Theorem clwwlknwwlksnb 30143

Description: A word over vertices represents a closed walk of a fixed length 𝑁 greater than zero iff the word concatenated with its first symbol represents a walk of length 𝑁. This theorem would not hold for 𝑁 = 0 and 𝑊 = ∅, because (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) = ⟨“∅”⟩ ∈ (0 WWalksN 𝐺) could be true, but not 𝑊 ∈ (0 ClWWalksN 𝐺) ↔ ∅ ∈ ∅. (Contributed by AV, 4-Mar-2022.) (Proof shortened by AV, 22-Mar-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
clwwlkwwlksb.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
clwwlknwwlksnb	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))

Proof of Theorem clwwlknwwlksnb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 12438	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		ccatws1lenp1b 14578	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1) ↔ (♯‘𝑊) = 𝑁))
3	1, 2	sylan2 594	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1) ↔ (♯‘𝑊) = 𝑁))
4	3	anbi2d 631	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1)) ↔ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁)))
5		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
6		eleq1 2825	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) = 𝑁 → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ ℕ))
7		len0nnbi 14507	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 ≠ ∅ ↔ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
8	7	biimprcd 250	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 𝑊 ≠ ∅))
9	6, 8	biimtrrdi 254	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 𝑊 ≠ ∅)))
10	9	com13 88	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑁 ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) = 𝑁 → 𝑊 ≠ ∅)))
11	10	imp31 417	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → 𝑊 ≠ ∅)
12		clwwlkwwlksb.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
13	12	clwwlkwwlksb 30142	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺)))
14	5, 11, 13	syl2an2r 686	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺)))
15	14	bicomd 223	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ 𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺)))
16	15	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((♯‘𝑊) = 𝑁 → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ 𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺))))
17	16	pm5.32rd 578	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ↔ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁)))
18	4, 17	bitrd 279	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1)) ↔ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁)))
19	1	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
20		iswwlksn 29924	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1))))
21	19, 20	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1))))
22		isclwwlkn 30115	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁))
23	22	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁)))
24	18, 21, 23	3bitr4rd 312	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∅c0 4274  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  0cc0 11032  1c1 11033   + caddc 11035  ℕcn 12168  ℕ₀cn0 12431  ♯chash 14286  Word cword 14469   ++ cconcat 14526  ⟨“cs1 14552  Vtxcvtx 29082  WWalkscwwlks 29911   WWalksN cwwlksn 29912  ClWWalkscclwwlk 30069   ClWWalksN cclwwlkn 30112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-dju 9819  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-n0 12432  df-xnn0 12505  df-z 12519  df-uz 12783  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-hash 14287  df-word 14470  df-lsw 14519  df-concat 14527  df-s1 14553  df-wwlks 29916  df-wwlksn 29917  df-clwwlk 30070  df-clwwlkn 30113

This theorem is referenced by:  clwwlknonwwlknonb  30194