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Theorem clwwlknonwwlknonb 29092
Description: A word over vertices represents a closed walk of a fixed length 𝑁 on vertex 𝑋 iff the word concatenated with 𝑋 represents a walk of length 𝑁 on 𝑋 and 𝑋. This theorem would not hold for 𝑁 = 0 and π‘Š = βˆ…, see clwwlknwwlksnb 29041. (Contributed by AV, 4-Mar-2022.) (Revised by AV, 27-Mar-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
clwwlknonwwlknonb.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
clwwlknonwwlknonb ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (π‘Š ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ↔ (π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑋)))

Proof of Theorem clwwlknonwwlknonb
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isclwwlknon 29077 . . 3 (π‘Š ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ↔ (π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋))
2 3anan32 1098 . . . . 5 (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜0) = 𝑋 ∧ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜π‘) = 𝑋) ↔ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜π‘) = 𝑋) ∧ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜0) = 𝑋))
3 s1eq 14495 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Šβ€˜0) = 𝑋 β†’ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ© = βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)
43oveq2d 7378 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Šβ€˜0) = 𝑋 β†’ (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) = (π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©))
54eleq1d 2823 . . . . . . . . . 10 ((π‘Šβ€˜0) = 𝑋 β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))
65biimpac 480 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋) β†’ (π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
76adantl 483 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)) β†’ (π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
8 fvex 6860 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Šβ€˜0) ∈ V
9 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Šβ€˜0) = 𝑋 β†’ ((π‘Šβ€˜0) ∈ V ↔ 𝑋 ∈ V))
108, 9mpbii 232 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Šβ€˜0) = 𝑋 β†’ 𝑋 ∈ V)
11 clwwlknonwwlknonb.v . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
12 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Edgβ€˜πΊ) = (Edgβ€˜πΊ)
1311, 12wwlknp 28830 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)) = (𝑁 + 1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑁){((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
14 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑋 ∈ V ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•))) β†’ π‘Š ∈ Word 𝑉)
15 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ π‘Š ∈ Word 𝑉)
1615anim2i 618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 ∈ V ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ (𝑋 ∈ V ∧ π‘Š ∈ Word 𝑉))
1716ancomd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 ∈ V ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ V))
18 ccats1alpha 14514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ V) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ↔ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)))
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 ∈ V ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ↔ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)))
20 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
2119, 20syl6bi 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 ∈ V ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ Word 𝑉 β†’ 𝑋 ∈ 𝑉))
2221com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ Word 𝑉 β†’ ((𝑋 ∈ V ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉))
2322adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)) = (𝑁 + 1)) β†’ ((𝑋 ∈ V ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉))
2423imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑋 ∈ V ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•))) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
25 nnnn0 12427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
26 ccatws1lenp1b 14516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)) = (𝑁 + 1) ↔ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁))
2725, 26sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)) = (𝑁 + 1) ↔ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁))
2827biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)) = (𝑁 + 1) β†’ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁))
2928adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 ∈ V ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ ((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)) = (𝑁 + 1) β†’ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁))
3029com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)) = (𝑁 + 1) β†’ ((𝑋 ∈ V ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁))
3130adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)) = (𝑁 + 1)) β†’ ((𝑋 ∈ V ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁))
3231imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑋 ∈ V ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•))) β†’ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁)
3332eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑋 ∈ V ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•))) β†’ 𝑁 = (β™―β€˜π‘Š))
3414, 24, 333jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑋 ∈ V ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•))) β†’ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (β™―β€˜π‘Š)))
3534ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)) = (𝑁 + 1)) β†’ ((𝑋 ∈ V ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (β™―β€˜π‘Š))))
36353adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)) = (𝑁 + 1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑁){((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ ((𝑋 ∈ V ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (β™―β€˜π‘Š))))
3713, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) β†’ ((𝑋 ∈ V ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (β™―β€˜π‘Š))))
3837expd 417 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) β†’ (𝑋 ∈ V β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (β™―β€˜π‘Š)))))
3910, 38syl5com 31 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Šβ€˜0) = 𝑋 β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (β™―β€˜π‘Š)))))
405, 39sylbid 239 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Šβ€˜0) = 𝑋 β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (β™―β€˜π‘Š)))))
4140com13 88 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) β†’ ((π‘Šβ€˜0) = 𝑋 β†’ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (β™―β€˜π‘Š)))))
4241imp32 420 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)) β†’ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (β™―β€˜π‘Š)))
43 ccats1val2 14522 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (β™―β€˜π‘Š)) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜π‘) = 𝑋)
4442, 43syl 17 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜π‘) = 𝑋)
45 ccat1st1st 14523 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜0) = (π‘Šβ€˜0))
4645adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜0) = (π‘Šβ€˜0))
474fveq1d 6849 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Šβ€˜0) = 𝑋 β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜0) = ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜0))
4847eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Šβ€˜0) = 𝑋 β†’ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜0) = (π‘Šβ€˜0) ↔ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜0) = (π‘Šβ€˜0)))
4948adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋) β†’ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜0) = (π‘Šβ€˜0) ↔ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜0) = (π‘Šβ€˜0)))
5046, 49syl5ibcom 244 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜0) = (π‘Šβ€˜0)))
5150imp 408 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜0) = (π‘Šβ€˜0))
52 simprr 772 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)) β†’ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)
5351, 52eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜0) = 𝑋)
547, 44, 53jca31 516 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)) β†’ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜π‘) = 𝑋) ∧ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜0) = 𝑋))
5554ex 414 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋) β†’ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜π‘) = 𝑋) ∧ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜0) = 𝑋)))
56 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)) = (𝑁 + 1)) ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ π‘Š ∈ Word 𝑉)
5727biimpcd 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)) = (𝑁 + 1) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁))
5857adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)) = (𝑁 + 1)) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁))
5958imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)) = (𝑁 + 1)) ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁)
6059eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)) = (𝑁 + 1)) ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ 𝑁 = (β™―β€˜π‘Š))
6156, 60jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)) = (𝑁 + 1)) ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 = (β™―β€˜π‘Š)))
6261ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)) = (𝑁 + 1)) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 = (β™―β€˜π‘Š))))
63623adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)) = (𝑁 + 1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑁){((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 = (β™―β€˜π‘Š))))
6413, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 = (β™―β€˜π‘Š))))
6564imp 408 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 = (β™―β€˜π‘Š)))
66 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 = (β™―β€˜π‘Š) β†’ (𝑁 ∈ β„• ↔ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•))
67 lbfzo0 13619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) ↔ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•)
6867biimpri 227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„• β†’ 0 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
6966, 68syl6bi 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 = (β™―β€˜π‘Š) β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ 0 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))))
7069com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 = (β™―β€˜π‘Š) β†’ 0 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))))
7170ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ (𝑁 = (β™―β€˜π‘Š) β†’ 0 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))))
7271anim2d 613 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 = (β™―β€˜π‘Š)) β†’ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)))))
7365, 72mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))))
74 ccats1val1 14521 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜0) = (π‘Šβ€˜0))
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜0) = (π‘Šβ€˜0))
7675eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜0) = 𝑋 ↔ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋))
7776biimpd 228 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜0) = 𝑋 β†’ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋))
7877ex 414 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜0) = 𝑋 β†’ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)))
7978adantr 482 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜π‘) = 𝑋) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜0) = 𝑋 β†’ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)))
8079com3r 87 . . . . . . . 8 (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜0) = 𝑋 β†’ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜π‘) = 𝑋) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)))
8180impcom 409 . . . . . . 7 ((((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜π‘) = 𝑋) ∧ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜0) = 𝑋) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋))
825biimparc 481 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋) β†’ (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
83 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋) β†’ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)
8482, 83jca 513 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋))
8584ex 414 . . . . . . . 8 ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) β†’ ((π‘Šβ€˜0) = 𝑋 β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)))
8685ad2antrr 725 . . . . . . 7 ((((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜π‘) = 𝑋) ∧ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜0) = 𝑋) β†’ ((π‘Šβ€˜0) = 𝑋 β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)))
8781, 86syldc 48 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜π‘) = 𝑋) ∧ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜0) = 𝑋) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)))
8855, 87impbid 211 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋) ↔ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜π‘) = 𝑋) ∧ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜0) = 𝑋)))
892, 88bitr4id 290 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜0) = 𝑋 ∧ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜π‘) = 𝑋) ↔ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)))
9011clwwlknwwlksnb 29041 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))
9190anbi1d 631 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋) ↔ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)))
9289, 91bitr4d 282 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜0) = 𝑋 ∧ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜π‘) = 𝑋) ↔ (π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)))
931, 92bitr4id 290 . 2 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (π‘Š ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ↔ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜0) = 𝑋 ∧ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜π‘) = 𝑋)))
94 wwlknon 28844 . 2 ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑋) ↔ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜0) = 𝑋 ∧ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜π‘) = 𝑋))
9593, 94bitr4di 289 1 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (π‘Š ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ↔ (π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  Vcvv 3448  {cpr 4593  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061  β„•cn 12160  β„•0cn0 12420  ..^cfzo 13574  β™―chash 14237  Word cword 14409   ++ cconcat 14465  βŸ¨β€œcs1 14490  Vtxcvtx 27989  Edgcedg 28040   WWalksN cwwlksn 28813   WWalksNOn cwwlksnon 28814   ClWWalksN cclwwlkn 29010  ClWWalksNOncclwwlknon 29073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-hash 14238  df-word 14410  df-lsw 14458  df-concat 14466  df-s1 14491  df-wwlks 28817  df-wwlksn 28818  df-wwlksnon 28819  df-clwwlk 28968  df-clwwlkn 29011  df-clwwlknon 29074
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