Theorem coinflipprob 34269

Description: The 𝑃 we defined for coin-flip is a probability law. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
coinflip.h	⊢ 𝐻 ∈ V
coinflip.t	⊢ 𝑇 ∈ V
coinflip.th	⊢ 𝐻 ≠ 𝑇
coinflip.2	⊢ 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)
coinflip.3	⊢ 𝑋 = {⟨𝐻, 1⟩, ⟨𝑇, 0⟩}

Assertion

Ref	Expression
coinflipprob	⊢ 𝑃 ∈ Prob

Proof of Theorem coinflipprob

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coinflip.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 ∈ V
2		coinflip.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ V
3		coinflip.th	. . . 4 ⊢ 𝐻 ≠ 𝑇
4		coinflip.2	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)
5		coinflip.3	. . . 4 ⊢ 𝑋 = {⟨𝐻, 1⟩, ⟨𝑇, 0⟩}
6	1, 2, 3, 4, 5	coinfliplem 34268	. . 3 ⊢ 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c /𝑒 2)
7		unipw 5455	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝒫 {𝐻, 𝑇} = {𝐻, 𝑇}
8		prex 5437	. . . . . . . 8 ⊢ {𝐻, 𝑇} ∈ V
9	8	pwid 4628	. . . . . . 7 ⊢ {𝐻, 𝑇} ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇}
10	7, 9	eqeltri 2821	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝒫 {𝐻, 𝑇} ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇}
11		fvres 6919	. . . . . 6 ⊢ (∪ 𝒫 {𝐻, 𝑇} ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} → ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})‘∪ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) = (♯‘∪ 𝒫 {𝐻, 𝑇}))
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})‘∪ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) = (♯‘∪ 𝒫 {𝐻, 𝑇})
13	7	fveq2i 6903	. . . . 5 ⊢ (♯‘∪ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) = (♯‘{𝐻, 𝑇})
14		hashprg 14407	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑇 ∈ V) → (𝐻 ≠ 𝑇 ↔ (♯‘{𝐻, 𝑇}) = 2))
15	1, 2, 14	mp2an 690	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ≠ 𝑇 ↔ (♯‘{𝐻, 𝑇}) = 2)
16	3, 15	mpbi 229	. . . . 5 ⊢ (♯‘{𝐻, 𝑇}) = 2
17	12, 13, 16	3eqtri 2757	. . . 4 ⊢ ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})‘∪ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) = 2
18	17	oveq2i 7434	. . 3 ⊢ ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c /𝑒 ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})‘∪ 𝒫 {𝐻, 𝑇})) = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c /𝑒 2)
19	6, 18	eqtr4i 2756	. 2 ⊢ 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c /𝑒 ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})‘∪ 𝒫 {𝐻, 𝑇}))
20		pwcntmeas 34016	. . . 4 ⊢ ({𝐻, 𝑇} ∈ V → (♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∈ (measures‘𝒫 {𝐻, 𝑇}))
21	8, 20	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∈ (measures‘𝒫 {𝐻, 𝑇})
22		2rp 13028	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ+
23	17, 22	eqeltri 2821	. . 3 ⊢ ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})‘∪ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∈ ℝ+
24		probfinmeasb 34218	. . 3 ⊢ (((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∈ (measures‘𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∧ ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})‘∪ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∈ ℝ+) → ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c /𝑒 ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})‘∪ 𝒫 {𝐻, 𝑇})) ∈ Prob)
25	21, 23, 24	mp2an 690	. 2 ⊢ ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c /𝑒 ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})‘∪ 𝒫 {𝐻, 𝑇})) ∈ Prob
26	19, 25	eqeltri 2821	1 ⊢ 𝑃 ∈ Prob

