Theorem drngmulcanad 40232

Description: Cancellation of a nonzero factor on the left for multiplication. (mulcanad 11593 analog). (Contributed by SN, 14-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
drngmulcanad.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
drngmulcanad.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
drngmulcanad.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
drngmulcanad.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
drngmulcanad.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
drngmulcanad.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
drngmulcanad.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
drngmulcanad.1	⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 0 )
drngmulcanad.2	⊢ (𝜑 → (𝑍 · 𝑋) = (𝑍 · 𝑌))

Assertion

Ref	Expression
drngmulcanad	⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Proof of Theorem drngmulcanad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngmulcanad.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍 · 𝑋) = (𝑍 · 𝑌))
2	1	oveq2d 7284	. 2 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝑍) · (𝑍 · 𝑋)) = (((invr‘𝑅)‘𝑍) · (𝑍 · 𝑌)))
3		drngmulcanad.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		drngmulcanad.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5		drngmulcanad.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
8		drngmulcanad.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
9		drngmulcanad.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
10		drngmulcanad.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 0 )
11	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	drnginvrld 40230	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝑍) · 𝑍) = (1r‘𝑅))
12	11	oveq1d 7283	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((invr‘𝑅)‘𝑍) · 𝑍) · 𝑋) = ((1r‘𝑅) · 𝑋))
13	8	drngringd 40226	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
14	3, 4, 7, 8, 9, 10	drnginvrcld 40228	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵)
15		drngmulcanad.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
16	3, 5, 13, 14, 9, 15	ringassd 40221	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((invr‘𝑅)‘𝑍) · 𝑍) · 𝑋) = (((invr‘𝑅)‘𝑍) · (𝑍 · 𝑋)))
17	3, 5, 6, 13, 15	ringlidmd 40222	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑋)
18	12, 16, 17	3eqtr3d 2787	. 2 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝑍) · (𝑍 · 𝑋)) = 𝑋)
19	11	oveq1d 7283	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((invr‘𝑅)‘𝑍) · 𝑍) · 𝑌) = ((1r‘𝑅) · 𝑌))
20		drngmulcanad.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
21	3, 5, 13, 14, 9, 20	ringassd 40221	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((invr‘𝑅)‘𝑍) · 𝑍) · 𝑌) = (((invr‘𝑅)‘𝑍) · (𝑍 · 𝑌)))
22	3, 5, 6, 13, 20	ringlidmd 40222	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
23	19, 21, 22	3eqtr3d 2787	. 2 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝑍) · (𝑍 · 𝑌)) = 𝑌)
24	2, 18, 23	3eqtr3d 2787	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2944  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268  Basecbs 16893  ._rcmulr 16944  0_gc0g 17131  1_rcur 19718  inv_rcinvr 19894  DivRingcdr 19972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-2nd 7818  df-tpos 8026  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-sets 16846  df-slot 16864  df-ndx 16876  df-base 16894  df-ress 16923  df-plusg 16956  df-mulr 16957  df-0g 17133  df-mgm 18307  df-sgrp 18356  df-mnd 18367  df-grp 18561  df-minusg 18562  df-mgp 19702  df-ur 19719  df-ring 19766  df-oppr 19843  df-dvdsr 19864  df-unit 19865  df-invr 19895  df-drng 19974

This theorem is referenced by: (None)