Theorem coinflipspace 34871

Description: The space of our coin-flip probability. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
coinflip.h	⊢ 𝐻 ∈ V
coinflip.t	⊢ 𝑇 ∈ V
coinflip.th	⊢ 𝐻 ≠ 𝑇
coinflip.2	⊢ 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)
coinflip.3	⊢ 𝑋 = {⟨𝐻, 1⟩, ⟨𝑇, 0⟩}

Assertion

Ref	Expression
coinflipspace	⊢ dom 𝑃 = 𝒫 {𝐻, 𝑇}

Proof of Theorem coinflipspace

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coinflip.2	. . 3 ⊢ 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)
2	1	dmeqi 5894	. 2 ⊢ dom 𝑃 = dom ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)
3		coinflip.h	. . 3 ⊢ 𝐻 ∈ V
4		hashresfn 14372	. . . . 5 ⊢ (♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) Fn 𝒫 {𝐻, 𝑇}
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ V → (♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) Fn 𝒫 {𝐻, 𝑇})
6		prex 5409	. . . . 5 ⊢ {𝐻, 𝑇} ∈ V
7		pwexg 5349	. . . . 5 ⊢ ({𝐻, 𝑇} ∈ V → 𝒫 {𝐻, 𝑇} ∈ V)
8	6, 7	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ V → 𝒫 {𝐻, 𝑇} ∈ V)
9		2re 12310	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ V → 2 ∈ ℝ)
11	5, 8, 10	ofcfn 34490	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ V → ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2) Fn 𝒫 {𝐻, 𝑇})
12		fndm 6638	. . 3 ⊢ (((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2) Fn 𝒫 {𝐻, 𝑇} → dom ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2) = 𝒫 {𝐻, 𝑇})
13	3, 11, 12	mp2b 10	. 2 ⊢ dom ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2) = 𝒫 {𝐻, 𝑇}
14	2, 13	eqtri 2786	1 ⊢ dom 𝑃 = 𝒫 {𝐻, 𝑇}

Syntax hints:   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  Vcvv 3455  𝒫 cpw 4562  {cpr 4591  ⟨cop 4595  dom cdm 5661   ↾ cres 5663   Fn wfn 6531  (class class class)co 7410  ℝcr 11094  0cc0 11095  1c1 11096   / cdiv 11866  2c2 12290  ♯chash 14362   ∘_f/c cofc 34485

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-uz 12858  df-hash 14363  df-ofc 34486

This theorem is referenced by:  coinflipuniv  34872  coinfliprv  34873  coinflippvt  34875