Theorem coinflipprob 33168

Description: The 𝑃 we defined for coin-flip is a probability law. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
coinflip.h	⊢ 𝐻 ∈ V
coinflip.t	⊢ 𝑇 ∈ V
coinflip.th	⊢ 𝐻 ≠ 𝑇
coinflip.2	⊢ 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)
coinflip.3	⊢ 𝑋 = {⟨𝐻, 1⟩, ⟨𝑇, 0⟩}

Assertion

Ref	Expression
coinflipprob	⊢ 𝑃 ∈ Prob

Proof of Theorem coinflipprob

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coinflip.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 ∈ V
2		coinflip.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ V
3		coinflip.th	. . . 4 ⊢ 𝐻 ≠ 𝑇
4		coinflip.2	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)
5		coinflip.3	. . . 4 ⊢ 𝑋 = {⟨𝐻, 1⟩, ⟨𝑇, 0⟩}
6	1, 2, 3, 4, 5	coinfliplem 33167	. . 3 ⊢ 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c /𝑒 2)
7		unipw 5412	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝒫 {𝐻, 𝑇} = {𝐻, 𝑇}
8		prex 5394	. . . . . . . 8 ⊢ {𝐻, 𝑇} ∈ V
9	8	pwid 4587	. . . . . . 7 ⊢ {𝐻, 𝑇} ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇}
10	7, 9	eqeltri 2828	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝒫 {𝐻, 𝑇} ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇}
11		fvres 6866	. . . . . 6 ⊢ (∪ 𝒫 {𝐻, 𝑇} ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} → ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})‘∪ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) = (♯‘∪ 𝒫 {𝐻, 𝑇}))
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})‘∪ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) = (♯‘∪ 𝒫 {𝐻, 𝑇})
13	7	fveq2i 6850	. . . . 5 ⊢ (♯‘∪ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) = (♯‘{𝐻, 𝑇})
14		hashprg 14305	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑇 ∈ V) → (𝐻 ≠ 𝑇 ↔ (♯‘{𝐻, 𝑇}) = 2))
15	1, 2, 14	mp2an 690	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ≠ 𝑇 ↔ (♯‘{𝐻, 𝑇}) = 2)
16	3, 15	mpbi 229	. . . . 5 ⊢ (♯‘{𝐻, 𝑇}) = 2
17	12, 13, 16	3eqtri 2763	. . . 4 ⊢ ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})‘∪ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) = 2
18	17	oveq2i 7373	. . 3 ⊢ ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c /𝑒 ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})‘∪ 𝒫 {𝐻, 𝑇})) = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c /𝑒 2)
19	6, 18	eqtr4i 2762	. 2 ⊢ 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c /𝑒 ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})‘∪ 𝒫 {𝐻, 𝑇}))
20		pwcntmeas 32915	. . . 4 ⊢ ({𝐻, 𝑇} ∈ V → (♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∈ (measures‘𝒫 {𝐻, 𝑇}))
21	8, 20	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∈ (measures‘𝒫 {𝐻, 𝑇})
22		2rp 12929	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ+
23	17, 22	eqeltri 2828	. . 3 ⊢ ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})‘∪ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∈ ℝ+
24		probfinmeasb 33117	. . 3 ⊢ (((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∈ (measures‘𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∧ ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})‘∪ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∈ ℝ+) → ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c /𝑒 ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})‘∪ 𝒫 {𝐻, 𝑇})) ∈ Prob)
25	21, 23, 24	mp2an 690	. 2 ⊢ ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c /𝑒 ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})‘∪ 𝒫 {𝐻, 𝑇})) ∈ Prob
26	19, 25	eqeltri 2828	1 ⊢ 𝑃 ∈ Prob

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939  Vcvv 3446  𝒫 cpw 4565  {cpr 4593  ⟨cop 4597  ∪ cuni 4870   ↾ cres 5640  ‘cfv 6501  (class class class)co 7362  0cc0 11060  1c1 11061   / cdiv 11821  2c2 12217  ℝ⁺crp 12924  ♯chash 14240   /_𝑒 cxdiv 31843   ∘_f/c cofc 32783  measurescmeas 32883  Probcprb 33096

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9586  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137  ax-pre-sup 11138  ax-addf 11139  ax-mulf 11140

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9356  df-sup 9387  df-inf 9388  df-oi 9455  df-dju 9846  df-card 9884  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-div 11822  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12423  df-xnn0 12495  df-z 12509  df-dec 12628  df-uz 12773  df-q 12883  df-rp 12925  df-xneg 13042  df-xadd 13043  df-xmul 13044  df-ioo 13278  df-ioc 13279  df-ico 13280  df-icc 13281  df-fz 13435  df-fzo 13578  df-fl 13707  df-mod 13785  df-seq 13917  df-exp 13978  df-fac 14184  df-bc 14213  df-hash 14241  df-shft 14964  df-cj 14996  df-re 14997  df-im 14998  df-sqrt 15132  df-abs 15133  df-limsup 15365  df-clim 15382  df-rlim 15383  df-sum 15583  df-ef 15961  df-sin 15963  df-cos 15964  df-pi 15966  df-struct 17030  df-sets 17047  df-slot 17065  df-ndx 17077  df-base 17095  df-ress 17124  df-plusg 17160  df-mulr 17161  df-starv 17162  df-sca 17163  df-vsca 17164  df-ip 17165  df-tset 17166  df-ple 17167  df-ds 17169  df-unif 17170  df-hom 17171  df-cco 17172  df-rest 17318  df-topn 17319  df-0g 17337  df-gsum 17338  df-topgen 17339  df-pt 17340  df-prds 17343  df-ordt 17397  df-xrs 17398  df-qtop 17403  df-imas 17404  df-xps 17406  df-mre 17480  df-mrc 17481  df-acs 17483  df-ps 18469  df-tsr 18470  df-plusf 18510  df-mgm 18511  df-sgrp 18560  df-mnd 18571  df-mhm 18615  df-submnd 18616  df-grp 18765  df-minusg 18766  df-sbg 18767  df-mulg 18887  df-subg 18939  df-cntz 19111  df-cmn 19578  df-abl 19579  df-mgp 19911  df-ur 19928  df-ring 19980  df-cring 19981  df-subrg 20268  df-abv 20332  df-lmod 20380  df-scaf 20381  df-sra 20692  df-rgmod 20693  df-psmet 20825  df-xmet 20826  df-met 20827  df-bl 20828  df-mopn 20829  df-fbas 20830  df-fg 20831  df-cnfld 20834  df-top 22280  df-topon 22297  df-topsp 22319  df-bases 22333  df-cld 22407  df-ntr 22408  df-cls 22409  df-nei 22486  df-lp 22524  df-perf 22525  df-cn 22615  df-cnp 22616  df-haus 22703  df-tx 22950  df-hmeo 23143  df-fil 23234  df-fm 23326  df-flim 23327  df-flf 23328  df-tmd 23460  df-tgp 23461  df-tsms 23515  df-trg 23548  df-xms 23710  df-ms 23711  df-tms 23712  df-nm 23975  df-ngp 23976  df-nrg 23978  df-nlm 23979  df-ii 24277  df-cncf 24278  df-limc 25267  df-dv 25268  df-log 25949  df-xdiv 31844  df-esum 32716  df-ofc 32784  df-siga 32797  df-meas 32884  df-prob 33097

This theorem is referenced by:  coinfliprv  33171  coinflippvt  33173