Theorem mumullem1 27352

Description: Lemma for mumul 27354. A multiple of a non-squarefree number is non-squarefree. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mumullem1	⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (μ‘𝐴) = 0) → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) = 0)

Proof of Theorem mumullem1

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmz 16737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
2	1	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
3		zsqcl 14170	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → (𝑝↑2) ∈ ℤ)
4	2, 3	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝↑2) ∈ ℤ)
5		nnz 12616	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
6	5	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℤ)
7		nnz 12616	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
8	7	ad2antlr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐵 ∈ ℤ)
9		dvdsmultr1 16358	. . . . 5 ⊢ (((𝑝↑2) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑝↑2) ∥ 𝐴 → (𝑝↑2) ∥ (𝐴 · 𝐵)))
10	4, 6, 8, 9	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝↑2) ∥ 𝐴 → (𝑝↑2) ∥ (𝐴 · 𝐵)))
11	10	reximdva 3178	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ (𝐴 · 𝐵)))
12		isnsqf 27308	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((μ‘𝐴) = 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
13	12	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((μ‘𝐴) = 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
14		nnmulcl 12261	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
15		isnsqf 27308	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ → ((μ‘(𝐴 · 𝐵)) = 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ (𝐴 · 𝐵)))
16	14, 15	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((μ‘(𝐴 · 𝐵)) = 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ (𝐴 · 𝐵)))
17	11, 13, 16	3imtr4d 297	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((μ‘𝐴) = 0 → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) = 0))
18	17	imp 411	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (μ‘𝐴) = 0) → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3089   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11104   · cmul 11109  ℕcn 12237  2c2 12299  ℤcz 12595  ↑cexp 14102   ∥ cdvds 16314  ℙcprime 16733  μcmu 27268

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9930  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11876  df-nn 12238  df-2 12307  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12867  df-fz 13540  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14372  df-dvds 16315  df-prm 16734  df-mu 27274

This theorem is used by:  mumul  27354