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Theorem clwwlknonwwlknonb 30134
Description: A word over vertices represents a closed walk of a fixed length 𝑁 on vertex 𝑋 iff the word concatenated with 𝑋 represents a walk of length 𝑁 on 𝑋 and 𝑋. This theorem would not hold for 𝑁 = 0 and 𝑊 = ∅, see clwwlknwwlksnb 30083. (Contributed by AV, 4-Mar-2022.) (Revised by AV, 27-Mar-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
clwwlknonwwlknonb.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
clwwlknonwwlknonb ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑋)))

Proof of Theorem clwwlknonwwlknonb
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isclwwlknon 30119 . . 3 (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋))
2 3anan32 1096 . . . . 5 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋))
3 s1eq 14634 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊‘0) = 𝑋 → ⟨“(𝑊‘0)”⟩ = ⟨“𝑋”⟩)
43oveq2d 7446 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊‘0) = 𝑋 → (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) = (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩))
54eleq1d 2823 . . . . . . . . . 10 ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))
65biimpac 478 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
76adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
8 fvex 6919 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊‘0) ∈ V
9 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑊‘0) ∈ V ↔ 𝑋 ∈ V))
108, 9mpbii 233 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊‘0) = 𝑋𝑋 ∈ V)
11 clwwlknonwwlknonb.v . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
12 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
1311, 12wwlknp 29872 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
14 simprrl 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
15 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
1615anim2i 617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉))
1716ancomd 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋 ∈ V))
18 ccats1alpha 14653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋 ∈ V) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉)))
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉)))
20 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉) → 𝑋𝑉)
2119, 20biimtrdi 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉𝑋𝑉))
2221com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 → ((𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑋𝑉))
2322adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1)) → ((𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑋𝑉))
2423imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ))) → 𝑋𝑉)
25 nnnn0 12530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
26 ccatws1lenp1b 14655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1) ↔ (♯‘𝑊) = 𝑁))
2725, 26sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1) ↔ (♯‘𝑊) = 𝑁))
2827biimpd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1) → (♯‘𝑊) = 𝑁))
2928adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1) → (♯‘𝑊) = 𝑁))
3029com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1) → ((𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (♯‘𝑊) = 𝑁))
3130adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1)) → ((𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (♯‘𝑊) = 𝑁))
3231imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ))) → (♯‘𝑊) = 𝑁)
3332eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ))) → 𝑁 = (♯‘𝑊))
3414, 24, 333jca 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 = (♯‘𝑊)))
3534ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1)) → ((𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 = (♯‘𝑊))))
36353adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 = (♯‘𝑊))))
3713, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 = (♯‘𝑊))))
3837expd 415 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑋 ∈ V → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 = (♯‘𝑊)))))
3910, 38syl5com 31 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 = (♯‘𝑊)))))
405, 39sylbid 240 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 = (♯‘𝑊)))))
4140com13 88 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑊‘0) = 𝑋 → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 = (♯‘𝑊)))))
4241imp32 418 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 = (♯‘𝑊)))
43 ccats1val2 14661 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 = (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋)
4442, 43syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋)
45 ccat1st1st 14662 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
4645adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
474fveq1d 6908 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0))
4847eqeq1d 2736 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊‘0) = 𝑋 → (((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = (𝑊‘0) ↔ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = (𝑊‘0)))
4948adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = (𝑊‘0) ↔ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = (𝑊‘0)))
5046, 49syl5ibcom 245 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = (𝑊‘0)))
5150imp 406 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
52 simprr 773 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → (𝑊‘0) = 𝑋)
5351, 52eqtrd 2774 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋)
547, 44, 53jca31 514 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋))
5554ex 412 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋)))
56 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
5727biimpcd 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘𝑊) = 𝑁))
5857adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘𝑊) = 𝑁))
5958imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (♯‘𝑊) = 𝑁)
6059eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 = (♯‘𝑊))
6156, 60jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 = (♯‘𝑊)))
6261ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 = (♯‘𝑊))))
63623adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 = (♯‘𝑊))))
6413, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 = (♯‘𝑊))))
6564imp 406 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 = (♯‘𝑊)))
66 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 = (♯‘𝑊) → (𝑁 ∈ ℕ ↔ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
67 lbfzo0 13735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
6867biimpri 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
6966, 68biimtrdi 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 = (♯‘𝑊) → (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
7069com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = (♯‘𝑊) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
7170ad2antll 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑁 = (♯‘𝑊) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
7271anim2d 612 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 = (♯‘𝑊)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))))
7365, 72mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
74 ccats1val1 14660 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
7675eqeq1d 2736 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋 ↔ (𝑊‘0) = 𝑋))
7776biimpd 229 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋 → (𝑊‘0) = 𝑋))
7877ex 412 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋 → (𝑊‘0) = 𝑋)))
7978adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋 → (𝑊‘0) = 𝑋)))
8079com3r 87 . . . . . . . 8 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊‘0) = 𝑋)))
8180impcom 407 . . . . . . 7 ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊‘0) = 𝑋))
825biimparc 479 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
83 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (𝑊‘0) = 𝑋)
8482, 83jca 511 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋))
8584ex 412 . . . . . . . 8 ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))
8685ad2antrr 726 . . . . . . 7 ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋) → ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))
8781, 86syldc 48 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))
8855, 87impbid 212 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋)))
892, 88bitr4id 290 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋) ↔ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))
9011clwwlknwwlksnb 30083 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))
9190anbi1d 631 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ↔ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))
9289, 91bitr4d 282 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))
931, 92bitr4id 290 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋)))
94 wwlknon 29886 . 2 ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑋) ↔ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋))
9593, 94bitr4di 289 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  Vcvv 3477  {cpr 4632  cfv 6562  (class class class)co 7430  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155  cn 12263  0cn0 12523  ..^cfzo 13690  chash 14365  Word cword 14548   ++ cconcat 14604  ⟨“cs1 14629  Vtxcvtx 29027  Edgcedg 29078   WWalksN cwwlksn 29855   WWalksNOn cwwlksnon 29856   ClWWalksN cclwwlkn 30052  ClWWalksNOncclwwlknon 30115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-dju 9938  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-hash 14366  df-word 14549  df-lsw 14597  df-concat 14605  df-s1 14630  df-wwlks 29859  df-wwlksn 29860  df-wwlksnon 29861  df-clwwlk 30010  df-clwwlkn 30053  df-clwwlknon 30116
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