Theorem efsub 16068

Description: Difference of exponents law for exponential function. (Contributed by Steve Rodriguez, 25-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
efsub	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (exp‘(𝐴 − 𝐵)) = ((exp‘𝐴) / (exp‘𝐵)))

Proof of Theorem efsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efcl 16048	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ∈ ℂ)
2		efcl 16048	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (exp‘𝐵) ∈ ℂ)
3		efne0 16064	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (exp‘𝐵) ≠ 0)
4		divrec 11853	. . . 4 ⊢ (((exp‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (exp‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (exp‘𝐵) ≠ 0) → ((exp‘𝐴) / (exp‘𝐵)) = ((exp‘𝐴) · (1 / (exp‘𝐵))))
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1160	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((exp‘𝐴) / (exp‘𝐵)) = ((exp‘𝐴) · (1 / (exp‘𝐵))))
6	5	3anidm23 1423	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((exp‘𝐴) / (exp‘𝐵)) = ((exp‘𝐴) · (1 / (exp‘𝐵))))
7		efcan 16062	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((exp‘𝐵) · (exp‘-𝐵)) = 1)
8	7	eqcomd 2735	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → 1 = ((exp‘𝐵) · (exp‘-𝐵)))
9		negcl 11421	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → -𝐵 ∈ ℂ)
10		efcl 16048	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝐵 ∈ ℂ → (exp‘-𝐵) ∈ ℂ)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (exp‘-𝐵) ∈ ℂ)
12		ax-1cn 11126	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
13		divmul2 11841	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (exp‘-𝐵) ∈ ℂ ∧ ((exp‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (exp‘𝐵) ≠ 0)) → ((1 / (exp‘𝐵)) = (exp‘-𝐵) ↔ 1 = ((exp‘𝐵) · (exp‘-𝐵))))
14	12, 13	mp3an1 1450	. . . . . . 7 ⊢ (((exp‘-𝐵) ∈ ℂ ∧ ((exp‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (exp‘𝐵) ≠ 0)) → ((1 / (exp‘𝐵)) = (exp‘-𝐵) ↔ 1 = ((exp‘𝐵) · (exp‘-𝐵))))
15	11, 2, 3, 14	syl12anc 836	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((1 / (exp‘𝐵)) = (exp‘-𝐵) ↔ 1 = ((exp‘𝐵) · (exp‘-𝐵))))
16	8, 15	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (1 / (exp‘𝐵)) = (exp‘-𝐵))
17	16	oveq2d 7403	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((exp‘𝐴) · (1 / (exp‘𝐵))) = ((exp‘𝐴) · (exp‘-𝐵)))
18	17	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((exp‘𝐴) · (1 / (exp‘𝐵))) = ((exp‘𝐴) · (exp‘-𝐵)))
19		efadd 16060	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℂ) → (exp‘(𝐴 + -𝐵)) = ((exp‘𝐴) · (exp‘-𝐵)))
20	9, 19	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (exp‘(𝐴 + -𝐵)) = ((exp‘𝐴) · (exp‘-𝐵)))
21	18, 20	eqtr4d 2767	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((exp‘𝐴) · (1 / (exp‘𝐵))) = (exp‘(𝐴 + -𝐵)))
22		negsub 11470	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
23	22	fveq2d 6862	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (exp‘(𝐴 + -𝐵)) = (exp‘(𝐴 − 𝐵)))
24	6, 21, 23	3eqtrrd 2769	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (exp‘(𝐴 − 𝐵)) = ((exp‘𝐴) / (exp‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073   − cmin 11405  -cneg 11406   / cdiv 11835  expce 16027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-pm 8802  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-ico 13312  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-seq 13967  df-exp 14027  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15033  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-limsup 15437  df-clim 15454  df-rlim 15455  df-sum 15653  df-ef 16033

This theorem is referenced by:  efeq1  26437  efif1olem4  26454  relogdiv  26502  eflogeq  26511  efiarg  26516  logneg2  26524  logdiv2  26526  logcnlem4  26554  efopn  26567  ang180lem1  26719  efiatan  26822  2efiatan  26828  atantan  26833  birthdaylem2  26862  gamcvg2lem  26969  efchtdvds  27069  bposlem9  27203  iprodgam  35729  efsubd  42326