MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unitpropd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unitpropd 20127
Description: The set of units depends only on the ring's base set and multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rngidpropd.1 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ))
rngidpropd.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΏ))
rngidpropd.3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦))
Assertion
Ref Expression
unitpropd (πœ‘ β†’ (Unitβ€˜πΎ) = (Unitβ€˜πΏ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐡   π‘₯,𝐾,𝑦   π‘₯,𝐿,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦

Proof of Theorem unitpropd
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rngidpropd.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ))
2 rngidpropd.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΏ))
3 rngidpropd.3 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦))
41, 2, 3rngidpropd 20125 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜πΎ) = (1rβ€˜πΏ))
54breq2d 5118 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑧(βˆ₯rβ€˜πΎ)(1rβ€˜πΎ) ↔ 𝑧(βˆ₯rβ€˜πΎ)(1rβ€˜πΏ)))
64breq2d 5118 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑧(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜πΎ))(1rβ€˜πΎ) ↔ 𝑧(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜πΎ))(1rβ€˜πΏ)))
75, 6anbi12d 632 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑧(βˆ₯rβ€˜πΎ)(1rβ€˜πΎ) ∧ 𝑧(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜πΎ))(1rβ€˜πΎ)) ↔ (𝑧(βˆ₯rβ€˜πΎ)(1rβ€˜πΏ) ∧ 𝑧(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜πΎ))(1rβ€˜πΏ))))
81, 2, 3dvdsrpropd 20126 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆ₯rβ€˜πΎ) = (βˆ₯rβ€˜πΏ))
98breqd 5117 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑧(βˆ₯rβ€˜πΎ)(1rβ€˜πΏ) ↔ 𝑧(βˆ₯rβ€˜πΏ)(1rβ€˜πΏ)))
10 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (opprβ€˜πΎ) = (opprβ€˜πΎ)
11 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
1210, 11opprbas 20057 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜(opprβ€˜πΎ))
131, 12eqtrdi 2793 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜(opprβ€˜πΎ)))
14 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (opprβ€˜πΏ) = (opprβ€˜πΏ)
15 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜πΏ) = (Baseβ€˜πΏ)
1614, 15opprbas 20057 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜πΏ) = (Baseβ€˜(opprβ€˜πΏ))
172, 16eqtrdi 2793 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜(opprβ€˜πΏ)))
183ancom2s 649 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦))
19 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (.rβ€˜πΎ) = (.rβ€˜πΎ)
20 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (.rβ€˜(opprβ€˜πΎ)) = (.rβ€˜(opprβ€˜πΎ))
2111, 19, 10, 20opprmul 20053 . . . . . . . 8 (𝑦(.rβ€˜(opprβ€˜πΎ))π‘₯) = (π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦)
22 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (.rβ€˜πΏ) = (.rβ€˜πΏ)
23 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (.rβ€˜(opprβ€˜πΏ)) = (.rβ€˜(opprβ€˜πΏ))
2415, 22, 14, 23opprmul 20053 . . . . . . . 8 (𝑦(.rβ€˜(opprβ€˜πΏ))π‘₯) = (π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦)
2518, 21, 243eqtr4g 2802 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑦(.rβ€˜(opprβ€˜πΎ))π‘₯) = (𝑦(.rβ€˜(opprβ€˜πΏ))π‘₯))
2613, 17, 25dvdsrpropd 20126 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜πΎ)) = (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜πΏ)))
2726breqd 5117 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑧(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜πΎ))(1rβ€˜πΏ) ↔ 𝑧(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜πΏ))(1rβ€˜πΏ)))
289, 27anbi12d 632 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑧(βˆ₯rβ€˜πΎ)(1rβ€˜πΏ) ∧ 𝑧(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜πΎ))(1rβ€˜πΏ)) ↔ (𝑧(βˆ₯rβ€˜πΏ)(1rβ€˜πΏ) ∧ 𝑧(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜πΏ))(1rβ€˜πΏ))))
297, 28bitrd 279 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑧(βˆ₯rβ€˜πΎ)(1rβ€˜πΎ) ∧ 𝑧(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜πΎ))(1rβ€˜πΎ)) ↔ (𝑧(βˆ₯rβ€˜πΏ)(1rβ€˜πΏ) ∧ 𝑧(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜πΏ))(1rβ€˜πΏ))))
30 eqid 2737 . . . 4 (Unitβ€˜πΎ) = (Unitβ€˜πΎ)
31 eqid 2737 . . . 4 (1rβ€˜πΎ) = (1rβ€˜πΎ)
32 eqid 2737 . . . 4 (βˆ₯rβ€˜πΎ) = (βˆ₯rβ€˜πΎ)
33 eqid 2737 . . . 4 (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜πΎ)) = (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜πΎ))
3430, 31, 32, 10, 33isunit 20087 . . 3 (𝑧 ∈ (Unitβ€˜πΎ) ↔ (𝑧(βˆ₯rβ€˜πΎ)(1rβ€˜πΎ) ∧ 𝑧(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜πΎ))(1rβ€˜πΎ)))
35 eqid 2737 . . . 4 (Unitβ€˜πΏ) = (Unitβ€˜πΏ)
36 eqid 2737 . . . 4 (1rβ€˜πΏ) = (1rβ€˜πΏ)
37 eqid 2737 . . . 4 (βˆ₯rβ€˜πΏ) = (βˆ₯rβ€˜πΏ)
38 eqid 2737 . . . 4 (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜πΏ)) = (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜πΏ))
3935, 36, 37, 14, 38isunit 20087 . . 3 (𝑧 ∈ (Unitβ€˜πΏ) ↔ (𝑧(βˆ₯rβ€˜πΏ)(1rβ€˜πΏ) ∧ 𝑧(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜πΏ))(1rβ€˜πΏ)))
4029, 34, 393bitr4g 314 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (Unitβ€˜πΎ) ↔ 𝑧 ∈ (Unitβ€˜πΏ)))
4140eqrdv 2735 1 (πœ‘ β†’ (Unitβ€˜πΎ) = (Unitβ€˜πΏ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17084  .rcmulr 17135  1rcur 19914  opprcoppr 20049  βˆ₯rcdsr 20068  Unitcui 20069
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-sets 17037  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-plusg 17147  df-mulr 17148  df-0g 17324  df-mgp 19898  df-ur 19915  df-oppr 20050  df-dvdsr 20071  df-unit 20072
This theorem is referenced by:  invrpropd  20128  drngprop  20200  drngpropd  20219  sradrng  32290
  Copyright terms: Public domain W3C validator