Theorem drngmulcanad 41404

Description: Cancellation of a nonzero factor on the left for multiplication. (mulcanad 11854 analog). (Contributed by SN, 14-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
drngmulcanad.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
drngmulcanad.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
drngmulcanad.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
drngmulcanad.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
drngmulcanad.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
drngmulcanad.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
drngmulcanad.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
drngmulcanad.1	⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 0 )
drngmulcanad.2	⊢ (𝜑 → (𝑍 · 𝑋) = (𝑍 · 𝑌))

Assertion

Ref	Expression
drngmulcanad	⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Proof of Theorem drngmulcanad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngmulcanad.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍 · 𝑋) = (𝑍 · 𝑌))
2	1	oveq2d 7428	. 2 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝑍) · (𝑍 · 𝑋)) = (((invr‘𝑅)‘𝑍) · (𝑍 · 𝑌)))
3		drngmulcanad.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		drngmulcanad.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5		drngmulcanad.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
8		drngmulcanad.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
9		drngmulcanad.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
10		drngmulcanad.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 0 )
11	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	drnginvrld 20528	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝑍) · 𝑍) = (1r‘𝑅))
12	11	oveq1d 7427	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((invr‘𝑅)‘𝑍) · 𝑍) · 𝑋) = ((1r‘𝑅) · 𝑋))
13	8	drngringd 20509	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
14	3, 4, 7, 8, 9, 10	drnginvrcld 20525	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵)
15		drngmulcanad.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
16	3, 5, 13, 14, 9, 15	ringassd 20151	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((invr‘𝑅)‘𝑍) · 𝑍) · 𝑋) = (((invr‘𝑅)‘𝑍) · (𝑍 · 𝑋)))
17	3, 5, 6, 13, 15	ringlidmd 20161	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑋)
18	12, 16, 17	3eqtr3d 2779	. 2 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝑍) · (𝑍 · 𝑋)) = 𝑋)
19	11	oveq1d 7427	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((invr‘𝑅)‘𝑍) · 𝑍) · 𝑌) = ((1r‘𝑅) · 𝑌))
20		drngmulcanad.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
21	3, 5, 13, 14, 9, 20	ringassd 20151	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((invr‘𝑅)‘𝑍) · 𝑍) · 𝑌) = (((invr‘𝑅)‘𝑍) · (𝑍 · 𝑌)))
22	3, 5, 6, 13, 20	ringlidmd 20161	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
23	19, 21, 22	3eqtr3d 2779	. 2 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝑍) · (𝑍 · 𝑌)) = 𝑌)
24	2, 18, 23	3eqtr3d 2779	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17149  ._rcmulr 17203  0_gc0g 17390  1_rcur 20076  inv_rcinvr 20279  DivRingcdr 20501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-tpos 8215  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-0g 17392  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-drng 20503

This theorem is referenced by: (None)