Theorem drngprop 20654

Description: If two structures have the same ring components (properties), one is a division ring iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
drngprop.b	⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿)
drngprop.p	⊢ (+g‘𝐾) = (+g‘𝐿)
drngprop.m	⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐿)

Assertion

Ref	Expression
drngprop	⊢ (𝐾 ∈ DivRing ↔ 𝐿 ∈ DivRing)

Proof of Theorem drngprop

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2732	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ Ring → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾))
2		drngprop.b	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿)
3	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ Ring → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿))
4		drngprop.m	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐿)
5	4	oveqi 7354	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦)
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
7	1, 3, 6	unitpropd 20330	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ Ring → (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐿))
8		drngprop.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐾) = (+g‘𝐿)
9	8	oveqi 7354	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦)
10	9	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
11	1, 3, 10	grpidpropd 18565	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ Ring → (0g‘𝐾) = (0g‘𝐿))
12	11	sneqd 4583	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ Ring → {(0g‘𝐾)} = {(0g‘𝐿)})
13	12	difeq2d 4071	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ Ring → ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)}) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐿)}))
14	7, 13	eqeq12d 2747	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Ring → ((Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)}) ↔ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐿)})))
15	14	pm5.32i 574	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)})) ↔ (𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐿)})))
16	2, 8, 4	ringprop 20203	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Ring ↔ 𝐿 ∈ Ring)
17	16	anbi1i 624	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐿)})) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐿)})))
18	15, 17	bitri 275	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)})) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐿)})))
19		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
20		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐾)
21		eqid 2731	. . 3 ⊢ (0g‘𝐾) = (0g‘𝐾)
22	19, 20, 21	isdrng 20643	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing ↔ (𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)})))
23		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Unit‘𝐿) = (Unit‘𝐿)
24		eqid 2731	. . 3 ⊢ (0g‘𝐿) = (0g‘𝐿)
25	2, 23, 24	isdrng 20643	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ DivRing ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐿)})))
26	18, 22, 25	3bitr4i 303	1 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing ↔ 𝐿 ∈ DivRing)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ∖ cdif 3894  {csn 4571  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  Basecbs 17115  +_gcplusg 17156  ._rcmulr 17157  0_gc0g 17338  Ringcrg 20146  Unitcui 20268  DivRingcdr 20639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-tpos 8151  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-plusg 17169  df-mulr 17170  df-0g 17340  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-grp 18844  df-mgp 20054  df-ur 20095  df-ring 20148  df-oppr 20250  df-dvdsr 20270  df-unit 20271  df-drng 20641

This theorem is referenced by: (None)