Theorem coinflipprob 34662

Description: The 𝑃 we defined for coin-flip is a probability law. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
coinflip.h	⊢ 𝐻 ∈ V
coinflip.t	⊢ 𝑇 ∈ V
coinflip.th	⊢ 𝐻 ≠ 𝑇
coinflip.2	⊢ 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)
coinflip.3	⊢ 𝑋 = {⟨𝐻, 1⟩, ⟨𝑇, 0⟩}

Assertion

Ref	Expression
coinflipprob	⊢ 𝑃 ∈ Prob

Proof of Theorem coinflipprob

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coinflip.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 ∈ V
2		coinflip.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ V
3		coinflip.th	. . . 4 ⊢ 𝐻 ≠ 𝑇
4		coinflip.2	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)
5		coinflip.3	. . . 4 ⊢ 𝑋 = {⟨𝐻, 1⟩, ⟨𝑇, 0⟩}
6	1, 2, 3, 4, 5	coinfliplem 34661	. . 3 ⊢ 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c /𝑒 2)
7		unipw 5405	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝒫 {𝐻, 𝑇} = {𝐻, 𝑇}
8		prex 5384	. . . . . . . 8 ⊢ {𝐻, 𝑇} ∈ V
9	8	pwid 4578	. . . . . . 7 ⊢ {𝐻, 𝑇} ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇}
10	7, 9	eqeltri 2833	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝒫 {𝐻, 𝑇} ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇}
11		fvres 6861	. . . . . 6 ⊢ (∪ 𝒫 {𝐻, 𝑇} ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} → ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})‘∪ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) = (♯‘∪ 𝒫 {𝐻, 𝑇}))
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})‘∪ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) = (♯‘∪ 𝒫 {𝐻, 𝑇})
13	7	fveq2i 6845	. . . . 5 ⊢ (♯‘∪ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) = (♯‘{𝐻, 𝑇})
14		hashprg 14330	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑇 ∈ V) → (𝐻 ≠ 𝑇 ↔ (♯‘{𝐻, 𝑇}) = 2))
15	1, 2, 14	mp2an 693	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ≠ 𝑇 ↔ (♯‘{𝐻, 𝑇}) = 2)
16	3, 15	mpbi 230	. . . . 5 ⊢ (♯‘{𝐻, 𝑇}) = 2
17	12, 13, 16	3eqtri 2764	. . . 4 ⊢ ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})‘∪ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) = 2
18	17	oveq2i 7379	. . 3 ⊢ ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c /𝑒 ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})‘∪ 𝒫 {𝐻, 𝑇})) = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c /𝑒 2)
19	6, 18	eqtr4i 2763	. 2 ⊢ 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c /𝑒 ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})‘∪ 𝒫 {𝐻, 𝑇}))
20		pwcntmeas 34409	. . . 4 ⊢ ({𝐻, 𝑇} ∈ V → (♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∈ (measures‘𝒫 {𝐻, 𝑇}))
21	8, 20	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∈ (measures‘𝒫 {𝐻, 𝑇})
22		2rp 12922	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ+
23	17, 22	eqeltri 2833	. . 3 ⊢ ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})‘∪ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∈ ℝ+
24		probfinmeasb 34610	. . 3 ⊢ (((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∈ (measures‘𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∧ ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})‘∪ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∈ ℝ+) → ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c /𝑒 ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})‘∪ 𝒫 {𝐻, 𝑇})) ∈ Prob)
25	21, 23, 24	mp2an 693	. 2 ⊢ ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c /𝑒 ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})‘∪ 𝒫 {𝐻, 𝑇})) ∈ Prob
26	19, 25	eqeltri 2833	1 ⊢ 𝑃 ∈ Prob

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3442  𝒫 cpw 4556  {cpr 4584  ⟨cop 4588  ∪ cuni 4865   ↾ cres 5634  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  0cc0 11038  1c1 11039   / cdiv 11806  2c2 12212  ℝ⁺crp 12917  ♯chash 14265   /_𝑒 cxdiv 33013   ∘_f/c cofc 34277  measurescmeas 34377  Probcprb 34589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-disj 5068  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-oadd 8411  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-fi 9326  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-mod 13802  df-seq 13937  df-exp 13997  df-fac 14209  df-bc 14238  df-hash 14266  df-shft 15002  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-limsup 15406  df-clim 15423  df-rlim 15424  df-sum 15622  df-ef 16002  df-sin 16004  df-cos 16005  df-pi 16007  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-rest 17354  df-topn 17355  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-topgen 17375  df-pt 17376  df-prds 17379  df-ordt 17434  df-xrs 17435  df-qtop 17440  df-imas 17441  df-xps 17443  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-ps 18501  df-tsr 18502  df-plusf 18576  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-mhm 18720  df-submnd 18721  df-grp 18881  df-minusg 18882  df-sbg 18883  df-mulg 19013  df-subg 19068  df-cntz 19261  df-cmn 19726  df-abl 19727  df-mgp 20091  df-rng 20103  df-ur 20132  df-ring 20185  df-cring 20186  df-subrng 20494  df-subrg 20518  df-abv 20757  df-lmod 20828  df-scaf 20829  df-sra 21140  df-rgmod 21141  df-psmet 21316  df-xmet 21317  df-met 21318  df-bl 21319  df-mopn 21320  df-fbas 21321  df-fg 21322  df-cnfld 21325  df-top 22853  df-topon 22870  df-topsp 22892  df-bases 22905  df-cld 22978  df-ntr 22979  df-cls 22980  df-nei 23057  df-lp 23095  df-perf 23096  df-cn 23186  df-cnp 23187  df-haus 23274  df-tx 23521  df-hmeo 23714  df-fil 23805  df-fm 23897  df-flim 23898  df-flf 23899  df-tmd 24031  df-tgp 24032  df-tsms 24086  df-trg 24119  df-xms 24279  df-ms 24280  df-tms 24281  df-nm 24541  df-ngp 24542  df-nrg 24544  df-nlm 24545  df-ii 24841  df-cncf 24842  df-limc 25838  df-dv 25839  df-log 26536  df-xdiv 33014  df-esum 34210  df-ofc 34278  df-siga 34291  df-meas 34378  df-prob 34590

This theorem is referenced by:  coinfliprv  34665  coinflippvt  34667