Theorem swrdswrd 14847

Description: A subword of a subword is a subword. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Apr-2018.)

Assertion

Ref	Expression
swrdswrd	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩) = (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩)))

Proof of Theorem swrdswrd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		swrdcl 14786	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉)
2	1	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉)
3	2	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉)
4		elfz0ubfz0 13759	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀))) → 𝐾 ∈ (0...𝐿))
5	4	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → 𝐾 ∈ (0...𝐿))
6		elfzuz 13645	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘0))
7	6	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘0))
8		fzss1 13690	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘0) → (𝐾...(𝑁 − 𝑀)) ⊆ (0...(𝑁 − 𝑀)))
9	7, 8	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (𝐾...(𝑁 − 𝑀)) ⊆ (0...(𝑁 − 𝑀)))
10	9	sseld 3930	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)) → 𝐿 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))))
11	10	impr 460	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → 𝐿 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)))
12		3ancomb 1116	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))))
13	12	biimpi 219	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))))
14	13	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))))
15		swrdlen 14788	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) = (𝑁 − 𝑀))
16	14, 15	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) = (𝑁 − 𝑀))
17	16	oveq2d 7434	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → (0...(♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))) = (0...(𝑁 − 𝑀)))
18	11, 17	eleqtrrd 2864	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))))
19		swrdval2 14787	. . . 4 ⊢ (((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾))))
20	3, 5, 18, 19	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾))))
21		fvex 6896	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾)) ∈ V
22		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾)))
23	21, 22	fnmpti 6680	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾))) Fn (0..^(𝐿 − 𝐾))
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾))) Fn (0..^(𝐿 − 𝐾)))
25		swrdswrdlem 14846	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ (0...(𝑀 + 𝐿)) ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊))))
26		swrdvalfn 14793	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ (0...(𝑀 + 𝐿)) ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩) Fn (0..^((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
27	25, 26	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩) Fn (0..^((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
28		elfzelz 13649	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
29		elfzelz 13649	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)) → 𝐿 ∈ ℤ)
30		elfzelz 13649	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → 𝐾 ∈ ℤ)
31		zcn 12691	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
32	31	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℂ)
33		zcn 12691	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℂ)
34	33	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝐿 ∈ ℂ)
35		zcn 12691	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
36	35	ad2antll 742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℂ)
37		pnpcan 11590	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)) = (𝐿 − 𝐾))
38	37	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝐿 − 𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))
39	32, 34, 36, 38	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐿 − 𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))
40	39	expcom 419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝐿 − 𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
41	29, 30, 40	syl2anr 609	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀))) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝐿 − 𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
42	28, 41	syl5com 32	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀))) → (𝐿 − 𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
43	42	3ad2ant3 1153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀))) → (𝐿 − 𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
44	43	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → (𝐿 − 𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))
45	44	oveq2d 7434	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → (0..^(𝐿 − 𝐾)) = (0..^((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
46	45	fneq2d 6631	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → ((𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩) Fn (0..^(𝐿 − 𝐾)) ↔ (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩) Fn (0..^((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))))
47	27, 46	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩) Fn (0..^(𝐿 − 𝐾)))
48		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) → 𝑦 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)))
49		fvex 6896	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊‘((𝑦 + 𝐾) + 𝑀)) ∈ V
50		oveq1 7425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 + 𝐾) = (𝑦 + 𝐾))
51	50	fvoveq1d 7440	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀)) = (𝑊‘((𝑦 + 𝐾) + 𝑀)))
52		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) ↦ (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) ↦ (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀)))
53	51, 52	fvmptg 6989	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) ∧ (𝑊‘((𝑦 + 𝐾) + 𝑀)) ∈ V) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) ↦ (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀)))‘𝑦) = (𝑊‘((𝑦 + 𝐾) + 𝑀)))
54	48, 49, 53	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) ↦ (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀)))‘𝑦) = (𝑊‘((𝑦 + 𝐾) + 𝑀)))
55		zcn 12691	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
56	55, 31, 35	3anim123i 1169	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ))
57	56	3expa 1136	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ))
58		add32r 11523	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)) = ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀))
59	58	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))
60	57, 59	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))
61	60	exp31 425	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))))
62	61	com13 89	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))))
63	30, 62	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))))
64	63	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀))) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))))
65	28, 64	syl5com 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀))) → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))))
66	65	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀))) → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))))
67	66	imp 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾))))
68		elfzoelz 13786	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) → 𝑦 ∈ ℤ)
69	67, 68	impel 515	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))
70	69	fveq2d 6887	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) → (𝑊‘((𝑦 + 𝐾) + 𝑀)) = (𝑊‘(𝑦 + (𝑀 + 𝐾))))
71	54, 70	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) ↦ (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀)))‘𝑦) = (𝑊‘(𝑦 + (𝑀 + 𝐾))))
72	13	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))))
73		elfz2nn0 13745	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ (𝑁 − 𝑀)))
74		elfz2 13639	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀))))
75		elfzo0 13828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝐾) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < (𝐿 − 𝐾)))
76		nn0re 12608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℝ)
77	76	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
78		nn0re 12608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℝ)
79	78	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℝ)
80		zre 12690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
81	80	ad2antll 742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 𝐿 ∈ ℝ)
82		ltaddsub 11783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 ↔ 𝑥 < (𝐿 − 𝐾)))
83	82	bicomd 226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑥 < (𝐿 − 𝐾) ↔ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿))
84	77, 79, 81, 83	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑥 < (𝐿 − 𝐾) ↔ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿))
85		nn0addcl 12634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℕ0)
86	85	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℕ0))
87	86	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℕ0))
88	87	impcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℕ0)
89	88	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℕ0)
90		elnn0z 12699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑥 + 𝐾) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑥 + 𝐾)))
91		0red 11304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℝ)
92		zre 12690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℝ)
93	92	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℝ)
94	80	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ)
95		lelttr 11393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 𝐾) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((0 ≤ (𝑥 + 𝐾) ∧ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿) → 0 < 𝐿))
96	91, 93, 94, 95	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 ≤ (𝑥 + 𝐾) ∧ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿) → 0 < 𝐿))
97		0red 11304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
98	80	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℝ)
99		nn0re 12608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℝ)
100	99	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℝ)
101		ltletr 11395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℝ) → ((0 < 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → 0 < (𝑁 − 𝑀)))
102	97, 98, 100, 101	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → ((0 < 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → 0 < (𝑁 − 𝑀)))
103		elnnnn0b 12643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 0 < (𝑁 − 𝑀)))
104	103	simplbi2 506	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → (0 < (𝑁 − 𝑀) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))
105	104	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → (0 < (𝑁 − 𝑀) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))
106	102, 105	syld 48	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → ((0 < 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))
107	106	exp4b 436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → (0 < 𝐿 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))))
108	107	com23 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → (0 < 𝐿 → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))))
109	108	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 < 𝐿 → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))))
110	96, 109	syld 48	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 ≤ (𝑥 + 𝐾) ∧ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿) → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))))
111	110	expd 421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ (𝑥 + 𝐾) → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ)))))
112	111	a1d 26	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝑥 + 𝐾) → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))))))
113	112	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝑥 + 𝐾) → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ)))))))
114	113	com24 96	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ → (0 ≤ (𝑥 + 𝐾) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ)))))))
115	114	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑥 + 𝐾)) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))))))
116	90, 115	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑥 + 𝐾) ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))))))
117	85, 116	mpcom 39	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ)))))
118	117	impancom 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ)))))
119	118	impcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))))
120	119	imp41 431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ)
121		nn0readdcl 12666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℝ)
122	121	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℝ))
123	122	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℝ))
124	123	impcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℝ)
125		ltletr 11395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℝ) → (((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → (𝑥 + 𝐾) < (𝑁 − 𝑀)))
126	124, 81, 99, 125	syl2an3an 1449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → (((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → (𝑥 + 𝐾) < (𝑁 − 𝑀)))
