Theorem drngprop 20721

Description: If two structures have the same ring components (properties), one is a division ring iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
drngprop.b	⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿)
drngprop.p	⊢ (+g‘𝐾) = (+g‘𝐿)
drngprop.m	⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐿)

Assertion

Ref	Expression
drngprop	⊢ (𝐾 ∈ DivRing ↔ 𝐿 ∈ DivRing)

Proof of Theorem drngprop

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ Ring → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾))
2		drngprop.b	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿)
3	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ Ring → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿))
4		drngprop.m	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐿)
5	4	oveqi 7380	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦)
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
7	1, 3, 6	unitpropd 20397	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ Ring → (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐿))
8		drngprop.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐾) = (+g‘𝐿)
9	8	oveqi 7380	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦)
10	9	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
11	1, 3, 10	grpidpropd 18630	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ Ring → (0g‘𝐾) = (0g‘𝐿))
12	11	sneqd 4579	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ Ring → {(0g‘𝐾)} = {(0g‘𝐿)})
13	12	difeq2d 4066	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ Ring → ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)}) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐿)}))
14	7, 13	eqeq12d 2752	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Ring → ((Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)}) ↔ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐿)})))
15	14	pm5.32i 574	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)})) ↔ (𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐿)})))
16	2, 8, 4	ringprop 20271	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Ring ↔ 𝐿 ∈ Ring)
17	16	anbi1i 625	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐿)})) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐿)})))
18	15, 17	bitri 275	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)})) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐿)})))
19		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
20		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐾)
21		eqid 2736	. . 3 ⊢ (0g‘𝐾) = (0g‘𝐾)
22	19, 20, 21	isdrng 20710	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing ↔ (𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)})))
23		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Unit‘𝐿) = (Unit‘𝐿)
24		eqid 2736	. . 3 ⊢ (0g‘𝐿) = (0g‘𝐿)
25	2, 23, 24	isdrng 20710	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ DivRing ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐿)})))
26	18, 22, 25	3bitr4i 303	1 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing ↔ 𝐿 ∈ DivRing)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3886  {csn 4567  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  ._rcmulr 17221  0_gc0g 17402  Ringcrg 20214  Unitcui 20335  DivRingcdr 20706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-mgp 20122  df-ur 20163  df-ring 20216  df-oppr 20317  df-dvdsr 20337  df-unit 20338  df-drng 20708

This theorem is referenced by: (None)