MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  drngprop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem drngprop 19203
Description: If two structures have the same ring components (properties), one is a division ring iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
drngprop.b (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿)
drngprop.p (+g𝐾) = (+g𝐿)
drngprop.m (.r𝐾) = (.r𝐿)
Assertion
Ref Expression
drngprop (𝐾 ∈ DivRing ↔ 𝐿 ∈ DivRing)

Proof of Theorem drngprop
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2796 . . . . . 6 (𝐾 ∈ Ring → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾))
2 drngprop.b . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿)
32a1i 11 . . . . . 6 (𝐾 ∈ Ring → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿))
4 drngprop.m . . . . . . . 8 (.r𝐾) = (.r𝐿)
54oveqi 7029 . . . . . . 7 (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(.r𝐿)𝑦)
65a1i 11 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(.r𝐿)𝑦))
71, 3, 6unitpropd 19137 . . . . 5 (𝐾 ∈ Ring → (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐿))
8 drngprop.p . . . . . . . . . 10 (+g𝐾) = (+g𝐿)
98oveqi 7029 . . . . . . . . 9 (𝑥(+g𝐾)𝑦) = (𝑥(+g𝐿)𝑦)
109a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑥(+g𝐾)𝑦) = (𝑥(+g𝐿)𝑦))
111, 3, 10grpidpropd 17700 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ Ring → (0g𝐾) = (0g𝐿))
1211sneqd 4484 . . . . . 6 (𝐾 ∈ Ring → {(0g𝐾)} = {(0g𝐿)})
1312difeq2d 4020 . . . . 5 (𝐾 ∈ Ring → ((Base‘𝐾) ∖ {(0g𝐾)}) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g𝐿)}))
147, 13eqeq12d 2810 . . . 4 (𝐾 ∈ Ring → ((Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g𝐾)}) ↔ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g𝐿)})))
1514pm5.32i 575 . . 3 ((𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g𝐾)})) ↔ (𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g𝐿)})))
162, 8, 4ringprop 19024 . . . 4 (𝐾 ∈ Ring ↔ 𝐿 ∈ Ring)
1716anbi1i 623 . . 3 ((𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g𝐿)})) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g𝐿)})))
1815, 17bitri 276 . 2 ((𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g𝐾)})) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g𝐿)})))
19 eqid 2795 . . 3 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
20 eqid 2795 . . 3 (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐾)
21 eqid 2795 . . 3 (0g𝐾) = (0g𝐾)
2219, 20, 21isdrng 19196 . 2 (𝐾 ∈ DivRing ↔ (𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g𝐾)})))
23 eqid 2795 . . 3 (Unit‘𝐿) = (Unit‘𝐿)
24 eqid 2795 . . 3 (0g𝐿) = (0g𝐿)
252, 23, 24isdrng 19196 . 2 (𝐿 ∈ DivRing ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g𝐿)})))
2618, 22, 253bitr4i 304 1 (𝐾 ∈ DivRing ↔ 𝐿 ∈ DivRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207  wa 396   = wceq 1522  wcel 2081  cdif 3856  {csn 4472  cfv 6225  (class class class)co 7016  Basecbs 16312  +gcplusg 16394  .rcmulr 16395  0gc0g 16542  Ringcrg 18987  Unitcui 19079  DivRingcdr 19192
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-tpos 7743  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-0g 16544  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-grp 17864  df-mgp 18930  df-ur 18942  df-ring 18989  df-oppr 19063  df-dvdsr 19081  df-unit 19082  df-drng 19194
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator