Theorem divalg 16346

Description: The division algorithm (theorem). Dividing an integer 𝑁 by a nonzero integer 𝐷 produces a (unique) quotient 𝑞 and a unique remainder 0 ≤ 𝑟 < (abs‘𝐷). Theorem 1.14 in [ApostolNT] p. 19. The proof does not use / or ⌊ or mod. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
divalg	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → ∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑞,𝑟   𝑁,𝑞,𝑟

Proof of Theorem divalg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) → (𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) ↔ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
2	1	3anbi3d 1443	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) → ((0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))))
3	2	rexbidv 3179	. . . 4 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) → (∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))))
4	3	reubidv 3395	. . 3 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) → (∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))))
5		fveq2 6892	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 = if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) → (abs‘𝐷) = (abs‘if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1)))
6	5	breq2d 5161	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 = if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) → (𝑟 < (abs‘𝐷) ↔ 𝑟 < (abs‘if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1))))
7		oveq2 7417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 = if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) → (𝑞 · 𝐷) = (𝑞 · if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1)))
8	7	oveq1d 7424	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 = if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) → ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) = ((𝑞 · if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1)) + 𝑟))
9	8	eqeq2d 2744	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 = if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) → (if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) ↔ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) = ((𝑞 · if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1)) + 𝑟)))
10	6, 9	3anbi23d 1440	. . . . 5 ⊢ (𝐷 = if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) → ((0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1)) ∧ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) = ((𝑞 · if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1)) + 𝑟))))
11	10	rexbidv 3179	. . . 4 ⊢ (𝐷 = if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) → (∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1)) ∧ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) = ((𝑞 · if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1)) + 𝑟))))
12	11	reubidv 3395	. . 3 ⊢ (𝐷 = if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) → (∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1)) ∧ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) = ((𝑞 · if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1)) + 𝑟))))
13		1z 12592	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
14	13	elimel 4598	. . . 4 ⊢ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) ∈ ℤ
15		simpl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → 𝐷 ∈ ℤ)
16		eleq1 2822	. . . . 5 ⊢ (𝐷 = if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) → (𝐷 ∈ ℤ ↔ if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) ∈ ℤ))
17		eleq1 2822	. . . . 5 ⊢ (1 = if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) → (1 ∈ ℤ ↔ if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) ∈ ℤ))
18	15, 16, 17, 13	elimdhyp 4599	. . . 4 ⊢ if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) ∈ ℤ
19		simpr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → 𝐷 ≠ 0)
20		neeq1 3004	. . . . 5 ⊢ (𝐷 = if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) → (𝐷 ≠ 0 ↔ if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) ≠ 0))
21		neeq1 3004	. . . . 5 ⊢ (1 = if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) → (1 ≠ 0 ↔ if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) ≠ 0))
22		ax-1ne0 11179	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 0
23	19, 20, 21, 22	elimdhyp 4599	. . . 4 ⊢ if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) ≠ 0
24		eqid 2733	. . . 4 ⊢ {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) ∥ (if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) − 𝑟)} = {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) ∥ (if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) − 𝑟)}
25	14, 18, 23, 24	divalglem10 16345	. . 3 ⊢ ∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1)) ∧ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) = ((𝑞 · if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1)) + 𝑟))
26	4, 12, 25	dedth2h 4588	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
27	26	3impb 1116	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → ∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∃wrex 3071  ∃!wreu 3375  {crab 3433  ifcif 4529   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   · cmul 11115   < clt 11248   ≤ cle 11249   − cmin 11444  ℕ₀cn0 12472  ℤcz 12558  abscabs 15181   ∥ cdvds 16197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198

This theorem is referenced by:  divalg2  16348