Theorem unitpropd 20333

Description: The set of units depends only on the ring's base set and multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngidpropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
rngidpropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
rngidpropd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
unitpropd	⊢ (𝜑 → (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐿))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem unitpropd

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngidpropd.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
2		rngidpropd.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
3		rngidpropd.3	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
4	1, 2, 3	rngidpropd 20331	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐾) = (1r‘𝐿))
5	4	breq2d 5122	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧(∥r‘𝐾)(1r‘𝐾) ↔ 𝑧(∥r‘𝐾)(1r‘𝐿)))
6	4	breq2d 5122	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧(∥r‘(oppr‘𝐾))(1r‘𝐾) ↔ 𝑧(∥r‘(oppr‘𝐾))(1r‘𝐿)))
7	5, 6	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑧(∥r‘𝐾)(1r‘𝐾) ∧ 𝑧(∥r‘(oppr‘𝐾))(1r‘𝐾)) ↔ (𝑧(∥r‘𝐾)(1r‘𝐿) ∧ 𝑧(∥r‘(oppr‘𝐾))(1r‘𝐿))))
8	1, 2, 3	dvdsrpropd 20332	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∥r‘𝐾) = (∥r‘𝐿))
9	8	breqd 5121	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧(∥r‘𝐾)(1r‘𝐿) ↔ 𝑧(∥r‘𝐿)(1r‘𝐿)))
10		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (oppr‘𝐾) = (oppr‘𝐾)
11		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
12	10, 11	opprbas 20259	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘(oppr‘𝐾))
13	1, 12	eqtrdi 2781	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(oppr‘𝐾)))
14		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (oppr‘𝐿) = (oppr‘𝐿)
15		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
16	14, 15	opprbas 20259	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘(oppr‘𝐿))
17	2, 16	eqtrdi 2781	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(oppr‘𝐿)))
18	3	ancom2s 650	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
19		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐾)
20		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘(oppr‘𝐾)) = (.r‘(oppr‘𝐾))
21	11, 19, 10, 20	opprmul 20256	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦(.r‘(oppr‘𝐾))𝑥) = (𝑥(.r‘𝐾)𝑦)
22		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐿) = (.r‘𝐿)
23		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘(oppr‘𝐿)) = (.r‘(oppr‘𝐿))
24	15, 22, 14, 23	opprmul 20256	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦(.r‘(oppr‘𝐿))𝑥) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦)
25	18, 21, 24	3eqtr4g 2790	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (𝑦(.r‘(oppr‘𝐾))𝑥) = (𝑦(.r‘(oppr‘𝐿))𝑥))
26	13, 17, 25	dvdsrpropd 20332	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∥r‘(oppr‘𝐾)) = (∥r‘(oppr‘𝐿)))
27	26	breqd 5121	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧(∥r‘(oppr‘𝐾))(1r‘𝐿) ↔ 𝑧(∥r‘(oppr‘𝐿))(1r‘𝐿)))
28	9, 27	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑧(∥r‘𝐾)(1r‘𝐿) ∧ 𝑧(∥r‘(oppr‘𝐾))(1r‘𝐿)) ↔ (𝑧(∥r‘𝐿)(1r‘𝐿) ∧ 𝑧(∥r‘(oppr‘𝐿))(1r‘𝐿))))
29	7, 28	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑧(∥r‘𝐾)(1r‘𝐾) ∧ 𝑧(∥r‘(oppr‘𝐾))(1r‘𝐾)) ↔ (𝑧(∥r‘𝐿)(1r‘𝐿) ∧ 𝑧(∥r‘(oppr‘𝐿))(1r‘𝐿))))
30		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐾)
31		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐾) = (1r‘𝐾)
32		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (∥r‘𝐾) = (∥r‘𝐾)
33		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝐾)) = (∥r‘(oppr‘𝐾))
34	30, 31, 32, 10, 33	isunit 20289	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ (Unit‘𝐾) ↔ (𝑧(∥r‘𝐾)(1r‘𝐾) ∧ 𝑧(∥r‘(oppr‘𝐾))(1r‘𝐾)))
35		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝐿) = (Unit‘𝐿)
36		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐿) = (1r‘𝐿)
37		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (∥r‘𝐿) = (∥r‘𝐿)
38		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝐿)) = (∥r‘(oppr‘𝐿))
39	35, 36, 37, 14, 38	isunit 20289	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ (Unit‘𝐿) ↔ (𝑧(∥r‘𝐿)(1r‘𝐿) ∧ 𝑧(∥r‘(oppr‘𝐿))(1r‘𝐿)))
40	29, 34, 39	3bitr4g 314	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (Unit‘𝐾) ↔ 𝑧 ∈ (Unit‘𝐿)))
41	40	eqrdv 2728	1 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186  ._rcmulr 17228  1_rcur 20097  opp_rcoppr 20252  ∥_rcdsr 20270  Unitcui 20271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-0g 17411  df-mgp 20057  df-ur 20098  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274

This theorem is referenced by:  invrpropd  20334  drngprop  20660  drngpropd  20685  sradrng  33585