Theorem coinflipspace 31145

Description: The space of our coin-flip probability. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
coinflip.h	⊢ 𝐻 ∈ V
coinflip.t	⊢ 𝑇 ∈ V
coinflip.th	⊢ 𝐻 ≠ 𝑇
coinflip.2	⊢ 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})∘𝑓/𝑐 / 2)
coinflip.3	⊢ 𝑋 = {⟨𝐻, 1⟩, ⟨𝑇, 0⟩}

Assertion

Ref	Expression
coinflipspace	⊢ dom 𝑃 = 𝒫 {𝐻, 𝑇}

Proof of Theorem coinflipspace

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coinflip.2	. . 3 ⊢ 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})∘𝑓/𝑐 / 2)
2	1	dmeqi 5572	. 2 ⊢ dom 𝑃 = dom ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})∘𝑓/𝑐 / 2)
3		coinflip.h	. . 3 ⊢ 𝐻 ∈ V
4		hashresfn 13449	. . . . 5 ⊢ (♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) Fn 𝒫 {𝐻, 𝑇}
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ V → (♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) Fn 𝒫 {𝐻, 𝑇})
6		prex 5143	. . . . 5 ⊢ {𝐻, 𝑇} ∈ V
7		pwexg 5092	. . . . 5 ⊢ ({𝐻, 𝑇} ∈ V → 𝒫 {𝐻, 𝑇} ∈ V)
8	6, 7	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ V → 𝒫 {𝐻, 𝑇} ∈ V)
9		2re 11453	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ V → 2 ∈ ℝ)
11	5, 8, 10	ofcfn 30764	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ V → ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})∘𝑓/𝑐 / 2) Fn 𝒫 {𝐻, 𝑇})
12		fndm 6237	. . 3 ⊢ (((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})∘𝑓/𝑐 / 2) Fn 𝒫 {𝐻, 𝑇} → dom ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})∘𝑓/𝑐 / 2) = 𝒫 {𝐻, 𝑇})
13	3, 11, 12	mp2b 10	. 2 ⊢ dom ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})∘𝑓/𝑐 / 2) = 𝒫 {𝐻, 𝑇}
14	2, 13	eqtri 2802	1 ⊢ dom 𝑃 = 𝒫 {𝐻, 𝑇}

Syntax hints:   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969  Vcvv 3398  𝒫 cpw 4379  {cpr 4400  ⟨cop 4404  dom cdm 5357   ↾ cres 5359   Fn wfn 6132  (class class class)co 6924  ℝcr 10273  0cc0 10274  1c1 10275   / cdiv 11034  2c2 11434  ♯chash 13439  ∘_𝑓/𝑐cofc 30759

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-card 9100  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11379  df-2 11442  df-n0 11647  df-xnn0 11719  df-z 11733  df-uz 11997  df-hash 13440  df-ofc 30760

This theorem is referenced by:  coinflipuniv  31146  coinfliprv  31147  coinflippvt  31149