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Theorem clwwlknonwwlknonb 28758
Description: A word over vertices represents a closed walk of a fixed length 𝑁 on vertex 𝑋 iff the word concatenated with 𝑋 represents a walk of length 𝑁 on 𝑋 and 𝑋. This theorem would not hold for 𝑁 = 0 and 𝑊 = ∅, see clwwlknwwlksnb 28707. (Contributed by AV, 4-Mar-2022.) (Revised by AV, 27-Mar-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
clwwlknonwwlknonb.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
clwwlknonwwlknonb ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑋)))

Proof of Theorem clwwlknonwwlknonb
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isclwwlknon 28743 . . 3 (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋))
2 3anan32 1096 . . . . 5 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋))
3 s1eq 14404 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊‘0) = 𝑋 → ⟨“(𝑊‘0)”⟩ = ⟨“𝑋”⟩)
43oveq2d 7353 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊‘0) = 𝑋 → (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) = (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩))
54eleq1d 2821 . . . . . . . . . 10 ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))
65biimpac 479 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
76adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
8 fvex 6838 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊‘0) ∈ V
9 eleq1 2824 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑊‘0) ∈ V ↔ 𝑋 ∈ V))
108, 9mpbii 232 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊‘0) = 𝑋𝑋 ∈ V)
11 clwwlknonwwlknonb.v . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
12 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
1311, 12wwlknp 28496 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
14 simprrl 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
15 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
1615anim2i 617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉))
1716ancomd 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋 ∈ V))
18 ccats1alpha 14423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋 ∈ V) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉)))
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉)))
20 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉) → 𝑋𝑉)
2119, 20syl6bi 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉𝑋𝑉))
2221com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 → ((𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑋𝑉))
2322adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1)) → ((𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑋𝑉))
2423imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ))) → 𝑋𝑉)
25 nnnn0 12341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
26 ccatws1lenp1b 14425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1) ↔ (♯‘𝑊) = 𝑁))
2725, 26sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1) ↔ (♯‘𝑊) = 𝑁))
2827biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1) → (♯‘𝑊) = 𝑁))
2928adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1) → (♯‘𝑊) = 𝑁))
3029com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1) → ((𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (♯‘𝑊) = 𝑁))
3130adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1)) → ((𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (♯‘𝑊) = 𝑁))
3231imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ))) → (♯‘𝑊) = 𝑁)
3332eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ))) → 𝑁 = (♯‘𝑊))
3414, 24, 333jca 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 = (♯‘𝑊)))
3534ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1)) → ((𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 = (♯‘𝑊))))
36353adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 = (♯‘𝑊))))
3713, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 = (♯‘𝑊))))
3837expd 416 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑋 ∈ V → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 = (♯‘𝑊)))))
3910, 38syl5com 31 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 = (♯‘𝑊)))))
405, 39sylbid 239 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 = (♯‘𝑊)))))
4140com13 88 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑊‘0) = 𝑋 → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 = (♯‘𝑊)))))
4241imp32 419 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 = (♯‘𝑊)))
43 ccats1val2 14432 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 = (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋)
4442, 43syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋)
45 ccat1st1st 14433 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
4645adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
474fveq1d 6827 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0))
4847eqeq1d 2738 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊‘0) = 𝑋 → (((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = (𝑊‘0) ↔ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = (𝑊‘0)))
4948adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = (𝑊‘0) ↔ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = (𝑊‘0)))
5046, 49syl5ibcom 244 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = (𝑊‘0)))
5150imp 407 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
52 simprr 770 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → (𝑊‘0) = 𝑋)
5351, 52eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋)
547, 44, 53jca31 515 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋))
5554ex 413 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋)))
56 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
5727biimpcd 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘𝑊) = 𝑁))
5857adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘𝑊) = 𝑁))
5958imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (♯‘𝑊) = 𝑁)
6059eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 = (♯‘𝑊))
6156, 60jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 = (♯‘𝑊)))
6261ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 = (♯‘𝑊))))
63623adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 = (♯‘𝑊))))
6413, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 = (♯‘𝑊))))
6564imp 407 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 = (♯‘𝑊)))
66 eleq1 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 = (♯‘𝑊) → (𝑁 ∈ ℕ ↔ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
67 lbfzo0 13528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
6867biimpri 227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
6966, 68syl6bi 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 = (♯‘𝑊) → (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
7069com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = (♯‘𝑊) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
7170ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑁 = (♯‘𝑊) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
7271anim2d 612 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 = (♯‘𝑊)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))))
7365, 72mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
74 ccats1val1 14430 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
7675eqeq1d 2738 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋 ↔ (𝑊‘0) = 𝑋))
7776biimpd 228 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋 → (𝑊‘0) = 𝑋))
7877ex 413 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋 → (𝑊‘0) = 𝑋)))
7978adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋 → (𝑊‘0) = 𝑋)))
8079com3r 87 . . . . . . . 8 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊‘0) = 𝑋)))
8180impcom 408 . . . . . . 7 ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊‘0) = 𝑋))
825biimparc 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
83 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (𝑊‘0) = 𝑋)
8482, 83jca 512 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋))
8584ex 413 . . . . . . . 8 ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))
8685ad2antrr 723 . . . . . . 7 ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋) → ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))
8781, 86syldc 48 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))
8855, 87impbid 211 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋)))
892, 88bitr4id 289 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋) ↔ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))
9011clwwlknwwlksnb 28707 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))
9190anbi1d 630 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ↔ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))
9289, 91bitr4d 281 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))
931, 92bitr4id 289 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋)))
94 wwlknon 28510 . 2 ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑋) ↔ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋))
9593, 94bitr4di 288 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3061  Vcvv 3441  {cpr 4575  cfv 6479  (class class class)co 7337  0cc0 10972  1c1 10973   + caddc 10975  cn 12074  0cn0 12334  ..^cfzo 13483  chash 14145  Word cword 14317   ++ cconcat 14373  ⟨“cs1 14399  Vtxcvtx 27655  Edgcedg 27706   WWalksN cwwlksn 28479   WWalksNOn cwwlksnon 28480   ClWWalksN cclwwlkn 28676  ClWWalksNOncclwwlknon 28739
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-oadd 8371  df-er 8569  df-map 8688  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-dju 9758  df-card 9796  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-2 12137  df-n0 12335  df-xnn0 12407  df-z 12421  df-uz 12684  df-fz 13341  df-fzo 13484  df-hash 14146  df-word 14318  df-lsw 14366  df-concat 14374  df-s1 14400  df-wwlks 28483  df-wwlksn 28484  df-wwlksnon 28485  df-clwwlk 28634  df-clwwlkn 28677  df-clwwlknon 28740
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