Theorem derang0 35913

Description: The derangement number of the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
derang.d	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))

Assertion

Ref	Expression
derang0	⊢ (𝐷‘∅) = 1

Distinct variable group:   𝑥,𝑓,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥, 𝑦, 𝑓)

Proof of Theorem derang0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0fi 9063	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
2		derang.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))
3	2	derangval 35911	. . 3 ⊢ (∅ ∈ Fin → (𝐷‘∅) = (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:∅–1-1-onto→∅ ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐷‘∅) = (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:∅–1-1-onto→∅ ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)})
5		ral0 4454	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦
6	5	biantru 539	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:∅–1-1-onto→∅ ↔ (𝑓:∅–1-1-onto→∅ ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦))
7		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ ∅ = ∅
8		f1o00 6858	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:∅–1-1-onto→∅ ↔ (𝑓 = ∅ ∧ ∅ = ∅))
9	7, 8	mpbiran2 723	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:∅–1-1-onto→∅ ↔ 𝑓 = ∅)
10	6, 9	bitr3i 280	. . . . 5 ⊢ ((𝑓:∅–1-1-onto→∅ ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦) ↔ 𝑓 = ∅)
11	10	abbii 2828	. . . 4 ⊢ {𝑓 ∣ (𝑓:∅–1-1-onto→∅ ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)} = {𝑓 ∣ 𝑓 = ∅}
12		df-sn 4585	. . . 4 ⊢ {∅} = {𝑓 ∣ 𝑓 = ∅}
13	11, 12	eqtr4i 2787	. . 3 ⊢ {𝑓 ∣ (𝑓:∅–1-1-onto→∅ ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)} = {∅}
14	13	fveq2i 6886	. 2 ⊢ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:∅–1-1-onto→∅ ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}) = (♯‘{∅})
15		0ex 5261	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
16		hashsng 14506	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (♯‘{∅}) = 1)
17	15, 16	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{∅}) = 1
18	4, 14, 17	3eqtri 2788	1 ⊢ (𝐷‘∅) = 1

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cab 2739   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  Vcvv 3451  ∅c0 4279  {csn 4584   ↦ cmpt 5186  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  Fincfn 8966  1c1 11194  ♯chash 14467

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-fz 13633  df-hash 14468

This theorem is used by:  subfac0  35921