Theorem divalglem10 16345

Description: Lemma for divalg 16346. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) (Proof shortened by AV, 2-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
divalglem8.1	⊢ 𝑁 ∈ ℤ
divalglem8.2	⊢ 𝐷 ∈ ℤ
divalglem8.3	⊢ 𝐷 ≠ 0
divalglem8.4	⊢ 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)}

Assertion

Ref	Expression
divalglem10	⊢ ∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑞,𝑟   𝑁,𝑞,𝑟

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑟,𝑞)

Proof of Theorem divalglem10

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divalglem8.1	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℤ
2		divalglem8.2	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ ℤ
3		divalglem8.3	. . . 4 ⊢ 𝐷 ≠ 0
4		divalglem8.4	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)}
5		eqid 2733	. . . 4 ⊢ inf(𝑆, ℝ, < ) = inf(𝑆, ℝ, < )
6	1, 2, 3, 4, 5	divalglem9 16344	. . 3 ⊢ ∃!𝑥 ∈ 𝑆 𝑥 < (abs‘𝐷)
7		elnn0z 12571	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥))
8	7	anbi2i 624	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ↔ (𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥)))
9		an12 644	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 0 ≤ 𝑥)))
10		ancom 462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 0 ≤ 𝑥) ↔ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷)))
11	10	anbi2i 624	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 0 ≤ 𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷))))
12	9, 11	bitri 275	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷))))
13	8, 12	bitri 275	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷))))
14	13	anbi1i 625	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)) ↔ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷))) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)))
15		anass 470	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷))) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ((0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷)) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥))))
16	14, 15	bitri 275	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ((0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷)) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥))))
17		oveq2 7417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥))
18	17	eqeq2d 2744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → (𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)))
19	18	rexbidv 3179	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → (∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)))
20	1, 2, 3, 4	divalglem4 16339	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)}
21	19, 20	elrab2 3687	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)))
22	21	anbi2i 624	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ↔ (𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥))))
23		ancom 462	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷)) ↔ (𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆))
24		anass 470	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)) ↔ (𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥))))
25	22, 23, 24	3bitr4i 303	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷)) ↔ ((𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)))
26		df-3an 1090	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)) ↔ ((0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)))
27	26	rexbii 3095	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ ((0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)))
28		r19.42v 3191	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑞 ∈ ℤ ((0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)) ↔ ((0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷)) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)))
29	27, 28	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)) ↔ ((0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷)) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)))
30	29	anbi2i 624	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥))) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ((0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷)) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥))))
31	16, 25, 30	3bitr4i 303	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥))))
32	31	eubii 2580	. . . 4 ⊢ (∃!𝑥(𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷)) ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥))))
33		df-reu 3378	. . . 4 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝑆 𝑥 < (abs‘𝐷) ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷)))
34		df-reu 3378	. . . 4 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)) ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥))))
35	32, 33, 34	3bitr4i 303	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝑆 𝑥 < (abs‘𝐷) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)))
36	6, 35	mpbi 229	. 2 ⊢ ∃!𝑥 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥))
37		breq2 5153	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑟))
38		breq1 5152	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → (𝑥 < (abs‘𝐷) ↔ 𝑟 < (abs‘𝐷)))
39		oveq2 7417	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))
40	39	eqeq2d 2744	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → (𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥) ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
41	37, 38, 40	3anbi123d 1437	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → ((0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)) ↔ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))))
42	41	rexbidv 3179	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → (∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))))
43	42	cbvreuvw 3401	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)) ↔ ∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
44	36, 43	mpbi 229	1 ⊢ ∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))

Syntax hints:   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∃!weu 2563   ≠ wne 2941  ∃wrex 3071  ∃!wreu 3375  {crab 3433   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  infcinf 9436  ℝcr 11109  0cc0 11110   + caddc 11113   · cmul 11115   < clt 11248   ≤ cle 11249   − cmin 11444  ℕ₀cn0 12472  ℤcz 12558  abscabs 15181   ∥ cdvds 16197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198

This theorem is referenced by:  divalg  16346