Theorem s1cld 14780

Description: A singleton word is a word. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
s1cld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
s1cld	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝐵)

Proof of Theorem s1cld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1cld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
2		s1cl 14779	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝐵)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  Word cword 14688  ⟨“cs1 14772

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-word 14689  df-s1 14773

This theorem is used by:  s1mapd  14786  lswccats1fst  14814  ccats1pfxeqbi  14922  cats1cld  15037  cats1co  15038  s2cld  15053  s2co  15103  ofs2  15156  s1chn  18826  chnind  18827  chnub  18828  chnccats1  18831  gsumwspan  19074  frmdgsum  19090  frmdss2  19091  frmdup2  19093  gsumwrev  19613  psgnunilem5  19741  efginvrel2  19974  efgs1  19982  efgsp1  19984  efgredlemd  19991  efgredlemc  19992  efgrelexlemb  19997  vrgpf  20015  vrgpinv  20016  frgpup2  20023  frgpup3lem  20024  frgpnabllem1  20120  pgpfaclem1  20330  tgcgr4  29027  clwlkclwwlk2  30627  clwlkclwwlkfo  30633  clwwlkel  30670  clwwlkfo  30674  clwwlkwwlksb  30678  ccatws1f1olast  33588  cycpmco2f1  33761  cycpmco2rn  33762  cycpmco2lem2  33764  cycpmco2lem3  33765  cycpmco2lem4  33766  cycpmco2lem5  33767  cycpmco2lem6  33768  cycpmco2lem7  33769  cycpmco2  33770  cyc3genpmlem  33788  elrgspnlem3  33881  unitprodclb  34028  1arithidomlem2  34152  1arithufdlem1  34160  1arithufdlem3  34162  1arithufdlem4  34163  fldext2chn  34443  constrextdg2lem  34463  sseqf  35107  ofcs2  35260  signsvtn  35296  mrsubcv  36455  mrsubff  36457  mrsubrn  36458  mrsubccat  36463  elmrsubrn  36465  mrsubco  36466  mrsubvrs  36467  mvhf  36503  msubvrs  36505  gsumws3  45399  gsumws4  45400