Theorem mumullem1 25368

Description: Lemma for mumul 25370. A multiple of a non-squarefree number is non-squarefree. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mumullem1	⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (μ‘𝐴) = 0) → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) = 0)

Proof of Theorem mumullem1

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmz 15804	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
2	1	adantl 475	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
3		zsqcl 13258	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → (𝑝↑2) ∈ ℤ)
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝↑2) ∈ ℤ)
5		nnz 11756	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
6	5	ad2antrr 716	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℤ)
7		nnz 11756	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
8	7	ad2antlr 717	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐵 ∈ ℤ)
9		dvdsmultr1 15436	. . . . 5 ⊢ (((𝑝↑2) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑝↑2) ∥ 𝐴 → (𝑝↑2) ∥ (𝐴 · 𝐵)))
10	4, 6, 8, 9	syl3anc 1439	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝↑2) ∥ 𝐴 → (𝑝↑2) ∥ (𝐴 · 𝐵)))
11	10	reximdva 3198	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ (𝐴 · 𝐵)))
12		isnsqf 25324	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((μ‘𝐴) = 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
13	12	adantr 474	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((μ‘𝐴) = 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
14		nnmulcl 11404	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
15		isnsqf 25324	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ → ((μ‘(𝐴 · 𝐵)) = 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ (𝐴 · 𝐵)))
16	14, 15	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((μ‘(𝐴 · 𝐵)) = 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ (𝐴 · 𝐵)))
17	11, 13, 16	3imtr4d 286	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((μ‘𝐴) = 0 → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) = 0))
18	17	imp 397	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (μ‘𝐴) = 0) → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3091   class class class wbr 4888  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924  0cc0 10274   · cmul 10279  ℕcn 11379  2c2 11435  ℤcz 11733  ↑cexp 13183   ∥ cdvds 15396  ℙcprime 15800  μcmu 25284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-card 9100  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11036  df-nn 11380  df-2 11443  df-n0 11648  df-z 11734  df-uz 11998  df-fz 12649  df-seq 13125  df-exp 13184  df-hash 13442  df-dvds 15397  df-prm 15801  df-mu 25290

This theorem is referenced by:  mumul  25370