Theorem drnginvrn0d 41188

Description: A multiplicative inverse in a division ring is nonzero. (recne0d 11986 analog). (Contributed by SN, 14-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
drnginvrn0d.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
drnginvrn0d.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
drnginvrn0d.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
drnginvrn0d.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
drnginvrn0d.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
drnginvrn0d.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
drnginvrn0d	⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ≠ 0 )

Proof of Theorem drnginvrn0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drnginvrn0d.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
2		drnginvrn0d.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		drnginvrn0d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
4		drnginvrn0d.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		drnginvrn0d.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6		drnginvrn0d.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
7	4, 5, 6	drnginvrn0 20384	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝐼‘𝑋) ≠ 0 )
8	1, 2, 3, 7	syl3anc 1371	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ≠ 0 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ‘cfv 6543  Basecbs 17146  0_gc0g 17387  inv_rcinvr 20205  DivRingcdr 20361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-0g 17389  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-mgp 19990  df-ur 20007  df-ring 20060  df-oppr 20154  df-dvdsr 20175  df-unit 20176  df-invr 20206  df-drng 20363

This theorem is referenced by: (None)