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929  Vcvv 3461  𝒫 cpw 4606  {cpr 4634  ⟨cop 4638  ∪ cuni 4912   ↾ cres 5683  ‘cfv 6553  (class class class)co 7423  0cc0 11154  1c1 11155   / cdiv 11917  2c2 12314  ℝ⁺crp 13023  ♯chash 14342   /_𝑒 cxdiv 32767   ∘_f/c cofc 33884  measurescmeas 33984  Probcprb 34197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-inf2 9680  ax-cnex 11210  ax-resscn 11211  ax-1cn 11212  ax-icn 11213  ax-addcl 11214  ax-addrcl 11215  ax-mulcl 11216  ax-mulrcl 11217  ax-mulcom 11218  ax-addass 11219  ax-mulass 11220  ax-distr 11221  ax-i2m1 11222  ax-1ne0 11223  ax-1rid 11224  ax-rnegex 11225  ax-rrecex 11226  ax-cnre 11227  ax-pre-lttri 11228  ax-pre-lttrn 11229  ax-pre-ltadd 11230  ax-pre-mulgt0 11231  ax-pre-sup 11232  ax-addf 11233  ax-mulf 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-disj 5118  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5579  df-eprel 5585  df-po 5593  df-so 5594  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-pred 6311  df-ord 6378  df-on 6379  df-lim 6380  df-suc 6381  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7379  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7689  df-om 7876  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-supp 8174  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-oadd 8499  df-er 8733  df-map 8856  df-pm 8857  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9402  df-fi 9450  df-sup 9481  df-inf 9482  df-oi 9549  df-dju 9940  df-card 9978  df-pnf 11296  df-mnf 11297  df-xr 11298  df-ltxr 11299  df-le 11300  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11918  df-nn 12260  df-2 12322  df-3 12323  df-4 12324  df-5 12325  df-6 12326  df-7 12327  df-8 12328  df-9 12329  df-n0 12520  df-xnn0 12592  df-z 12606  df-dec 12725  df-uz 12870  df-q 12980  df-rp 13024  df-xneg 13141  df-xadd 13142  df-xmul 13143  df-ioo 13377  df-ioc 13378  df-ico 13379  df-icc 13380  df-fz 13534  df-fzo 13677  df-fl 13807  df-mod 13885  df-seq 14017  df-exp 14077  df-fac 14286  df-bc 14315  df-hash 14343  df-shft 15067  df-cj 15099  df-re 15100  df-im 15101  df-sqrt 15235  df-abs 15236  df-limsup 15468  df-clim 15485  df-rlim 15486  df-sum 15686  df-ef 16064  df-sin 16066  df-cos 16067  df-pi 16069  df-struct 17144  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-ress 17238  df-plusg 17274  df-mulr 17275  df-starv 17276  df-sca 17277  df-vsca 17278  df-ip 17279  df-tset 17280  df-ple 17281  df-ds 17283  df-unif 17284  df-hom 17285  df-cco 17286  df-rest 17432  df-topn 17433  df-0g 17451  df-gsum 17452  df-topgen 17453  df-pt 17454  df-prds 17457  df-ordt 17511  df-xrs 17512  df-qtop 17517  df-imas 17518  df-xps 17520  df-mre 17594  df-mrc 17595  df-acs 17597  df-ps 18586  df-tsr 18587  df-plusf 18627  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-mhm 18768  df-submnd 18769  df-grp 18926  df-minusg 18927  df-sbg 18928  df-mulg 19057  df-subg 19112  df-cntz 19306  df-cmn 19775  df-abl 19776  df-mgp 20113  df-rng 20131  df-ur 20160  df-ring 20213  df-cring 20214  df-subrng 20523  df-subrg 20548  df-abv 20737  df-lmod 20785  df-scaf 20786  df-sra 21098  df-rgmod 21099  df-psmet 21327  df-xmet 21328  df-met 21329  df-bl 21330  df-mopn 21331  df-fbas 21332  df-fg 21333  df-cnfld 21336  df-top 22879  df-topon 22896  df-topsp 22918  df-bases 22932  df-cld 23006  df-ntr 23007  df-cls 23008  df-nei 23085  df-lp 23123  df-perf 23124  df-cn 23214  df-cnp 23215  df-haus 23302  df-tx 23549  df-hmeo 23742  df-fil 23833  df-fm 23925  df-flim 23926  df-flf 23927  df-tmd 24059  df-tgp 24060  df-tsms 24114  df-trg 24147  df-xms 24309  df-ms 24310  df-tms 24311  df-nm 24574  df-ngp 24575  df-nrg 24577  df-nlm 24578  df-ii 24880  df-cncf 24881  df-limc 25878  df-dv 25879  df-log 26575  df-xdiv 32768  df-esum 33817  df-ofc 33885  df-siga 33898  df-meas 33985  df-prob 34198

This theorem is referenced by:  coinfliprv  34272  coinflippvt  34274