Theorem divalglem10 16111

Description: Lemma for divalg 16112. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) (Proof shortened by AV, 2-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
divalglem8.1	⊢ 𝑁 ∈ ℤ
divalglem8.2	⊢ 𝐷 ∈ ℤ
divalglem8.3	⊢ 𝐷 ≠ 0
divalglem8.4	⊢ 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)}

Assertion

Ref	Expression
divalglem10	⊢ ∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑞,𝑟   𝑁,𝑞,𝑟

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑟,𝑞)

Proof of Theorem divalglem10

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divalglem8.1	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℤ
2		divalglem8.2	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ ℤ
3		divalglem8.3	. . . 4 ⊢ 𝐷 ≠ 0
4		divalglem8.4	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)}
5		eqid 2738	. . . 4 ⊢ inf(𝑆, ℝ, < ) = inf(𝑆, ℝ, < )
6	1, 2, 3, 4, 5	divalglem9 16110	. . 3 ⊢ ∃!𝑥 ∈ 𝑆 𝑥 < (abs‘𝐷)
7		elnn0z 12332	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥))
8	7	anbi2i 623	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ↔ (𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥)))
9		an12 642	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 0 ≤ 𝑥)))
10		ancom 461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 0 ≤ 𝑥) ↔ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷)))
11	10	anbi2i 623	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 0 ≤ 𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷))))
12	9, 11	bitri 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷))))
13	8, 12	bitri 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷))))
14	13	anbi1i 624	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)) ↔ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷))) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)))
15		anass 469	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷))) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ((0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷)) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥))))
16	14, 15	bitri 274	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ((0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷)) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥))))
17		oveq2 7283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥))
18	17	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → (𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)))
19	18	rexbidv 3226	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → (∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)))
20	1, 2, 3, 4	divalglem4 16105	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)}
21	19, 20	elrab2 3627	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)))
22	21	anbi2i 623	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ↔ (𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥))))
23		ancom 461	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷)) ↔ (𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆))
24		anass 469	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)) ↔ (𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥))))
25	22, 23, 24	3bitr4i 303	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷)) ↔ ((𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)))
26		df-3an 1088	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)) ↔ ((0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)))
27	26	rexbii 3181	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ ((0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)))
28		r19.42v 3279	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑞 ∈ ℤ ((0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)) ↔ ((0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷)) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)))
29	27, 28	bitri 274	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)) ↔ ((0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷)) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)))
30	29	anbi2i 623	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥))) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ((0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷)) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥))))
31	16, 25, 30	3bitr4i 303	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥))))
32	31	eubii 2585	. . . 4 ⊢ (∃!𝑥(𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷)) ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥))))
33		df-reu 3072	. . . 4 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝑆 𝑥 < (abs‘𝐷) ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷)))
34		df-reu 3072	. . . 4 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)) ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥))))
35	32, 33, 34	3bitr4i 303	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝑆 𝑥 < (abs‘𝐷) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)))
36	6, 35	mpbi 229	. 2 ⊢ ∃!𝑥 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥))
37		breq2 5078	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑟))
38		breq1 5077	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → (𝑥 < (abs‘𝐷) ↔ 𝑟 < (abs‘𝐷)))
39		oveq2 7283	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))
40	39	eqeq2d 2749	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → (𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥) ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
41	37, 38, 40	3anbi123d 1435	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → ((0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)) ↔ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))))
42	41	rexbidv 3226	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → (∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))))
43	42	cbvreuvw 3386	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)) ↔ ∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
44	36, 43	mpbi 229	1 ⊢ ∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))

Syntax hints:   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∃!weu 2568   ≠ wne 2943  ∃wrex 3065  ∃!wreu 3066  {crab 3068   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  infcinf 9200  ℝcr 10870  0cc0 10871   + caddc 10874   · cmul 10876   < clt 11009   ≤ cle 11010   − cmin 11205  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  abscabs 14945   ∥ cdvds 15963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-dvds 15964

This theorem is referenced by:  divalg  16112