Theorem s1cld 14513

Description: A singleton word is a word. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
s1cld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
s1cld	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝐵)

Proof of Theorem s1cld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1cld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
2		s1cl 14512	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝐵)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  Word cword 14422  ⟨“cs1 14505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-word 14423  df-s1 14506

This theorem is referenced by:  lswccats1fst  14545  ccats1pfxeqbi  14651  cats1cld  14764  cats1co  14765  s2cld  14780  s2co  14829  ofs2  14880  s1chn  18528  chnind  18529  chnub  18530  chnccats1  18533  gsumwspan  18756  frmdgsum  18772  frmdss2  18773  frmdup2  18775  gsumwrev  19280  psgnunilem5  19408  efginvrel2  19641  efgs1  19649  efgsp1  19651  efgredlemd  19658  efgredlemc  19659  efgrelexlemb  19664  vrgpf  19682  vrgpinv  19683  frgpup2  19690  frgpup3lem  19691  frgpnabllem1  19787  pgpfaclem1  19997  tgcgr4  28510  clwlkclwwlk2  29985  clwlkclwwlkfo  29991  clwwlkel  30028  clwwlkfo  30032  clwwlkwwlksb  30036  ccatws1f1olast  32940  cycpmco2f1  33100  cycpmco2rn  33101  cycpmco2lem2  33103  cycpmco2lem3  33104  cycpmco2lem4  33105  cycpmco2lem5  33106  cycpmco2lem6  33107  cycpmco2lem7  33108  cycpmco2  33109  cyc3genpmlem  33127  elrgspnlem3  33218  unitprodclb  33361  1arithidomlem2  33508  1arithufdlem1  33516  1arithufdlem3  33518  1arithufdlem4  33519  fldext2chn  33762  constrextdg2lem  33782  sseqf  34426  ofcs2  34579  signsvtn  34618  mrsubcv  35575  mrsubff  35577  mrsubrn  35578  mrsubccat  35583  elmrsubrn  35585  mrsubco  35586  mrsubvrs  35587  mvhf  35623  msubvrs  35625  gsumws3  44314  gsumws4  44315