127	126	exp4b 436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑥 + 𝐾) < (𝑁 − 𝑀)))))
128	127	com23 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑥 + 𝐾) < (𝑁 − 𝑀)))))
129	128	imp41 431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → (𝑥 + 𝐾) < (𝑁 − 𝑀))
130		elfzo0 13828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↔ ((𝑥 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ (𝑥 + 𝐾) < (𝑁 − 𝑀)))
131	89, 120, 129, 130	syl3anbrc 1362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))
132	131	exp41 440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))))))
133	84, 132	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑥 < (𝐿 − 𝐾) → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))))))
134	133	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑥 < (𝐿 − 𝐾) → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))))))
135	134	com24 96	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → (𝑥 < (𝐿 − 𝐾) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))))))
136	135	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑥 < (𝐿 − 𝐾) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))))))
137	136	com13 89	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑥 < (𝐿 − 𝐾) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))))))
138	137	impancom 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 < (𝐿 − 𝐾)) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))))))
139	138	3adant2 1149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝐾) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < (𝐿 − 𝐾)) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))))))
140	75, 139	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))))))
141	140	com14 97	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))))))
142	141	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))))))
143	142	com12 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))))))
144	143	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))))))
145	144	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))))
146	74, 145	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))))
147	146	com12 33	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))))
148	147	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))))
149	73, 148	sylbi 220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))))
150	149	imp 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))))
151	150	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))))
152	151	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))))
153	152	imp 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))
154		swrdfv 14789	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾)) = (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀)))
155	72, 153, 154	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾)) = (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀)))
156	155	mpteq2dva 5198	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) ↦ (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀))))
157	156	fveq1d 6885	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾)))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) ↦ (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀)))‘𝑦))
158	25	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ (0...(𝑀 + 𝐿)) ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊))))
159	31, 33, 35	3anim123i 1169	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ))
160	159	3expa 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ))
161	160, 38	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐿 − 𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))
162	161	exp31 425	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℤ → (𝐿 − 𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))))
163	162	com3l 90	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝐿 − 𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))))
164	29, 163	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)) → (𝐾 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝐿 − 𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))))
165	30, 164	mpan9 516	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀))) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝐿 − 𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
166	28, 165	syl5com 32	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀))) → (𝐿 − 𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
167	166	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀))) → (𝐿 − 𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
168	167	imp 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → (𝐿 − 𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))
169	168	oveq2d 7434	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → (0..^(𝐿 − 𝐾)) = (0..^((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
170	169	eleq2d 2847	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → (𝑦 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) ↔ 𝑦 ∈ (0..^((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))))
171	170	biimpa 482	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) → 𝑦 ∈ (0..^((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
172		swrdfv 14789	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ (0...(𝑀 + 𝐿)) ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))) → ((𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩)‘𝑦) = (𝑊‘(𝑦 + (𝑀 + 𝐾))))
173	158, 171, 172	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) → ((𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩)‘𝑦) = (𝑊‘(𝑦 + (𝑀 + 𝐾))))
174	71, 157, 173	3eqtr4d 2806	. . . 4 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾)))‘𝑦) = ((𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩)‘𝑦))
175	24, 47, 174	eqfnfvd 7030	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾))) = (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩))
176	20, 175	eqtrd 2796	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩) = (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩))
177	176	ex 418	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩) = (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   Fn wfn 6532  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  ℂcc 11191  ℝcr 11192  0cc0 11193   + caddc 11196   < clt 11336   ≤ cle 11337   − cmin 11534  ℕcn 12328  ℕ₀cn0 12599  ℤcz 12686  ℤ_≥cuz 12958  ...cfz 13632  ..^cfzo 13781  ♯chash 14467  Word cword 14651   substr csubstr 14781

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-hash 14468  df-word 14652  df-substr 14782

This theorem is used by:  pfxswrd  14848  swrdpfx  14849