Theorem derang0 32647

Description: The derangement number of the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
derang.d	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))

Assertion

Ref	Expression
derang0	⊢ (𝐷‘∅) = 1

Distinct variable group:   𝑥,𝑓,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓)

Proof of Theorem derang0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0fin 8740	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
2		derang.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))
3	2	derangval 32645	. . 3 ⊢ (∅ ∈ Fin → (𝐷‘∅) = (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:∅–1-1-onto→∅ ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐷‘∅) = (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:∅–1-1-onto→∅ ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)})
5		ral0 4405	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦
6	5	biantru 533	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:∅–1-1-onto→∅ ↔ (𝑓:∅–1-1-onto→∅ ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦))
7		eqid 2758	. . . . . . 7 ⊢ ∅ = ∅
8		f1o00 6636	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:∅–1-1-onto→∅ ↔ (𝑓 = ∅ ∧ ∅ = ∅))
9	7, 8	mpbiran2 709	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:∅–1-1-onto→∅ ↔ 𝑓 = ∅)
10	6, 9	bitr3i 280	. . . . 5 ⊢ ((𝑓:∅–1-1-onto→∅ ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦) ↔ 𝑓 = ∅)
11	10	abbii 2823	. . . 4 ⊢ {𝑓 ∣ (𝑓:∅–1-1-onto→∅ ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)} = {𝑓 ∣ 𝑓 = ∅}
12		df-sn 4523	. . . 4 ⊢ {∅} = {𝑓 ∣ 𝑓 = ∅}
13	11, 12	eqtr4i 2784	. . 3 ⊢ {𝑓 ∣ (𝑓:∅–1-1-onto→∅ ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)} = {∅}
14	13	fveq2i 6661	. 2 ⊢ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:∅–1-1-onto→∅ ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}) = (♯‘{∅})
15		0ex 5177	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
16		hashsng 13780	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (♯‘{∅}) = 1)
17	15, 16	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{∅}) = 1
18	4, 14, 17	3eqtri 2785	1 ⊢ (𝐷‘∅) = 1

Syntax hints:   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {cab 2735   ≠ wne 2951  ∀wral 3070  Vcvv 3409  ∅c0 4225  {csn 4522   ↦ cmpt 5112  –1-1-onto→wf1o 6334  ‘cfv 6335  Fincfn 8527  1c1 10576  ♯chash 13740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-card 9401  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-fz 12940  df-hash 13741

This theorem is referenced by:  subfac0  32655