MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mumullem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mumullem1 26551
Description: Lemma for mumul 26553. A multiple of a non-squarefree number is non-squarefree. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mumullem1 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (ฮผโ€˜๐ด) = 0) โ†’ (ฮผโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = 0)

Proof of Theorem mumullem1
Dummy variable ๐‘ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmz 16559 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
21adantl 483 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
3 zsqcl 14043 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
42, 3syl 17 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
5 nnz 12528 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
65ad2antrr 725 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
7 nnz 12528 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
87ad2antlr 726 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
9 dvdsmultr1 16186 . . . . 5 (((๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘โ†‘2) โˆฅ ๐ด โ†’ (๐‘โ†‘2) โˆฅ (๐ด ยท ๐ต)))
104, 6, 8, 9syl3anc 1372 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘โ†‘2) โˆฅ ๐ด โ†’ (๐‘โ†‘2) โˆฅ (๐ด ยท ๐ต)))
1110reximdva 3162 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘โ†‘2) โˆฅ ๐ด โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘โ†‘2) โˆฅ (๐ด ยท ๐ต)))
12 isnsqf 26507 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((ฮผโ€˜๐ด) = 0 โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘โ†‘2) โˆฅ ๐ด))
1312adantr 482 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((ฮผโ€˜๐ด) = 0 โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘โ†‘2) โˆฅ ๐ด))
14 nnmulcl 12185 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„•)
15 isnsqf 26507 . . . 4 ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„• โ†’ ((ฮผโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = 0 โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘โ†‘2) โˆฅ (๐ด ยท ๐ต)))
1614, 15syl 17 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((ฮผโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = 0 โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘โ†‘2) โˆฅ (๐ด ยท ๐ต)))
1711, 13, 163imtr4d 294 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((ฮผโ€˜๐ด) = 0 โ†’ (ฮผโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = 0))
1817imp 408 1 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (ฮผโ€˜๐ด) = 0) โ†’ (ฮผโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3070   class class class wbr 5109  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  0cc0 11059   ยท cmul 11064  โ„•cn 12161  2c2 12216  โ„คcz 12507  โ†‘cexp 13976   โˆฅ cdvds 16144  โ„™cprime 16555  ฮผcmu 26467
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-dvds 16145  df-prm 16556  df-mu 26473
This theorem is referenced by:  mumul  26553
  Copyright terms: Public domain W3C validator