Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  drngprop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem drngprop 19509
 Description: If two structures have the same ring components (properties), one is a division ring iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
drngprop.b (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿)
drngprop.p (+g𝐾) = (+g𝐿)
drngprop.m (.r𝐾) = (.r𝐿)
Assertion
Ref Expression
drngprop (𝐾 ∈ DivRing ↔ 𝐿 ∈ DivRing)

Proof of Theorem drngprop
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2799 . . . . . 6 (𝐾 ∈ Ring → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾))
2 drngprop.b . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿)
32a1i 11 . . . . . 6 (𝐾 ∈ Ring → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿))
4 drngprop.m . . . . . . . 8 (.r𝐾) = (.r𝐿)
54oveqi 7148 . . . . . . 7 (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(.r𝐿)𝑦)
65a1i 11 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(.r𝐿)𝑦))
71, 3, 6unitpropd 19446 . . . . 5 (𝐾 ∈ Ring → (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐿))
8 drngprop.p . . . . . . . . . 10 (+g𝐾) = (+g𝐿)
98oveqi 7148 . . . . . . . . 9 (𝑥(+g𝐾)𝑦) = (𝑥(+g𝐿)𝑦)
109a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑥(+g𝐾)𝑦) = (𝑥(+g𝐿)𝑦))
111, 3, 10grpidpropd 17866 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ Ring → (0g𝐾) = (0g𝐿))
1211sneqd 4537 . . . . . 6 (𝐾 ∈ Ring → {(0g𝐾)} = {(0g𝐿)})
1312difeq2d 4050 . . . . 5 (𝐾 ∈ Ring → ((Base‘𝐾) ∖ {(0g𝐾)}) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g𝐿)}))
147, 13eqeq12d 2814 . . . 4 (𝐾 ∈ Ring → ((Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g𝐾)}) ↔ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g𝐿)})))
1514pm5.32i 578 . . 3 ((𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g𝐾)})) ↔ (𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g𝐿)})))
162, 8, 4ringprop 19333 . . . 4 (𝐾 ∈ Ring ↔ 𝐿 ∈ Ring)
1716anbi1i 626 . . 3 ((𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g𝐿)})) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g𝐿)})))
1815, 17bitri 278 . 2 ((𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g𝐾)})) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g𝐿)})))
19 eqid 2798 . . 3 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
20 eqid 2798 . . 3 (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐾)
21 eqid 2798 . . 3 (0g𝐾) = (0g𝐾)
2219, 20, 21isdrng 19502 . 2 (𝐾 ∈ DivRing ↔ (𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g𝐾)})))
23 eqid 2798 . . 3 (Unit‘𝐿) = (Unit‘𝐿)
24 eqid 2798 . . 3 (0g𝐿) = (0g𝐿)
252, 23, 24isdrng 19502 . 2 (𝐿 ∈ DivRing ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g𝐿)})))
2618, 22, 253bitr4i 306 1 (𝐾 ∈ DivRing ↔ 𝐿 ∈ DivRing)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∖ cdif 3878  {csn 4525  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16477  +gcplusg 16559  .rcmulr 16560  0gc0g 16707  Ringcrg 19293  Unitcui 19388  DivRingcdr 19498 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7563  df-tpos 7877  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-er 8274  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-nn 11628  df-2 11690  df-3 11691  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-0g 16709  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-grp 18100  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-oppr 19372  df-dvdsr 19390  df-unit 19391  df-drng 19500 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator