Theorem coinflippvt 34820

Description: The probability of tails is one-half. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
coinflip.h	⊢ 𝐻 ∈ V
coinflip.t	⊢ 𝑇 ∈ V
coinflip.th	⊢ 𝐻 ≠ 𝑇
coinflip.2	⊢ 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)
coinflip.3	⊢ 𝑋 = {⟨𝐻, 1⟩, ⟨𝑇, 0⟩}

Assertion

Ref	Expression
coinflippvt	⊢ (𝑃‘{𝑇}) = (1 / 2)

Proof of Theorem coinflippvt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coinflip.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 ∈ V
2		coinflip.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ V
3		coinflip.th	. . . . 5 ⊢ 𝐻 ≠ 𝑇
4		coinflip.2	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)
5		coinflip.3	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = {⟨𝐻, 1⟩, ⟨𝑇, 0⟩}
6	1, 2, 3, 4, 5	coinflipprob 34815	. . . 4 ⊢ 𝑃 ∈ Prob
7	1	prid1 4731	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 ∈ {𝐻, 𝑇}
8		snelpwi 5426	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ {𝐻, 𝑇} → {𝐻} ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇})
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {𝐻} ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇}
10	1, 2, 3, 4, 5	coinflipspace 34816	. . . . 5 ⊢ dom 𝑃 = 𝒫 {𝐻, 𝑇}
11	9, 10	eleqtrri 2868	. . . 4 ⊢ {𝐻} ∈ dom 𝑃
12		probdsb 34757	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ {𝐻} ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘(∪ dom 𝑃 ∖ {𝐻})) = (1 − (𝑃‘{𝐻})))
13	6, 11, 12	mp2an 704	. . 3 ⊢ (𝑃‘(∪ dom 𝑃 ∖ {𝐻})) = (1 − (𝑃‘{𝐻}))
14	1, 2, 3, 4, 5	coinflipuniv 34817	. . . . . 6 ⊢ ∪ dom 𝑃 = {𝐻, 𝑇}
15	14	difeq1i 4083	. . . . 5 ⊢ (∪ dom 𝑃 ∖ {𝐻}) = ({𝐻, 𝑇} ∖ {𝐻})
16		difprsn1 4770	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ≠ 𝑇 → ({𝐻, 𝑇} ∖ {𝐻}) = {𝑇})
17	3, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ({𝐻, 𝑇} ∖ {𝐻}) = {𝑇}
18	15, 17	eqtri 2792	. . . 4 ⊢ (∪ dom 𝑃 ∖ {𝐻}) = {𝑇}
19	18	fveq2i 6885	. . 3 ⊢ (𝑃‘(∪ dom 𝑃 ∖ {𝐻})) = (𝑃‘{𝑇})
20	1, 2, 3, 4, 5	coinflippv 34819	. . . 4 ⊢ (𝑃‘{𝐻}) = (1 / 2)
21	20	oveq2i 7422	. . 3 ⊢ (1 − (𝑃‘{𝐻})) = (1 − (1 / 2))
22	13, 19, 21	3eqtr3i 2800	. 2 ⊢ (𝑃‘{𝑇}) = (1 − (1 / 2))
23		1mhlfehlf 12463	. 2 ⊢ (1 − (1 / 2)) = (1 / 2)
24	22, 23	eqtri 2792	1 ⊢ (𝑃‘{𝑇}) = (1 / 2)

Syntax hints:   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  Vcvv 3461   ∖ cdif 3908  𝒫 cpw 4565  {csn 4592  {cpr 4594  ⟨cop 4598  ∪ cuni 4874  dom cdm 5662   ↾ cres 5664  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  0cc0 11100  1c1 11101   − cmin 11441   / cdiv 11871  2c2 12295  ♯chash 14366   ∘_f/c cofc 34430  Probcprb 34742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9610  ax-ac2 10447  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178  ax-addf 11179  ax-mulf 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-disj 5079  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-oadd 8457  df-er 8694  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-fi 9371  df-sup 9402  df-inf 9403  df-oi 9472  df-dju 9887  df-card 9925  df-acn 9928  df-ac 10100  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13137  df-xadd 13138  df-xmul 13139  df-ioo 13376  df-ioc 13377  df-ico 13378  df-icc 13379  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-fl 13825  df-mod 13903  df-seq 14038  df-exp 14098  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15104  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-limsup 15522  df-clim 15539  df-rlim 15540  df-sum 15738  df-ef 16121  df-sin 16123  df-cos 16124  df-pi 16126  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-starv 17325  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-unif 17333  df-hom 17334  df-cco 17335  df-rest 17475  df-topn 17476  df-0g 17494  df-gsum 17495  df-topgen 17496  df-pt 17497  df-prds 17500  df-ordt 17555  df-xrs 17556  df-qtop 17561  df-imas 17562  df-xps 17564  df-mre 17638  df-mrc 17639  df-acs 17641  df-ps 18622  df-tsr 18623  df-plusf 18697  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-mhm 18841  df-submnd 18842  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-sbg 19005  df-mulg 19134  df-subg 19189  df-cntz 19387  df-cmn 19852  df-abl 19853  df-mgp 20217  df-rng 20231  df-ur 20264  df-ring 20317  df-cring 20318  df-subrng 20631  df-subrg 20655  df-abv 20890  df-lmod 20961  df-scaf 20962  df-sra 21272  df-rgmod 21273  df-psmet 21483  df-xmet 21484  df-met 21485  df-bl 21486  df-mopn 21487  df-fbas 21488  df-fg 21489  df-cnfld 21492  df-top 23020  df-topon 23037  df-topsp 23059  df-bases 23072  df-cld 23145  df-ntr 23146  df-cls 23147  df-nei 23224  df-lp 23262  df-perf 23263  df-cn 23353  df-cnp 23354  df-haus 23441  df-tx 23688  df-hmeo 23881  df-fil 23972  df-fm 24064  df-flim 24065  df-flf 24066  df-tmd 24198  df-tgp 24199  df-tsms 24253  df-trg 24286  df-xms 24446  df-ms 24447  df-tms 24448  df-nm 24708  df-ngp 24709  df-nrg 24711  df-nlm 24712  df-ii 25005  df-cncf 25006  df-limc 25994  df-dv 25995  df-log 26687  df-xdiv 33178  df-esum 34363  df-ofc 34431  df-siga 34444  df-meas 34531  df-prob 34743

This theorem is referenced by: (None)