MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expdiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expdiv 13815
Description: Nonnegative integer exponentiation of a quotient. (Contributed by NM, 2-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
expdiv ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 / 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴𝑁) / (𝐵𝑁)))

Proof of Theorem expdiv
StepHypRef Expression
1 divrec 11632 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
213expb 1118 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
323adant3 1130 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
43oveq1d 7283 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 / 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴 · (1 / 𝐵))↑𝑁))
5 reccl 11623 . . 3 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (1 / 𝐵) ∈ ℂ)
6 mulexp 13803 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 / 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · (1 / 𝐵))↑𝑁) = ((𝐴𝑁) · ((1 / 𝐵)↑𝑁)))
75, 6syl3an2 1162 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · (1 / 𝐵))↑𝑁) = ((𝐴𝑁) · ((1 / 𝐵)↑𝑁)))
8 simp2l 1197 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
9 simp2r 1198 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ≠ 0)
10 nn0z 12326 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
11103ad2ant3 1133 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
12 exprec 13805 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((1 / 𝐵)↑𝑁) = (1 / (𝐵𝑁)))
138, 9, 11, 12syl3anc 1369 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((1 / 𝐵)↑𝑁) = (1 / (𝐵𝑁)))
1413oveq2d 7284 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑁) · ((1 / 𝐵)↑𝑁)) = ((𝐴𝑁) · (1 / (𝐵𝑁))))
15 expcl 13781 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
16153adant2 1129 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
17 expcl 13781 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑁) ∈ ℂ)
1817adantlr 711 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑁) ∈ ℂ)
19183adant1 1128 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑁) ∈ ℂ)
20 expne0i 13796 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐵𝑁) ≠ 0)
218, 9, 11, 20syl3anc 1369 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑁) ≠ 0)
2216, 19, 21divrecd 11737 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑁) / (𝐵𝑁)) = ((𝐴𝑁) · (1 / (𝐵𝑁))))
2314, 22eqtr4d 2782 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑁) · ((1 / 𝐵)↑𝑁)) = ((𝐴𝑁) / (𝐵𝑁)))
244, 7, 233eqtrd 2783 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 / 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴𝑁) / (𝐵𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1541  wcel 2109  wne 2944  (class class class)co 7268  cc 10853  0cc0 10855  1c1 10856   · cmul 10860   / cdiv 11615  0cn0 12216  cz 12302  cexp 13763
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-nn 11957  df-n0 12217  df-z 12303  df-uz 12565  df-seq 13703  df-exp 13764
This theorem is referenced by:  expdivd  13859  stoweidlem7  43502  onetansqsecsq  46415  cotsqcscsq  46416
  Copyright terms: Public domain W3C validator