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Theorem clwwlknonwwlknonb 27895
Description: A word over vertices represents a closed walk of a fixed length 𝑁 on vertex 𝑋 iff the word concatenated with 𝑋 represents a walk of length 𝑁 on 𝑋 and 𝑋. This theorem would not hold for 𝑁 = 0 and 𝑊 = ∅, see clwwlknwwlksnb 27844. (Contributed by AV, 4-Mar-2022.) (Revised by AV, 27-Mar-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
clwwlknonwwlknonb.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
clwwlknonwwlknonb ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑋)))

Proof of Theorem clwwlknonwwlknonb
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 s1eq 13949 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊‘0) = 𝑋 → ⟨“(𝑊‘0)”⟩ = ⟨“𝑋”⟩)
21oveq2d 7155 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊‘0) = 𝑋 → (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) = (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩))
32eleq1d 2877 . . . . . . . . . 10 ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))
43biimpac 482 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
54adantl 485 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
6 fvex 6662 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊‘0) ∈ V
7 eleq1 2880 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑊‘0) ∈ V ↔ 𝑋 ∈ V))
86, 7mpbii 236 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊‘0) = 𝑋𝑋 ∈ V)
9 clwwlknonwwlknonb.v . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
10 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
119, 10wwlknp 27633 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
12 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
13 simpl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
1413anim2i 619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉))
1514ancomd 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋 ∈ V))
16 ccats1alpha 13968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋 ∈ V) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉)))
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉)))
18 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉) → 𝑋𝑉)
1917, 18syl6bi 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉𝑋𝑉))
2019com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 → ((𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑋𝑉))
2120adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1)) → ((𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑋𝑉))
2221imp 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ))) → 𝑋𝑉)
23 nnnn0 11896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
24 ccatws1lenp1b 13970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1) ↔ (♯‘𝑊) = 𝑁))
2523, 24sylan2 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1) ↔ (♯‘𝑊) = 𝑁))
2625biimpd 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1) → (♯‘𝑊) = 𝑁))
2726adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1) → (♯‘𝑊) = 𝑁))
2827com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1) → ((𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (♯‘𝑊) = 𝑁))
2928adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1)) → ((𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (♯‘𝑊) = 𝑁))
3029imp 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ))) → (♯‘𝑊) = 𝑁)
3130eqcomd 2807 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ))) → 𝑁 = (♯‘𝑊))
3212, 22, 313jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 = (♯‘𝑊)))
3332ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1)) → ((𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 = (♯‘𝑊))))
34333adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 = (♯‘𝑊))))
3511, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 = (♯‘𝑊))))
3635expd 419 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑋 ∈ V → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 = (♯‘𝑊)))))
378, 36syl5com 31 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 = (♯‘𝑊)))))
383, 37sylbid 243 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 = (♯‘𝑊)))))
3938com13 88 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑊‘0) = 𝑋 → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 = (♯‘𝑊)))))
4039imp32 422 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 = (♯‘𝑊)))
41 ccats1val2 13978 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 = (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋)
4240, 41syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋)
43 ccat1st1st 13979 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
4443adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
452fveq1d 6651 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0))
4645eqeq1d 2803 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊‘0) = 𝑋 → (((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = (𝑊‘0) ↔ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = (𝑊‘0)))
4746adantl 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = (𝑊‘0) ↔ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = (𝑊‘0)))
4844, 47syl5ibcom 248 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = (𝑊‘0)))
4948imp 410 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
50 simprr 772 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → (𝑊‘0) = 𝑋)
5149, 50eqtrd 2836 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋)
525, 42, 51jca31 518 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋))
5352ex 416 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋)))
54 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
5525biimpcd 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘𝑊) = 𝑁))
5655adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘𝑊) = 𝑁))
5756imp 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (♯‘𝑊) = 𝑁)
5857eqcomd 2807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 = (♯‘𝑊))
5954, 58jca 515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 = (♯‘𝑊)))
6059ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 = (♯‘𝑊))))
61603adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 = (♯‘𝑊))))
6211, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 = (♯‘𝑊))))
6362imp 410 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 = (♯‘𝑊)))
64 eleq1 2880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 = (♯‘𝑊) → (𝑁 ∈ ℕ ↔ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
65 lbfzo0 13076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
6665biimpri 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
6764, 66syl6bi 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 = (♯‘𝑊) → (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
6867com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = (♯‘𝑊) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
6968ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑁 = (♯‘𝑊) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
7069anim2d 614 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 = (♯‘𝑊)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))))
7163, 70mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
72 ccats1val1 13976 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
7371, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
7473eqeq1d 2803 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋 ↔ (𝑊‘0) = 𝑋))
7574biimpd 232 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋 → (𝑊‘0) = 𝑋))
7675ex 416 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋 → (𝑊‘0) = 𝑋)))
7776adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋 → (𝑊‘0) = 𝑋)))
7877com3r 87 . . . . . . . 8 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊‘0) = 𝑋)))
7978impcom 411 . . . . . . 7 ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊‘0) = 𝑋))
803biimparc 483 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
81 simpr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (𝑊‘0) = 𝑋)
8280, 81jca 515 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋))
8382ex 416 . . . . . . . 8 ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))
8483ad2antrr 725 . . . . . . 7 ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋) → ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))
8579, 84syldc 48 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))
8653, 85impbid 215 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋)))
87 3anan32 1094 . . . . 5 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋))
8886, 87syl6rbbr 293 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋) ↔ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))
899clwwlknwwlksnb 27844 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))
9089anbi1d 632 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ↔ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))
9188, 90bitr4d 285 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))
92 isclwwlknon 27880 . . 3 (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋))
9391, 92syl6rbbr 293 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋)))
94 wwlknon 27647 . 2 ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑋) ↔ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋))
9593, 94syl6bbr 292 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  wral 3109  Vcvv 3444  {cpr 4530  cfv 6328  (class class class)co 7139  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533  cn 11629  0cn0 11889  ..^cfzo 13032  chash 13690  Word cword 13861   ++ cconcat 13917  ⟨“cs1 13944  Vtxcvtx 26793  Edgcedg 26844   WWalksN cwwlksn 27616   WWalksNOn cwwlksnon 27617   ClWWalksN cclwwlkn 27813  ClWWalksNOncclwwlknon 27876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-hash 13691  df-word 13862  df-lsw 13910  df-concat 13918  df-s1 13945  df-wwlks 27620  df-wwlksn 27621  df-wwlksnon 27622  df-clwwlk 27771  df-clwwlkn 27814  df-clwwlknon 27877
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