Theorem rprmirredlem 33560

Description: Lemma for rprmirred 33561. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rprmirredlem.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rprmirredlem.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
rprmirredlem.3	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
rprmirredlem.4	⊢ · = (.r‘𝑅)
rprmirredlem.5	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
rprmirredlem.6	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
rprmirredlem.7	⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 0 )
rprmirredlem.8	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈))
rprmirredlem.9	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
rprmirredlem.10	⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑋 · 𝑌))
rprmirredlem.11	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∥ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
rprmirredlem	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem rprmirredlem

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rprmirredlem.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
2	1	idomcringd 20658	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
3	2	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → 𝑅 ∈ CRing)
4		rprmirredlem.9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
5	4	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		rprmirredlem.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7		rprmirredlem.3	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8		rprmirredlem.4	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
9	3	crngringd 20179	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → 𝑅 ∈ Ring)
10		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → 𝑡 ∈ 𝐵)
11	6, 8, 9, 10, 5	ringcld 20193	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → (𝑡 · 𝑌) ∈ 𝐵)
12		eqid 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
13	6, 12	ringidcl 20198	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
14	9, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
15		rprmirredlem.11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∥ 𝑋)
16		rprmirredlem.5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
17	6, 16, 8	dvdsr 20296	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑄 ∥ 𝑋 ↔ (𝑄 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑄) = 𝑋))
18	15, 17	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑄) = 𝑋))
19	18	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐵)
20	19	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → 𝑄 ∈ 𝐵)
21		rprmirredlem.7	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 0 )
22	21	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → 𝑄 ≠ 0 )
23	20, 22	eldifsnd 4741	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → 𝑄 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
24	1	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → 𝑅 ∈ IDomn)
25		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → (𝑡 · 𝑄) = 𝑋)
26	25	oveq1d 7371	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → ((𝑡 · 𝑄) · 𝑌) = (𝑋 · 𝑌))
27		rprmirredlem.10	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑋 · 𝑌))
28	27	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → 𝑄 = (𝑋 · 𝑌))
29	26, 28	eqtr4d 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → ((𝑡 · 𝑄) · 𝑌) = 𝑄)
30	6, 8, 3, 10, 5, 20	crng32d 20192	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → ((𝑡 · 𝑌) · 𝑄) = ((𝑡 · 𝑄) · 𝑌))
31	6, 8, 12, 9, 20	ringlidmd 20205	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → ((1r‘𝑅) · 𝑄) = 𝑄)
32	29, 30, 31	3eqtr4d 2779	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → ((𝑡 · 𝑌) · 𝑄) = ((1r‘𝑅) · 𝑄))
33	6, 7, 8, 11, 14, 23, 24, 32	idomrcan 33310	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → (𝑡 · 𝑌) = (1r‘𝑅))
34	18	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑄) = 𝑋)
35	33, 34	reximddv3 3151	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑌) = (1r‘𝑅))
36	35	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑌) = (1r‘𝑅))
37	6, 16, 8	dvdsr 20296	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∥ (1r‘𝑅) ↔ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑌) = (1r‘𝑅)))
38	5, 36, 37	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → 𝑌 ∥ (1r‘𝑅))
39		rprmirredlem.2	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
40	39, 12, 16	crngunit 20312	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑌 ∈ 𝑈 ↔ 𝑌 ∥ (1r‘𝑅)))
41	40	biimpar 477	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∥ (1r‘𝑅)) → 𝑌 ∈ 𝑈)
42	3, 38, 41	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → 𝑌 ∈ 𝑈)
43	42, 34	r19.29a 3142	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ∃wrex 3058   ∖ cdif 3896   class class class wbr 5096  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Basecbs 17134  ._rcmulr 17176  0_gc0g 17357  1_rcur 20114  Ringcrg 20166  CRingccrg 20167  ∥_rcdsr 20288  Unitcui 20289  IDomncidom 20624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-0g 17359  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-cmn 19709  df-abl 19710  df-mgp 20074  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-cring 20169  df-oppr 20271  df-dvdsr 20291  df-unit 20292  df-nzr 20444  df-domn 20626  df-idom 20627

This theorem is referenced by:  rprmirred  33561