Theorem cshwidxm1 14760

Description: The symbol at index ((n-N)-1) of a word of length n (not 0) cyclically shifted by N positions is the symbol at index (n-1) of the original word. (Contributed by AV, 23-Mar-2018.) (Revised by AV, 21-May-2018.) (Revised by AV, 30-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cshwidxm1	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1)) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))

Proof of Theorem cshwidxm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2		elfzoelz 13604	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℤ)
3	2	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		ubmelm1fzo 13709	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
6		cshwidxmod 14756	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1)) = (𝑊‘(((((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
7	1, 3, 5, 6	syl3anc 1374	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1)) = (𝑊‘(((((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
8		elfzoel2 13603	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
9	8	zcnd 12625	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
10	2	zcnd 12625	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℂ)
11		1cnd 11130	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 1 ∈ ℂ)
12		nnpcan 11408	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1) + 𝑁) = ((♯‘𝑊) − 1))
13	9, 10, 11, 12	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1) + 𝑁) = ((♯‘𝑊) − 1))
14	13	oveq1d 7375	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (((((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = (((♯‘𝑊) − 1) mod (♯‘𝑊)))
15	14	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = (((♯‘𝑊) − 1) mod (♯‘𝑊)))
16		elfzo0 13646	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)))
17		nnre 12172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
18		peano2rem 11452	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℝ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ)
20		nnrp 12945	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
21	19, 20	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ+))
22	21	3ad2ant2 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ+))
23	16, 22	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ+))
24		nnm1ge0 12588	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → 0 ≤ ((♯‘𝑊) − 1))
25	24	3ad2ant2 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → 0 ≤ ((♯‘𝑊) − 1))
26	16, 25	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 0 ≤ ((♯‘𝑊) − 1))
27		zre 12519	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
28	27	ltm1d 12079	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊))
29	8, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊))
30	23, 26, 29	jca32 515	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ ((♯‘𝑊) − 1) ∧ ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊))))
31	30	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ ((♯‘𝑊) − 1) ∧ ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊))))
32		modid 13846	. . . . 5 ⊢ (((((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ ((♯‘𝑊) − 1) ∧ ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊))) → (((♯‘𝑊) − 1) mod (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) − 1))
33	31, 32	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((♯‘𝑊) − 1) mod (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) − 1))
34	15, 33	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) − 1))
35	34	fveq2d 6838	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘(((((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
36	7, 35	eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1)) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368  ℕcn 12165  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ℝ⁺crp 12933  ..^cfzo 13599   mod cmo 13819  ♯chash 14283  Word cword 14466   cyclShift ccsh 14741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-inf 9349  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-hash 14284  df-word 14467  df-concat 14524  df-substr 14595  df-pfx 14625  df-csh 14742

This theorem is referenced by: (None)