Theorem clwwlknwwlksnb 28320

Description: A word over vertices represents a closed walk of a fixed length 𝑁 greater than zero iff the word concatenated with its first symbol represents a walk of length 𝑁. This theorem would not hold for 𝑁 = 0 and 𝑊 = ∅, because (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) = ⟨“∅”⟩ ∈ (0 WWalksN 𝐺) could be true, but not 𝑊 ∈ (0 ClWWalksN 𝐺) ↔ ∅ ∈ ∅. (Contributed by AV, 4-Mar-2022.) (Proof shortened by AV, 22-Mar-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
clwwlkwwlksb.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
clwwlknwwlksnb	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))

Proof of Theorem clwwlknwwlksnb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 12170	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		ccatws1lenp1b 14254	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1) ↔ (♯‘𝑊) = 𝑁))
3	1, 2	sylan2 592	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1) ↔ (♯‘𝑊) = 𝑁))
4	3	anbi2d 628	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1)) ↔ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁)))
5		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
6		eleq1 2826	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) = 𝑁 → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ ℕ))
7		len0nnbi 14182	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 ≠ ∅ ↔ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
8	7	biimprcd 249	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 𝑊 ≠ ∅))
9	6, 8	syl6bir 253	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 𝑊 ≠ ∅)))
10	9	com13 88	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑁 ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) = 𝑁 → 𝑊 ≠ ∅)))
11	10	imp31 417	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → 𝑊 ≠ ∅)
12		clwwlkwwlksb.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
13	12	clwwlkwwlksb 28319	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺)))
14	5, 11, 13	syl2an2r 681	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺)))
15	14	bicomd 222	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ 𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺)))
16	15	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((♯‘𝑊) = 𝑁 → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ 𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺))))
17	16	pm5.32rd 577	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ↔ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁)))
18	4, 17	bitrd 278	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1)) ↔ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁)))
19	1	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
20		iswwlksn 28104	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1))))
21	19, 20	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1))))
22		isclwwlkn 28292	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁))
23	22	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁)))
24	18, 21, 23	3bitr4rd 311	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∅c0 4253  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805  ℕcn 11903  ℕ₀cn0 12163  ♯chash 13972  Word cword 14145   ++ cconcat 14201  ⟨“cs1 14228  Vtxcvtx 27269  WWalkscwwlks 28091   WWalksN cwwlksn 28092  ClWWalkscclwwlk 28246   ClWWalksN cclwwlkn 28289

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-oadd 8271  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-hash 13973  df-word 14146  df-lsw 14194  df-concat 14202  df-s1 14229  df-wwlks 28096  df-wwlksn 28097  df-clwwlk 28247  df-clwwlkn 28290

This theorem is referenced by:  clwwlknonwwlknonb  28371