Theorem drngprop 20894

Description: If two structures have the same ring components (properties), one is a division ring iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
drngprop.b	⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿)
drngprop.p	⊢ (+g‘𝐾) = (+g‘𝐿)
drngprop.m	⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐿)

Assertion

Ref	Expression
drngprop	⊢ (𝐾 ∈ DivRing ↔ 𝐿 ∈ DivRing)

Proof of Theorem drngprop

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ Ring → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾))
2		drngprop.b	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿)
3	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ Ring → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿))
4		drngprop.m	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐿)
5	4	oveqi 7432	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦)
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
7	1, 3, 6	unitpropd 20545	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ Ring → (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐿))
8		drngprop.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐾) = (+g‘𝐿)
9	8	oveqi 7432	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦)
10	9	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
11	1, 3, 10	grpidpropd 18745	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ Ring → (0g‘𝐾) = (0g‘𝐿))
12	11	sneqd 4603	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ Ring → {(0g‘𝐾)} = {(0g‘𝐿)})
13	12	difeq2d 4081	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ Ring → ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)}) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐿)}))
14	7, 13	eqeq12d 2781	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Ring → ((Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)}) ↔ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐿)})))
15	14	pm5.32i 585	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)})) ↔ (𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐿)})))
16	2, 8, 4	ringprop 20419	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Ring ↔ 𝐿 ∈ Ring)
17	16	anbi1i 636	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐿)})) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐿)})))
18	15, 17	bitri 278	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)})) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐿)})))
19		eqid 2765	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
20		eqid 2765	. . 3 ⊢ (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐾)
21		eqid 2765	. . 3 ⊢ (0g‘𝐾) = (0g‘𝐾)
22	19, 20, 21	isdrng 20881	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing ↔ (𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)})))
23		eqid 2765	. . 3 ⊢ (Unit‘𝐿) = (Unit‘𝐿)
24		eqid 2765	. . 3 ⊢ (0g‘𝐿) = (0g‘𝐿)
25	2, 23, 24	isdrng 20881	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ DivRing ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐿)})))
26	18, 22, 25	3bitr4i 306	1 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing ↔ 𝐿 ∈ DivRing)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∖ cdif 3903  {csn 4591  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Basecbs 17291  +_gcplusg 17332  ._rcmulr 17333  0_gc0g 17514  Ringcrg 20359  Unitcui 20483  DivRingcdr 20877

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-plusg 17345  df-mulr 17346  df-0g 17516  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-grp 19047  df-mgp 20261  df-ur 20308  df-ring 20361  df-oppr 20465  df-dvdsr 20485  df-unit 20486  df-drng 20879

This theorem is used by: (None)