MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsgcd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsgcd 16426
Description: An integer which divides each of two others also divides their gcd. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 30-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
dvdsgcd ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐พ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐พ โˆฅ (๐‘€ gcd ๐‘)))

Proof of Theorem dvdsgcd
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bezout 16425 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘€ gcd ๐‘) = ((๐‘€ ยท ๐‘ฅ) + (๐‘ ยท ๐‘ฆ)))
213adant1 1131 . 2 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘€ gcd ๐‘) = ((๐‘€ ยท ๐‘ฅ) + (๐‘ ยท ๐‘ฆ)))
3 dvds2ln 16172 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐พ โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐พ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐พ โˆฅ ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) + (๐‘ฆ ยท ๐‘))))
433impia 1118 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐พ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐พ โˆฅ ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) + (๐‘ฆ ยท ๐‘)))
543coml 1128 . . . . . . 7 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐พ โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐พ โˆฅ ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) + (๐‘ฆ ยท ๐‘)))
6 simp3l 1202 . . . . . . . . 9 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐พ โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
7 simp12 1205 . . . . . . . . 9 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐พ โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
8 zcn 12505 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
9 zcn 12505 . . . . . . . . . 10 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
10 mulcom 11138 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘€) = (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))
118, 9, 10syl2an 597 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘€) = (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))
126, 7, 11syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐พ โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘€) = (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))
13 simp3r 1203 . . . . . . . . 9 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐พ โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
14 simp13 1206 . . . . . . . . 9 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐พ โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
15 zcn 12505 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
16 zcn 12505 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
17 mulcom 11138 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘) = (๐‘ ยท ๐‘ฆ))
1815, 16, 17syl2an 597 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘) = (๐‘ ยท ๐‘ฆ))
1913, 14, 18syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐พ โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘) = (๐‘ ยท ๐‘ฆ))
2012, 19oveq12d 7376 . . . . . . 7 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐พ โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) + (๐‘ฆ ยท ๐‘)) = ((๐‘€ ยท ๐‘ฅ) + (๐‘ ยท ๐‘ฆ)))
215, 20breqtrd 5132 . . . . . 6 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐พ โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐พ โˆฅ ((๐‘€ ยท ๐‘ฅ) + (๐‘ ยท ๐‘ฆ)))
22 breq2 5110 . . . . . 6 ((๐‘€ gcd ๐‘) = ((๐‘€ ยท ๐‘ฅ) + (๐‘ ยท ๐‘ฆ)) โ†’ (๐พ โˆฅ (๐‘€ gcd ๐‘) โ†” ๐พ โˆฅ ((๐‘€ ยท ๐‘ฅ) + (๐‘ ยท ๐‘ฆ))))
2321, 22syl5ibrcom 247 . . . . 5 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐พ โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘) = ((๐‘€ ยท ๐‘ฅ) + (๐‘ ยท ๐‘ฆ)) โ†’ ๐พ โˆฅ (๐‘€ gcd ๐‘)))
24233expia 1122 . . . 4 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐พ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘) = ((๐‘€ ยท ๐‘ฅ) + (๐‘ ยท ๐‘ฆ)) โ†’ ๐พ โˆฅ (๐‘€ gcd ๐‘))))
2524rexlimdvv 3205 . . 3 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐พ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘€ gcd ๐‘) = ((๐‘€ ยท ๐‘ฅ) + (๐‘ ยท ๐‘ฆ)) โ†’ ๐พ โˆฅ (๐‘€ gcd ๐‘)))
2625ex 414 . 2 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐พ โˆฅ ๐‘) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘€ gcd ๐‘) = ((๐‘€ ยท ๐‘ฅ) + (๐‘ ยท ๐‘ฆ)) โ†’ ๐พ โˆฅ (๐‘€ gcd ๐‘))))
272, 26mpid 44 1 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐พ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐พ โˆฅ (๐‘€ gcd ๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3074   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11050   + caddc 11055   ยท cmul 11057  โ„คcz 12500   โˆฅ cdvds 16137   gcd cgcd 16375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9379  df-inf 9380  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-rp 12917  df-fl 13698  df-mod 13776  df-seq 13908  df-exp 13969  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-dvds 16138  df-gcd 16376
This theorem is referenced by:  dvdsgcdb  16427  dfgcd2  16428  mulgcd  16430  mulgcddvds  16532  rpmulgcd2  16533  rpexp  16599  pythagtriplem4  16692  pcgcd1  16750  pockthlem  16778  odadd2  19628  ablfacrp  19846  mumul  26533  lgsne0  26686  lgsquad2lem2  26736  flt4lem2  40988
  Copyright terms: Public domain W3C validator