Theorem efsub 16268

Description: Difference of exponents law for exponential function. (Contributed by Steve Rodriguez, 25-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
efsub	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (exp‘(𝐴 − 𝐵)) = ((exp‘𝐴) / (exp‘𝐵)))

Proof of Theorem efsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efcl 16248	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ∈ ℂ)
2		efcl 16248	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (exp‘𝐵) ∈ ℂ)
3		efne0 16264	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (exp‘𝐵) ≠ 0)
4		divrec 11990	. . . 4 ⊢ (((exp‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (exp‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (exp‘𝐵) ≠ 0) → ((exp‘𝐴) / (exp‘𝐵)) = ((exp‘𝐴) · (1 / (exp‘𝐵))))
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1178	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((exp‘𝐴) / (exp‘𝐵)) = ((exp‘𝐴) · (1 / (exp‘𝐵))))
6	5	3anidm23 1448	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((exp‘𝐴) / (exp‘𝐵)) = ((exp‘𝐴) · (1 / (exp‘𝐵))))
7		efcan 16262	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((exp‘𝐵) · (exp‘ -𝐵)) = 1)
8	7	eqcomd 2767	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → 1 = ((exp‘𝐵) · (exp‘ -𝐵)))
9		negcl 11557	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → -𝐵 ∈ ℂ)
10		efcl 16248	. . . . . . . 8 ⊢ ( -𝐵 ∈ ℂ → (exp‘ -𝐵) ∈ ℂ)
11	9, 10	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (exp‘ -𝐵) ∈ ℂ)
12		ax-1cn 11258	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
13		divmul2 11978	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (exp‘ -𝐵) ∈ ℂ ∧ ((exp‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (exp‘𝐵) ≠ 0)) → ((1 / (exp‘𝐵)) = (exp‘ -𝐵) ↔ 1 = ((exp‘𝐵) · (exp‘ -𝐵))))
14	12, 13	mp3an1 1477	. . . . . . 7 ⊢ (((exp‘ -𝐵) ∈ ℂ ∧ ((exp‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (exp‘𝐵) ≠ 0)) → ((1 / (exp‘𝐵)) = (exp‘ -𝐵) ↔ 1 = ((exp‘𝐵) · (exp‘ -𝐵))))
15	11, 2, 3, 14	syl12anc 850	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((1 / (exp‘𝐵)) = (exp‘ -𝐵) ↔ 1 = ((exp‘𝐵) · (exp‘ -𝐵))))
16	8, 15	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (1 / (exp‘𝐵)) = (exp‘ -𝐵))
17	16	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((exp‘𝐴) · (1 / (exp‘𝐵))) = ((exp‘𝐴) · (exp‘ -𝐵)))
18	17	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((exp‘𝐴) · (1 / (exp‘𝐵))) = ((exp‘𝐴) · (exp‘ -𝐵)))
19		efadd 16260	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℂ) → (exp‘(𝐴 + -𝐵)) = ((exp‘𝐴) · (exp‘ -𝐵)))
20	9, 19	sylan2 605	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (exp‘(𝐴 + -𝐵)) = ((exp‘𝐴) · (exp‘ -𝐵)))
21	18, 20	eqtr4d 2799	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((exp‘𝐴) · (1 / (exp‘𝐵))) = (exp‘(𝐴 + -𝐵)))
22		negsub 11606	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
23	22	fveq2d 6889	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (exp‘(𝐴 + -𝐵)) = (exp‘(𝐴 − 𝐵)))
24	6, 21, 23	3eqtrrd 2801	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (exp‘(𝐴 − 𝐵)) = ((exp‘𝐴) / (exp‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203   · cmul 11205   − cmin 11541   -cneg 11542   / cdiv 11973  expce 16227

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-ico 13482  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-seq 14145  df-exp 14205  df-fac 14418  df-bc 14447  df-hash 14475  df-shft 15220  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-limsup 15638  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854  df-ef 16233

This theorem is used by:  efeq1  26856  efif1olem4  26873  relogdiv  26921  eflogeq  26930  efiarg  26935  logneg2  26943  logdiv2  26945  logcnlem4  26973  efopn  26986  ang180lem1  27137  efiatan  27240  2efiatan  27246  atantan  27251  birthdaylem2  27280  gamcvg2lem  27386  efchtdvds  27486  bposlem9  27619  iprodgam  36507  efsubd  43389