MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwwlknonwwlknonb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwwlknonwwlknonb 29359
Description: A word over vertices represents a closed walk of a fixed length 𝑁 on vertex 𝑋 iff the word concatenated with 𝑋 represents a walk of length 𝑁 on 𝑋 and 𝑋. This theorem would not hold for 𝑁 = 0 and π‘Š = βˆ…, see clwwlknwwlksnb 29308. (Contributed by AV, 4-Mar-2022.) (Revised by AV, 27-Mar-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
clwwlknonwwlknonb.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
clwwlknonwwlknonb ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (π‘Š ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ↔ (π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑋)))

Proof of Theorem clwwlknonwwlknonb
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isclwwlknon 29344 . . 3 (π‘Š ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ↔ (π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋))
2 3anan32 1098 . . . . 5 (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜0) = 𝑋 ∧ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜π‘) = 𝑋) ↔ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜π‘) = 𝑋) ∧ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜0) = 𝑋))
3 s1eq 14550 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Šβ€˜0) = 𝑋 β†’ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ© = βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)
43oveq2d 7425 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Šβ€˜0) = 𝑋 β†’ (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) = (π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©))
54eleq1d 2819 . . . . . . . . . 10 ((π‘Šβ€˜0) = 𝑋 β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))
65biimpac 480 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋) β†’ (π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
76adantl 483 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)) β†’ (π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
8 fvex 6905 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Šβ€˜0) ∈ V
9 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Šβ€˜0) = 𝑋 β†’ ((π‘Šβ€˜0) ∈ V ↔ 𝑋 ∈ V))
108, 9mpbii 232 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Šβ€˜0) = 𝑋 β†’ 𝑋 ∈ V)
11 clwwlknonwwlknonb.v . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
12 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Edgβ€˜πΊ) = (Edgβ€˜πΊ)
1311, 12wwlknp 29097 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)) = (𝑁 + 1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑁){((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
14 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑋 ∈ V ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•))) β†’ π‘Š ∈ Word 𝑉)
15 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ π‘Š ∈ Word 𝑉)
1615anim2i 618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 ∈ V ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ (𝑋 ∈ V ∧ π‘Š ∈ Word 𝑉))
1716ancomd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 ∈ V ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ V))
18 ccats1alpha 14569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ V) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ↔ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)))
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 ∈ V ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ↔ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)))
20 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
2119, 20syl6bi 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 ∈ V ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ Word 𝑉 β†’ 𝑋 ∈ 𝑉))
2221com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ Word 𝑉 β†’ ((𝑋 ∈ V ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉))
2322adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)) = (𝑁 + 1)) β†’ ((𝑋 ∈ V ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉))
2423imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑋 ∈ V ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•))) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
25 nnnn0 12479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
26 ccatws1lenp1b 14571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)) = (𝑁 + 1) ↔ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁))
2725, 26sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)) = (𝑁 + 1) ↔ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁))
2827biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)) = (𝑁 + 1) β†’ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁))
2928adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 ∈ V ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ ((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)) = (𝑁 + 1) β†’ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁))
3029com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)) = (𝑁 + 1) β†’ ((𝑋 ∈ V ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁))
3130adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)) = (𝑁 + 1)) β†’ ((𝑋 ∈ V ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁))
3231imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑋 ∈ V ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•))) β†’ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁)
3332eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑋 ∈ V ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•))) β†’ 𝑁 = (β™―β€˜π‘Š))
3414, 24, 333jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑋 ∈ V ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•))) β†’ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (β™―β€˜π‘Š)))
3534ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)) = (𝑁 + 1)) β†’ ((𝑋 ∈ V ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (β™―β€˜π‘Š))))
36353adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)) = (𝑁 + 1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑁){((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ ((𝑋 ∈ V ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (β™―β€˜π‘Š))))
3713, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) β†’ ((𝑋 ∈ V ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (β™―β€˜π‘Š))))
3837expd 417 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) β†’ (𝑋 ∈ V β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (β™―β€˜π‘Š)))))
3910, 38syl5com 31 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Šβ€˜0) = 𝑋 β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (β™―β€˜π‘Š)))))
405, 39sylbid 239 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Šβ€˜0) = 𝑋 β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (β™―β€˜π‘Š)))))
4140com13 88 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) β†’ ((π‘Šβ€˜0) = 𝑋 β†’ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (β™―β€˜π‘Š)))))
4241imp32 420 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)) β†’ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (β™―β€˜π‘Š)))
43 ccats1val2 14577 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (β™―β€˜π‘Š)) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜π‘) = 𝑋)
4442, 43syl 17 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜π‘) = 𝑋)
45 ccat1st1st 14578 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜0) = (π‘Šβ€˜0))
4645adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜0) = (π‘Šβ€˜0))
474fveq1d 6894 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Šβ€˜0) = 𝑋 β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜0) = ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜0))
4847eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Šβ€˜0) = 𝑋 β†’ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜0) = (π‘Šβ€˜0) ↔ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜0) = (π‘Šβ€˜0)))
4948adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋) β†’ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜0) = (π‘Šβ€˜0) ↔ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜0) = (π‘Šβ€˜0)))
5046, 49syl5ibcom 244 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜0) = (π‘Šβ€˜0)))
5150imp 408 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜0) = (π‘Šβ€˜0))
52 simprr 772 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)) β†’ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)
5351, 52eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜0) = 𝑋)
547, 44, 53jca31 516 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)) β†’ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜π‘) = 𝑋) ∧ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜0) = 𝑋))
5554ex 414 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋) β†’ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜π‘) = 𝑋) ∧ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜0) = 𝑋)))
56 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)) = (𝑁 + 1)) ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ π‘Š ∈ Word 𝑉)
5727biimpcd 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)) = (𝑁 + 1) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁))
5857adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)) = (𝑁 + 1)) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁))
5958imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)) = (𝑁 + 1)) ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁)
6059eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)) = (𝑁 + 1)) ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ 𝑁 = (β™―β€˜π‘Š))
6156, 60jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)) = (𝑁 + 1)) ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 = (β™―β€˜π‘Š)))
6261ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)) = (𝑁 + 1)) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 = (β™―β€˜π‘Š))))
63623adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)) = (𝑁 + 1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑁){((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 = (β™―β€˜π‘Š))))
6413, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 = (β™―β€˜π‘Š))))
6564imp 408 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 = (β™―β€˜π‘Š)))
66 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 = (β™―β€˜π‘Š) β†’ (𝑁 ∈ β„• ↔ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•))
67 lbfzo0 13672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) ↔ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•)
6867biimpri 227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„• β†’ 0 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
6966, 68syl6bi 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 = (β™―β€˜π‘Š) β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ 0 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))))
7069com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 = (β™―β€˜π‘Š) β†’ 0 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))))
7170ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ (𝑁 = (β™―β€˜π‘Š) β†’ 0 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))))
7271anim2d 613 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 = (β™―β€˜π‘Š)) β†’ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)))))
7365, 72mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))))
74 ccats1val1 14576 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜0) = (π‘Šβ€˜0))
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜0) = (π‘Šβ€˜0))
7675eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜0) = 𝑋 ↔ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋))
7776biimpd 228 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜0) = 𝑋 β†’ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋))
7877ex 414 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜0) = 𝑋 β†’ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)))
7978adantr 482 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜π‘) = 𝑋) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜0) = 𝑋 β†’ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)))
8079com3r 87 . . . . . . . 8 (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜0) = 𝑋 β†’ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜π‘) = 𝑋) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)))
8180impcom 409 . . . . . . 7 ((((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜π‘) = 𝑋) ∧ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜0) = 𝑋) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋))
825biimparc 481 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋) β†’ (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
83 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋) β†’ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)
8482, 83jca 513 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋))
8584ex 414 . . . . . . . 8 ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) β†’ ((π‘Šβ€˜0) = 𝑋 β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)))
8685ad2antrr 725 . . . . . . 7 ((((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜π‘) = 𝑋) ∧ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜0) = 𝑋) β†’ ((π‘Šβ€˜0) = 𝑋 β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)))
8781, 86syldc 48 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜π‘) = 𝑋) ∧ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜0) = 𝑋) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)))
8855, 87impbid 211 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋) ↔ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜π‘) = 𝑋) ∧ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜0) = 𝑋)))
892, 88bitr4id 290 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜0) = 𝑋 ∧ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜π‘) = 𝑋) ↔ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)))
9011clwwlknwwlksnb 29308 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))
9190anbi1d 631 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋) ↔ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)))
9289, 91bitr4d 282 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜0) = 𝑋 ∧ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜π‘) = 𝑋) ↔ (π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)))
931, 92bitr4id 290 . 2 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (π‘Š ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ↔ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜0) = 𝑋 ∧ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜π‘) = 𝑋)))
94 wwlknon 29111 . 2 ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑋) ↔ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜0) = 𝑋 ∧ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)β€˜π‘) = 𝑋))
9593, 94bitr4di 289 1 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (π‘Š ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ↔ (π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475  {cpr 4631  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113  β„•cn 12212  β„•0cn0 12472  ..^cfzo 13627  β™―chash 14290  Word cword 14464   ++ cconcat 14520  βŸ¨β€œcs1 14545  Vtxcvtx 28256  Edgcedg 28307   WWalksN cwwlksn 29080   WWalksNOn cwwlksnon 29081   ClWWalksN cclwwlkn 29277  ClWWalksNOncclwwlknon 29340
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-hash 14291  df-word 14465  df-lsw 14513  df-concat 14521  df-s1 14546  df-wwlks 29084  df-wwlksn 29085  df-wwlksnon 29086  df-clwwlk 29235  df-clwwlkn 29278  df-clwwlknon 29341
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator