Theorem expdiv 14169

Description: Nonnegative integer exponentiation of a quotient. (Contributed by NM, 2-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
expdiv	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 / 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) / (𝐵↑𝑁)))

Proof of Theorem expdiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divrec 11906	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
2	1	3expb 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
3	2	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
4	3	oveq1d 7438	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 / 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴 · (1 / 𝐵))↑𝑁))
5		reccl 11897	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (1 / 𝐵) ∈ ℂ)
6		mulexp 14157	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 / 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · (1 / 𝐵))↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) · ((1 / 𝐵)↑𝑁)))
7	5, 6	syl3an2 1182	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · (1 / 𝐵))↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) · ((1 / 𝐵)↑𝑁)))
8		simp2l 1218	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
9		simp2r 1219	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ≠ 0)
10		nn0z 12633	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
11	10	3ad2ant3 1153	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
12		exprec 14159	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((1 / 𝐵)↑𝑁) = (1 / (𝐵↑𝑁)))
13	8, 9, 11, 12	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((1 / 𝐵)↑𝑁) = (1 / (𝐵↑𝑁)))
14	13	oveq2d 7439	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑁) · ((1 / 𝐵)↑𝑁)) = ((𝐴↑𝑁) · (1 / (𝐵↑𝑁))))
15		expcl 14135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
16	15	3adant2 1149	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
17		expcl 14135	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℂ)
18	17	adantlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℂ)
19	18	3adant1 1148	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℂ)
20		expne0i 14150	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐵↑𝑁) ≠ 0)
21	8, 9, 11, 20	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑁) ≠ 0)
22	16, 19, 21	divrecd 12012	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑁) / (𝐵↑𝑁)) = ((𝐴↑𝑁) · (1 / (𝐵↑𝑁))))
23	14, 22	eqtr4d 2804	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑁) · ((1 / 𝐵)↑𝑁)) = ((𝐴↑𝑁) / (𝐵↑𝑁)))
24	4, 7, 23	3eqtrd 2805	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 / 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) / (𝐵↑𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  0cc0 11118  1c1 11119   · cmul 11123   / cdiv 11889  ℕ₀cn0 12522  ℤcz 12609  ↑cexp 14117

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-seq 14058  df-exp 14118

This theorem is used by:  expdivd  14216  stoweidlem7  46762  goldratmolem2  47664  onetansqsecsq  50580  cotsqcscsq  50581