Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  coinflipspace Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coinflipspace 31145
Description: The space of our coin-flip probability. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
coinflip.h 𝐻 ∈ V
coinflip.t 𝑇 ∈ V
coinflip.th 𝐻𝑇
coinflip.2 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})∘𝑓/𝑐 / 2)
coinflip.3 𝑋 = {⟨𝐻, 1⟩, ⟨𝑇, 0⟩}
Assertion
Ref Expression
coinflipspace dom 𝑃 = 𝒫 {𝐻, 𝑇}

Proof of Theorem coinflipspace
StepHypRef Expression
1 coinflip.2 . . 3 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})∘𝑓/𝑐 / 2)
21dmeqi 5572 . 2 dom 𝑃 = dom ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})∘𝑓/𝑐 / 2)
3 coinflip.h . . 3 𝐻 ∈ V
4 hashresfn 13449 . . . . 5 (♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) Fn 𝒫 {𝐻, 𝑇}
54a1i 11 . . . 4 (𝐻 ∈ V → (♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) Fn 𝒫 {𝐻, 𝑇})
6 prex 5143 . . . . 5 {𝐻, 𝑇} ∈ V
7 pwexg 5092 . . . . 5 ({𝐻, 𝑇} ∈ V → 𝒫 {𝐻, 𝑇} ∈ V)
86, 7mp1i 13 . . . 4 (𝐻 ∈ V → 𝒫 {𝐻, 𝑇} ∈ V)
9 2re 11453 . . . . 5 2 ∈ ℝ
109a1i 11 . . . 4 (𝐻 ∈ V → 2 ∈ ℝ)
115, 8, 10ofcfn 30764 . . 3 (𝐻 ∈ V → ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})∘𝑓/𝑐 / 2) Fn 𝒫 {𝐻, 𝑇})
12 fndm 6237 . . 3 (((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})∘𝑓/𝑐 / 2) Fn 𝒫 {𝐻, 𝑇} → dom ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})∘𝑓/𝑐 / 2) = 𝒫 {𝐻, 𝑇})
133, 11, 12mp2b 10 . 2 dom ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})∘𝑓/𝑐 / 2) = 𝒫 {𝐻, 𝑇}
142, 13eqtri 2802 1 dom 𝑃 = 𝒫 {𝐻, 𝑇}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1601  wcel 2107  wne 2969  Vcvv 3398  𝒫 cpw 4379  {cpr 4400  cop 4404  dom cdm 5357  cres 5359   Fn wfn 6132  (class class class)co 6924  cr 10273  0cc0 10274  1c1 10275   / cdiv 11034  2c2 11434  chash 13439  𝑓/𝑐cofc 30759
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-card 9100  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11379  df-2 11442  df-n0 11647  df-xnn0 11719  df-z 11733  df-uz 11997  df-hash 13440  df-ofc 30760
This theorem is referenced by:  coinflipuniv  31146  coinfliprv  31147  coinflippvt  31149
  Copyright terms: Public domain W3C validator