MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalglem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divalglem10 16436
Description: Lemma for divalg 16437. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) (Proof shortened by AV, 2-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem8.1 𝑁 ∈ ℤ
divalglem8.2 𝐷 ∈ ℤ
divalglem8.3 𝐷 ≠ 0
divalglem8.4 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑟)}
Assertion
Ref Expression
divalglem10 ∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑞,𝑟   𝑁,𝑞,𝑟
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑟,𝑞)

Proof of Theorem divalglem10
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divalglem8.1 . . . 4 𝑁 ∈ ℤ
2 divalglem8.2 . . . 4 𝐷 ∈ ℤ
3 divalglem8.3 . . . 4 𝐷 ≠ 0
4 divalglem8.4 . . . 4 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑟)}
5 eqid 2735 . . . 4 inf(𝑆, ℝ, < ) = inf(𝑆, ℝ, < )
61, 2, 3, 4, 5divalglem9 16435 . . 3 ∃!𝑥𝑆 𝑥 < (abs‘𝐷)
7 elnn0z 12624 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℕ0 ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥))
87anbi2i 623 . . . . . . . . 9 ((𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ↔ (𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥)))
9 an12 645 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 0 ≤ 𝑥)))
10 ancom 460 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 0 ≤ 𝑥) ↔ (0 ≤ 𝑥𝑥 < (abs‘𝐷)))
1110anbi2i 623 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 0 ≤ 𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥 < (abs‘𝐷))))
129, 11bitri 275 . . . . . . . . 9 ((𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥 < (abs‘𝐷))))
138, 12bitri 275 . . . . . . . 8 ((𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥 < (abs‘𝐷))))
1413anbi1i 624 . . . . . . 7 (((𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)) ↔ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥 < (abs‘𝐷))) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)))
15 anass 468 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥 < (abs‘𝐷))) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ((0 ≤ 𝑥𝑥 < (abs‘𝐷)) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥))))
1614, 15bitri 275 . . . . . 6 (((𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ((0 ≤ 𝑥𝑥 < (abs‘𝐷)) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥))))
17 oveq2 7439 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑥 → ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥))
1817eqeq2d 2746 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑥 → (𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)))
1918rexbidv 3177 . . . . . . . . 9 (𝑟 = 𝑥 → (∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)))
201, 2, 3, 4divalglem4 16430 . . . . . . . . 9 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)}
2119, 20elrab2 3698 . . . . . . . 8 (𝑥𝑆 ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)))
2221anbi2i 623 . . . . . . 7 ((𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑥𝑆) ↔ (𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥))))
23 ancom 460 . . . . . . 7 ((𝑥𝑆𝑥 < (abs‘𝐷)) ↔ (𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑥𝑆))
24 anass 468 . . . . . . 7 (((𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)) ↔ (𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥))))
2522, 23, 243bitr4i 303 . . . . . 6 ((𝑥𝑆𝑥 < (abs‘𝐷)) ↔ ((𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)))
26 df-3an 1088 . . . . . . . . 9 ((0 ≤ 𝑥𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)) ↔ ((0 ≤ 𝑥𝑥 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)))
2726rexbii 3092 . . . . . . . 8 (∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑥𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ ((0 ≤ 𝑥𝑥 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)))
28 r19.42v 3189 . . . . . . . 8 (∃𝑞 ∈ ℤ ((0 ≤ 𝑥𝑥 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)) ↔ ((0 ≤ 𝑥𝑥 < (abs‘𝐷)) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)))
2927, 28bitri 275 . . . . . . 7 (∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑥𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)) ↔ ((0 ≤ 𝑥𝑥 < (abs‘𝐷)) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)))
3029anbi2i 623 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑥𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥))) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ((0 ≤ 𝑥𝑥 < (abs‘𝐷)) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥))))
3116, 25, 303bitr4i 303 . . . . 5 ((𝑥𝑆𝑥 < (abs‘𝐷)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑥𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥))))
3231eubii 2583 . . . 4 (∃!𝑥(𝑥𝑆𝑥 < (abs‘𝐷)) ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑥𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥))))
33 df-reu 3379 . . . 4 (∃!𝑥𝑆 𝑥 < (abs‘𝐷) ↔ ∃!𝑥(𝑥𝑆𝑥 < (abs‘𝐷)))
34 df-reu 3379 . . . 4 (∃!𝑥 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑥𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)) ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑥𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥))))
3532, 33, 343bitr4i 303 . . 3 (∃!𝑥𝑆 𝑥 < (abs‘𝐷) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑥𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)))
366, 35mpbi 230 . 2 ∃!𝑥 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑥𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥))
37 breq2 5152 . . . . 5 (𝑥 = 𝑟 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑟))
38 breq1 5151 . . . . 5 (𝑥 = 𝑟 → (𝑥 < (abs‘𝐷) ↔ 𝑟 < (abs‘𝐷)))
39 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑟 → ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))
4039eqeq2d 2746 . . . . 5 (𝑥 = 𝑟 → (𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥) ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
4137, 38, 403anbi123d 1435 . . . 4 (𝑥 = 𝑟 → ((0 ≤ 𝑥𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)) ↔ (0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))))
4241rexbidv 3177 . . 3 (𝑥 = 𝑟 → (∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑥𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))))
4342cbvreuvw 3402 . 2 (∃!𝑥 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑥𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)) ↔ ∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
4436, 43mpbi 230 1 ∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  ∃!weu 2566  wne 2938  wrex 3068  ∃!wreu 3376  {crab 3433   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  infcinf 9479  cr 11152  0cc0 11153   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490  0cn0 12524  cz 12611  abscabs 15270  cdvds 16287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288
This theorem is referenced by:  divalg  16437
  Copyright terms: Public domain W3C validator