MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwwlknwwlksnb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwwlknwwlksnb 29048
Description: A word over vertices represents a closed walk of a fixed length 𝑁 greater than zero iff the word concatenated with its first symbol represents a walk of length 𝑁. This theorem would not hold for 𝑁 = 0 and π‘Š = βˆ…, because (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) = βŸ¨β€œβˆ…β€βŸ© ∈ (0 WWalksN 𝐺) could be true, but not π‘Š ∈ (0 ClWWalksN 𝐺) ↔ βˆ… ∈ βˆ…. (Contributed by AV, 4-Mar-2022.) (Proof shortened by AV, 22-Mar-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
clwwlkwwlksb.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
clwwlknwwlksnb ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))

Proof of Theorem clwwlknwwlksnb
StepHypRef Expression
1 nnnn0 12428 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2 ccatws1lenp1b 14518 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)) = (𝑁 + 1) ↔ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁))
31, 2sylan2 594 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)) = (𝑁 + 1) ↔ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁))
43anbi2d 630 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)) = (𝑁 + 1)) ↔ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁)))
5 simpl 484 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ π‘Š ∈ Word 𝑉)
6 eleq1 2822 . . . . . . . . . 10 ((β™―β€˜π‘Š) = 𝑁 β†’ ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„• ↔ 𝑁 ∈ β„•))
7 len0nnbi 14448 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (π‘Š β‰  βˆ… ↔ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•))
87biimprcd 250 . . . . . . . . . 10 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„• β†’ (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ π‘Š β‰  βˆ…))
96, 8syl6bir 254 . . . . . . . . 9 ((β™―β€˜π‘Š) = 𝑁 β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ π‘Š β‰  βˆ…)))
109com13 88 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ ((β™―β€˜π‘Š) = 𝑁 β†’ π‘Š β‰  βˆ…)))
1110imp31 419 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁) β†’ π‘Š β‰  βˆ…)
12 clwwlkwwlksb.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
1312clwwlkwwlksb 29047 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ↔ (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (WWalksβ€˜πΊ)))
145, 11, 13syl2an2r 684 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁) β†’ (π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ↔ (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (WWalksβ€˜πΊ)))
1514bicomd 222 . . . . 5 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ↔ π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ)))
1615ex 414 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) = 𝑁 β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ↔ π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ))))
1716pm5.32rd 579 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁) ↔ (π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁)))
184, 17bitrd 279 . 2 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)) = (𝑁 + 1)) ↔ (π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁)))
191adantl 483 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
20 iswwlksn 28832 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)) = (𝑁 + 1))))
2119, 20syl 17 . 2 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)) = (𝑁 + 1))))
22 isclwwlkn 29020 . . 3 (π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁))
2322a1i 11 . 2 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁)))
2418, 21, 233bitr4rd 312 1 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ…c0 4286  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062  β„•cn 12161  β„•0cn0 12421  β™―chash 14239  Word cword 14411   ++ cconcat 14467  βŸ¨β€œcs1 14492  Vtxcvtx 27996  WWalkscwwlks 28819   WWalksN cwwlksn 28820  ClWWalkscclwwlk 28974   ClWWalksN cclwwlkn 29017
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-oadd 8420  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-dju 9845  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-n0 12422  df-xnn0 12494  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-hash 14240  df-word 14412  df-lsw 14460  df-concat 14468  df-s1 14493  df-wwlks 28824  df-wwlksn 28825  df-clwwlk 28975  df-clwwlkn 29018
This theorem is referenced by:  clwwlknonwwlknonb  29099
  Copyright terms: Public domain W3C validator