Theorem nmcnc 30505

Description: The norm of a normed complex vector space is a continuous function to ℂ. (For ℝ, see nmcvcn 30504.) (Contributed by NM, 12-Aug-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmcnc.1	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
nmcnc.2	⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
nmcnc.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
nmcnc.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
nmcnc	⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑁 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem nmcnc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmcnc.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	cnfldtop 24699	. . 3 ⊢ 𝐾 ∈ Top
3		cnrest2r 23190	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Top → (𝐽 Cn (𝐾 ↾t ℝ)) ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t ℝ)) ⊆ (𝐽 Cn 𝐾)
5		nmcnc.1	. . 3 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
6		nmcnc.2	. . 3 ⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
7		nmcnc.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
8	1	tgioo2 24718	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (𝐾 ↾t ℝ)
9	8	eqcomi 2737	. . 3 ⊢ (𝐾 ↾t ℝ) = (topGen‘ran (,))
10	5, 6, 7, 9	nmcvcn 30504	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑁 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t ℝ)))
11	4, 10	sselid 3978	1 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑁 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3947  ran crn 5679  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  ℝcr 11137  (,)cioo 13356   ↾_t crest 17401  TopOpenctopn 17402  topGenctg 17418  MetOpencmopn 21268  ℂ_fldccnfld 21278  Topctop 22794   Cn ccn 23127  NrmCVeccnv 30393  norm_CVcnmcv 30399  IndMetcims 30400

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217  ax-mulf 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-map 8846  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-fz 13517  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-struct 17115  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-rest 17403  df-topn 17404  df-topgen 17424  df-psmet 21270  df-xmet 21271  df-met 21272  df-bl 21273  df-mopn 21274  df-cnfld 21279  df-top 22795  df-topon 22812  df-topsp 22834  df-bases 22848  df-cn 23130  df-cnp 23131  df-xms 24225  df-ms 24226  df-grpo 30302  df-gid 30303  df-ginv 30304  df-gdiv 30305  df-ablo 30354  df-vc 30368  df-nv 30401  df-va 30404  df-ba 30405  df-sm 30406  df-0v 30407  df-vs 30408  df-nmcv 30409  df-ims 30410

This theorem is referenced by:  dipcn  30529