Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdswrd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdswrd 14107
 Description: A subword of a subword is a subword. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
swrdswrd ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩) = (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩)))

Proof of Theorem swrdswrd
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 swrdcl 14047 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉)
213ad2ant1 1131 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉)
32adantr 485 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉)
4 elfz0ubfz0 13053 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → 𝐾 ∈ (0...𝐿))
54adantl 486 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → 𝐾 ∈ (0...𝐿))
6 elfzuz 12945 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → 𝐾 ∈ (ℤ‘0))
76adantl 486 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → 𝐾 ∈ (ℤ‘0))
8 fzss1 12988 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (ℤ‘0) → (𝐾...(𝑁𝑀)) ⊆ (0...(𝑁𝑀)))
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (𝐾...(𝑁𝑀)) ⊆ (0...(𝑁𝑀)))
109sseld 3892 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)) → 𝐿 ∈ (0...(𝑁𝑀))))
1110impr 459 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → 𝐿 ∈ (0...(𝑁𝑀)))
12 3ancomb 1097 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))))
1312biimpi 219 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))))
1413adantr 485 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))))
15 swrdlen 14049 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) = (𝑁𝑀))
1614, 15syl 17 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) = (𝑁𝑀))
1716oveq2d 7167 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (0...(♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))) = (0...(𝑁𝑀)))
1811, 17eleqtrrd 2856 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))))
19 swrdval2 14048 . . . 4 (((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉𝐾 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾))))
203, 5, 18, 19syl3anc 1369 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾))))
21 fvex 6672 . . . . . 6 ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾)) ∈ V
22 eqid 2759 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾)))
2321, 22fnmpti 6475 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾))) Fn (0..^(𝐿𝐾))
2423a1i 11 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾))) Fn (0..^(𝐿𝐾)))
25 swrdswrdlem 14106 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ (0...(𝑀 + 𝐿)) ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊))))
26 swrdvalfn 14053 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ (0...(𝑀 + 𝐿)) ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩) Fn (0..^((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
2725, 26syl 17 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩) Fn (0..^((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
28 elfzelz 12949 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
29 elfzelz 12949 . . . . . . . . . . 11 (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)) → 𝐿 ∈ ℤ)
30 elfzelz 12949 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → 𝐾 ∈ ℤ)
31 zcn 12018 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
3231adantr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℂ)
33 zcn 12018 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℂ)
3433ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝐿 ∈ ℂ)
35 zcn 12018 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
3635ad2antll 729 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℂ)
37 pnpcan 10956 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)) = (𝐿𝐾))
3837eqcomd 2765 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))
3932, 34, 36, 38syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))
4039expcom 418 . . . . . . . . . . 11 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
4129, 30, 40syl2anr 600 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
4228, 41syl5com 31 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
43423ad2ant3 1133 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
4443imp 411 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))
4544oveq2d 7167 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (0..^(𝐿𝐾)) = (0..^((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
4645fneq2d 6429 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → ((𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩) Fn (0..^(𝐿𝐾)) ↔ (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩) Fn (0..^((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))))
4727, 46mpbird 260 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩) Fn (0..^(𝐿𝐾)))
48 simpr 489 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾)))
49 fvex 6672 . . . . . . 7 (𝑊‘((𝑦 + 𝐾) + 𝑀)) ∈ V
50 oveq1 7158 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 + 𝐾) = (𝑦 + 𝐾))
5150fvoveq1d 7173 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀)) = (𝑊‘((𝑦 + 𝐾) + 𝑀)))
52 eqid 2759 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀)))
5351, 52fvmptg 6758 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ∧ (𝑊‘((𝑦 + 𝐾) + 𝑀)) ∈ V) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀)))‘𝑦) = (𝑊‘((𝑦 + 𝐾) + 𝑀)))
5448, 49, 53sylancl 590 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀)))‘𝑦) = (𝑊‘((𝑦 + 𝐾) + 𝑀)))
55 zcn 12018 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
5655, 31, 353anim123i 1149 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ))
57563expa 1116 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ))
58 add32r 10890 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)) = ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀))
5958eqcomd 2765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))
6057, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))
6160exp31 424 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))))
6261com13 88 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))))
6330, 62syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))))
6463adantr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))))
6528, 64syl5com 31 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))))
66653ad2ant3 1133 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))))
6766imp 411 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾))))
68 elfzoelz 13080 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → 𝑦 ∈ ℤ)
6967, 68impel 510 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))
7069fveq2d 6663 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → (𝑊‘((𝑦 + 𝐾) + 𝑀)) = (𝑊‘(𝑦 + (𝑀 + 𝐾))))
7154, 70eqtrd 2794 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀)))‘𝑦) = (𝑊‘(𝑦 + (𝑀 + 𝐾))))
7213ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 (((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))))
73 elfz2nn0 13040 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0𝐾 ≤ (𝑁𝑀)))
74 elfz2 12939 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀))))
75 elfzo0 13120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝐾) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < (𝐿𝐾)))
76 nn0re 11936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℝ)
7776ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
78 nn0re 11936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℝ)
7978adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℝ)
80 zre 12017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
8180ad2antll 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → 𝐿 ∈ ℝ)
82 ltaddsub 11145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿𝑥 < (𝐿𝐾)))
8382bicomd 226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑥 < (𝐿𝐾) ↔ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿))
8477, 79, 81, 83syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑥 < (𝐿𝐾) ↔ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿))
85 nn0addcl 11962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑥 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℕ0)
8685ex 417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℕ0))
8786adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℕ0))
8887impcom 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℕ0)
8988ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℕ0)
90 elnn0z 12026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑥 + 𝐾) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑥 + 𝐾)))
91 0red 10675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℝ)
92 zre 12017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℝ)
9392adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℝ)
9480adantl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ)
95 lelttr 10762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 𝐾) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((0 ≤ (𝑥 + 𝐾) ∧ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿) → 0 < 𝐿))
9691, 93, 94, 95syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 ≤ (𝑥 + 𝐾) ∧ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿) → 0 < 𝐿))
97 0red 10675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
9880adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℝ)
99 nn0re 11936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝑁𝑀) ∈ ℝ)
10099adantl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑁𝑀) ∈ ℝ)
101 ltletr 10763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℝ) → ((0 < 𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → 0 < (𝑁𝑀)))
10297, 98, 100, 101syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → ((0 < 𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → 0 < (𝑁𝑀)))
103 elnnnn0b 11971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((𝑁𝑀) ∈ ℕ ↔ ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 0 < (𝑁𝑀)))
104103simplbi2 505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (0 < (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ))
105104adantl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (0 < (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ))
106102, 105syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → ((0 < 𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ))
107106exp4b 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝐿 ∈ ℤ → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (0 < 𝐿 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ))))
108107com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝐿 ∈ ℤ → (0 < 𝐿 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ))))
109108adantl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 < 𝐿 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ))))
11096, 109syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 ≤ (𝑥 + 𝐾) ∧ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿) → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ))))
111110expd 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ (𝑥 + 𝐾) → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ)))))
112111a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝑥 + 𝐾) → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ))))))
113112ex 417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝑥 + 𝐾) → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ)))))))
114113com24 95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ → (0 ≤ (𝑥 + 𝐾) → ((𝑥 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ)))))))
115114imp 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑥 + 𝐾)) → ((𝑥 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ))))))
11690, 115sylbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑥 + 𝐾) ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ))))))
11785, 116mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑥 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ)))))
118117impancom 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ)))))
119118impcom 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ))))
120119imp41 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ)
121 nn0readdcl 11993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑥 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℝ)
122121ex 417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℝ))
123122adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℝ))
124123impcom 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℝ)
125 ltletr 10763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℝ) → (((𝑥 + 𝐾) < 𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝑥 + 𝐾) < (𝑁𝑀)))
126124, 81, 99, 125syl2an3an 1420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (((𝑥 + 𝐾) < 𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝑥 + 𝐾) < (𝑁𝑀)))
127126exp4b 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑥 + 𝐾) < (𝑁𝑀)))))
128127com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑥 + 𝐾) < (𝑁𝑀)))))
129128imp41 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝑥 + 𝐾) < (𝑁𝑀))
130 elfzo0 13120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↔ ((𝑥 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ ∧ (𝑥 + 𝐾) < (𝑁𝑀)))
