Theorem drngmulcanad 39788

Description: Cancellation of a nonzero factor on the left for multiplication. (mulcanad 11318 analog). (Contributed by SN, 14-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
drngmulcanad.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
drngmulcanad.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
drngmulcanad.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
drngmulcanad.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
drngmulcanad.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
drngmulcanad.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
drngmulcanad.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
drngmulcanad.1	⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 0 )
drngmulcanad.2	⊢ (𝜑 → (𝑍 · 𝑋) = (𝑍 · 𝑌))

Assertion

Ref	Expression
drngmulcanad	⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Proof of Theorem drngmulcanad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngmulcanad.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍 · 𝑋) = (𝑍 · 𝑌))
2	1	oveq2d 7171	. 2 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝑍) · (𝑍 · 𝑋)) = (((invr‘𝑅)‘𝑍) · (𝑍 · 𝑌)))
3		drngmulcanad.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		drngmulcanad.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5		drngmulcanad.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6		eqid 2758	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7		eqid 2758	. . . . 5 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
8		drngmulcanad.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
9		drngmulcanad.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
10		drngmulcanad.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 0 )
11	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	drnginvrld 39786	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝑍) · 𝑍) = (1r‘𝑅))
12	11	oveq1d 7170	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((invr‘𝑅)‘𝑍) · 𝑍) · 𝑋) = ((1r‘𝑅) · 𝑋))
13	8	drngringd 39782	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
14	3, 4, 7, 8, 9, 10	drnginvrcld 39784	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵)
15		drngmulcanad.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
16	3, 5, 13, 14, 9, 15	ringassd 39777	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((invr‘𝑅)‘𝑍) · 𝑍) · 𝑋) = (((invr‘𝑅)‘𝑍) · (𝑍 · 𝑋)))
17	3, 5, 6, 13, 15	ringlidmd 39778	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑋)
18	12, 16, 17	3eqtr3d 2801	. 2 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝑍) · (𝑍 · 𝑋)) = 𝑋)
19	11	oveq1d 7170	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((invr‘𝑅)‘𝑍) · 𝑍) · 𝑌) = ((1r‘𝑅) · 𝑌))
20		drngmulcanad.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
21	3, 5, 13, 14, 9, 20	ringassd 39777	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((invr‘𝑅)‘𝑍) · 𝑍) · 𝑌) = (((invr‘𝑅)‘𝑍) · (𝑍 · 𝑌)))
22	3, 5, 6, 13, 20	ringlidmd 39778	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
23	19, 21, 22	3eqtr3d 2801	. 2 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝑍) · (𝑍 · 𝑌)) = 𝑌)
24	2, 18, 23	3eqtr3d 2801	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155  Basecbs 16546  ._rcmulr 16629  0_gc0g 16776  1_rcur 19324  inv_rcinvr 19497  DivRingcdr 19575

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-tpos 7907  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-er 8304  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-ndx 16549  df-slot 16550  df-base 16552  df-sets 16553  df-ress 16554  df-plusg 16641  df-mulr 16642  df-0g 16778  df-mgm 17923  df-sgrp 17972  df-mnd 17983  df-grp 18177  df-minusg 18178  df-mgp 19313  df-ur 19325  df-ring 19372  df-oppr 19449  df-dvdsr 19467  df-unit 19468  df-invr 19498  df-drng 19577

This theorem is referenced by: (None)