Theorem coinflipspace 35163

Description: The space of our coin-flip probability. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
coinflip.h	⊢ 𝐻 ∈ V
coinflip.t	⊢ 𝑇 ∈ V
coinflip.th	⊢ 𝐻 ≠ 𝑇
coinflip.2	⊢ 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)
coinflip.3	⊢ 𝑋 = {⟨𝐻, 1⟩, ⟨𝑇, 0⟩}

Assertion

Ref	Expression
coinflipspace	⊢ dom 𝑃 = 𝒫 {𝐻, 𝑇}

Proof of Theorem coinflipspace

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coinflip.2	. . 3 ⊢ 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)
2	1	dmeqi 5887	. 2 ⊢ dom 𝑃 = dom ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)
3		coinflip.h	. . 3 ⊢ 𝐻 ∈ V
4		hashresfn 14491	. . . . 5 ⊢ (♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) Fn 𝒫 {𝐻, 𝑇}
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ V → (♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) Fn 𝒫 {𝐻, 𝑇})
6		prex 5396	. . . . 5 ⊢ {𝐻, 𝑇} ∈ V
7		pwexg 5340	. . . . 5 ⊢ ({𝐻, 𝑇} ∈ V → 𝒫 {𝐻, 𝑇} ∈ V)
8	6, 7	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ V → 𝒫 {𝐻, 𝑇} ∈ V)
9		2re 12424	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ V → 2 ∈ ℝ)
11	5, 8, 10	ofcfn 34782	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ V → ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2) Fn 𝒫 {𝐻, 𝑇})
12		fndm 6647	. . 3 ⊢ (((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2) Fn 𝒫 {𝐻, 𝑇} → dom ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2) = 𝒫 {𝐻, 𝑇})
13	3, 11, 12	mp2b 10	. 2 ⊢ dom ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2) = 𝒫 {𝐻, 𝑇}
14	2, 13	eqtri 2783	1 ⊢ dom 𝑃 = 𝒫 {𝐻, 𝑇}

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  Vcvv 3450  𝒫 cpw 4556  {cpr 4586  ⟨cop 4834  dom cdm 5651   ↾ cres 5653   Fn wfn 6538  (class class class)co 7424  ℝcr 11206  0cc0 11207  1c1 11208   / cdiv 11980  2c2 12404  ♯chash 14481   ∘_f/c cofc 34777

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-n0 12614  df-xnn0 12687  df-z 12701  df-uz 12973  df-hash 14482  df-ofc 34778

This theorem is used by:  coinflipuniv  35164  coinfliprv  35165  coinflippvt  35167