Theorem rprmirredlem 33728

Description: Lemma for rprmirred 33729. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rprmirredlem.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rprmirredlem.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
rprmirredlem.3	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
rprmirredlem.4	⊢ · = (.r‘𝑅)
rprmirredlem.5	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
rprmirredlem.6	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
rprmirredlem.7	⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 0 )
rprmirredlem.8	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈))
rprmirredlem.9	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
rprmirredlem.10	⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑋 · 𝑌))
rprmirredlem.11	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∥ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
rprmirredlem	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem rprmirredlem

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rprmirredlem.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
2	1	idomcringd 20779	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
3	2	ad2antrr 736	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → 𝑅 ∈ CRing)
4		rprmirredlem.9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
5	4	ad2antrr 736	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		rprmirredlem.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7		rprmirredlem.3	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8		rprmirredlem.4	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
9	3	crngringd 20298	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → 𝑅 ∈ Ring)
10		simplr 778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → 𝑡 ∈ 𝐵)
11	6, 8, 9, 10, 5	ringcld 20312	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → (𝑡 · 𝑌) ∈ 𝐵)
12		eqid 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
13	6, 12	ringidcl 20317	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
14	9, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
15		rprmirredlem.11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∥ 𝑋)
16		rprmirredlem.5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
17	6, 16, 8	dvdsr 20413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑄 ∥ 𝑋 ↔ (𝑄 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑄) = 𝑋))
18	15, 17	sylib 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑄) = 𝑋))
19	18	simpld 498	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐵)
20	19	ad2antrr 736	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → 𝑄 ∈ 𝐵)
21		rprmirredlem.7	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 0 )
22	21	ad2antrr 736	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → 𝑄 ≠ 0 )
23	20, 22	eldifsnd 4749	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → 𝑄 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
24	1	ad2antrr 736	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → 𝑅 ∈ IDomn)
25		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → (𝑡 · 𝑄) = 𝑋)
26	25	oveq1d 7413	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → ((𝑡 · 𝑄) · 𝑌) = (𝑋 · 𝑌))
27		rprmirredlem.10	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑋 · 𝑌))
28	27	ad2antrr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → 𝑄 = (𝑋 · 𝑌))
29	26, 28	eqtr4d 2802	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → ((𝑡 · 𝑄) · 𝑌) = 𝑄)
30	6, 8, 3, 10, 5, 20	crng32d 20311	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → ((𝑡 · 𝑌) · 𝑄) = ((𝑡 · 𝑄) · 𝑌))
31	6, 8, 12, 9, 20	ringlidmd 20324	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → ((1r‘𝑅) · 𝑄) = 𝑄)
32	29, 30, 31	3eqtr4d 2809	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → ((𝑡 · 𝑌) · 𝑄) = ((1r‘𝑅) · 𝑄))
33	6, 7, 8, 11, 14, 23, 24, 32	idomrcan 33465	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → (𝑡 · 𝑌) = (1r‘𝑅))
34	18	simprd 499	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑄) = 𝑋)
35	33, 34	reximddv3 3181	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑌) = (1r‘𝑅))
36	35	ad2antrr 736	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑌) = (1r‘𝑅))
37	6, 16, 8	dvdsr 20413	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∥ (1r‘𝑅) ↔ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑌) = (1r‘𝑅)))
38	5, 36, 37	sylanbrc 592	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → 𝑌 ∥ (1r‘𝑅))
39		rprmirredlem.2	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
40	39, 12, 16	crngunit 20429	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑌 ∈ 𝑈 ↔ 𝑌 ∥ (1r‘𝑅)))
41	40	biimpar 481	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∥ (1r‘𝑅)) → 𝑌 ∈ 𝑈)
42	3, 38, 41	syl2anc 593	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → 𝑌 ∈ 𝑈)
43	42, 34	r19.29a 3172	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2959  ∃wrex 3088   ∖ cdif 3903   class class class wbr 5102  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  Basecbs 17247  ._rcmulr 17289  0_gc0g 17470  1_rcur 20233  Ringcrg 20285  CRingccrg 20286  ∥_rcdsr 20405  Unitcui 20406  IDomncidom 20745

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-tpos 8208  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-plusg 17301  df-mulr 17302  df-0g 17472  df-mgm 18676  df-sgrp 18755  df-mnd 18771  df-grp 18980  df-minusg 18981  df-sbg 18982  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20189  df-rng 20201  df-ur 20234  df-ring 20287  df-cring 20288  df-oppr 20388  df-dvdsr 20408  df-unit 20409  df-nzr 20565  df-domn 20747  df-idom 20748

This theorem is referenced by:  rprmirred  33729