Theorem divalg 16314

Description: The division algorithm (theorem). Dividing an integer 𝑁 by a nonzero integer 𝐷 produces a (unique) quotient 𝑞 and a unique remainder 0 ≤ 𝑟 < (abs‘𝐷). Theorem 1.14 in [ApostolNT] p. 19. The proof does not use / or ⌊ or mod. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
divalg	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → ∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑞,𝑟   𝑁,𝑞,𝑟

Proof of Theorem divalg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2735	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) → (𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) ↔ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
2	1	3anbi3d 1444	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) → ((0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))))
3	2	rexbidv 3156	. . . 4 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) → (∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))))
4	3	reubidv 3362	. . 3 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) → (∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))))
5		fveq2 6822	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 = if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) → (abs‘𝐷) = (abs‘if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1)))
6	5	breq2d 5101	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 = if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) → (𝑟 < (abs‘𝐷) ↔ 𝑟 < (abs‘if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1))))
7		oveq2 7354	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 = if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) → (𝑞 · 𝐷) = (𝑞 · if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1)))
8	7	oveq1d 7361	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 = if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) → ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) = ((𝑞 · if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1)) + 𝑟))
9	8	eqeq2d 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 = if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) → (if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) ↔ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) = ((𝑞 · if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1)) + 𝑟)))
10	6, 9	3anbi23d 1441	. . . . 5 ⊢ (𝐷 = if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) → ((0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1)) ∧ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) = ((𝑞 · if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1)) + 𝑟))))
11	10	rexbidv 3156	. . . 4 ⊢ (𝐷 = if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) → (∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1)) ∧ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) = ((𝑞 · if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1)) + 𝑟))))
12	11	reubidv 3362	. . 3 ⊢ (𝐷 = if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) → (∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1)) ∧ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) = ((𝑞 · if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1)) + 𝑟))))
13		1z 12502	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
14	13	elimel 4542	. . . 4 ⊢ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) ∈ ℤ
15		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → 𝐷 ∈ ℤ)
16		eleq1 2819	. . . . 5 ⊢ (𝐷 = if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) → (𝐷 ∈ ℤ ↔ if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) ∈ ℤ))
17		eleq1 2819	. . . . 5 ⊢ (1 = if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) → (1 ∈ ℤ ↔ if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) ∈ ℤ))
18	15, 16, 17, 13	elimdhyp 4543	. . . 4 ⊢ if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) ∈ ℤ
19		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → 𝐷 ≠ 0)
20		neeq1 2990	. . . . 5 ⊢ (𝐷 = if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) → (𝐷 ≠ 0 ↔ if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) ≠ 0))
21		neeq1 2990	. . . . 5 ⊢ (1 = if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) → (1 ≠ 0 ↔ if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) ≠ 0))
22		ax-1ne0 11075	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 0
23	19, 20, 21, 22	elimdhyp 4543	. . . 4 ⊢ if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) ≠ 0
24		eqid 2731	. . . 4 ⊢ {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) ∥ (if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) − 𝑟)} = {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) ∥ (if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) − 𝑟)}
25	14, 18, 23, 24	divalglem10 16313	. . 3 ⊢ ∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1)) ∧ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) = ((𝑞 · if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1)) + 𝑟))
26	4, 12, 25	dedth2h 4532	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
27	26	3impb 1114	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → ∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∃wrex 3056  ∃!wreu 3344  {crab 3395  ifcif 4472   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  0cc0 11006  1c1 11007   + caddc 11009   · cmul 11011   < clt 11146   ≤ cle 11147   − cmin 11344  ℕ₀cn0 12381  ℤcz 12468  abscabs 15141   ∥ cdvds 16163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-fz 13408  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-dvds 16164

This theorem is referenced by:  divalg2  16316