Theorem efsub 16189

Description: Difference of exponents law for exponential function. (Contributed by Steve Rodriguez, 25-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
efsub	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (exp‘(𝐴 − 𝐵)) = ((exp‘𝐴) / (exp‘𝐵)))

Proof of Theorem efsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efcl 16169	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ∈ ℂ)
2		efcl 16169	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (exp‘𝐵) ∈ ℂ)
3		efne0 16185	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (exp‘𝐵) ≠ 0)
4		divrec 11913	. . . 4 ⊢ (((exp‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (exp‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (exp‘𝐵) ≠ 0) → ((exp‘𝐴) / (exp‘𝐵)) = ((exp‘𝐴) · (1 / (exp‘𝐵))))
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1178	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((exp‘𝐴) / (exp‘𝐵)) = ((exp‘𝐴) · (1 / (exp‘𝐵))))
6	5	3anidm23 1448	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((exp‘𝐴) / (exp‘𝐵)) = ((exp‘𝐴) · (1 / (exp‘𝐵))))
7		efcan 16183	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((exp‘𝐵) · (exp‘-𝐵)) = 1)
8	7	eqcomd 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → 1 = ((exp‘𝐵) · (exp‘-𝐵)))
9		negcl 11482	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → -𝐵 ∈ ℂ)
10		efcl 16169	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝐵 ∈ ℂ → (exp‘-𝐵) ∈ ℂ)
11	9, 10	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (exp‘-𝐵) ∈ ℂ)
12		ax-1cn 11183	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
13		divmul2 11901	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (exp‘-𝐵) ∈ ℂ ∧ ((exp‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (exp‘𝐵) ≠ 0)) → ((1 / (exp‘𝐵)) = (exp‘-𝐵) ↔ 1 = ((exp‘𝐵) · (exp‘-𝐵))))
14	12, 13	mp3an1 1477	. . . . . . 7 ⊢ (((exp‘-𝐵) ∈ ℂ ∧ ((exp‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (exp‘𝐵) ≠ 0)) → ((1 / (exp‘𝐵)) = (exp‘-𝐵) ↔ 1 = ((exp‘𝐵) · (exp‘-𝐵))))
15	11, 2, 3, 14	syl12anc 850	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((1 / (exp‘𝐵)) = (exp‘-𝐵) ↔ 1 = ((exp‘𝐵) · (exp‘-𝐵))))
16	8, 15	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (1 / (exp‘𝐵)) = (exp‘-𝐵))
17	16	oveq2d 7430	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((exp‘𝐴) · (1 / (exp‘𝐵))) = ((exp‘𝐴) · (exp‘-𝐵)))
18	17	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((exp‘𝐴) · (1 / (exp‘𝐵))) = ((exp‘𝐴) · (exp‘-𝐵)))
19		efadd 16181	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℂ) → (exp‘(𝐴 + -𝐵)) = ((exp‘𝐴) · (exp‘-𝐵)))
20	9, 19	sylan2 605	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (exp‘(𝐴 + -𝐵)) = ((exp‘𝐴) · (exp‘-𝐵)))
21	18, 20	eqtr4d 2798	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((exp‘𝐴) · (1 / (exp‘𝐵))) = (exp‘(𝐴 + -𝐵)))
22		negsub 11531	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
23	22	fveq2d 6883	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (exp‘(𝐴 + -𝐵)) = (exp‘(𝐴 − 𝐵)))
24	6, 21, 23	3eqtrrd 2800	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (exp‘(𝐴 − 𝐵)) = ((exp‘𝐴) / (exp‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℂcc 11123  0cc0 11125  1c1 11126   + caddc 11128   · cmul 11130   − cmin 11466  -cneg 11467   / cdiv 11896  expce 16148

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9621  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-er 8697  df-pm 8830  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9413  df-inf 9414  df-oi 9483  df-card 9945  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-rp 13044  df-ico 13405  df-fz 13563  df-fzo 13711  df-fl 13854  df-seq 14067  df-exp 14127  df-fac 14339  df-bc 14368  df-hash 14396  df-shft 15141  df-cj 15187  df-re 15188  df-im 15189  df-sqrt 15323  df-abs 15324  df-limsup 15559  df-clim 15576  df-rlim 15577  df-sum 15775  df-ef 16154

This theorem is used by:  efeq1  26766  efif1olem4  26783  relogdiv  26831  eflogeq  26840  efiarg  26845  logneg2  26853  logdiv2  26855  logcnlem4  26883  efopn  26896  ang180lem1  27047  efiatan  27150  2efiatan  27156  atantan  27161  birthdaylem2  27190  gamcvg2lem  27296  efchtdvds  27396  bposlem9  27529  iprodgam  36322  efsubd  43214