Theorem nmcnc 30640

Description: The norm of a normed complex vector space is a continuous function to ℂ. (For ℝ, see nmcvcn 30639.) (Contributed by NM, 12-Aug-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmcnc.1	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
nmcnc.2	⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
nmcnc.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
nmcnc.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
nmcnc	⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑁 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem nmcnc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmcnc.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	cnfldtop 24669	. . 3 ⊢ 𝐾 ∈ Top
3		cnrest2r 23172	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Top → (𝐽 Cn (𝐾 ↾t ℝ)) ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t ℝ)) ⊆ (𝐽 Cn 𝐾)
5		nmcnc.1	. . 3 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
6		nmcnc.2	. . 3 ⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
7		nmcnc.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
8	1	tgioo2 24689	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (𝐾 ↾t ℝ)
9	8	eqcomi 2738	. . 3 ⊢ (𝐾 ↾t ℝ) = (topGen‘ran (,))
10	5, 6, 7, 9	nmcvcn 30639	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑁 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t ℝ)))
11	4, 10	sselid 3933	1 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑁 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3903  ran crn 5620  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℝcr 11008  (,)cioo 13248   ↾_t crest 17324  TopOpenctopn 17325  topGenctg 17341  MetOpencmopn 21251  ℂ_fldccnfld 21261  Topctop 22778   Cn ccn 23109  NrmCVeccnv 30528  norm_CVcnmcv 30534  IndMetcims 30535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088  ax-mulf 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fi 9301  df-sup 9332  df-inf 9333  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-xneg 13014  df-xadd 13015  df-xmul 13016  df-ioo 13252  df-fz 13411  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-struct 17058  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-rest 17326  df-topn 17327  df-topgen 17347  df-psmet 21253  df-xmet 21254  df-met 21255  df-bl 21256  df-mopn 21257  df-cnfld 21262  df-top 22779  df-topon 22796  df-topsp 22818  df-bases 22831  df-cn 23112  df-cnp 23113  df-xms 24206  df-ms 24207  df-grpo 30437  df-gid 30438  df-ginv 30439  df-gdiv 30440  df-ablo 30489  df-vc 30503  df-nv 30536  df-va 30539  df-ba 30540  df-sm 30541  df-0v 30542  df-vs 30543  df-nmcv 30544  df-ims 30545

This theorem is referenced by:  dipcn  30664