Theorem rprmirredlem 34118

Description: Lemma for rprmirred 34119. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rprmirredlem.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rprmirredlem.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
rprmirredlem.3	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
rprmirredlem.4	⊢ · = (.r‘𝑅)
rprmirredlem.5	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
rprmirredlem.6	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
rprmirredlem.7	⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 0 )
rprmirredlem.8	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈))
rprmirredlem.9	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
rprmirredlem.10	⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑋 · 𝑌))
rprmirredlem.11	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∥ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
rprmirredlem	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem rprmirredlem

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rprmirredlem.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
2	1	idomcringd 20993	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
3	2	ad2antrr 739	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → 𝑅 ∈ CRing)
4		rprmirredlem.9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
5	4	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		rprmirredlem.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7		rprmirredlem.3	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8		rprmirredlem.4	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
9	3	crngringd 20488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → 𝑅 ∈ Ring)
10		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → 𝑡 ∈ 𝐵)
11	6, 8, 9, 10, 5	ringcld 20499	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → (𝑡 · 𝑌) ∈ 𝐵)
12		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
13	6, 12	ringidcl 20509	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
14	9, 13	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
15		rprmirredlem.11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∥ 𝑋)
16		rprmirredlem.5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
17	6, 16, 8	dvdsr 20607	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑄 ∥ 𝑋 ↔ (𝑄 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑄) = 𝑋))
18	15, 17	sylib 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑄) = 𝑋))
19	18	simpld 500	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐵)
20	19	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → 𝑄 ∈ 𝐵)
21		rprmirredlem.7	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 0 )
22	21	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → 𝑄 ≠ 0 )
23	20, 22	eldifsnd 4750	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → 𝑄 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
24	1	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → 𝑅 ∈ IDomn)
25		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → (𝑡 · 𝑄) = 𝑋)
26	25	oveq1d 7445	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → ((𝑡 · 𝑄) · 𝑌) = (𝑋 · 𝑌))
27		rprmirredlem.10	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑋 · 𝑌))
28	27	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → 𝑄 = (𝑋 · 𝑌))
29	26, 28	eqtr4d 2801	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → ((𝑡 · 𝑄) · 𝑌) = 𝑄)
30	6, 8, 3, 10, 5, 20	crng32d 20502	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → ((𝑡 · 𝑌) · 𝑄) = ((𝑡 · 𝑄) · 𝑌))
31	6, 8, 12, 9, 20	ringlidmd 20516	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → ((1r‘𝑅) · 𝑄) = 𝑄)
32	29, 30, 31	3eqtr4d 2808	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → ((𝑡 · 𝑌) · 𝑄) = ((1r‘𝑅) · 𝑄))
33	6, 7, 8, 11, 14, 23, 24, 32	idomrcan 33899	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → (𝑡 · 𝑌) = (1r‘𝑅))
34	18	simprd 501	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑄) = 𝑋)
35	33, 34	reximddv3 3183	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑌) = (1r‘𝑅))
36	35	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑌) = (1r‘𝑅))
37	6, 16, 8	dvdsr 20607	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∥ (1r‘𝑅) ↔ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑌) = (1r‘𝑅)))
38	5, 36, 37	sylanbrc 595	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → 𝑌 ∥ (1r‘𝑅))
39		rprmirredlem.2	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
40	39, 12, 16	crngunit 20623	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑌 ∈ 𝑈 ↔ 𝑌 ∥ (1r‘𝑅)))
41	40	biimpar 483	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∥ (1r‘𝑅)) → 𝑌 ∈ 𝑈)
42	3, 38, 41	syl2anc 596	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → 𝑌 ∈ 𝑈)
43	42, 34	r19.29a 3174	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090   ∖ cdif 4048   class class class wbr 5106  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  Basecbs 17402  ._rcmulr 17444  0_gc0g 17625  1_rcur 20422  Ringcrg 20474  CRingccrg 20475  ∥_rcdsr 20599  Unitcui 20600  IDomncidom 20960

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-tpos 8257  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8731  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-sets 17357  df-slot 17375  df-ndx 17387  df-base 17403  df-plusg 17456  df-mulr 17457  df-0g 17627  df-mgm 18831  df-sgrp 18923  df-mnd 18939  df-grp 19162  df-minusg 19163  df-sbg 19164  df-cmn 20011  df-abl 20012  df-mgp 20376  df-rng 20390  df-ur 20423  df-ring 20476  df-cring 20477  df-oppr 20582  df-dvdsr 20602  df-unit 20603  df-nzr 20778  df-domn 20962  df-idom 20963

This theorem is used by:  rprmirred  34119