  ccats1pfxeqbi  14769  cats1cld  14882  cats1co  14883  s2cld  14898  s2co  14947  ofs2  14998  s1chn  18666  chnind  18667  chnub  18668  chnccats1  18671  gsumwspan  18895  frmdgsum  18911  frmdss2  18912  frmdup2  18914  gsumwrev  19427  psgnunilem5  19555  efginvrel2  19788  efgs1  19796  efgsp1  19798  efgredlemd  19805  efgredlemc  19806  efgrelexlemb  19811  vrgpf  19829  vrgpinv  19830  frgpup2  19837  frgpup3lem  19838  frgpnabllem1  19934  pgpfaclem1  20144  tgcgr4  28758  clwlkclwwlk2  30263  clwlkclwwlkfo  30269  clwwlkel  30306  clwwlkfo  30310  clwwlkwwlksb  30314  ccatws1f1olast  33185  cycpmco2f1  33357  cycpmco2rn  33358  cycpmco2lem2  33360  cycpmco2lem3  33361  cycpmco2lem4  33362  cycpmco2lem5  33363  cycpmco2lem6  33364  cycpmco2lem7  33365  cycpmco2  33366  cyc3genpmlem  33384  elrgspnlem3  33477  unitprodclb  33618  1arithidomlem2  33743  1arithufdlem1  33751  1arithufdlem3  33753  1arithufdlem4  33754  fldext2chn  34035  constrextdg2lem  34055  sseqf  34699  ofcs2  34852  signsvtn  34888  mrsubcv  35873  mrsubff  35875  mrsubrn  35876  mrsubccat  35881  elmrsubrn  35883  mrsubco  35884  mrsubvrs  35885  mvhf  35921  msubvrs  35923  gsumws3  44784  gsumws4  44785