Theorem ccatws1lenp1b 14598

Description: The length of a word is 𝑁 iff the length of the concatenation of the word with a singleton word is 𝑁 + 1. (Contributed by AV, 4-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
ccatws1lenp1b	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1) ↔ (♯‘𝑊) = 𝑁))

Proof of Theorem ccatws1lenp1b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatws1len 14597	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))
2	1	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))
3	2	eqeq1d 2727	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1) ↔ ((♯‘𝑊) + 1) = (𝑁 + 1)))
4		lencl 14510	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
5	4	nn0cnd 12559	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
6	5	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
7		nn0cn 12507	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
8	7	adantl 480	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
9		1cnd 11234	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
10	6, 8, 9	addcan2d 11443	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((♯‘𝑊) + 1) = (𝑁 + 1) ↔ (♯‘𝑊) = 𝑁))
11	3, 10	bitrd 278	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1) ↔ (♯‘𝑊) = 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6543  (class class class)co 7413  ℂcc 11131  1c1 11134   + caddc 11136  ℕ₀cn0 12497  ♯chash 14316  Word cword 14491   ++ cconcat 14547  ⟨“cs1 14572

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-hash 14317  df-word 14492  df-concat 14548  df-s1 14573

This theorem is referenced by:  wwlksnprcl  29689  clwwlknwwlksnb  29904  clwwlknonwwlknonb  29955