MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmcnc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmcnc 29680
Description: The norm of a normed complex vector space is a continuous function to β„‚. (For ℝ, see nmcvcn 29679.) (Contributed by NM, 12-Aug-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmcnc.1 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
nmcnc.2 𝐢 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
nmcnc.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
nmcnc.k 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
Assertion
Ref Expression
nmcnc (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑁 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem nmcnc
StepHypRef Expression
1 nmcnc.k . . . 4 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
21cnfldtop 24163 . . 3 𝐾 ∈ Top
3 cnrest2r 22654 . . 3 (𝐾 ∈ Top β†’ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt ℝ)) βŠ† (𝐽 Cn 𝐾))
42, 3ax-mp 5 . 2 (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt ℝ)) βŠ† (𝐽 Cn 𝐾)
5 nmcnc.1 . . 3 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
6 nmcnc.2 . . 3 𝐢 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
7 nmcnc.j . . 3 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
81tgioo2 24182 . . . 4 (topGenβ€˜ran (,)) = (𝐾 β†Ύt ℝ)
98eqcomi 2742 . . 3 (𝐾 β†Ύt ℝ) = (topGenβ€˜ran (,))
105, 6, 7, 9nmcvcn 29679 . 2 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑁 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt ℝ)))
114, 10sselid 3943 1 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑁 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3911  ran crn 5635  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„cr 11055  (,)cioo 13270   β†Ύt crest 17307  TopOpenctopn 17308  topGenctg 17324  MetOpencmopn 20802  β„‚fldccnfld 20812  Topctop 22258   Cn ccn 22591  NrmCVeccnv 29568  normCVcnmcv 29574  IndMetcims 29575
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-fz 13431  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-struct 17024  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-rest 17309  df-topn 17310  df-topgen 17330  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-xms 23689  df-ms 23690  df-grpo 29477  df-gid 29478  df-ginv 29479  df-gdiv 29480  df-ablo 29529  df-vc 29543  df-nv 29576  df-va 29579  df-ba 29580  df-sm 29581  df-0v 29582  df-vs 29583  df-nmcv 29584  df-ims 29585
This theorem is referenced by:  dipcn  29704
  Copyright terms: Public domain W3C validator