Theorem coinflipspace 34449

Description: The space of our coin-flip probability. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
coinflip.h	⊢ 𝐻 ∈ V
coinflip.t	⊢ 𝑇 ∈ V
coinflip.th	⊢ 𝐻 ≠ 𝑇
coinflip.2	⊢ 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)
coinflip.3	⊢ 𝑋 = {⟨𝐻, 1⟩, ⟨𝑇, 0⟩}

Assertion

Ref	Expression
coinflipspace	⊢ dom 𝑃 = 𝒫 {𝐻, 𝑇}

Proof of Theorem coinflipspace

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coinflip.2	. . 3 ⊢ 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)
2	1	dmeqi 5847	. 2 ⊢ dom 𝑃 = dom ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)
3		coinflip.h	. . 3 ⊢ 𝐻 ∈ V
4		hashresfn 14247	. . . . 5 ⊢ (♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) Fn 𝒫 {𝐻, 𝑇}
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ V → (♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) Fn 𝒫 {𝐻, 𝑇})
6		prex 5376	. . . . 5 ⊢ {𝐻, 𝑇} ∈ V
7		pwexg 5317	. . . . 5 ⊢ ({𝐻, 𝑇} ∈ V → 𝒫 {𝐻, 𝑇} ∈ V)
8	6, 7	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ V → 𝒫 {𝐻, 𝑇} ∈ V)
9		2re 12202	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ V → 2 ∈ ℝ)
11	5, 8, 10	ofcfn 34067	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ V → ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2) Fn 𝒫 {𝐻, 𝑇})
12		fndm 6585	. . 3 ⊢ (((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2) Fn 𝒫 {𝐻, 𝑇} → dom ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2) = 𝒫 {𝐻, 𝑇})
13	3, 11, 12	mp2b 10	. 2 ⊢ dom ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2) = 𝒫 {𝐻, 𝑇}
14	2, 13	eqtri 2752	1 ⊢ dom 𝑃 = 𝒫 {𝐻, 𝑇}

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  Vcvv 3436  𝒫 cpw 4551  {cpr 4579  ⟨cop 4583  dom cdm 5619   ↾ cres 5621   Fn wfn 6477  (class class class)co 7349  ℝcr 11008  0cc0 11009  1c1 11010   / cdiv 11777  2c2 12183  ♯chash 14237   ∘_f/c cofc 34062

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-n0 12385  df-xnn0 12458  df-z 12472  df-uz 12736  df-hash 14238  df-ofc 34063

This theorem is referenced by:  coinflipuniv  34450  coinfliprv  34451  coinflippvt  34453