Theorem unitpropd 20395

Description: The set of units depends only on the ring's base set and multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngidpropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
rngidpropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
rngidpropd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
unitpropd	⊢ (𝜑 → (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐿))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem unitpropd

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngidpropd.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
2		rngidpropd.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
3		rngidpropd.3	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
4	1, 2, 3	rngidpropd 20393	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐾) = (1r‘𝐿))
5	4	breq2d 5091	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧(∥r‘𝐾)(1r‘𝐾) ↔ 𝑧(∥r‘𝐾)(1r‘𝐿)))
6	4	breq2d 5091	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧(∥r‘(oppr‘𝐾))(1r‘𝐾) ↔ 𝑧(∥r‘(oppr‘𝐾))(1r‘𝐿)))
7	5, 6	anbi12d 638	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑧(∥r‘𝐾)(1r‘𝐾) ∧ 𝑧(∥r‘(oppr‘𝐾))(1r‘𝐾)) ↔ (𝑧(∥r‘𝐾)(1r‘𝐿) ∧ 𝑧(∥r‘(oppr‘𝐾))(1r‘𝐿))))
8	1, 2, 3	dvdsrpropd 20394	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∥r‘𝐾) = (∥r‘𝐿))
9	8	breqd 5090	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧(∥r‘𝐾)(1r‘𝐿) ↔ 𝑧(∥r‘𝐿)(1r‘𝐿)))
10		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (oppr‘𝐾) = (oppr‘𝐾)
11		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
12	10, 11	opprbas 20321	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘(oppr‘𝐾))
13	1, 12	eqtrdi 2791	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(oppr‘𝐾)))
14		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (oppr‘𝐿) = (oppr‘𝐿)
15		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
16	14, 15	opprbas 20321	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘(oppr‘𝐿))
17	2, 16	eqtrdi 2791	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(oppr‘𝐿)))
18	3	ancom2s 656	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
19		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐾)
20		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘(oppr‘𝐾)) = (.r‘(oppr‘𝐾))
21	11, 19, 10, 20	opprmul 20318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦(.r‘(oppr‘𝐾))𝑥) = (𝑥(.r‘𝐾)𝑦)
22		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐿) = (.r‘𝐿)
23		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘(oppr‘𝐿)) = (.r‘(oppr‘𝐿))
24	15, 22, 14, 23	opprmul 20318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦(.r‘(oppr‘𝐿))𝑥) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦)
25	18, 21, 24	3eqtr4g 2800	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (𝑦(.r‘(oppr‘𝐾))𝑥) = (𝑦(.r‘(oppr‘𝐿))𝑥))
26	13, 17, 25	dvdsrpropd 20394	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∥r‘(oppr‘𝐾)) = (∥r‘(oppr‘𝐿)))
27	26	breqd 5090	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧(∥r‘(oppr‘𝐾))(1r‘𝐿) ↔ 𝑧(∥r‘(oppr‘𝐿))(1r‘𝐿)))
28	9, 27	anbi12d 638	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑧(∥r‘𝐾)(1r‘𝐿) ∧ 𝑧(∥r‘(oppr‘𝐾))(1r‘𝐿)) ↔ (𝑧(∥r‘𝐿)(1r‘𝐿) ∧ 𝑧(∥r‘(oppr‘𝐿))(1r‘𝐿))))
29	7, 28	bitrd 280	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑧(∥r‘𝐾)(1r‘𝐾) ∧ 𝑧(∥r‘(oppr‘𝐾))(1r‘𝐾)) ↔ (𝑧(∥r‘𝐿)(1r‘𝐿) ∧ 𝑧(∥r‘(oppr‘𝐿))(1r‘𝐿))))
30		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐾)
31		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐾) = (1r‘𝐾)
32		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (∥r‘𝐾) = (∥r‘𝐾)
33		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝐾)) = (∥r‘(oppr‘𝐾))
34	30, 31, 32, 10, 33	isunit 20351	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ (Unit‘𝐾) ↔ (𝑧(∥r‘𝐾)(1r‘𝐾) ∧ 𝑧(∥r‘(oppr‘𝐾))(1r‘𝐾)))
35		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝐿) = (Unit‘𝐿)
36		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐿) = (1r‘𝐿)
37		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (∥r‘𝐿) = (∥r‘𝐿)
38		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝐿)) = (∥r‘(oppr‘𝐿))
39	35, 36, 37, 14, 38	isunit 20351	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ (Unit‘𝐿) ↔ (𝑧(∥r‘𝐿)(1r‘𝐿) ∧ 𝑧(∥r‘(oppr‘𝐿))(1r‘𝐿)))
40	29, 34, 39	3bitr4g 315	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (Unit‘𝐾) ↔ 𝑧 ∈ (Unit‘𝐿)))
41	40	eqrdv 2738	1 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Basecbs 17177  ._rcmulr 17219  1_rcur 20160  opp_rcoppr 20314  ∥_rcdsr 20332  Unitcui 20333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-tpos 8173  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-0g 17402  df-mgp 20120  df-ur 20161  df-oppr 20315  df-dvdsr 20335  df-unit 20336

This theorem is referenced by:  invrpropd  20396  drngprop  20723  drngpropd  20748  sradrng  33773