Theorem derang0 36142

Description: The derangement number of the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
derang.d	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥⟶1-1onto𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))

Assertion

Ref	Expression
derang0	⊢ (𝐷‘∅) = 1

Distinct variable group:   𝑥,𝑓,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥, 𝑦, 𝑓)

Proof of Theorem derang0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0fi 9108	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
2		derang.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥⟶1-1onto𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))
3	2	derangval 36140	. . 3 ⊢ (∅ ∈ Fin → (𝐷‘∅) = (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:∅⟶1-1onto∅ ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐷‘∅) = (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:∅⟶1-1onto∅ ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)})
5		ral0 4457	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦
6	5	biantru 539	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:∅⟶1-1onto∅ ↔ (𝑓:∅⟶1-1onto∅ ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦))
7		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ ∅ = ∅
8		f1o00 6891	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:∅⟶1-1onto∅ ↔ (𝑓 = ∅ ∧ ∅ = ∅))
9	7, 8	mpbiran2 723	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:∅⟶1-1onto∅ ↔ 𝑓 = ∅)
10	6, 9	bitr3i 280	. . . . 5 ⊢ ((𝑓:∅⟶1-1onto∅ ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦) ↔ 𝑓 = ∅)
11	10	abbii 2830	. . . 4 ⊢ {𝑓 ∣ (𝑓:∅⟶1-1onto∅ ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)} = {𝑓 ∣ 𝑓 = ∅}
12		df-sn 4589	. . . 4 ⊢ {∅} = {𝑓 ∣ 𝑓 = ∅}
13	11, 12	eqtr4i 2789	. . 3 ⊢ {𝑓 ∣ (𝑓:∅⟶1-1onto∅ ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)} = {∅}
14	13	fveq2i 6919	. 2 ⊢ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:∅⟶1-1onto∅ ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}) = (♯‘{∅})
15		0ex 5267	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
16		hashsng 14554	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (♯‘{∅}) = 1)
17	15, 16	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{∅}) = 1
18	4, 14, 17	3eqtri 2790	1 ⊢ (𝐷‘∅) = 1

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {cab 2741   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  Vcvv 3454  ∅c0 4281  {csn 4588   ↦ cmpt 5192  ⟶1-1ontowf1o 6565  ‘cfv 6566  Fincfn 9011  1c1 11240  ♯chash 14515

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-hash 14516

This theorem is used by:  subfac0  36150