Theorem derang0 35556

Description: The derangement number of the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
derang.d	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))

Assertion

Ref	Expression
derang0	⊢ (𝐷‘∅) = 1

Distinct variable group:   𝑥,𝑓,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓)

Proof of Theorem derang0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0fi 9035	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
2		derang.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))
3	2	derangval 35554	. . 3 ⊢ (∅ ∈ Fin → (𝐷‘∅) = (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:∅–1-1-onto→∅ ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐷‘∅) = (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:∅–1-1-onto→∅ ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)})
5		ral0 4461	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦
6	5	biantru 538	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:∅–1-1-onto→∅ ↔ (𝑓:∅–1-1-onto→∅ ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦))
7		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ ∅ = ∅
8		f1o00 6854	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:∅–1-1-onto→∅ ↔ (𝑓 = ∅ ∧ ∅ = ∅))
9	7, 8	mpbiran2 722	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:∅–1-1-onto→∅ ↔ 𝑓 = ∅)
10	6, 9	bitr3i 280	. . . . 5 ⊢ ((𝑓:∅–1-1-onto→∅ ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦) ↔ 𝑓 = ∅)
11	10	abbii 2836	. . . 4 ⊢ {𝑓 ∣ (𝑓:∅–1-1-onto→∅ ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)} = {𝑓 ∣ 𝑓 = ∅}
12		df-sn 4592	. . . 4 ⊢ {∅} = {𝑓 ∣ 𝑓 = ∅}
13	11, 12	eqtr4i 2795	. . 3 ⊢ {𝑓 ∣ (𝑓:∅–1-1-onto→∅ ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)} = {∅}
14	13	fveq2i 6882	. 2 ⊢ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:∅–1-1-onto→∅ ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}) = (♯‘{∅})
15		0ex 5269	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
16		hashsng 14401	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (♯‘{∅}) = 1)
17	15, 16	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{∅}) = 1
18	4, 14, 17	3eqtri 2796	1 ⊢ (𝐷‘∅) = 1

Syntax hints:   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {cab 2747   ≠ wne 2964  ∀wral 3085  Vcvv 3463  ∅c0 4294  {csn 4591   ↦ cmpt 5193  –1-1-onto→wf1o 6532  ‘cfv 6533  Fincfn 8939  1c1 11097  ♯chash 14362

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-fz 13532  df-hash 14363

This theorem is referenced by:  subfac0  35564