Theorem coinflipspace 34153

Description: The space of our coin-flip probability. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
coinflip.h	⊢ 𝐻 ∈ V
coinflip.t	⊢ 𝑇 ∈ V
coinflip.th	⊢ 𝐻 ≠ 𝑇
coinflip.2	⊢ 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)
coinflip.3	⊢ 𝑋 = {⟨𝐻, 1⟩, ⟨𝑇, 0⟩}

Assertion

Ref	Expression
coinflipspace	⊢ dom 𝑃 = 𝒫 {𝐻, 𝑇}

Proof of Theorem coinflipspace

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coinflip.2	. . 3 ⊢ 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)
2	1	dmeqi 5902	. 2 ⊢ dom 𝑃 = dom ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)
3		coinflip.h	. . 3 ⊢ 𝐻 ∈ V
4		hashresfn 14326	. . . . 5 ⊢ (♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) Fn 𝒫 {𝐻, 𝑇}
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ V → (♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) Fn 𝒫 {𝐻, 𝑇})
6		prex 5429	. . . . 5 ⊢ {𝐻, 𝑇} ∈ V
7		pwexg 5373	. . . . 5 ⊢ ({𝐻, 𝑇} ∈ V → 𝒫 {𝐻, 𝑇} ∈ V)
8	6, 7	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ V → 𝒫 {𝐻, 𝑇} ∈ V)
9		2re 12311	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ V → 2 ∈ ℝ)
11	5, 8, 10	ofcfn 33772	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ V → ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2) Fn 𝒫 {𝐻, 𝑇})
12		fndm 6652	. . 3 ⊢ (((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2) Fn 𝒫 {𝐻, 𝑇} → dom ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2) = 𝒫 {𝐻, 𝑇})
13	3, 11, 12	mp2b 10	. 2 ⊢ dom ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2) = 𝒫 {𝐻, 𝑇}
14	2, 13	eqtri 2753	1 ⊢ dom 𝑃 = 𝒫 {𝐻, 𝑇}

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930  Vcvv 3463  𝒫 cpw 4599  {cpr 4627  ⟨cop 4631  dom cdm 5673   ↾ cres 5675   Fn wfn 6538  (class class class)co 7413  ℝcr 11132  0cc0 11133  1c1 11134   / cdiv 11896  2c2 12292  ♯chash 14316   ∘_f/c cofc 33767

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-n0 12498  df-xnn0 12570  df-z 12584  df-uz 12848  df-hash 14317  df-ofc 33768

This theorem is referenced by:  coinflipuniv  34154  coinfliprv  34155  coinflippvt  34157