MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdswrd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdswrd 14661
Description: A subword of a subword is a subword. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
swrdswrd ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩) = (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩)))

Proof of Theorem swrdswrd
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 swrdcl 14601 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉)
213ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉)
32adantr 480 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉)
4 elfz0ubfz0 13611 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → 𝐾 ∈ (0...𝐿))
54adantl 481 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → 𝐾 ∈ (0...𝐿))
6 elfzuz 13503 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → 𝐾 ∈ (ℤ‘0))
76adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → 𝐾 ∈ (ℤ‘0))
8 fzss1 13546 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (ℤ‘0) → (𝐾...(𝑁𝑀)) ⊆ (0...(𝑁𝑀)))
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (𝐾...(𝑁𝑀)) ⊆ (0...(𝑁𝑀)))
109sseld 3976 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)) → 𝐿 ∈ (0...(𝑁𝑀))))
1110impr 454 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → 𝐿 ∈ (0...(𝑁𝑀)))
12 3ancomb 1096 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))))
1312biimpi 215 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))))
1413adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))))
15 swrdlen 14603 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) = (𝑁𝑀))
1614, 15syl 17 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) = (𝑁𝑀))
1716oveq2d 7421 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (0...(♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))) = (0...(𝑁𝑀)))
1811, 17eleqtrrd 2830 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))))
19 swrdval2 14602 . . . 4 (((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉𝐾 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾))))
203, 5, 18, 19syl3anc 1368 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾))))
21 fvex 6898 . . . . . 6 ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾)) ∈ V
22 eqid 2726 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾)))
2321, 22fnmpti 6687 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾))) Fn (0..^(𝐿𝐾))
2423a1i 11 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾))) Fn (0..^(𝐿𝐾)))
25 swrdswrdlem 14660 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ (0...(𝑀 + 𝐿)) ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊))))
26 swrdvalfn 14607 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ (0...(𝑀 + 𝐿)) ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩) Fn (0..^((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
2725, 26syl 17 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩) Fn (0..^((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
28 elfzelz 13507 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
29 elfzelz 13507 . . . . . . . . . . 11 (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)) → 𝐿 ∈ ℤ)
30 elfzelz 13507 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → 𝐾 ∈ ℤ)
31 zcn 12567 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
3231adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℂ)
33 zcn 12567 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℂ)
3433ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝐿 ∈ ℂ)
35 zcn 12567 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
3635ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℂ)
37 pnpcan 11503 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)) = (𝐿𝐾))
3837eqcomd 2732 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))
3932, 34, 36, 38syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))
4039expcom 413 . . . . . . . . . . 11 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
4129, 30, 40syl2anr 596 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
4228, 41syl5com 31 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
43423ad2ant3 1132 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
4443imp 406 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))
4544oveq2d 7421 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (0..^(𝐿𝐾)) = (0..^((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
4645fneq2d 6637 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → ((𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩) Fn (0..^(𝐿𝐾)) ↔ (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩) Fn (0..^((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))))
4727, 46mpbird 257 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩) Fn (0..^(𝐿𝐾)))
48 simpr 484 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾)))
49 fvex 6898 . . . . . . 7 (𝑊‘((𝑦 + 𝐾) + 𝑀)) ∈ V
50 oveq1 7412 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 + 𝐾) = (𝑦 + 𝐾))
5150fvoveq1d 7427 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀)) = (𝑊‘((𝑦 + 𝐾) + 𝑀)))
52 eqid 2726 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀)))
5351, 52fvmptg 6990 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ∧ (𝑊‘((𝑦 + 𝐾) + 𝑀)) ∈ V) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀)))‘𝑦) = (𝑊‘((𝑦 + 𝐾) + 𝑀)))
5448, 49, 53sylancl 585 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀)))‘𝑦) = (𝑊‘((𝑦 + 𝐾) + 𝑀)))
55 zcn 12567 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
5655, 31, 353anim123i 1148 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ))
57563expa 1115 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ))
58 add32r 11437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)) = ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀))
5958eqcomd 2732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))
6057, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))
6160exp31 419 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))))
6261com13 88 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))))
6330, 62syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))))
6463adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))))
6528, 64syl5com 31 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))))
66653ad2ant3 1132 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))))
6766imp 406 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾))))
68 elfzoelz 13638 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → 𝑦 ∈ ℤ)
6967, 68impel 505 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))
7069fveq2d 6889 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → (𝑊‘((𝑦 + 𝐾) + 𝑀)) = (𝑊‘(𝑦 + (𝑀 + 𝐾))))
7154, 70eqtrd 2766 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀)))‘𝑦) = (𝑊‘(𝑦 + (𝑀 + 𝐾))))
7213ad3antrrr 727 . . . . . . . 8 (((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))))
73 elfz2nn0 13598 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0𝐾 ≤ (𝑁𝑀)))
74 elfz2 13497 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀))))
75 elfzo0 13679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝐾) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < (𝐿𝐾)))
76 nn0re 12485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℝ)
7776ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
78 nn0re 12485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℝ)
7978adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℝ)
80 zre 12566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
8180ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → 𝐿 ∈ ℝ)
82 ltaddsub 11692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿𝑥 < (𝐿𝐾)))
8382bicomd 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑥 < (𝐿𝐾) ↔ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿))
8477, 79, 81, 83syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑥 < (𝐿𝐾) ↔ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿))
85 nn0addcl 12511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑥 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℕ0)
8685ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℕ0))
8786adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℕ0))
8887impcom 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℕ0)
8988ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℕ0)
90 elnn0z 12575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑥 + 𝐾) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑥 + 𝐾)))
91 0red 11221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℝ)
92 zre 12566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℝ)
9392adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℝ)
9480adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ)
95 lelttr 11308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 𝐾) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((0 ≤ (𝑥 + 𝐾) ∧ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿) → 0 < 𝐿))
9691, 93, 94, 95syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 ≤ (𝑥 + 𝐾) ∧ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿) → 0 < 𝐿))
97 0red 11221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
9880adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℝ)
99 nn0re 12485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝑁𝑀) ∈ ℝ)
10099adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑁𝑀) ∈ ℝ)
