Theorem dvdsgcd 16582

Description: An integer which divides each of two others also divides their gcd. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 30-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsgcd	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) → 𝐾 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))

Proof of Theorem dvdsgcd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bezout 16581	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦)))
2	1	3adant1 1130	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦)))
3		dvds2ln 16327	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) → 𝐾 ∥ ((𝑥 · 𝑀) + (𝑦 · 𝑁))))
4	3	3impia 1117	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁)) → 𝐾 ∥ ((𝑥 · 𝑀) + (𝑦 · 𝑁)))
5	4	3coml 1127	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∥ ((𝑥 · 𝑀) + (𝑦 · 𝑁)))
6		simp3l 1201	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℤ)
7		simp12 1204	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
8		zcn 12620	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
9		zcn 12620	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
10		mulcom 11242	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑀) = (𝑀 · 𝑥))
11	8, 9, 10	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑀) = (𝑀 · 𝑥))
12	6, 7, 11	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 · 𝑀) = (𝑀 · 𝑥))
13		simp3r 1202	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℤ)
14		simp13 1205	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
15		zcn 12620	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
16		zcn 12620	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
17		mulcom 11242	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑦 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑦))
18	15, 16, 17	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑦 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑦))
19	13, 14, 18	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑦 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑦))
20	12, 19	oveq12d 7450	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝑀) + (𝑦 · 𝑁)) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦)))
21	5, 20	breqtrd 5168	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∥ ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦)))
22		breq2 5146	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦)) → (𝐾 ∥ (𝑀 gcd 𝑁) ↔ 𝐾 ∥ ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦))))
23	21, 22	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦)) → 𝐾 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
24	23	3expia 1121	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁)) → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦)) → 𝐾 ∥ (𝑀 gcd 𝑁))))
25	24	rexlimdvv 3211	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁)) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦)) → 𝐾 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
26	25	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦)) → 𝐾 ∥ (𝑀 gcd 𝑁))))
27	2, 26	mpid 44	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) → 𝐾 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3069   class class class wbr 5142  (class class class)co 7432  ℂcc 11154   + caddc 11159   · cmul 11161  ℤcz 12615   ∥ cdvds 16291   gcd cgcd 16532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-sup 9483  df-inf 9484  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fl 13833  df-mod 13911  df-seq 14044  df-exp 14104  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-dvds 16292  df-gcd 16533

This theorem is referenced by:  dvdsgcdb  16583  dfgcd2  16584  mulgcd  16586  mulgcddvds  16693  rpmulgcd2  16694  rpexp  16760  pythagtriplem4  16858  pcgcd1  16916  pockthlem  16944  odadd2  19868  ablfacrp  20087  mumul  27225  lgsne0  27380  lgsquad2lem2  27430  flt4lem2  42662