Theorem derang0 35661

Description: The derangement number of the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
derang.d	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))

Assertion

Ref	Expression
derang0	⊢ (𝐷‘∅) = 1

Distinct variable group:   𝑥,𝑓,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓)

Proof of Theorem derang0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0fi 9035	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
2		derang.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))
3	2	derangval 35659	. . 3 ⊢ (∅ ∈ Fin → (𝐷‘∅) = (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:∅–1-1-onto→∅ ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐷‘∅) = (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:∅–1-1-onto→∅ ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)})
5		ral0 4459	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦
6	5	biantru 538	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:∅–1-1-onto→∅ ↔ (𝑓:∅–1-1-onto→∅ ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦))
7		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ ∅ = ∅
8		f1o00 6856	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:∅–1-1-onto→∅ ↔ (𝑓 = ∅ ∧ ∅ = ∅))
9	7, 8	mpbiran2 722	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:∅–1-1-onto→∅ ↔ 𝑓 = ∅)
10	6, 9	bitr3i 280	. . . . 5 ⊢ ((𝑓:∅–1-1-onto→∅ ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦) ↔ 𝑓 = ∅)
11	10	abbii 2830	. . . 4 ⊢ {𝑓 ∣ (𝑓:∅–1-1-onto→∅ ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)} = {𝑓 ∣ 𝑓 = ∅}
12		df-sn 4590	. . . 4 ⊢ {∅} = {𝑓 ∣ 𝑓 = ∅}
13	11, 12	eqtr4i 2789	. . 3 ⊢ {𝑓 ∣ (𝑓:∅–1-1-onto→∅ ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)} = {∅}
14	13	fveq2i 6884	. 2 ⊢ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:∅–1-1-onto→∅ ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}) = (♯‘{∅})
15		0ex 5270	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
16		hashsng 14401	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (♯‘{∅}) = 1)
17	15, 16	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{∅}) = 1
18	4, 14, 17	3eqtri 2790	1 ⊢ (𝐷‘∅) = 1

Syntax hints:   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {cab 2741   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  Vcvv 3455  ∅c0 4286  {csn 4589   ↦ cmpt 5192  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  Fincfn 8939  1c1 11096  ♯chash 14362

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-hash 14363

This theorem is referenced by:  subfac0  35669