Theorem cshwidxm1 14870

Description: The symbol at index ((n-N)-1) of a word of length n (not 0) cyclically shifted by N positions is the symbol at index (n-1) of the original word. (Contributed by AV, 23-Mar-2018.) (Revised by AV, 21-May-2018.) (Revised by AV, 30-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cshwidxm1	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1)) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))

Proof of Theorem cshwidxm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2		elfzoelz 13706	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℤ)
3	2	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		ubmelm1fzo 13811	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
5	4	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
6		cshwidxmod 14866	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1)) = (𝑊‘(((((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
7	1, 3, 5, 6	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1)) = (𝑊‘(((((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
8		elfzoel2 13705	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
9	8	zcnd 12719	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
10	2	zcnd 12719	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℂ)
11		1cnd 11220	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 1 ∈ ℂ)
12		nnpcan 11499	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1) + 𝑁) = ((♯‘𝑊) − 1))
13	9, 10, 11, 12	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1) + 𝑁) = ((♯‘𝑊) − 1))
14	13	oveq1d 7438	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (((((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = (((♯‘𝑊) − 1) mod (♯‘𝑊)))
15	14	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = (((♯‘𝑊) − 1) mod (♯‘𝑊)))
16		elfzo0 13748	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)))
17		nnre 12258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
18		peano2rem 11543	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℝ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ)
19	17, 18	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ)
20		nnrp 13046	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
21	19, 20	jca 521	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ+))
22	21	3ad2ant2 1152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ+))
23	16, 22	sylbi 220	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ+))
24		nnm1ge0 12682	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → 0 ≤ ((♯‘𝑊) − 1))
25	24	3ad2ant2 1152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → 0 ≤ ((♯‘𝑊) − 1))
26	16, 25	sylbi 220	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 0 ≤ ((♯‘𝑊) − 1))
27		zre 12613	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
28	27	ltm1d 12165	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊))
29	8, 28	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊))
30	23, 26, 29	jca32 525	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ ((♯‘𝑊) − 1) ∧ ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊))))
31	30	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ ((♯‘𝑊) − 1) ∧ ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊))))
32		modid 13949	. . . . 5 ⊢ (((((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ ((♯‘𝑊) − 1) ∧ ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊))) → (((♯‘𝑊) − 1) mod (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) − 1))
33	31, 32	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((♯‘𝑊) − 1) mod (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) − 1))
34	15, 33	eqtrd 2801	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) − 1))
35	34	fveq2d 6892	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘(((((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
36	7, 35	eqtrd 2801	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1)) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5114  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  ℝcr 11117  0cc0 11118  1c1 11119   + caddc 11121   < clt 11261   ≤ cle 11262   − cmin 11459  ℕcn 12251  ℕ₀cn0 12522  ℤcz 12609  ℝ⁺crp 13034  ..^cfzo 13701   mod cmo 13922  ♯chash 14386  Word cword 14570   cyclShift ccsh 14851

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-rp 13035  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-mod 13923  df-hash 14387  df-word 14571  df-concat 14628  df-substr 14701  df-pfx 14733  df-csh 14852

This theorem is used by: (None)