MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalglem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divalglem10 16111
Description: Lemma for divalg 16112. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) (Proof shortened by AV, 2-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem8.1 𝑁 ∈ ℤ
divalglem8.2 𝐷 ∈ ℤ
divalglem8.3 𝐷 ≠ 0
divalglem8.4 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑟)}
Assertion
Ref Expression
divalglem10 ∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑞,𝑟   𝑁,𝑞,𝑟
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑟,𝑞)

Proof of Theorem divalglem10
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divalglem8.1 . . . 4 𝑁 ∈ ℤ
2 divalglem8.2 . . . 4 𝐷 ∈ ℤ
3 divalglem8.3 . . . 4 𝐷 ≠ 0
4 divalglem8.4 . . . 4 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑟)}
5 eqid 2738 . . . 4 inf(𝑆, ℝ, < ) = inf(𝑆, ℝ, < )
61, 2, 3, 4, 5divalglem9 16110 . . 3 ∃!𝑥𝑆 𝑥 < (abs‘𝐷)
7 elnn0z 12332 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℕ0 ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥))
87anbi2i 623 . . . . . . . . 9 ((𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ↔ (𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥)))
9 an12 642 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 0 ≤ 𝑥)))
10 ancom 461 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 0 ≤ 𝑥) ↔ (0 ≤ 𝑥𝑥 < (abs‘𝐷)))
1110anbi2i 623 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 0 ≤ 𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥 < (abs‘𝐷))))
129, 11bitri 274 . . . . . . . . 9 ((𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥 < (abs‘𝐷))))
138, 12bitri 274 . . . . . . . 8 ((𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥 < (abs‘𝐷))))
1413anbi1i 624 . . . . . . 7 (((𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)) ↔ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥 < (abs‘𝐷))) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)))
15 anass 469 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥 < (abs‘𝐷))) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ((0 ≤ 𝑥𝑥 < (abs‘𝐷)) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥))))
1614, 15bitri 274 . . . . . 6 (((𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ((0 ≤ 𝑥𝑥 < (abs‘𝐷)) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥))))
17 oveq2 7283 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑥 → ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥))
1817eqeq2d 2749 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑥 → (𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)))
1918rexbidv 3226 . . . . . . . . 9 (𝑟 = 𝑥 → (∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)))
201, 2, 3, 4divalglem4 16105 . . . . . . . . 9 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)}
2119, 20elrab2 3627 . . . . . . . 8 (𝑥𝑆 ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)))
2221anbi2i 623 . . . . . . 7 ((𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑥𝑆) ↔ (𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥))))
23 ancom 461 . . . . . . 7 ((𝑥𝑆𝑥 < (abs‘𝐷)) ↔ (𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑥𝑆))
24 anass 469 . . . . . . 7 (((𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)) ↔ (𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥))))
2522, 23, 243bitr4i 303 . . . . . 6 ((𝑥𝑆𝑥 < (abs‘𝐷)) ↔ ((𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)))
26 df-3an 1088 . . . . . . . . 9 ((0 ≤ 𝑥𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)) ↔ ((0 ≤ 𝑥𝑥 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)))
2726rexbii 3181 . . . . . . . 8 (∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑥𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ ((0 ≤ 𝑥𝑥 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)))
28 r19.42v 3279 . . . . . . . 8 (∃𝑞 ∈ ℤ ((0 ≤ 𝑥𝑥 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)) ↔ ((0 ≤ 𝑥𝑥 < (abs‘𝐷)) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)))
2927, 28bitri 274 . . . . . . 7 (∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑥𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)) ↔ ((0 ≤ 𝑥𝑥 < (abs‘𝐷)) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)))
3029anbi2i 623 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑥𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥))) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ((0 ≤ 𝑥𝑥 < (abs‘𝐷)) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥))))
3116, 25, 303bitr4i 303 . . . . 5 ((𝑥𝑆𝑥 < (abs‘𝐷)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑥𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥))))
3231eubii 2585 . . . 4 (∃!𝑥(𝑥𝑆𝑥 < (abs‘𝐷)) ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑥𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥))))
33 df-reu 3072 . . . 4 (∃!𝑥𝑆 𝑥 < (abs‘𝐷) ↔ ∃!𝑥(𝑥𝑆𝑥 < (abs‘𝐷)))
34 df-reu 3072 . . . 4 (∃!𝑥 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑥𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)) ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑥𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥))))
3532, 33, 343bitr4i 303 . . 3 (∃!𝑥𝑆 𝑥 < (abs‘𝐷) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑥𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)))
366, 35mpbi 229 . 2 ∃!𝑥 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑥𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥))
37 breq2 5078 . . . . 5 (𝑥 = 𝑟 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑟))
38 breq1 5077 . . . . 5 (𝑥 = 𝑟 → (𝑥 < (abs‘𝐷) ↔ 𝑟 < (abs‘𝐷)))
39 oveq2 7283 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑟 → ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))
4039eqeq2d 2749 . . . . 5 (𝑥 = 𝑟 → (𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥) ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
4137, 38, 403anbi123d 1435 . . . 4 (𝑥 = 𝑟 → ((0 ≤ 𝑥𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)) ↔ (0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))))
4241rexbidv 3226 . . 3 (𝑥 = 𝑟 → (∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑥𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))))
4342cbvreuvw 3386 . 2 (∃!𝑥 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑥𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑥)) ↔ ∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
4436, 43mpbi 229 1 ∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  ∃!weu 2568  wne 2943  wrex 3065  ∃!wreu 3066  {crab 3068   class class class wbr 5074  cfv 6433  (class class class)co 7275  infcinf 9200  cr 10870  0cc0 10871   + caddc 10874   · cmul 10876   < clt 11009  cle 11010  cmin 11205  0cn0 12233  cz 12319  abscabs 14945  cdvds 15963
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-dvds 15964
This theorem is referenced by:  divalg  16112
  Copyright terms: Public domain W3C validator