Theorem nmcnc 31121

Description: The norm of a normed complex vector space is a continuous function to ℂ. (For ℝ, see nmcvcn 31120.) (Contributed by NM, 12-Aug-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmcnc.1	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
nmcnc.2	⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
nmcnc.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
nmcnc.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
nmcnc	⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑁 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem nmcnc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmcnc.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	cnfldtop 24993	. . 3 ⊢ 𝐾 ∈ Top
3		cnrest2r 23496	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Top → (𝐽 Cn (𝐾 ↾t ℝ)) ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t ℝ)) ⊆ (𝐽 Cn 𝐾)
5		nmcnc.1	. . 3 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
6		nmcnc.2	. . 3 ⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
7		nmcnc.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
8	1	tgioo2 25013	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (𝐾 ↾t ℝ)
9	8	eqcomi 2774	. . 3 ⊢ (𝐾 ↾t ℝ) = (topGen‘ran (,))
10	5, 6, 7, 9	nmcvcn 31120	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑁 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t ℝ)))
11	4, 10	sselid 3936	1 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑁 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3906  ran crn 5664  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℝcr 11116  (,)cioo 13390   ↾_t crest 17497  TopOpenctopn 17498  topGenctg 17514  MetOpencmopn 21564  ℂ_fldccnfld 21574  Topctop 23102   Cn ccn 23433  NrmCVeccnv 31009  norm_CVcnmcv 31015  IndMetcims 31016

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195  ax-addf 11196  ax-mulf 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fi 9378  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12522  df-z 12609  df-dec 12730  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13394  df-fz 13554  df-seq 14058  df-exp 14118  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-struct 17231  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-plusg 17347  df-mulr 17348  df-starv 17349  df-tset 17353  df-ple 17354  df-ds 17356  df-unif 17357  df-rest 17499  df-topn 17500  df-topgen 17520  df-psmet 21566  df-xmet 21567  df-met 21568  df-bl 21569  df-mopn 21570  df-cnfld 21575  df-top 23103  df-topon 23120  df-topsp 23142  df-bases 23155  df-cn 23436  df-cnp 23437  df-xms 24530  df-ms 24531  df-grpo 30918  df-gid 30919  df-ginv 30920  df-gdiv 30921  df-ablo 30970  df-vc 30984  df-nv 31017  df-va 31020  df-ba 31021  df-sm 31022  df-0v 31023  df-vs 31024  df-nmcv 31025  df-ims 31026

This theorem is used by:  dipcn  31145