Theorem unitpropd 20506

Description: The set of units depends only on the ring's base set and multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngidpropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
rngidpropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
rngidpropd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
unitpropd	⊢ (𝜑 → (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐿))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem unitpropd

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngidpropd.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
2		rngidpropd.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
3		rngidpropd.3	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
4	1, 2, 3	rngidpropd 20504	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐾) = (1r‘𝐿))
5	4	breq2d 5120	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧(∥r‘𝐾)(1r‘𝐾) ↔ 𝑧(∥r‘𝐾)(1r‘𝐿)))
6	4	breq2d 5120	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧(∥r‘(oppr‘𝐾))(1r‘𝐾) ↔ 𝑧(∥r‘(oppr‘𝐾))(1r‘𝐿)))
7	5, 6	anbi12d 643	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑧(∥r‘𝐾)(1r‘𝐾) ∧ 𝑧(∥r‘(oppr‘𝐾))(1r‘𝐾)) ↔ (𝑧(∥r‘𝐾)(1r‘𝐿) ∧ 𝑧(∥r‘(oppr‘𝐾))(1r‘𝐿))))
8	1, 2, 3	dvdsrpropd 20505	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∥r‘𝐾) = (∥r‘𝐿))
9	8	breqd 5119	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧(∥r‘𝐾)(1r‘𝐿) ↔ 𝑧(∥r‘𝐿)(1r‘𝐿)))
10		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (oppr‘𝐾) = (oppr‘𝐾)
11		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
12	10, 11	opprbas 20432	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘(oppr‘𝐾))
13	1, 12	eqtrdi 2813	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(oppr‘𝐾)))
14		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (oppr‘𝐿) = (oppr‘𝐿)
15		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
16	14, 15	opprbas 20432	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘(oppr‘𝐿))
17	2, 16	eqtrdi 2813	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(oppr‘𝐿)))
18	3	ancom2s 662	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
19		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐾)
20		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘(oppr‘𝐾)) = (.r‘(oppr‘𝐾))
21	11, 19, 10, 20	opprmul 20429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦(.r‘(oppr‘𝐾))𝑥) = (𝑥(.r‘𝐾)𝑦)
22		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐿) = (.r‘𝐿)
23		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘(oppr‘𝐿)) = (.r‘(oppr‘𝐿))
24	15, 22, 14, 23	opprmul 20429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦(.r‘(oppr‘𝐿))𝑥) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦)
25	18, 21, 24	3eqtr4g 2822	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (𝑦(.r‘(oppr‘𝐾))𝑥) = (𝑦(.r‘(oppr‘𝐿))𝑥))
26	13, 17, 25	dvdsrpropd 20505	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∥r‘(oppr‘𝐾)) = (∥r‘(oppr‘𝐿)))
27	26	breqd 5119	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧(∥r‘(oppr‘𝐾))(1r‘𝐿) ↔ 𝑧(∥r‘(oppr‘𝐿))(1r‘𝐿)))
28	9, 27	anbi12d 643	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑧(∥r‘𝐾)(1r‘𝐿) ∧ 𝑧(∥r‘(oppr‘𝐾))(1r‘𝐿)) ↔ (𝑧(∥r‘𝐿)(1r‘𝐿) ∧ 𝑧(∥r‘(oppr‘𝐿))(1r‘𝐿))))
29	7, 28	bitrd 282	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑧(∥r‘𝐾)(1r‘𝐾) ∧ 𝑧(∥r‘(oppr‘𝐾))(1r‘𝐾)) ↔ (𝑧(∥r‘𝐿)(1r‘𝐿) ∧ 𝑧(∥r‘(oppr‘𝐿))(1r‘𝐿))))
30		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐾)
31		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐾) = (1r‘𝐾)
32		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (∥r‘𝐾) = (∥r‘𝐾)
33		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝐾)) = (∥r‘(oppr‘𝐾))
34	30, 31, 32, 10, 33	isunit 20462	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ (Unit‘𝐾) ↔ (𝑧(∥r‘𝐾)(1r‘𝐾) ∧ 𝑧(∥r‘(oppr‘𝐾))(1r‘𝐾)))
35		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝐿) = (Unit‘𝐿)
36		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐿) = (1r‘𝐿)
37		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (∥r‘𝐿) = (∥r‘𝐿)
38		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝐿)) = (∥r‘(oppr‘𝐿))
39	35, 36, 37, 14, 38	isunit 20462	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ (Unit‘𝐿) ↔ (𝑧(∥r‘𝐿)(1r‘𝐿) ∧ 𝑧(∥r‘(oppr‘𝐿))(1r‘𝐿)))
40	29, 34, 39	3bitr4g 317	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (Unit‘𝐾) ↔ 𝑧 ∈ (Unit‘𝐿)))
41	40	eqrdv 2760	1 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐿))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  Basecbs 17275  ._rcmulr 17317  1_rcur 20269  opp_rcoppr 20425  ∥_rcdsr 20443  Unitcui 20444

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-2nd 7985  df-tpos 8220  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-0g 17500  df-mgp 20223  df-ur 20270  df-oppr 20426  df-dvdsr 20446  df-unit 20447

This theorem is used by:  invrpropd  20507  drngprop  20855  drngpropd  20884  sradrng  33981