Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  coinflipspace Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coinflipspace 31742
Description: The space of our coin-flip probability. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
coinflip.h 𝐻 ∈ V
coinflip.t 𝑇 ∈ V
coinflip.th 𝐻𝑇
coinflip.2 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)
coinflip.3 𝑋 = {⟨𝐻, 1⟩, ⟨𝑇, 0⟩}
Assertion
Ref Expression
coinflipspace dom 𝑃 = 𝒫 {𝐻, 𝑇}

Proof of Theorem coinflipspace
StepHypRef Expression
1 coinflip.2 . . 3 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)
21dmeqi 5745 . 2 dom 𝑃 = dom ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)
3 coinflip.h . . 3 𝐻 ∈ V
4 hashresfn 13681 . . . . 5 (♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) Fn 𝒫 {𝐻, 𝑇}
54a1i 11 . . . 4 (𝐻 ∈ V → (♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) Fn 𝒫 {𝐻, 𝑇})
6 prex 5305 . . . . 5 {𝐻, 𝑇} ∈ V
7 pwexg 5251 . . . . 5 ({𝐻, 𝑇} ∈ V → 𝒫 {𝐻, 𝑇} ∈ V)
86, 7mp1i 13 . . . 4 (𝐻 ∈ V → 𝒫 {𝐻, 𝑇} ∈ V)
9 2re 11686 . . . . 5 2 ∈ ℝ
109a1i 11 . . . 4 (𝐻 ∈ V → 2 ∈ ℝ)
115, 8, 10ofcfn 31363 . . 3 (𝐻 ∈ V → ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2) Fn 𝒫 {𝐻, 𝑇})
12 fndm 6427 . . 3 (((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2) Fn 𝒫 {𝐻, 𝑇} → dom ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2) = 𝒫 {𝐻, 𝑇})
133, 11, 12mp2b 10 . 2 dom ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2) = 𝒫 {𝐻, 𝑇}
142, 13eqtri 2843 1 dom 𝑃 = 𝒫 {𝐻, 𝑇}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1537  wcel 2114  wne 3006  Vcvv 3470  𝒫 cpw 4511  {cpr 4541  cop 4545  dom cdm 5527  cres 5529   Fn wfn 6322  (class class class)co 7129  cr 10510  0cc0 10511  1c1 10512   / cdiv 11271  2c2 11667  chash 13671  f/c cofc 31358
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5162  ax-sep 5175  ax-nul 5182  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7435  ax-cnex 10567  ax-resscn 10568  ax-1cn 10569  ax-icn 10570  ax-addcl 10571  ax-addrcl 10572  ax-mulcl 10573  ax-mulrcl 10574  ax-mulcom 10575  ax-addass 10576  ax-mulass 10577  ax-distr 10578  ax-i2m1 10579  ax-1ne0 10580  ax-1rid 10581  ax-rnegex 10582  ax-rrecex 10583  ax-cnre 10584  ax-pre-lttri 10585  ax-pre-lttrn 10586  ax-pre-ltadd 10587  ax-pre-mulgt0 10588
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rab 3134  df-v 3472  df-sbc 3749  df-csb 3857  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4811  df-int 4849  df-iun 4893  df-br 5039  df-opab 5101  df-mpt 5119  df-tr 5145  df-id 5432  df-eprel 5437  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-riota 7087  df-ov 7132  df-oprab 7133  df-mpo 7134  df-om 7555  df-wrecs 7921  df-recs 7982  df-rdg 8020  df-er 8263  df-en 8484  df-dom 8485  df-sdom 8486  df-fin 8487  df-card 9342  df-pnf 10651  df-mnf 10652  df-xr 10653  df-ltxr 10654  df-le 10655  df-sub 10846  df-neg 10847  df-nn 11613  df-2 11675  df-n0 11873  df-xnn0 11943  df-z 11957  df-uz 12219  df-hash 13672  df-ofc 31359
This theorem is referenced by:  coinflipuniv  31743  coinfliprv  31744  coinflippvt  31746
  Copyright terms: Public domain W3C validator