Theorem clwwlknwwlksnb 28419

Description: A word over vertices represents a closed walk of a fixed length 𝑁 greater than zero iff the word concatenated with its first symbol represents a walk of length 𝑁. This theorem would not hold for 𝑁 = 0 and 𝑊 = ∅, because (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) = ⟨“∅”⟩ ∈ (0 WWalksN 𝐺) could be true, but not 𝑊 ∈ (0 ClWWalksN 𝐺) ↔ ∅ ∈ ∅. (Contributed by AV, 4-Mar-2022.) (Proof shortened by AV, 22-Mar-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
clwwlkwwlksb.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
clwwlknwwlksnb	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))

Proof of Theorem clwwlknwwlksnb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 12240	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		ccatws1lenp1b 14326	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1) ↔ (♯‘𝑊) = 𝑁))
3	1, 2	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1) ↔ (♯‘𝑊) = 𝑁))
4	3	anbi2d 629	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1)) ↔ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁)))
5		simpl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
6		eleq1 2826	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) = 𝑁 → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ ℕ))
7		len0nnbi 14254	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 ≠ ∅ ↔ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
8	7	biimprcd 249	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 𝑊 ≠ ∅))
9	6, 8	syl6bir 253	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 𝑊 ≠ ∅)))
10	9	com13 88	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑁 ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) = 𝑁 → 𝑊 ≠ ∅)))
11	10	imp31 418	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → 𝑊 ≠ ∅)
12		clwwlkwwlksb.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
13	12	clwwlkwwlksb 28418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺)))
14	5, 11, 13	syl2an2r 682	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺)))
15	14	bicomd 222	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ 𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺)))
16	15	ex 413	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((♯‘𝑊) = 𝑁 → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ 𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺))))
17	16	pm5.32rd 578	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ↔ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁)))
18	4, 17	bitrd 278	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1)) ↔ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁)))
19	1	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
20		iswwlksn 28203	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1))))
21	19, 20	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1))))
22		isclwwlkn 28391	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁))
23	22	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁)))
24	18, 21, 23	3bitr4rd 312	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∅c0 4256  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  ♯chash 14044  Word cword 14217   ++ cconcat 14273  ⟨“cs1 14300  Vtxcvtx 27366  WWalkscwwlks 28190   WWalksN cwwlksn 28191  ClWWalkscclwwlk 28345   ClWWalksN cclwwlkn 28388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218  df-lsw 14266  df-concat 14274  df-s1 14301  df-wwlks 28195  df-wwlksn 28196  df-clwwlk 28346  df-clwwlkn 28389

This theorem is referenced by:  clwwlknonwwlknonb  28470