Theorem mumullem1 27399

Description: Lemma for mumul 27401. A multiple of a non-squarefree number is non-squarefree. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mumullem1	⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (μ‘𝐴) = 0) → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) = 0)

Proof of Theorem mumullem1

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmz 16760	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
2	1	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
3		zsqcl 14188	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → (𝑝↑2) ∈ ℤ)
4	2, 3	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝↑2) ∈ ℤ)
5		nnz 12632	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
6	5	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℤ)
7		nnz 12632	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
8	7	ad2antlr 740	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐵 ∈ ℤ)
9		dvdsmultr1 16381	. . . . 5 ⊢ (((𝑝↑2) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑝↑2) ∥ 𝐴 → (𝑝↑2) ∥ (𝐴 · 𝐵)))
10	4, 6, 8, 9	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝↑2) ∥ 𝐴 → (𝑝↑2) ∥ (𝐴 · 𝐵)))
11	10	reximdva 3180	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ (𝐴 · 𝐵)))
12		isnsqf 27355	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((μ‘𝐴) = 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
13	12	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((μ‘𝐴) = 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
14		nnmulcl 12277	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
15		isnsqf 27355	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ → ((μ‘(𝐴 · 𝐵)) = 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ (𝐴 · 𝐵)))
16	14, 15	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((μ‘(𝐴 · 𝐵)) = 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ (𝐴 · 𝐵)))
17	11, 13, 16	3imtr4d 297	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((μ‘𝐴) = 0 → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) = 0))
18	17	imp 412	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (μ‘𝐴) = 0) → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3091   class class class wbr 5111  ‘cfv 6541  (class class class)co 7420  0cc0 11120   · cmul 11125  ℕcn 12253  2c2 12315  ℤcz 12611  ↑cexp 14120   ∥ cdvds 16337  ℙcprime 16756  μcmu 27315

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7743  ax-cnex 11176  ax-resscn 11177  ax-1cn 11178  ax-icn 11179  ax-addcl 11180  ax-addrcl 11181  ax-mulcl 11182  ax-mulrcl 11183  ax-mulcom 11184  ax-addass 11185  ax-mulass 11186  ax-distr 11187  ax-i2m1 11188  ax-1ne0 11189  ax-1rid 11190  ax-rnegex 11191  ax-rrecex 11192  ax-cnre 11193  ax-pre-lttri 11194  ax-pre-lttrn 11195  ax-pre-ltadd 11196  ax-pre-mulgt0 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7870  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-er 8701  df-en 8951  df-dom 8952  df-sdom 8953  df-fin 8954  df-card 9942  df-pnf 11265  df-mnf 11266  df-xr 11267  df-ltxr 11268  df-le 11269  df-sub 11463  df-neg 11464  df-div 11892  df-nn 12254  df-2 12323  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12884  df-fz 13557  df-seq 14061  df-exp 14121  df-hash 14390  df-dvds 16338  df-prm 16757  df-mu 27321

This theorem is used by:  mumul  27401