Theorem unitpropd 20532

Description: The set of units depends only on the ring's base set and multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngidpropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
rngidpropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
rngidpropd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
unitpropd	⊢ (𝜑 → (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐿))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem unitpropd

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngidpropd.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
2		rngidpropd.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
3		rngidpropd.3	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
4	1, 2, 3	rngidpropd 20530	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐾) = (1r‘𝐿))
5	4	breq2d 5126	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧(∥r‘𝐾)(1r‘𝐾) ↔ 𝑧(∥r‘𝐾)(1r‘𝐿)))
6	4	breq2d 5126	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧(∥r‘(oppr‘𝐾))(1r‘𝐾) ↔ 𝑧(∥r‘(oppr‘𝐾))(1r‘𝐿)))
7	5, 6	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑧(∥r‘𝐾)(1r‘𝐾) ∧ 𝑧(∥r‘(oppr‘𝐾))(1r‘𝐾)) ↔ (𝑧(∥r‘𝐾)(1r‘𝐿) ∧ 𝑧(∥r‘(oppr‘𝐾))(1r‘𝐿))))
8	1, 2, 3	dvdsrpropd 20531	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∥r‘𝐾) = (∥r‘𝐿))
9	8	breqd 5125	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧(∥r‘𝐾)(1r‘𝐿) ↔ 𝑧(∥r‘𝐿)(1r‘𝐿)))
10		eqid 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (oppr‘𝐾) = (oppr‘𝐾)
11		eqid 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
12	10, 11	opprbas 20458	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘(oppr‘𝐾))
13	1, 12	eqtrdi 2817	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(oppr‘𝐾)))
14		eqid 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (oppr‘𝐿) = (oppr‘𝐿)
15		eqid 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
16	14, 15	opprbas 20458	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘(oppr‘𝐿))
17	2, 16	eqtrdi 2817	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(oppr‘𝐿)))
18	3	ancom2s 663	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
19		eqid 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐾)
20		eqid 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘(oppr‘𝐾)) = (.r‘(oppr‘𝐾))
21	11, 19, 10, 20	opprmul 20455	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦(.r‘(oppr‘𝐾))𝑥) = (𝑥(.r‘𝐾)𝑦)
22		eqid 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐿) = (.r‘𝐿)
23		eqid 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘(oppr‘𝐿)) = (.r‘(oppr‘𝐿))
24	15, 22, 14, 23	opprmul 20455	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦(.r‘(oppr‘𝐿))𝑥) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦)
25	18, 21, 24	3eqtr4g 2826	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (𝑦(.r‘(oppr‘𝐾))𝑥) = (𝑦(.r‘(oppr‘𝐿))𝑥))
26	13, 17, 25	dvdsrpropd 20531	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∥r‘(oppr‘𝐾)) = (∥r‘(oppr‘𝐿)))
27	26	breqd 5125	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧(∥r‘(oppr‘𝐾))(1r‘𝐿) ↔ 𝑧(∥r‘(oppr‘𝐿))(1r‘𝐿)))
28	9, 27	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑧(∥r‘𝐾)(1r‘𝐿) ∧ 𝑧(∥r‘(oppr‘𝐾))(1r‘𝐿)) ↔ (𝑧(∥r‘𝐿)(1r‘𝐿) ∧ 𝑧(∥r‘(oppr‘𝐿))(1r‘𝐿))))
29	7, 28	bitrd 282	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑧(∥r‘𝐾)(1r‘𝐾) ∧ 𝑧(∥r‘(oppr‘𝐾))(1r‘𝐾)) ↔ (𝑧(∥r‘𝐿)(1r‘𝐿) ∧ 𝑧(∥r‘(oppr‘𝐿))(1r‘𝐿))))
30		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐾)
31		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐾) = (1r‘𝐾)
32		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (∥r‘𝐾) = (∥r‘𝐾)
33		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝐾)) = (∥r‘(oppr‘𝐾))
34	30, 31, 32, 10, 33	isunit 20488	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ (Unit‘𝐾) ↔ (𝑧(∥r‘𝐾)(1r‘𝐾) ∧ 𝑧(∥r‘(oppr‘𝐾))(1r‘𝐾)))
35		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝐿) = (Unit‘𝐿)
36		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐿) = (1r‘𝐿)
37		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (∥r‘𝐿) = (∥r‘𝐿)
38		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝐿)) = (∥r‘(oppr‘𝐿))
39	35, 36, 37, 14, 38	isunit 20488	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ (Unit‘𝐿) ↔ (𝑧(∥r‘𝐿)(1r‘𝐿) ∧ 𝑧(∥r‘(oppr‘𝐿))(1r‘𝐿)))
40	29, 34, 39	3bitr4g 317	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (Unit‘𝐾) ↔ 𝑧 ∈ (Unit‘𝐿)))
41	40	eqrdv 2764	1 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐿))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5114  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Basecbs 17294  ._rcmulr 17336  1_rcur 20294  opp_rcoppr 20451  ∥_rcdsr 20469  Unitcui 20470

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-tpos 8231  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-0g 17519  df-mgp 20248  df-ur 20295  df-oppr 20452  df-dvdsr 20472  df-unit 20473

This theorem is used by:  invrpropd  20533  drngprop  20881  drngpropd  20910  sradrng  34003