Theorem expdiv 14136

Description: Nonnegative integer exponentiation of a quotient. (Contributed by NM, 2-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
expdiv	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 / 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) / (𝐵↑𝑁)))

Proof of Theorem expdiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divrec 11920	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
2	1	3expb 1120	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
3	2	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
4	3	oveq1d 7428	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 / 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴 · (1 / 𝐵))↑𝑁))
5		reccl 11911	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (1 / 𝐵) ∈ ℂ)
6		mulexp 14124	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 / 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · (1 / 𝐵))↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) · ((1 / 𝐵)↑𝑁)))
7	5, 6	syl3an2 1164	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · (1 / 𝐵))↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) · ((1 / 𝐵)↑𝑁)))
8		simp2l 1199	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
9		simp2r 1200	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ≠ 0)
10		nn0z 12621	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
11	10	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
12		exprec 14126	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((1 / 𝐵)↑𝑁) = (1 / (𝐵↑𝑁)))
13	8, 9, 11, 12	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((1 / 𝐵)↑𝑁) = (1 / (𝐵↑𝑁)))
14	13	oveq2d 7429	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑁) · ((1 / 𝐵)↑𝑁)) = ((𝐴↑𝑁) · (1 / (𝐵↑𝑁))))
15		expcl 14102	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
16	15	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
17		expcl 14102	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℂ)
18	17	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℂ)
19	18	3adant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℂ)
20		expne0i 14117	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐵↑𝑁) ≠ 0)
21	8, 9, 11, 20	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑁) ≠ 0)
22	16, 19, 21	divrecd 12028	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑁) / (𝐵↑𝑁)) = ((𝐴↑𝑁) · (1 / (𝐵↑𝑁))))
23	14, 22	eqtr4d 2772	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑁) · ((1 / 𝐵)↑𝑁)) = ((𝐴↑𝑁) / (𝐵↑𝑁)))
24	4, 7, 23	3eqtrd 2773	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 / 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) / (𝐵↑𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  (class class class)co 7413  ℂcc 11135  0cc0 11137  1c1 11138   · cmul 11142   / cdiv 11902  ℕ₀cn0 12509  ℤcz 12596  ↑cexp 14084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11903  df-nn 12249  df-n0 12510  df-z 12597  df-uz 12861  df-seq 14025  df-exp 14085

This theorem is referenced by:  expdivd  14183  stoweidlem7  45994  onetansqsecsq  49375  cotsqcscsq  49376