Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  derang0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem derang0 34097
Description: The derangement number of the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
derang.d 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥1-1-onto𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
Assertion
Ref Expression
derang0 (𝐷‘∅) = 1
Distinct variable group:   𝑥,𝑓,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓)

Proof of Theorem derang0
StepHypRef Expression
1 0fin 9166 . . 3 ∅ ∈ Fin
2 derang.d . . . 4 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥1-1-onto𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
32derangval 34095 . . 3 (∅ ∈ Fin → (𝐷‘∅) = (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:∅–1-1-onto→∅ ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
41, 3ax-mp 5 . 2 (𝐷‘∅) = (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:∅–1-1-onto→∅ ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)})
5 ral0 4510 . . . . . . 7 𝑦 ∈ ∅ (𝑓𝑦) ≠ 𝑦
65biantru 531 . . . . . 6 (𝑓:∅–1-1-onto→∅ ↔ (𝑓:∅–1-1-onto→∅ ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑓𝑦) ≠ 𝑦))
7 eqid 2733 . . . . . . 7 ∅ = ∅
8 f1o00 6864 . . . . . . 7 (𝑓:∅–1-1-onto→∅ ↔ (𝑓 = ∅ ∧ ∅ = ∅))
97, 8mpbiran2 709 . . . . . 6 (𝑓:∅–1-1-onto→∅ ↔ 𝑓 = ∅)
106, 9bitr3i 277 . . . . 5 ((𝑓:∅–1-1-onto→∅ ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑓𝑦) ≠ 𝑦) ↔ 𝑓 = ∅)
1110abbii 2803 . . . 4 {𝑓 ∣ (𝑓:∅–1-1-onto→∅ ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} = {𝑓𝑓 = ∅}
12 df-sn 4627 . . . 4 {∅} = {𝑓𝑓 = ∅}
1311, 12eqtr4i 2764 . . 3 {𝑓 ∣ (𝑓:∅–1-1-onto→∅ ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} = {∅}
1413fveq2i 6890 . 2 (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:∅–1-1-onto→∅ ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}) = (♯‘{∅})
15 0ex 5305 . . 3 ∅ ∈ V
16 hashsng 14324 . . 3 (∅ ∈ V → (♯‘{∅}) = 1)
1715, 16ax-mp 5 . 2 (♯‘{∅}) = 1
184, 14, 173eqtri 2765 1 (𝐷‘∅) = 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  {cab 2710  wne 2941  wral 3062  Vcvv 3475  c0 4320  {csn 4626  cmpt 5229  1-1-ontowf1o 6538  cfv 6539  Fincfn 8934  1c1 11106  chash 14285
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-int 4949  df-iun 4997  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6296  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-card 9929  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11441  df-neg 11442  df-nn 12208  df-n0 12468  df-z 12554  df-uz 12818  df-fz 13480  df-hash 14286
This theorem is referenced by:  subfac0  34105
  Copyright terms: Public domain W3C validator