Theorem drngprop 19513

Description: If two structures have the same ring components (properties), one is a division ring iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
drngprop.b	⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿)
drngprop.p	⊢ (+g‘𝐾) = (+g‘𝐿)
drngprop.m	⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐿)

Assertion

Ref	Expression
drngprop	⊢ (𝐾 ∈ DivRing ↔ 𝐿 ∈ DivRing)

Proof of Theorem drngprop

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ Ring → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾))
2		drngprop.b	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿)
3	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ Ring → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿))
4		drngprop.m	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐿)
5	4	oveqi 7169	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦)
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
7	1, 3, 6	unitpropd 19447	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ Ring → (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐿))
8		drngprop.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐾) = (+g‘𝐿)
9	8	oveqi 7169	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦)
10	9	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
11	1, 3, 10	grpidpropd 17872	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ Ring → (0g‘𝐾) = (0g‘𝐿))
12	11	sneqd 4579	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ Ring → {(0g‘𝐾)} = {(0g‘𝐿)})
13	12	difeq2d 4099	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ Ring → ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)}) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐿)}))
14	7, 13	eqeq12d 2837	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Ring → ((Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)}) ↔ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐿)})))
15	14	pm5.32i 577	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)})) ↔ (𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐿)})))
16	2, 8, 4	ringprop 19334	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Ring ↔ 𝐿 ∈ Ring)
17	16	anbi1i 625	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐿)})) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐿)})))
18	15, 17	bitri 277	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)})) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐿)})))
19		eqid 2821	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
20		eqid 2821	. . 3 ⊢ (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐾)
21		eqid 2821	. . 3 ⊢ (0g‘𝐾) = (0g‘𝐾)
22	19, 20, 21	isdrng 19506	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing ↔ (𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)})))
23		eqid 2821	. . 3 ⊢ (Unit‘𝐿) = (Unit‘𝐿)
24		eqid 2821	. . 3 ⊢ (0g‘𝐿) = (0g‘𝐿)
25	2, 23, 24	isdrng 19506	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ DivRing ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐿)})))
26	18, 22, 25	3bitr4i 305	1 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing ↔ 𝐿 ∈ DivRing)

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3933  {csn 4567  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  Basecbs 16483  +_gcplusg 16565  ._rcmulr 16566  0_gc0g 16713  Ringcrg 19297  Unitcui 19389  DivRingcdr 19502

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-tpos 7892  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-grp 18106  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-oppr 19373  df-dvdsr 19391  df-unit 19392  df-drng 19504

This theorem is referenced by: (None)