| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | isclwwlknon 30110 |
. . 3
⊢ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) |
| 2 | | 3anan32 1097 |
. . . . 5
⊢ (((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉)‘0) = 𝑋 ∧ ((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉)‘𝑁) = 𝑋) ↔ (((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉)‘𝑁) = 𝑋) ∧ ((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉)‘0) = 𝑋)) |
| 3 | | s1eq 14638 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑊‘0) = 𝑋 → 〈“(𝑊‘0)”〉 = 〈“𝑋”〉) |
| 4 | 3 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑊‘0) = 𝑋 → (𝑊 ++ 〈“(𝑊‘0)”〉) = (𝑊 ++ 〈“𝑋”〉)) |
| 5 | 4 | eleq1d 2826 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑊 ++ 〈“(𝑊‘0)”〉) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ++ 〈“𝑋”〉) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))) |
| 6 | 5 | biimpac 478 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑊 ++ 〈“(𝑊‘0)”〉) ∈
(𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (𝑊 ++ 〈“𝑋”〉) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) |
| 7 | 6 | adantl 481 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑊 ++ 〈“(𝑊‘0)”〉) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → (𝑊 ++ 〈“𝑋”〉) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) |
| 8 | | fvex 6919 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑊‘0) ∈
V |
| 9 | | eleq1 2829 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑊‘0) ∈ V ↔ 𝑋 ∈ V)) |
| 10 | 8, 9 | mpbii 233 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑊‘0) = 𝑋 → 𝑋 ∈ V) |
| 11 | | clwwlknonwwlknonb.v |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺) |
| 12 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(Edg‘𝐺) =
(Edg‘𝐺) |
| 13 | 11, 12 | wwlknp 29863 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ 〈“𝑋”〉)) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉)‘𝑖), ((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) |
| 14 | | simprrl 781 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ 〈“𝑋”〉)) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉) |
| 15 | | simpl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ Word 𝑉) |
| 16 | 15 | anim2i 617 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉)) |
| 17 | 16 | ancomd 461 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ V)) |
| 18 | | ccats1alpha 14657 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ V) → ((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉) ∈ Word 𝑉 ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉))) |
| 19 | 17, 18 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉) ∈ Word 𝑉 ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉))) |
| 20 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉) |
| 21 | 19, 20 | biimtrdi 253 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉) ∈ Word 𝑉 → 𝑋 ∈ 𝑉)) |
| 22 | 21 | com12 32 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉) ∈ Word 𝑉 → ((𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑋 ∈ 𝑉)) |
| 23 | 22 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ 〈“𝑋”〉)) = (𝑁 + 1)) → ((𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑋 ∈ 𝑉)) |
| 24 | 23 | imp 406 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ 〈“𝑋”〉)) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ))) → 𝑋 ∈ 𝑉) |
| 25 | | nnnn0 12533 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈
ℕ0) |
| 26 | | ccatws1lenp1b 14659 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) →
((♯‘(𝑊 ++
〈“𝑋”〉)) = (𝑁 + 1) ↔ (♯‘𝑊) = 𝑁)) |
| 27 | 25, 26 | sylan2 593 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) →
((♯‘(𝑊 ++
〈“𝑋”〉)) = (𝑁 + 1) ↔ (♯‘𝑊) = 𝑁)) |
| 28 | 27 | biimpd 229 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) →
((♯‘(𝑊 ++
〈“𝑋”〉)) = (𝑁 + 1) → (♯‘𝑊) = 𝑁)) |
| 29 | 28 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) →
((♯‘(𝑊 ++
〈“𝑋”〉)) = (𝑁 + 1) → (♯‘𝑊) = 𝑁)) |
| 30 | 29 | com12 32 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
((♯‘(𝑊
++ 〈“𝑋”〉)) = (𝑁 + 1) → ((𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) →
(♯‘𝑊) = 𝑁)) |
| 31 | 30 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ 〈“𝑋”〉)) = (𝑁 + 1)) → ((𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) →
(♯‘𝑊) = 𝑁)) |
| 32 | 31 | imp 406 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ 〈“𝑋”〉)) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ))) →
(♯‘𝑊) = 𝑁) |
| 33 | 32 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ 〈“𝑋”〉)) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ))) → 𝑁 = (♯‘𝑊)) |
| 34 | 14, 24, 33 | 3jca 1129 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ 〈“𝑋”〉)) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (♯‘𝑊))) |
| 35 | 34 | ex 412 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ 〈“𝑋”〉)) = (𝑁 + 1)) → ((𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (♯‘𝑊)))) |
| 36 | 35 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ 〈“𝑋”〉)) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉)‘𝑖), ((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (♯‘𝑊)))) |
| 37 | 13, 36 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (♯‘𝑊)))) |
| 38 | 37 | expd 415 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑋 ∈ V → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (♯‘𝑊))))) |
| 39 | 10, 38 | syl5com 31 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (♯‘𝑊))))) |
| 40 | 5, 39 | sylbid 240 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑊 ++ 〈“(𝑊‘0)”〉) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (♯‘𝑊))))) |
| 41 | 40 | com13 88 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑊 ++ 〈“(𝑊‘0)”〉) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑊‘0) = 𝑋 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (♯‘𝑊))))) |
| 42 | 41 | imp32 418 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑊 ++ 〈“(𝑊‘0)”〉) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (♯‘𝑊))) |
| 43 | | ccats1val2 14665 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉)‘𝑁) = 𝑋) |
| 44 | 42, 43 | syl 17 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑊 ++ 〈“(𝑊‘0)”〉) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → ((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉)‘𝑁) = 𝑋) |
| 45 | | ccat1st1st 14666 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑊 ++ 〈“(𝑊‘0)”〉)‘0) = (𝑊‘0)) |
| 46 | 45 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑊 ++ 〈“(𝑊‘0)”〉)‘0) = (𝑊‘0)) |
| 47 | 4 | fveq1d 6908 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑊 ++ 〈“(𝑊‘0)”〉)‘0) = ((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉)‘0)) |
| 48 | 47 | eqeq1d 2739 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑊‘0) = 𝑋 → (((𝑊 ++ 〈“(𝑊‘0)”〉)‘0) = (𝑊‘0) ↔ ((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉)‘0) = (𝑊‘0))) |
| 49 | 48 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑊 ++ 〈“(𝑊‘0)”〉) ∈
(𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (((𝑊 ++ 〈“(𝑊‘0)”〉)‘0) = (𝑊‘0) ↔ ((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉)‘0) = (𝑊‘0))) |
| 50 | 46, 49 | syl5ibcom 245 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑊 ++ 〈“(𝑊‘0)”〉) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉)‘0) = (𝑊‘0))) |
| 51 | 50 | imp 406 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑊 ++ 〈“(𝑊‘0)”〉) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → ((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉)‘0) = (𝑊‘0)) |
| 52 | | simprr 773 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑊 ++ 〈“(𝑊‘0)”〉) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → (𝑊‘0) = 𝑋) |
| 53 | 51, 52 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑊 ++ 〈“(𝑊‘0)”〉) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → ((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉)‘0) = 𝑋) |
| 54 | 7, 44, 53 | jca31 514 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑊 ++ 〈“(𝑊‘0)”〉) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → (((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉)‘𝑁) = 𝑋) ∧ ((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉)‘0) = 𝑋)) |
| 55 | 54 | ex 412 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑊 ++ 〈“(𝑊‘0)”〉) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉)‘𝑁) = 𝑋) ∧ ((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉)‘0) = 𝑋))) |
| 56 | | simprl 771 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ 〈“𝑋”〉)) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉) |
| 57 | 27 | biimpcd 249 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
((♯‘(𝑊
++ 〈“𝑋”〉)) = (𝑁 + 1) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘𝑊) = 𝑁)) |
| 58 | 57 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ 〈“𝑋”〉)) = (𝑁 + 1)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘𝑊) = 𝑁)) |
| 59 | 58 | imp 406 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ 〈“𝑋”〉)) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) →
(♯‘𝑊) = 𝑁) |
| 60 | 59 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ 〈“𝑋”〉)) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 = (♯‘𝑊)) |
| 61 | 56, 60 | jca 511 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ 〈“𝑋”〉)) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 = (♯‘𝑊))) |
| 62 | 61 | ex 412 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ 〈“𝑋”〉)) = (𝑁 + 1)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 = (♯‘𝑊)))) |
| 63 | 62 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ 〈“𝑋”〉)) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉)‘𝑖), ((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 = (♯‘𝑊)))) |
| 64 | 13, 63 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 = (♯‘𝑊)))) |
| 65 | 64 | imp 406 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 = (♯‘𝑊))) |
| 66 | | eleq1 2829 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑁 = (♯‘𝑊) → (𝑁 ∈ ℕ ↔ (♯‘𝑊) ∈
ℕ)) |
| 67 | | lbfzo0 13739 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (0 ∈
(0..^(♯‘𝑊))
↔ (♯‘𝑊)
∈ ℕ) |
| 68 | 67 | biimpri 228 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
((♯‘𝑊)
∈ ℕ → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) |
| 69 | 66, 68 | biimtrdi 253 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑁 = (♯‘𝑊) → (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈
(0..^(♯‘𝑊)))) |
| 70 | 69 | com12 32 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = (♯‘𝑊) → 0 ∈
(0..^(♯‘𝑊)))) |
| 71 | 70 | ad2antll 729 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑁 = (♯‘𝑊) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) |
| 72 | 71 | anim2d 612 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 = (♯‘𝑊)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) |
| 73 | 65, 72 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) |
| 74 | | ccats1val1 14664 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉)‘0) = (𝑊‘0)) |
| 75 | 73, 74 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉)‘0) = (𝑊‘0)) |
| 76 | 75 | eqeq1d 2739 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉)‘0) = 𝑋 ↔ (𝑊‘0) = 𝑋)) |
| 77 | 76 | biimpd 229 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉)‘0) = 𝑋 → (𝑊‘0) = 𝑋)) |
| 78 | 77 | ex 412 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉)‘0) = 𝑋 → (𝑊‘0) = 𝑋))) |
| 79 | 78 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉)‘𝑁) = 𝑋) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉)‘0) = 𝑋 → (𝑊‘0) = 𝑋))) |
| 80 | 79 | com3r 87 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉)‘0) = 𝑋 → (((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉)‘𝑁) = 𝑋) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊‘0) = 𝑋))) |
| 81 | 80 | impcom 407 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉)‘𝑁) = 𝑋) ∧ ((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉)‘0) = 𝑋) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊‘0) = 𝑋)) |
| 82 | 5 | biimparc 479 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (𝑊 ++ 〈“(𝑊‘0)”〉) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) |
| 83 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (𝑊‘0) = 𝑋) |
| 84 | 82, 83 | jca 511 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ((𝑊 ++ 〈“(𝑊‘0)”〉) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) |
| 85 | 84 | ex 412 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑊 ++ 〈“(𝑊‘0)”〉) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋))) |
| 86 | 85 | ad2antrr 726 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉)‘𝑁) = 𝑋) ∧ ((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉)‘0) = 𝑋) → ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑊 ++ 〈“(𝑊‘0)”〉) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋))) |
| 87 | 81, 86 | syldc 48 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉)‘𝑁) = 𝑋) ∧ ((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉)‘0) = 𝑋) → ((𝑊 ++ 〈“(𝑊‘0)”〉) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋))) |
| 88 | 55, 87 | impbid 212 |
. . . . 5
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑊 ++ 〈“(𝑊‘0)”〉) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ↔ (((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉)‘𝑁) = 𝑋) ∧ ((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉)‘0) = 𝑋))) |
| 89 | 2, 88 | bitr4id 290 |
. . . 4
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉)‘0) = 𝑋 ∧ ((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉)‘𝑁) = 𝑋) ↔ ((𝑊 ++ 〈“(𝑊‘0)”〉) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋))) |
| 90 | 11 | clwwlknwwlksnb 30074 |
. . . . 5
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ++ 〈“(𝑊‘0)”〉) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))) |
| 91 | 90 | anbi1d 631 |
. . . 4
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ↔ ((𝑊 ++ 〈“(𝑊‘0)”〉) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋))) |
| 92 | 89, 91 | bitr4d 282 |
. . 3
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉)‘0) = 𝑋 ∧ ((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉)‘𝑁) = 𝑋) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋))) |
| 93 | 1, 92 | bitr4id 290 |
. 2
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ ((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉)‘0) = 𝑋 ∧ ((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉)‘𝑁) = 𝑋))) |
| 94 | | wwlknon 29877 |
. 2
⊢ ((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉) ∈ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑋) ↔ ((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉)‘0) = 𝑋 ∧ ((𝑊 ++ 〈“𝑋”〉)‘𝑁) = 𝑋)) |
| 95 | 93, 94 | bitr4di 289 |
1
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ (𝑊 ++ 〈“𝑋”〉) ∈ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑋))) |