Theorem coinflippvt 35051

Description: The probability of tails is one-half. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
coinflip.h	⊢ 𝐻 ∈ V
coinflip.t	⊢ 𝑇 ∈ V
coinflip.th	⊢ 𝐻 ≠ 𝑇
coinflip.2	⊢ 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)
coinflip.3	⊢ 𝑋 = {⟨𝐻, 1⟩, ⟨𝑇, 0⟩}

Assertion

Ref	Expression
coinflippvt	⊢ (𝑃‘{𝑇}) = (1 / 2)

Proof of Theorem coinflippvt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coinflip.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 ∈ V
2		coinflip.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ V
3		coinflip.th	. . . . 5 ⊢ 𝐻 ≠ 𝑇
4		coinflip.2	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)
5		coinflip.3	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = {⟨𝐻, 1⟩, ⟨𝑇, 0⟩}
6	1, 2, 3, 4, 5	coinflipprob 35046	. . . 4 ⊢ 𝑃 ∈ Prob
7	1	prid1 4722	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 ∈ {𝐻, 𝑇}
8		snelpwi 5411	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ {𝐻, 𝑇} → {𝐻} ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇})
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {𝐻} ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇}
10	1, 2, 3, 4, 5	coinflipspace 35047	. . . . 5 ⊢ dom 𝑃 = 𝒫 {𝐻, 𝑇}
11	9, 10	eleqtrri 2859	. . . 4 ⊢ {𝐻} ∈ dom 𝑃
12		probdsb 34988	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ {𝐻} ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘(∪ dom 𝑃 ∖ {𝐻})) = (1 − (𝑃‘{𝐻})))
13	6, 11, 12	mp2an 705	. . 3 ⊢ (𝑃‘(∪ dom 𝑃 ∖ {𝐻})) = (1 − (𝑃‘{𝐻}))
14	1, 2, 3, 4, 5	coinflipuniv 35048	. . . . . 6 ⊢ ∪ dom 𝑃 = {𝐻, 𝑇}
15	14	difeq1i 4069	. . . . 5 ⊢ (∪ dom 𝑃 ∖ {𝐻}) = ({𝐻, 𝑇} ∖ {𝐻})
16		difprsn1 4762	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ≠ 𝑇 → ({𝐻, 𝑇} ∖ {𝐻}) = {𝑇})
17	3, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ({𝐻, 𝑇} ∖ {𝐻}) = {𝑇}
18	15, 17	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ (∪ dom 𝑃 ∖ {𝐻}) = {𝑇}
19	18	fveq2i 6876	. . 3 ⊢ (𝑃‘(∪ dom 𝑃 ∖ {𝐻})) = (𝑃‘{𝑇})
20	1, 2, 3, 4, 5	coinflippv 35050	. . . 4 ⊢ (𝑃‘{𝐻}) = (1 / 2)
21	20	oveq2i 7419	. . 3 ⊢ (1 − (𝑃‘{𝐻})) = (1 − (1 / 2))
22	13, 19, 21	3eqtr3i 2791	. 2 ⊢ (𝑃‘{𝑇}) = (1 − (1 / 2))
23		1mhlfehlf 12534	. 2 ⊢ (1 − (1 / 2)) = (1 / 2)
24	22, 23	eqtri 2783	1 ⊢ (𝑃‘{𝑇}) = (1 / 2)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  Vcvv 3450   ∖ cdif 3895  𝒫 cpw 4556  {csn 4583  {cpr 4585  ⟨cop 4589  ∪ cuni 4866  dom cdm 5647   ↾ cres 5649  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  0cc0 11171  1c1 11172   − cmin 11512   / cdiv 11942  2c2 12366  ♯chash 14441   ∘_f/c cofc 34660  Probcprb 34973

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-inf2 9620  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248  ax-pre-sup 11249  ax-addf 11250  ax-mulf 11251

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8904  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-dju 9953  df-card 9991  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-div 11943  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-7 12379  df-8 12380  df-9 12381  df-n0 12576  df-xnn0 12649  df-z 12663  df-dec 12784  df-uz 12935  df-q 13045  df-rp 13090  df-xneg 13210  df-xadd 13211  df-xmul 13212  df-ioo 13449  df-ioc 13450  df-ico 13451  df-icc 13452  df-fz 13609  df-fzo 13757  df-fl 13900  df-mod 13978  df-seq 14113  df-exp 14173  df-fac 14385  df-bc 14414  df-hash 14442  df-shft 15187  df-cj 15233  df-re 15234  df-im 15235  df-sqrt 15369  df-abs 15370  df-limsup 15605  df-clim 15622  df-rlim 15623  df-sum 15821  df-ef 16200  df-sin 16202  df-cos 16203  df-pi 16205  df-struct 17286  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-ress 17370  df-plusg 17402  df-mulr 17403  df-starv 17404  df-sca 17405  df-vsca 17406  df-ip 17407  df-tset 17408  df-ple 17409  df-ds 17411  df-unif 17412  df-hom 17413  df-cco 17414  df-rest 17554  df-topn 17555  df-0g 17573  df-gsum 17574  df-topgen 17575  df-pt 17576  df-prds 17579  df-ordt 17634  df-xrs 17635  df-qtop 17640  df-imas 17641  df-xps 17643  df-mre 17717  df-mrc 17718  df-acs 17720  df-ps 18701  df-tsr 18702  df-plusf 18776  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-mhm 18939  df-submnd 18940  df-grp 19108  df-minusg 19109  df-sbg 19110  df-mulg 19239  df-subg 19294  df-cntz 19492  df-cmn 19957  df-abl 19958  df-mgp 20322  df-rng 20336  df-ur 20369  df-ring 20422  df-cring 20423  df-subrng 20759  df-subrg 20783  df-abv 21027  df-lmod 21098  df-scaf 21099  df-sra 21409  df-rgmod 21410  df-psmet 21631  df-xmet 21632  df-met 21633  df-bl 21634  df-mopn 21635  df-fbas 21636  df-fg 21637  df-cnfld 21640  df-top 23173  df-topon 23190  df-topsp 23212  df-bases 23225  df-cld 23298  df-ntr 23299  df-cls 23300  df-nei 23377  df-lp 23415  df-perf 23416  df-cn 23506  df-cnp 23507  df-haus 23594  df-tx 23842  df-hmeo 24035  df-fil 24126  df-fm 24218  df-flim 24219  df-flf 24220  df-tmd 24352  df-tgp 24353  df-tsms 24407  df-trg 24440  df-xms 24600  df-ms 24601  df-tms 24602  df-nm 24862  df-ngp 24863  df-nrg 24865  df-nlm 24866  df-ii 25159  df-cncf 25160  df-limc 26147  df-dv 26148  df-log 26847  df-xdiv 33417  df-esum 34593  df-ofc 34661  df-siga 34674  df-meas 34762  df-prob 34974

This theorem is used by: (None)