MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdswrd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdswrd 14739
Description: A subword of a subword is a subword. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
swrdswrd ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩) = (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩)))

Proof of Theorem swrdswrd
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 swrdcl 14679 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉)
213ad2ant1 1132 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉)
32adantr 480 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉)
4 elfz0ubfz0 13668 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → 𝐾 ∈ (0...𝐿))
54adantl 481 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → 𝐾 ∈ (0...𝐿))
6 elfzuz 13556 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → 𝐾 ∈ (ℤ‘0))
76adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → 𝐾 ∈ (ℤ‘0))
8 fzss1 13599 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (ℤ‘0) → (𝐾...(𝑁𝑀)) ⊆ (0...(𝑁𝑀)))
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (𝐾...(𝑁𝑀)) ⊆ (0...(𝑁𝑀)))
109sseld 3993 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)) → 𝐿 ∈ (0...(𝑁𝑀))))
1110impr 454 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → 𝐿 ∈ (0...(𝑁𝑀)))
12 3ancomb 1098 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))))
1312biimpi 216 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))))
1413adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))))
15 swrdlen 14681 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) = (𝑁𝑀))
1614, 15syl 17 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) = (𝑁𝑀))
1716oveq2d 7446 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (0...(♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))) = (0...(𝑁𝑀)))
1811, 17eleqtrrd 2841 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))))
19 swrdval2 14680 . . . 4 (((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉𝐾 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾))))
203, 5, 18, 19syl3anc 1370 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾))))
21 fvex 6919 . . . . . 6 ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾)) ∈ V
22 eqid 2734 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾)))
2321, 22fnmpti 6711 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾))) Fn (0..^(𝐿𝐾))
2423a1i 11 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾))) Fn (0..^(𝐿𝐾)))
25 swrdswrdlem 14738 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ (0...(𝑀 + 𝐿)) ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊))))
26 swrdvalfn 14685 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ (0...(𝑀 + 𝐿)) ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩) Fn (0..^((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
2725, 26syl 17 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩) Fn (0..^((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
28 elfzelz 13560 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
29 elfzelz 13560 . . . . . . . . . . 11 (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)) → 𝐿 ∈ ℤ)
30 elfzelz 13560 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → 𝐾 ∈ ℤ)
31 zcn 12615 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
3231adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℂ)
33 zcn 12615 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℂ)
3433ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝐿 ∈ ℂ)
35 zcn 12615 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
3635ad2antll 729 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℂ)
37 pnpcan 11545 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)) = (𝐿𝐾))
3837eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))
3932, 34, 36, 38syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))
4039expcom 413 . . . . . . . . . . 11 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
4129, 30, 40syl2anr 597 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
4228, 41syl5com 31 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
43423ad2ant3 1134 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
4443imp 406 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))
4544oveq2d 7446 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (0..^(𝐿𝐾)) = (0..^((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
4645fneq2d 6662 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → ((𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩) Fn (0..^(𝐿𝐾)) ↔ (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩) Fn (0..^((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))))
4727, 46mpbird 257 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩) Fn (0..^(𝐿𝐾)))
48 simpr 484 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾)))
49 fvex 6919 . . . . . . 7 (𝑊‘((𝑦 + 𝐾) + 𝑀)) ∈ V
50 oveq1 7437 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 + 𝐾) = (𝑦 + 𝐾))
5150fvoveq1d 7452 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀)) = (𝑊‘((𝑦 + 𝐾) + 𝑀)))
52 eqid 2734 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀)))
5351, 52fvmptg 7013 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ∧ (𝑊‘((𝑦 + 𝐾) + 𝑀)) ∈ V) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀)))‘𝑦) = (𝑊‘((𝑦 + 𝐾) + 𝑀)))
5448, 49, 53sylancl 586 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀)))‘𝑦) = (𝑊‘((𝑦 + 𝐾) + 𝑀)))
55 zcn 12615 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
5655, 31, 353anim123i 1150 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ))
57563expa 1117 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ))
58 add32r 11478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)) = ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀))
5958eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))
6057, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))
6160exp31 419 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))))
6261com13 88 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))))
6330, 62syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))))
6463adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))))
6528, 64syl5com 31 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))))
66653ad2ant3 1134 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))))
6766imp 406 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾))))
68 elfzoelz 13695 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → 𝑦 ∈ ℤ)
6967, 68impel 505 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))
7069fveq2d 6910 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → (𝑊‘((𝑦 + 𝐾) + 𝑀)) = (𝑊‘(𝑦 + (𝑀 + 𝐾))))
7154, 70eqtrd 2774 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀)))‘𝑦) = (𝑊‘(𝑦 + (𝑀 + 𝐾))))
7213ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 (((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))))
73 elfz2nn0 13654 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0𝐾 ≤ (𝑁𝑀)))
74 elfz2 13550 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀))))
75 elfzo0 13736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝐾) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < (𝐿𝐾)))
76 nn0re 12532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℝ)
7776ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
78 nn0re 12532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℝ)
7978adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℝ)
80 zre 12614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
8180ad2antll 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → 𝐿 ∈ ℝ)
82 ltaddsub 11734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿𝑥 < (𝐿𝐾)))
8382bicomd 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑥 < (𝐿𝐾) ↔ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿))
8477, 79, 81, 83syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑥 < (𝐿𝐾) ↔ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿))
85 nn0addcl 12558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑥 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℕ0)
8685ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℕ0))
8786adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℕ0))
8887impcom 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℕ0)
8988ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℕ0)
90 elnn0z 12623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑥 + 𝐾) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑥 + 𝐾)))
91 0red 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℝ)
92 zre 12614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℝ)
9392adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℝ)
9480adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ)
95 lelttr 11348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 𝐾) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((0 ≤ (𝑥 + 𝐾) ∧ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿) → 0 < 𝐿))
9691, 93, 94, 95syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 ≤ (𝑥 + 𝐾) ∧ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿) → 0 < 𝐿))
97 0red 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
9880adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℝ)
99 nn0re 12532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝑁𝑀) ∈ ℝ)
10099adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑁𝑀) ∈ ℝ)
101 ltletr 11350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℝ) → ((0 < 𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → 0 < (𝑁𝑀)))
10297, 98, 100, 101syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → ((0 < 𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → 0 < (𝑁𝑀)))
103 elnnnn0b 12567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((𝑁𝑀) ∈ ℕ ↔ ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 0 < (𝑁𝑀)))
104103simplbi2 500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (0 < (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ))
105104adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (0 < (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ))
106102, 105syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → ((0 < 𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ))
107106exp4b 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝐿 ∈ ℤ → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (0 < 𝐿 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ))))
108107com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝐿 ∈ ℤ → (0 < 𝐿 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ))))
109108adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 < 𝐿 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ))))
11096, 109syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 ≤ (𝑥 + 𝐾) ∧ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿) → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ))))
111110expd 415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ (𝑥 + 𝐾) → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ)))))
112111a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝑥 + 𝐾) → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ))))))
113112ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝑥 + 𝐾) → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ)))))))
114113com24 95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ → (0 ≤ (𝑥 + 𝐾) → ((𝑥 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ)))))))
115114imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑥 + 𝐾)) → ((𝑥 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ))))))
11690, 115sylbi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑥 + 𝐾) ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ))))))
11785, 116mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑥 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ)))))
118117impancom 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ)))))
119118impcom 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ))))
120119imp41 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ)
121 nn0readdcl 12590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑥 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℝ)
122121ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℝ))
123122adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℝ))
124123impcom 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℝ)
125 ltletr 11350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℝ) → (((𝑥 + 𝐾) < 𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝑥 + 𝐾) < (𝑁𝑀)))
126124, 81, 99, 125syl2an3an 1421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (((𝑥 + 𝐾) < 𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝑥 + 𝐾) < (𝑁𝑀)))
127126exp4b 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑥 + 𝐾) < (𝑁𝑀)))))
128127com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑥 + 𝐾) < (𝑁𝑀)))))
129128imp41 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝑥 + 𝐾) < (𝑁𝑀))
130 elfzo0 13736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↔ ((𝑥 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ ∧ (𝑥 + 𝐾) < (𝑁𝑀)))
13189, 120, 129, 130syl3anbrc 1342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀)))
132131exp41 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))))
13384, 132sylbid 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑥 < (𝐿𝐾) → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))))
134133ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (𝑥 < (𝐿𝐾) → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀)))))))
135134com24 95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝑥 < (𝐿𝐾) → ((𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀)))))))
136135imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑥 < (𝐿𝐾) → ((𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))))
137136com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (𝑥 < (𝐿𝐾) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))))
138137impancom 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < (𝐿𝐾)) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))))
1391383adant2 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝐾) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < (𝐿𝐾)) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))))
14075, 139sylbi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))))
141140com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))))
142141adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))))
143142com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))))
1441433ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))))
145144imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀)))))
14674, 145sylbi 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀)))))
147146com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀)))))
1481473adant3 1131 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0𝐾 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀)))))
14973, 148sylbi 217 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀)))))
150149imp 406 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))
151150adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))
152151adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))
153152imp 406 . . . . . . . 8 (((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀)))
154 swrdfv 14682 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾)) = (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀)))
15572, 153, 154syl2anc 584 . . . . . . 7 (((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾)) = (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀)))
156155mpteq2dva 5247 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀))))
157156fveq1d 6908 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾)))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀)))‘𝑦))
15825adantr 480 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ (0...(𝑀 + 𝐿)) ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊))))
15931, 33, 353anim123i 1150 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ))
1601593expa 1117 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ))
161160, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))
162161exp31 419 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℤ → (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℤ → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))))
163162com3l 89 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))))
16429, 163syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)) → (𝐾 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))))
16530, 164mpan9 506 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
16628, 165syl5com 31 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
1671663ad2ant3 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
168167imp 406 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))
169168oveq2d 7446 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (0..^(𝐿𝐾)) = (0..^((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
170169eleq2d 2824 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↔ 𝑦 ∈ (0..^((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))))
171170biimpa 476 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → 𝑦 ∈ (0..^((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
172 swrdfv 14682 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ (0...(𝑀 + 𝐿)) ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))) → ((𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩)‘𝑦) = (𝑊‘(𝑦 + (𝑀 + 𝐾))))
173158, 171, 172syl2anc 584 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → ((𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩)‘𝑦) = (𝑊‘(𝑦 + (𝑀 + 𝐾))))
17471, 157, 1733eqtr4d 2784 . . . 4 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾)))‘𝑦) = ((𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩)‘𝑦))
17524, 47, 174eqfnfvd 7053 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾))) = (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩))
17620, 175eqtrd 2774 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩) = (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩))
177176ex 412 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩) = (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  Vcvv 3477  wss 3962  cop 4636   class class class wbr 5147  cmpt 5230   Fn wfn 6557  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152   + caddc 11155   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489  cn 12263  0cn0 12523  cz 12610  cuz 12875  ...cfz 13543  ..^cfzo 13690  chash 14365  Word cword 14548   substr csubstr 14674
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-hash 14366  df-word 14549  df-substr 14675
This theorem is referenced by:  pfxswrd  14740  swrdpfx  14741
  Copyright terms: Public domain W3C validator