Theorem rprmirredlem 33829

Description: Lemma for rprmirred 33830. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rprmirredlem.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rprmirredlem.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
rprmirredlem.3	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
rprmirredlem.4	⊢ · = (.r‘𝑅)
rprmirredlem.5	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
rprmirredlem.6	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
rprmirredlem.7	⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 0 )
rprmirredlem.8	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈))
rprmirredlem.9	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
rprmirredlem.10	⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑋 · 𝑌))
rprmirredlem.11	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∥ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
rprmirredlem	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem rprmirredlem

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rprmirredlem.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
2	1	idomcringd 20834	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
3	2	ad2antrr 738	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → 𝑅 ∈ CRing)
4		rprmirredlem.9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
5	4	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		rprmirredlem.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7		rprmirredlem.3	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8		rprmirredlem.4	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
9	3	crngringd 20332	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → 𝑅 ∈ Ring)
10		simplr 780	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → 𝑡 ∈ 𝐵)
11	6, 8, 9, 10, 5	ringcld 20343	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → (𝑡 · 𝑌) ∈ 𝐵)
12		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
13	6, 12	ringidcl 20353	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
14	9, 13	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
15		rprmirredlem.11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∥ 𝑋)
16		rprmirredlem.5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
17	6, 16, 8	dvdsr 20449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑄 ∥ 𝑋 ↔ (𝑄 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑄) = 𝑋))
18	15, 17	sylib 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑄) = 𝑋))
19	18	simpld 499	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐵)
20	19	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → 𝑄 ∈ 𝐵)
21		rprmirredlem.7	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 0 )
22	21	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → 𝑄 ≠ 0 )
23	20, 22	eldifsnd 4755	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → 𝑄 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
24	1	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → 𝑅 ∈ IDomn)
25		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → (𝑡 · 𝑄) = 𝑋)
26	25	oveq1d 7425	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → ((𝑡 · 𝑄) · 𝑌) = (𝑋 · 𝑌))
27		rprmirredlem.10	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑋 · 𝑌))
28	27	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → 𝑄 = (𝑋 · 𝑌))
29	26, 28	eqtr4d 2801	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → ((𝑡 · 𝑄) · 𝑌) = 𝑄)
30	6, 8, 3, 10, 5, 20	crng32d 20346	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → ((𝑡 · 𝑌) · 𝑄) = ((𝑡 · 𝑄) · 𝑌))
31	6, 8, 12, 9, 20	ringlidmd 20360	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → ((1r‘𝑅) · 𝑄) = 𝑄)
32	29, 30, 31	3eqtr4d 2808	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → ((𝑡 · 𝑌) · 𝑄) = ((1r‘𝑅) · 𝑄))
33	6, 7, 8, 11, 14, 23, 24, 32	idomrcan 33611	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → (𝑡 · 𝑌) = (1r‘𝑅))
34	18	simprd 500	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑄) = 𝑋)
35	33, 34	reximddv3 3182	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑌) = (1r‘𝑅))
36	35	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑌) = (1r‘𝑅))
37	6, 16, 8	dvdsr 20449	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∥ (1r‘𝑅) ↔ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑌) = (1r‘𝑅)))
38	5, 36, 37	sylanbrc 594	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → 𝑌 ∥ (1r‘𝑅))
39		rprmirredlem.2	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
40	39, 12, 16	crngunit 20465	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑌 ∈ 𝑈 ↔ 𝑌 ∥ (1r‘𝑅)))
41	40	biimpar 482	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∥ (1r‘𝑅)) → 𝑌 ∈ 𝑈)
42	3, 38, 41	syl2anc 595	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → 𝑌 ∈ 𝑈)
43	42, 34	r19.29a 3173	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∃wrex 3089   ∖ cdif 3902   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17273  ._rcmulr 17315  0_gc0g 17496  1_rcur 20267  Ringcrg 20319  CRingccrg 20320  ∥_rcdsr 20441  Unitcui 20442  IDomncidom 20801

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-sets 17228  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-plusg 17327  df-mulr 17328  df-0g 17498  df-mgm 18702  df-sgrp 18781  df-mnd 18797  df-grp 19007  df-minusg 19008  df-sbg 19009  df-cmn 19856  df-abl 19857  df-mgp 20221  df-rng 20235  df-ur 20268  df-ring 20321  df-cring 20322  df-oppr 20424  df-dvdsr 20444  df-unit 20445  df-nzr 20619  df-domn 20803  df-idom 20804

This theorem is used by:  rprmirred  33830