Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  coinflippvt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coinflippvt 31974
 Description: The probability of tails is one-half. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
coinflip.h 𝐻 ∈ V
coinflip.t 𝑇 ∈ V
coinflip.th 𝐻𝑇
coinflip.2 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)
coinflip.3 𝑋 = {⟨𝐻, 1⟩, ⟨𝑇, 0⟩}
Assertion
Ref Expression
coinflippvt (𝑃‘{𝑇}) = (1 / 2)

Proof of Theorem coinflippvt
StepHypRef Expression
1 coinflip.h . . . . 5 𝐻 ∈ V
2 coinflip.t . . . . 5 𝑇 ∈ V
3 coinflip.th . . . . 5 𝐻𝑇
4 coinflip.2 . . . . 5 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)
5 coinflip.3 . . . . 5 𝑋 = {⟨𝐻, 1⟩, ⟨𝑇, 0⟩}
61, 2, 3, 4, 5coinflipprob 31969 . . . 4 𝑃 ∈ Prob
71prid1 4658 . . . . . 6 𝐻 ∈ {𝐻, 𝑇}
8 snelpwi 5308 . . . . . 6 (𝐻 ∈ {𝐻, 𝑇} → {𝐻} ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇})
97, 8ax-mp 5 . . . . 5 {𝐻} ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇}
101, 2, 3, 4, 5coinflipspace 31970 . . . . 5 dom 𝑃 = 𝒫 {𝐻, 𝑇}
119, 10eleqtrri 2851 . . . 4 {𝐻} ∈ dom 𝑃
12 probdsb 31912 . . . 4 ((𝑃 ∈ Prob ∧ {𝐻} ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘( dom 𝑃 ∖ {𝐻})) = (1 − (𝑃‘{𝐻})))
136, 11, 12mp2an 691 . . 3 (𝑃‘( dom 𝑃 ∖ {𝐻})) = (1 − (𝑃‘{𝐻}))
141, 2, 3, 4, 5coinflipuniv 31971 . . . . . 6 dom 𝑃 = {𝐻, 𝑇}
1514difeq1i 4026 . . . . 5 ( dom 𝑃 ∖ {𝐻}) = ({𝐻, 𝑇} ∖ {𝐻})
16 difprsn1 4693 . . . . . 6 (𝐻𝑇 → ({𝐻, 𝑇} ∖ {𝐻}) = {𝑇})
173, 16ax-mp 5 . . . . 5 ({𝐻, 𝑇} ∖ {𝐻}) = {𝑇}
1815, 17eqtri 2781 . . . 4 ( dom 𝑃 ∖ {𝐻}) = {𝑇}
1918fveq2i 6665 . . 3 (𝑃‘( dom 𝑃 ∖ {𝐻})) = (𝑃‘{𝑇})
201, 2, 3, 4, 5coinflippv 31973 . . . 4 (𝑃‘{𝐻}) = (1 / 2)
2120oveq2i 7166 . . 3 (1 − (𝑃‘{𝐻})) = (1 − (1 / 2))
2213, 19, 213eqtr3i 2789 . 2 (𝑃‘{𝑇}) = (1 − (1 / 2))
23 1mhlfehlf 11898 . 2 (1 − (1 / 2)) = (1 / 2)
2422, 23eqtri 2781 1 (𝑃‘{𝑇}) = (1 / 2)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  Vcvv 3409   ∖ cdif 3857  𝒫 cpw 4497  {csn 4525  {cpr 4527  ⟨cop 4531  ∪ cuni 4801  dom cdm 5527   ↾ cres 5529  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155  0cc0 10580  1c1 10581   − cmin 10913   / cdiv 11340  2c2 11734  ♯chash 13745   ∘f/c cofc 31586  Probcprb 31897 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-inf2 9142  ax-ac2 9928  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657  ax-pre-sup 10658  ax-addf 10659  ax-mulf 10660 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-disj 5001  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-se 5487  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7410  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-supp 7841  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-1o 8117  df-2o 8118  df-oadd 8121  df-er 8304  df-map 8423  df-pm 8424  df-ixp 8485  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-fin 8536  df-fsupp 8872  df-fi 8913  df-sup 8944  df-inf 8945  df-oi 9012  df-dju 9368  df-card 9406  df-acn 9409  df-ac 9581  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-div 11341  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-4 11744  df-5 11745  df-6 11746  df-7 11747  df-8 11748  df-9 11749  df-n0 11940  df-xnn0 12012  df-z 12026  df-dec 12143  df-uz 12288  df-q 12394  df-rp 12436  df-xneg 12553  df-xadd 12554  df-xmul 12555  df-ioo 12788  df-ioc 12789  df-ico 12790  df-icc 12791  df-fz 12945  df-fzo 13088  df-fl 13216  df-mod 13292  df-seq 13424  df-exp 13485  df-fac 13689  df-bc 13718  df-hash 13746  df-shft 14479  df-cj 14511  df-re 14512  df-im 14513  df-sqrt 14647  df-abs 14648  df-limsup 14881  df-clim 14898  df-rlim 14899  df-sum 15096  df-ef 15474  df-sin 15476  df-cos 15477  df-pi 15479  df-struct 16548  df-ndx 16549  df-slot 16550  df-base 16552  df-sets 16553  df-ress 16554  df-plusg 16641  df-mulr 16642  df-starv 16643  df-sca 16644  df-vsca 16645  df-ip 16646  df-tset 16647  df-ple 16648  df-ds 16650  df-unif 16651  df-hom 16652  df-cco 16653  df-rest 16759  df-topn 16760  df-0g 16778  df-gsum 16779  df-topgen 16780  df-pt 16781  df-prds 16784  df-ordt 16837  df-xrs 16838  df-qtop 16843  df-imas 16844  df-xps 16846  df-mre 16920  df-mrc 16921  df-acs 16923  df-ps 17881  df-tsr 17882  df-plusf 17922  df-mgm 17923  df-sgrp 17972  df-mnd 17983  df-mhm 18027  df-submnd 18028  df-grp 18177  df-minusg 18178  df-sbg 18179  df-mulg 18297  df-subg 18348  df-cntz 18519  df-cmn 18980  df-abl 18981  df-mgp 19313  df-ur 19325  df-ring 19372  df-cring 19373  df-subrg 19606  df-abv 19661  df-lmod 19709  df-scaf 19710  df-sra 20017  df-rgmod 20018  df-psmet 20163  df-xmet 20164  df-met 20165  df-bl 20166  df-mopn 20167  df-fbas 20168  df-fg 20169  df-cnfld 20172  df-top 21599  df-topon 21616  df-topsp 21638  df-bases 21651  df-cld 21724  df-ntr 21725  df-cls 21726  df-nei 21803  df-lp 21841  df-perf 21842  df-cn 21932  df-cnp 21933  df-haus 22020  df-tx 22267  df-hmeo 22460  df-fil 22551  df-fm 22643  df-flim 22644  df-flf 22645  df-tmd 22777  df-tgp 22778  df-tsms 22832  df-trg 22865  df-xms 23027  df-ms 23028  df-tms 23029  df-nm 23289  df-ngp 23290  df-nrg 23292  df-nlm 23293  df-ii 23583  df-cncf 23584  df-limc 24570  df-dv 24571  df-log 25252  df-xdiv 30720  df-esum 31519  df-ofc 31587  df-siga 31600  df-meas 31687  df-prob 31898 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator