Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  drngmulcanad Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem drngmulcanad 40520
Description: Cancellation of a nonzero factor on the left for multiplication. (mulcanad 11711 analog). (Contributed by SN, 14-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
drngmulcanad.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
drngmulcanad.0 0 = (0gโ€˜๐‘…)
drngmulcanad.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
drngmulcanad.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ DivRing)
drngmulcanad.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
drngmulcanad.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
drngmulcanad.z (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ต)
drngmulcanad.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โ‰  0 )
drngmulcanad.2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) = (๐‘ ยท ๐‘Œ))
Assertion
Ref Expression
drngmulcanad (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ = ๐‘Œ)

Proof of Theorem drngmulcanad
StepHypRef Expression
1 drngmulcanad.2 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) = (๐‘ ยท ๐‘Œ))
21oveq2d 7353 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((invrโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)) = (((invrโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) ยท (๐‘ ยท ๐‘Œ)))
3 drngmulcanad.b . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
4 drngmulcanad.0 . . . . 5 0 = (0gโ€˜๐‘…)
5 drngmulcanad.t . . . . 5 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
6 eqid 2736 . . . . 5 (1rโ€˜๐‘…) = (1rโ€˜๐‘…)
7 eqid 2736 . . . . 5 (invrโ€˜๐‘…) = (invrโ€˜๐‘…)
8 drngmulcanad.r . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ DivRing)
9 drngmulcanad.z . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ต)
10 drngmulcanad.1 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โ‰  0 )
113, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10drnginvrld 40518 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((invrโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) ยท ๐‘) = (1rโ€˜๐‘…))
1211oveq1d 7352 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((((invrโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((1rโ€˜๐‘…) ยท ๐‘‹))
138drngringd 20101 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
143, 4, 7, 8, 9, 10drnginvrcld 40516 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((invrโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โˆˆ ๐ต)
15 drngmulcanad.x . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
163, 5, 13, 14, 9, 15ringassd 40503 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((((invrโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (((invrโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))
173, 5, 6, 13, 15ringlidmd 40504 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((1rโ€˜๐‘…) ยท ๐‘‹) = ๐‘‹)
1812, 16, 173eqtr3d 2784 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((invrโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)) = ๐‘‹)
1911oveq1d 7352 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((((invrโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) ยท ๐‘) ยท ๐‘Œ) = ((1rโ€˜๐‘…) ยท ๐‘Œ))
20 drngmulcanad.y . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
213, 5, 13, 14, 9, 20ringassd 40503 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((((invrโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) ยท ๐‘) ยท ๐‘Œ) = (((invrโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) ยท (๐‘ ยท ๐‘Œ)))
223, 5, 6, 13, 20ringlidmd 40504 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((1rโ€˜๐‘…) ยท ๐‘Œ) = ๐‘Œ)
2319, 21, 223eqtr3d 2784 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((invrโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) ยท (๐‘ ยท ๐‘Œ)) = ๐‘Œ)
242, 18, 233eqtr3d 2784 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ = ๐‘Œ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105   โ‰  wne 2940  โ€˜cfv 6479  (class class class)co 7337  Basecbs 17009  .rcmulr 17060  0gc0g 17247  1rcur 19832  invrcinvr 20008  DivRingcdr 20093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-2nd 7900  df-tpos 8112  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-ress 17039  df-plusg 17072  df-mulr 17073  df-0g 17249  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-grp 18676  df-minusg 18677  df-mgp 19816  df-ur 19833  df-ring 19880  df-oppr 19957  df-dvdsr 19978  df-unit 19979  df-invr 20009  df-drng 20095
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator