Theorem crng32d 20180

Description: Commutative/associative law that swaps the last two factors in a triple product in a commutative ring. See also mul32d 11362. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
crng32d.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
crng32d.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
crng32d.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
crng32d.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
crng32d.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
crng32d.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
crng32d	⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) · 𝑌))

Proof of Theorem crng32d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crng32d.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		crng32d.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		crng32d.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
4		crng32d.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
5		crng32d.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
6	1, 2, 3, 4, 5	crngcomd 20176	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝑍) = (𝑍 · 𝑌))
7	6	oveq2d 7385	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑌 · 𝑍)) = (𝑋 · (𝑍 · 𝑌)))
8	3	crngringd 20167	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9		crng32d.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	1, 2, 8, 9, 4, 5	ringassd 20178	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) · 𝑍) = (𝑋 · (𝑌 · 𝑍)))
11	1, 2, 8, 9, 5, 4	ringassd 20178	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) · 𝑌) = (𝑋 · (𝑍 · 𝑌)))
12	7, 10, 11	3eqtr4d 2774	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) · 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17156  ._rcmulr 17198  CRingccrg 20155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11102  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-icn 11105  ax-addcl 11106  ax-addrcl 11107  ax-mulcl 11108  ax-mulrcl 11109  ax-mulcom 11110  ax-addass 11111  ax-mulass 11112  ax-distr 11113  ax-i2m1 11114  ax-1ne0 11115  ax-1rid 11116  ax-rnegex 11117  ax-rrecex 11118  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121  ax-pre-ltadd 11122  ax-pre-mulgt0 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11385  df-neg 11386  df-nn 12165  df-2 12227  df-sets 17111  df-slot 17129  df-ndx 17141  df-base 17157  df-plusg 17210  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-cmn 19697  df-mgp 20062  df-ring 20156  df-cring 20157

This theorem is referenced by:  psdpw  22091  erlbr2d  33232  erler  33233  rloccring  33238  rprmirredlem  33495