Theorem divalglem10 16450

Description: Lemma for divalg 16451. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) (Proof shortened by AV, 2-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
divalglem8.1	⊢ 𝑁 ∈ ℤ
divalglem8.2	⊢ 𝐷 ∈ ℤ
divalglem8.3	⊢ 𝐷 ≠ 0
divalglem8.4	⊢ 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)}

Assertion

Ref	Expression
divalglem10	⊢ ∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑞,𝑟   𝑁,𝑞,𝑟

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑟,𝑞)

Proof of Theorem divalglem10

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divalglem8.1	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℤ
2		divalglem8.2	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ ℤ
3		divalglem8.3	. . . 4 ⊢ 𝐷 ≠ 0
4		divalglem8.4	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)}
5		eqid 2740	. . . 4 ⊢ inf(𝑆, ℝ, < ) = inf(𝑆, ℝ, < )
6	1, 2, 3, 4, 5	divalglem9 16449	. . 3 ⊢ ∃!𝑥 ∈ 𝑆 𝑥 < (abs‘𝐷)
7		elnn0z 12652	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥))
8	7	anbi2i 622	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ↔ (𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥)))
9		an12 644	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 0 ≤ 𝑥)))
10		ancom 460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 0 ≤ 𝑥) ↔ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷)))
11	10	anbi2i 622	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 0 ≤ 𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷))))
12	9, 11	bitri 275	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷))))
13	8, 12	bitri 275	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷))))
14	13	anbi1i 623	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)) ↔ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷))) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)))
15		anass 468	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷))) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ((0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷)) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥))))
16	14, 15	bitri 275	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ((0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷)) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥))))
17		oveq2 7456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥))
18	17	eqeq2d 2751	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → (𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)))
19	18	rexbidv 3185	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → (∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)))
20	1, 2, 3, 4	divalglem4 16444	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)}
21	19, 20	elrab2 3711	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)))
22	21	anbi2i 622	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ↔ (𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥))))
23		ancom 460	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷)) ↔ (𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆))
24		anass 468	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)) ↔ (𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥))))
25	22, 23, 24	3bitr4i 303	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷)) ↔ ((𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)))
26		df-3an 1089	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)) ↔ ((0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)))
27	26	rexbii 3100	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ ((0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)))
28		r19.42v 3197	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑞 ∈ ℤ ((0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)) ↔ ((0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷)) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)))
29	27, 28	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)) ↔ ((0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷)) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)))
30	29	anbi2i 622	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥))) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ((0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷)) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥))))
31	16, 25, 30	3bitr4i 303	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥))))
32	31	eubii 2588	. . . 4 ⊢ (∃!𝑥(𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷)) ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥))))
33		df-reu 3389	. . . 4 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝑆 𝑥 < (abs‘𝐷) ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷)))
34		df-reu 3389	. . . 4 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)) ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥))))
35	32, 33, 34	3bitr4i 303	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝑆 𝑥 < (abs‘𝐷) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)))
36	6, 35	mpbi 230	. 2 ⊢ ∃!𝑥 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥))
37		breq2 5170	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑟))
38		breq1 5169	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → (𝑥 < (abs‘𝐷) ↔ 𝑟 < (abs‘𝐷)))
39		oveq2 7456	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))
40	39	eqeq2d 2751	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → (𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥) ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
41	37, 38, 40	3anbi123d 1436	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → ((0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)) ↔ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))))
42	41	rexbidv 3185	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → (∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))))
43	42	cbvreuvw 3412	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)) ↔ ∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
44	36, 43	mpbi 230	1 ⊢ ∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∃!weu 2571   ≠ wne 2946  ∃wrex 3076  ∃!wreu 3386  {crab 3443   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  infcinf 9510  ℝcr 11183  0cc0 11184   + caddc 11187   · cmul 11189   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11520  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12639  abscabs 15283   ∥ cdvds 16302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-dvds 16303

This theorem is referenced by:  divalg  16451