MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divalg 16350
Description: The division algorithm (theorem). Dividing an integer ๐‘ by a nonzero integer ๐ท produces a (unique) quotient ๐‘ž and a unique remainder 0 โ‰ค ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท). Theorem 1.14 in [ApostolNT] p. 19. The proof does not use / or โŒŠ or mod. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
divalg ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โ‰  0) โ†’ โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)))
Distinct variable groups:   ๐ท,๐‘ž,๐‘Ÿ   ๐‘,๐‘ž,๐‘Ÿ

Proof of Theorem divalg
StepHypRef Expression
1 eqeq1 2734 . . . . . 6 (๐‘ = if(๐‘ โˆˆ โ„ค, ๐‘, 1) โ†’ (๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ) โ†” if(๐‘ โˆˆ โ„ค, ๐‘, 1) = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)))
213anbi3d 1440 . . . . 5 (๐‘ = if(๐‘ โˆˆ โ„ค, ๐‘, 1) โ†’ ((0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)) โ†” (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง if(๐‘ โˆˆ โ„ค, ๐‘, 1) = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ))))
32rexbidv 3176 . . . 4 (๐‘ = if(๐‘ โˆˆ โ„ค, ๐‘, 1) โ†’ (โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)) โ†” โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง if(๐‘ โˆˆ โ„ค, ๐‘, 1) = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ))))
43reubidv 3392 . . 3 (๐‘ = if(๐‘ โˆˆ โ„ค, ๐‘, 1) โ†’ (โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)) โ†” โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง if(๐‘ โˆˆ โ„ค, ๐‘, 1) = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ))))
5 fveq2 6890 . . . . . . 7 (๐ท = if((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โ‰  0), ๐ท, 1) โ†’ (absโ€˜๐ท) = (absโ€˜if((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โ‰  0), ๐ท, 1)))
65breq2d 5159 . . . . . 6 (๐ท = if((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โ‰  0), ๐ท, 1) โ†’ (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โ†” ๐‘Ÿ < (absโ€˜if((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โ‰  0), ๐ท, 1))))
7 oveq2 7419 . . . . . . . 8 (๐ท = if((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โ‰  0), ๐ท, 1) โ†’ (๐‘ž ยท ๐ท) = (๐‘ž ยท if((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โ‰  0), ๐ท, 1)))
87oveq1d 7426 . . . . . . 7 (๐ท = if((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โ‰  0), ๐ท, 1) โ†’ ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ) = ((๐‘ž ยท if((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โ‰  0), ๐ท, 1)) + ๐‘Ÿ))
98eqeq2d 2741 . . . . . 6 (๐ท = if((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โ‰  0), ๐ท, 1) โ†’ (if(๐‘ โˆˆ โ„ค, ๐‘, 1) = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ) โ†” if(๐‘ โˆˆ โ„ค, ๐‘, 1) = ((๐‘ž ยท if((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โ‰  0), ๐ท, 1)) + ๐‘Ÿ)))
106, 93anbi23d 1437 . . . . 5 (๐ท = if((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โ‰  0), ๐ท, 1) โ†’ ((0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง if(๐‘ โˆˆ โ„ค, ๐‘, 1) = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)) โ†” (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜if((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โ‰  0), ๐ท, 1)) โˆง if(๐‘ โˆˆ โ„ค, ๐‘, 1) = ((๐‘ž ยท if((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โ‰  0), ๐ท, 1)) + ๐‘Ÿ))))
1110rexbidv 3176 . . . 4 (๐ท = if((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โ‰  0), ๐ท, 1) โ†’ (โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง if(๐‘ โˆˆ โ„ค, ๐‘, 1) = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)) โ†” โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜if((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โ‰  0), ๐ท, 1)) โˆง if(๐‘ โˆˆ โ„ค, ๐‘, 1) = ((๐‘ž ยท if((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โ‰  0), ๐ท, 1)) + ๐‘Ÿ))))
1211reubidv 3392 . . 3 (๐ท = if((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โ‰  0), ๐ท, 1) โ†’ (โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง if(๐‘ โˆˆ โ„ค, ๐‘, 1) = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)) โ†” โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜if((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โ‰  0), ๐ท, 1)) โˆง if(๐‘ โˆˆ โ„ค, ๐‘, 1) = ((๐‘ž ยท if((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โ‰  0), ๐ท, 1)) + ๐‘Ÿ))))
13 1z 12596 . . . . 5 1 โˆˆ โ„ค
1413elimel 4596 . . . 4 if(๐‘ โˆˆ โ„ค, ๐‘, 1) โˆˆ โ„ค
15 simpl 481 . . . . 5 ((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โ‰  0) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„ค)
16 eleq1 2819 . . . . 5 (๐ท = if((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โ‰  0), ๐ท, 1) โ†’ (๐ท โˆˆ โ„ค โ†” if((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โ‰  0), ๐ท, 1) โˆˆ โ„ค))
17 eleq1 2819 . . . . 5 (1 = if((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โ‰  0), ๐ท, 1) โ†’ (1 โˆˆ โ„ค โ†” if((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โ‰  0), ๐ท, 1) โˆˆ โ„ค))
1815, 16, 17, 13elimdhyp 4597 . . . 4 if((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โ‰  0), ๐ท, 1) โˆˆ โ„ค
19 simpr 483 . . . . 5 ((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โ‰  0) โ†’ ๐ท โ‰  0)
20 neeq1 3001 . . . . 5 (๐ท = if((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โ‰  0), ๐ท, 1) โ†’ (๐ท โ‰  0 โ†” if((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โ‰  0), ๐ท, 1) โ‰  0))
21 neeq1 3001 . . . . 5 (1 = if((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โ‰  0), ๐ท, 1) โ†’ (1 โ‰  0 โ†” if((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โ‰  0), ๐ท, 1) โ‰  0))
22 ax-1ne0 11181 . . . . 5 1 โ‰  0
2319, 20, 21, 22elimdhyp 4597 . . . 4 if((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โ‰  0), ๐ท, 1) โ‰  0
24 eqid 2730 . . . 4 {๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆฃ if((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โ‰  0), ๐ท, 1) โˆฅ (if(๐‘ โˆˆ โ„ค, ๐‘, 1) โˆ’ ๐‘Ÿ)} = {๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆฃ if((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โ‰  0), ๐ท, 1) โˆฅ (if(๐‘ โˆˆ โ„ค, ๐‘, 1) โˆ’ ๐‘Ÿ)}
2514, 18, 23, 24divalglem10 16349 . . 3 โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜if((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โ‰  0), ๐ท, 1)) โˆง if(๐‘ โˆˆ โ„ค, ๐‘, 1) = ((๐‘ž ยท if((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โ‰  0), ๐ท, 1)) + ๐‘Ÿ))
264, 12, 25dedth2h 4586 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โ‰  0)) โ†’ โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)))
27263impb 1113 1 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โ‰  0) โ†’ โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938  โˆƒwrex 3068  โˆƒ!wreu 3372  {crab 3430  ifcif 4527   class class class wbr 5147  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  abscabs 15185   โˆฅ cdvds 16201
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16202
This theorem is referenced by:  divalg2  16352
  Copyright terms: Public domain W3C validator