Theorem rprmirredlem 33410

Description: Lemma for rprmirred 33411. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rprmirredlem.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rprmirredlem.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
rprmirredlem.3	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
rprmirredlem.4	⊢ · = (.r‘𝑅)
rprmirredlem.5	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
rprmirredlem.6	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
rprmirredlem.7	⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 0 )
rprmirredlem.8	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈))
rprmirredlem.9	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
rprmirredlem.10	⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑋 · 𝑌))
rprmirredlem.11	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∥ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
rprmirredlem	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem rprmirredlem

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rprmirredlem.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
2	1	idomcringd 20700	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
3	2	ad2antrr 724	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → 𝑅 ∈ CRing)
4		rprmirredlem.9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
5	4	ad2antrr 724	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		rprmirredlem.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7		rprmirredlem.3	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8		rprmirredlem.4	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
9	3	crngringd 20224	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → 𝑅 ∈ Ring)
10		simplr 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → 𝑡 ∈ 𝐵)
11	6, 8, 9, 10, 5	ringcld 20237	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → (𝑡 · 𝑌) ∈ 𝐵)
12		eqid 2726	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
13	6, 12	ringidcl 20240	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
14	9, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
15		rprmirredlem.11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∥ 𝑋)
16		rprmirredlem.5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
17	6, 16, 8	dvdsr 20339	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑄 ∥ 𝑋 ↔ (𝑄 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑄) = 𝑋))
18	15, 17	sylib 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑄) = 𝑋))
19	18	simpld 493	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐵)
20	19	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → 𝑄 ∈ 𝐵)
21		rprmirredlem.7	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 0 )
22	21	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → 𝑄 ≠ 0 )
23	20, 22	eldifsnd 4788	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → 𝑄 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
24	1	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → 𝑅 ∈ IDomn)
25		simpr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → (𝑡 · 𝑄) = 𝑋)
26	25	oveq1d 7430	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → ((𝑡 · 𝑄) · 𝑌) = (𝑋 · 𝑌))
27		rprmirredlem.10	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑋 · 𝑌))
28	27	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → 𝑄 = (𝑋 · 𝑌))
29	26, 28	eqtr4d 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → ((𝑡 · 𝑄) · 𝑌) = 𝑄)
30	6, 8, 3, 10, 5, 20	cringmul32d 33096	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → ((𝑡 · 𝑌) · 𝑄) = ((𝑡 · 𝑄) · 𝑌))
31	6, 8, 12, 9, 20	ringlidmd 20246	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → ((1r‘𝑅) · 𝑄) = 𝑄)
32	29, 30, 31	3eqtr4d 2776	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → ((𝑡 · 𝑌) · 𝑄) = ((1r‘𝑅) · 𝑄))
33	6, 7, 8, 11, 14, 23, 24, 32	idomrcan 33135	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → (𝑡 · 𝑌) = (1r‘𝑅))
34	18	simprd 494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑄) = 𝑋)
35	33, 34	reximddv3 3162	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑌) = (1r‘𝑅))
36	35	ad2antrr 724	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑌) = (1r‘𝑅))
37	6, 16, 8	dvdsr 20339	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∥ (1r‘𝑅) ↔ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑌) = (1r‘𝑅)))
38	5, 36, 37	sylanbrc 581	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → 𝑌 ∥ (1r‘𝑅))
39		rprmirredlem.2	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
40	39, 12, 16	crngunit 20355	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑌 ∈ 𝑈 ↔ 𝑌 ∥ (1r‘𝑅)))
41	40	biimpar 476	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∥ (1r‘𝑅)) → 𝑌 ∈ 𝑈)
42	3, 38, 41	syl2anc 582	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑄) = 𝑋) → 𝑌 ∈ 𝑈)
43	42, 34	r19.29a 3152	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930  ∃wrex 3060   ∖ cdif 3945   class class class wbr 5145  ‘cfv 6545  (class class class)co 7415  Basecbs 17207  ._rcmulr 17261  0_gc0g 17448  1_rcur 20159  Ringcrg 20211  CRingccrg 20212  ∥_rcdsr 20331  Unitcui 20332  IDomncidom 20666

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7737  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3968  df-nul 4325  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4908  df-iun 4997  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6497  df-fun 6547  df-fn 6548  df-f 6549  df-f1 6550  df-fo 6551  df-f1o 6552  df-fv 6553  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8966  df-dom 8967  df-sdom 8968  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12258  df-2 12320  df-3 12321  df-sets 17160  df-slot 17178  df-ndx 17190  df-base 17208  df-plusg 17273  df-mulr 17274  df-0g 17450  df-mgm 18627  df-sgrp 18706  df-mnd 18722  df-grp 18925  df-minusg 18926  df-sbg 18927  df-cmn 19775  df-abl 19776  df-mgp 20113  df-rng 20131  df-ur 20160  df-ring 20213  df-cring 20214  df-oppr 20311  df-dvdsr 20334  df-unit 20335  df-nzr 20490  df-domn 20668  df-idom 20669

This theorem is referenced by:  rprmirred  33411