101 ltletr 11310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℝ) → ((0 < 𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → 0 < (𝑁𝑀)))
10297, 98, 100, 101syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → ((0 < 𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → 0 < (𝑁𝑀)))
103 elnnnn0b 12520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((𝑁𝑀) ∈ ℕ ↔ ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 0 < (𝑁𝑀)))
104103simplbi2 500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (0 < (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ))
105104adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (0 < (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ))
106102, 105syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → ((0 < 𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ))
107106exp4b 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝐿 ∈ ℤ → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (0 < 𝐿 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ))))
108107com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝐿 ∈ ℤ → (0 < 𝐿 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ))))
109108adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 < 𝐿 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ))))
11096, 109syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 ≤ (𝑥 + 𝐾) ∧ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿) → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ))))
111110expd 415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ (𝑥 + 𝐾) → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ)))))
112111a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝑥 + 𝐾) → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ))))))
113112ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝑥 + 𝐾) → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ)))))))
114113com24 95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ → (0 ≤ (𝑥 + 𝐾) → ((𝑥 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ)))))))
115114imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑥 + 𝐾)) → ((𝑥 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ))))))
11690, 115sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑥 + 𝐾) ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ))))))
11785, 116mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑥 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ)))))
118117impancom 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ)))))
119118impcom 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ))))
120119imp41 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ)
121 nn0readdcl 12542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑥 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℝ)
122121ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℝ))
123122adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℝ))
124123impcom 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℝ)
125 ltletr 11310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℝ) → (((𝑥 + 𝐾) < 𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝑥 + 𝐾) < (𝑁𝑀)))
126124, 81, 99, 125syl2an3an 1419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (((𝑥 + 𝐾) < 𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝑥 + 𝐾) < (𝑁𝑀)))
127126exp4b 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑥 + 𝐾) < (𝑁𝑀)))))
128127com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑥 + 𝐾) < (𝑁𝑀)))))
129128imp41 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝑥 + 𝐾) < (𝑁𝑀))
130 elfzo0 13679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↔ ((𝑥 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ ∧ (𝑥 + 𝐾) < (𝑁𝑀)))
13189, 120, 129, 130syl3anbrc 1340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀)))
132131exp41 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))))
13384, 132sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑥 < (𝐿𝐾) → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))))
134133ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (𝑥 < (𝐿𝐾) → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀)))))))
135134com24 95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝑥 < (𝐿𝐾) → ((𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀)))))))
136135imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑥 < (𝐿𝐾) → ((𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))))
137136com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (𝑥 < (𝐿𝐾) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))))
138137impancom 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < (𝐿𝐾)) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))))
1391383adant2 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝐾) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < (𝐿𝐾)) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))))
14075, 139sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))))
141140com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))))
142141adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))))
143142com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))))
1441433ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))))
145144imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀)))))
14674, 145sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀)))))
147146com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀)))))
1481473adant3 1129 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0𝐾 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀)))))
14973, 148sylbi 216 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀)))))
150149imp 406 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))
151150adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))
152151adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))
153152imp 406 . . . . . . . 8 (((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀)))
154 swrdfv 14604 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾)) = (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀)))
15572, 153, 154syl2anc 583 . . . . . . 7 (((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾)) = (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀)))
156155mpteq2dva 5241 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀))))
157156fveq1d 6887 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾)))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀)))‘𝑦))
15825adantr 480 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ (0...(𝑀 + 𝐿)) ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊))))
15931, 33, 353anim123i 1148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ))
1601593expa 1115 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ))
161160, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))
162161exp31 419 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℤ → (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℤ → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))))
163162com3l 89 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))))
16429, 163syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)) → (𝐾 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))))
16530, 164mpan9 506 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
16628, 165syl5com 31 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
1671663ad2ant3 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
168167imp 406 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))
169168oveq2d 7421 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (0..^(𝐿𝐾)) = (0..^((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
170169eleq2d 2813 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↔ 𝑦 ∈ (0..^((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))))
171170biimpa 476 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → 𝑦 ∈ (0..^((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
172 swrdfv 14604 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ (0...(𝑀 + 𝐿)) ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))) → ((𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩)‘𝑦) = (𝑊‘(𝑦 + (𝑀 + 𝐾))))
173158, 171, 172syl2anc 583 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → ((𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩)‘𝑦) = (𝑊‘(𝑦 + (𝑀 + 𝐾))))
17471, 157, 1733eqtr4d 2776 . . . 4 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾)))‘𝑦) = ((𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩)‘𝑦))
17524, 47, 174eqfnfvd 7029 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾))) = (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩))
17620, 175eqtrd 2766 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩) = (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩))
177176ex 412 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩) = (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3468  wss 3943  cop 4629   class class class wbr 5141  cmpt 5224   Fn wfn 6532  cfv 6537  (class class class)co 7405  cc 11110  cr 11111  0cc0 11112   + caddc 11115   < clt 11252  cle 11253  cmin 11448  cn 12216  0cn0 12476  cz 12562  cuz 12826  ...cfz 13490  ..^cfzo 13633  chash 14295  Word cword 14470   substr csubstr 14596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-hash 14296  df-word 14471  df-substr 14597
This theorem is referenced by:  pfxswrd  14662  swrdpfx  14663
  Copyright terms: Public domain W3C validator