Theorem unitpropd 20320

Description: The set of units depends only on the ring's base set and multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngidpropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
rngidpropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
rngidpropd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
unitpropd	⊢ (𝜑 → (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐿))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem unitpropd

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngidpropd.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
2		rngidpropd.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
3		rngidpropd.3	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
4	1, 2, 3	rngidpropd 20318	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐾) = (1r‘𝐿))
5	4	breq2d 5107	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧(∥r‘𝐾)(1r‘𝐾) ↔ 𝑧(∥r‘𝐾)(1r‘𝐿)))
6	4	breq2d 5107	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧(∥r‘(oppr‘𝐾))(1r‘𝐾) ↔ 𝑧(∥r‘(oppr‘𝐾))(1r‘𝐿)))
7	5, 6	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑧(∥r‘𝐾)(1r‘𝐾) ∧ 𝑧(∥r‘(oppr‘𝐾))(1r‘𝐾)) ↔ (𝑧(∥r‘𝐾)(1r‘𝐿) ∧ 𝑧(∥r‘(oppr‘𝐾))(1r‘𝐿))))
8	1, 2, 3	dvdsrpropd 20319	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∥r‘𝐾) = (∥r‘𝐿))
9	8	breqd 5106	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧(∥r‘𝐾)(1r‘𝐿) ↔ 𝑧(∥r‘𝐿)(1r‘𝐿)))
10		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (oppr‘𝐾) = (oppr‘𝐾)
11		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
12	10, 11	opprbas 20246	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘(oppr‘𝐾))
13	1, 12	eqtrdi 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(oppr‘𝐾)))
14		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (oppr‘𝐿) = (oppr‘𝐿)
15		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
16	14, 15	opprbas 20246	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘(oppr‘𝐿))
17	2, 16	eqtrdi 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(oppr‘𝐿)))
18	3	ancom2s 650	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
19		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐾)
20		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘(oppr‘𝐾)) = (.r‘(oppr‘𝐾))
21	11, 19, 10, 20	opprmul 20243	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦(.r‘(oppr‘𝐾))𝑥) = (𝑥(.r‘𝐾)𝑦)
22		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐿) = (.r‘𝐿)
23		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘(oppr‘𝐿)) = (.r‘(oppr‘𝐿))
24	15, 22, 14, 23	opprmul 20243	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦(.r‘(oppr‘𝐿))𝑥) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦)
25	18, 21, 24	3eqtr4g 2789	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (𝑦(.r‘(oppr‘𝐾))𝑥) = (𝑦(.r‘(oppr‘𝐿))𝑥))
26	13, 17, 25	dvdsrpropd 20319	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∥r‘(oppr‘𝐾)) = (∥r‘(oppr‘𝐿)))
27	26	breqd 5106	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧(∥r‘(oppr‘𝐾))(1r‘𝐿) ↔ 𝑧(∥r‘(oppr‘𝐿))(1r‘𝐿)))
28	9, 27	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑧(∥r‘𝐾)(1r‘𝐿) ∧ 𝑧(∥r‘(oppr‘𝐾))(1r‘𝐿)) ↔ (𝑧(∥r‘𝐿)(1r‘𝐿) ∧ 𝑧(∥r‘(oppr‘𝐿))(1r‘𝐿))))
29	7, 28	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑧(∥r‘𝐾)(1r‘𝐾) ∧ 𝑧(∥r‘(oppr‘𝐾))(1r‘𝐾)) ↔ (𝑧(∥r‘𝐿)(1r‘𝐿) ∧ 𝑧(∥r‘(oppr‘𝐿))(1r‘𝐿))))
30		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐾)
31		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐾) = (1r‘𝐾)
32		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (∥r‘𝐾) = (∥r‘𝐾)
33		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝐾)) = (∥r‘(oppr‘𝐾))
34	30, 31, 32, 10, 33	isunit 20276	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ (Unit‘𝐾) ↔ (𝑧(∥r‘𝐾)(1r‘𝐾) ∧ 𝑧(∥r‘(oppr‘𝐾))(1r‘𝐾)))
35		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝐿) = (Unit‘𝐿)
36		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐿) = (1r‘𝐿)
37		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (∥r‘𝐿) = (∥r‘𝐿)
38		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝐿)) = (∥r‘(oppr‘𝐿))
39	35, 36, 37, 14, 38	isunit 20276	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ (Unit‘𝐿) ↔ (𝑧(∥r‘𝐿)(1r‘𝐿) ∧ 𝑧(∥r‘(oppr‘𝐿))(1r‘𝐿)))
40	29, 34, 39	3bitr4g 314	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (Unit‘𝐾) ↔ 𝑧 ∈ (Unit‘𝐿)))
41	40	eqrdv 2727	1 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Basecbs 17138  ._rcmulr 17180  1_rcur 20084  opp_rcoppr 20239  ∥_rcdsr 20257  Unitcui 20258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-0g 17363  df-mgp 20044  df-ur 20085  df-oppr 20240  df-dvdsr 20260  df-unit 20261

This theorem is referenced by:  invrpropd  20321  drngprop  20647  drngpropd  20672  sradrng  33554