13189, 120, 129, 130syl3anbrc 1341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀)))
132131exp41 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))))
13384, 132sylbid 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑥 < (𝐿𝐾) → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))))
134133ex 417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (𝑥 < (𝐿𝐾) → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀)))))))
135134com24 95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝑥 < (𝐿𝐾) → ((𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀)))))))
136135imp 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑥 < (𝐿𝐾) → ((𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))))
137136com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (𝑥 < (𝐿𝐾) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))))
138137impancom 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < (𝐿𝐾)) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))))
1391383adant2 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝐾) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < (𝐿𝐾)) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))))
14075, 139sylbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))))
141140com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))))
142141adantl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))))
143142com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))))
1441433ad2ant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))))
145144imp 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀)))))
14674, 145sylbi 220 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀)))))
147146com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀)))))
1481473adant3 1130 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0𝐾 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀)))))
14973, 148sylbi 220 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀)))))
150149imp 411 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))
151150adantl 486 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))
152151adantr 485 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))
153152imp 411 . . . . . . . 8 (((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀)))
154 swrdfv 14050 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾)) = (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀)))
15572, 153, 154syl2anc 588 . . . . . . 7 (((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾)) = (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀)))
156155mpteq2dva 5128 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀))))
157156fveq1d 6661 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾)))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀)))‘𝑦))
15825adantr 485 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ (0...(𝑀 + 𝐿)) ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊))))
15931, 33, 353anim123i 1149 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ))
1601593expa 1116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ))
161160, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))
162161exp31 424 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℤ → (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℤ → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))))
163162com3l 89 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))))
16429, 163syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)) → (𝐾 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))))
16530, 164mpan9 511 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
16628, 165syl5com 31 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
1671663ad2ant3 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
168167imp 411 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))
169168oveq2d 7167 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (0..^(𝐿𝐾)) = (0..^((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
170169eleq2d 2838 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↔ 𝑦 ∈ (0..^((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))))
171170biimpa 481 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → 𝑦 ∈ (0..^((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
172 swrdfv 14050 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ (0...(𝑀 + 𝐿)) ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))) → ((𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩)‘𝑦) = (𝑊‘(𝑦 + (𝑀 + 𝐾))))
173158, 171, 172syl2anc 588 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → ((𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩)‘𝑦) = (𝑊‘(𝑦 + (𝑀 + 𝐾))))
17471, 157, 1733eqtr4d 2804 . . . 4 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾)))‘𝑦) = ((𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩)‘𝑦))
17524, 47, 174eqfnfvd 6797 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾))) = (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩))
17620, 175eqtrd 2794 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩) = (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩))
177176ex 417 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩) = (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  Vcvv 3410   ⊆ wss 3859  ⟨cop 4529   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113   Fn wfn 6331  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  ℂcc 10566  ℝcr 10567  0cc0 10568   + caddc 10571   < clt 10706   ≤ cle 10707   − cmin 10901  ℕcn 11667  ℕ0cn0 11927  ℤcz 12013  ℤ≥cuz 12275  ...cfz 12932  ..^cfzo 13075  ♯chash 13733  Word cword 13906   substr csubstr 14042 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10624  ax-resscn 10625  ax-1cn 10626  ax-icn 10627  ax-addcl 10628  ax-addrcl 10629  ax-mulcl 10630  ax-mulrcl 10631  ax-mulcom 10632  ax-addass 10633  ax-mulass 10634  ax-distr 10635  ax-i2m1 10636  ax-1ne0 10637  ax-1rid 10638  ax-rnegex 10639  ax-rrecex 10640  ax-cnre 10641  ax-pre-lttri 10642  ax-pre-lttrn 10643  ax-pre-ltadd 10644  ax-pre-mulgt0 10645 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-int 4840  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-er 8300  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-card 9394  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-xr 10710  df-ltxr 10711  df-le 10712  df-sub 10903  df-neg 10904  df-nn 11668  df-n0 11928  df-z 12014  df-uz 12276  df-fz 12933  df-fzo 13076  df-hash 13734  df-word 13907  df-substr 14043 This theorem is referenced by:  pfxswrd  14108  swrdpfx  14109
 Copyright terms: Public domain W3C validator