Theorem divalg 16363

Description: The division algorithm (theorem). Dividing an integer 𝑁 by a nonzero integer 𝐷 produces a (unique) quotient 𝑞 and a unique remainder 0 ≤ 𝑟 < (abs‘𝐷). Theorem 1.14 in [ApostolNT] p. 19. The proof does not use / or ⌊ or mod. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
divalg	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → ∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑞,𝑟   𝑁,𝑞,𝑟

Proof of Theorem divalg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2743	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) → (𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) ↔ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
2	1	3anbi3d 1450	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) → ((0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))))
3	2	rexbidv 3163	. . . 4 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) → (∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))))
4	3	reubidv 3360	. . 3 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) → (∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))))
5		fveq2 6827	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 = if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) → (abs‘𝐷) = (abs‘if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1)))
6	5	breq2d 5084	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 = if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) → (𝑟 < (abs‘𝐷) ↔ 𝑟 < (abs‘if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1))))
7		oveq2 7364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 = if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) → (𝑞 · 𝐷) = (𝑞 · if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1)))
8	7	oveq1d 7371	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 = if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) → ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) = ((𝑞 · if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1)) + 𝑟))
9	8	eqeq2d 2750	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 = if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) → (if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) ↔ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) = ((𝑞 · if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1)) + 𝑟)))
10	6, 9	3anbi23d 1447	. . . . 5 ⊢ (𝐷 = if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) → ((0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1)) ∧ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) = ((𝑞 · if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1)) + 𝑟))))
11	10	rexbidv 3163	. . . 4 ⊢ (𝐷 = if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) → (∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1)) ∧ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) = ((𝑞 · if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1)) + 𝑟))))
12	11	reubidv 3360	. . 3 ⊢ (𝐷 = if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) → (∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1)) ∧ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) = ((𝑞 · if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1)) + 𝑟))))
13		1z 12548	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
14	13	elimel 4524	. . . 4 ⊢ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) ∈ ℤ
15		simpl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → 𝐷 ∈ ℤ)
16		eleq1 2827	. . . . 5 ⊢ (𝐷 = if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) → (𝐷 ∈ ℤ ↔ if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) ∈ ℤ))
17		eleq1 2827	. . . . 5 ⊢ (1 = if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) → (1 ∈ ℤ ↔ if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) ∈ ℤ))
18	15, 16, 17, 13	elimdhyp 4525	. . . 4 ⊢ if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) ∈ ℤ
19		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → 𝐷 ≠ 0)
20		neeq1 2996	. . . . 5 ⊢ (𝐷 = if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) → (𝐷 ≠ 0 ↔ if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) ≠ 0))
21		neeq1 2996	. . . . 5 ⊢ (1 = if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) → (1 ≠ 0 ↔ if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) ≠ 0))
22		ax-1ne0 11098	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 0
23	19, 20, 21, 22	elimdhyp 4525	. . . 4 ⊢ if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) ≠ 0
24		eqid 2739	. . . 4 ⊢ {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) ∥ (if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) − 𝑟)} = {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) ∥ (if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) − 𝑟)}
25	14, 18, 23, 24	divalglem10 16362	. . 3 ⊢ ∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1)) ∧ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) = ((𝑞 · if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1)) + 𝑟))
26	4, 12, 25	dedth2h 4514	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
27	26	3impb 1120	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → ∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∃wrex 3063  ∃!wreu 3342  {crab 3391  ifcif 4454   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  abscabs 15187   ∥ cdvds 16212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16213

This theorem is referenced by:  divalg2  16365