Theorem cshwidxm1 14730

Description: The symbol at index ((n-N)-1) of a word of length n (not 0) cyclically shifted by N positions is the symbol at index (n-1) of the original word. (Contributed by AV, 23-Mar-2018.) (Revised by AV, 21-May-2018.) (Revised by AV, 30-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cshwidxm1	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1)) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))

Proof of Theorem cshwidxm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2		elfzoelz 13575	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℤ)
3	2	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		ubmelm1fzo 13679	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
6		cshwidxmod 14726	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1)) = (𝑊‘(((((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
7	1, 3, 5, 6	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1)) = (𝑊‘(((((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
8		elfzoel2 13574	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
9	8	zcnd 12597	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
10	2	zcnd 12597	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℂ)
11		1cnd 11127	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 1 ∈ ℂ)
12		nnpcan 11404	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1) + 𝑁) = ((♯‘𝑊) − 1))
13	9, 10, 11, 12	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1) + 𝑁) = ((♯‘𝑊) − 1))
14	13	oveq1d 7373	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (((((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = (((♯‘𝑊) − 1) mod (♯‘𝑊)))
15	14	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = (((♯‘𝑊) − 1) mod (♯‘𝑊)))
16		elfzo0 13616	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)))
17		nnre 12152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
18		peano2rem 11448	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℝ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ)
20		nnrp 12917	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
21	19, 20	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ+))
22	21	3ad2ant2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ+))
23	16, 22	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ+))
24		nnm1ge0 12560	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → 0 ≤ ((♯‘𝑊) − 1))
25	24	3ad2ant2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → 0 ≤ ((♯‘𝑊) − 1))
26	16, 25	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 0 ≤ ((♯‘𝑊) − 1))
27		zre 12492	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
28	27	ltm1d 12074	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊))
29	8, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊))
30	23, 26, 29	jca32 515	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ ((♯‘𝑊) − 1) ∧ ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊))))
31	30	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ ((♯‘𝑊) − 1) ∧ ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊))))
32		modid 13816	. . . . 5 ⊢ (((((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ ((♯‘𝑊) − 1) ∧ ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊))) → (((♯‘𝑊) − 1) mod (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) − 1))
33	31, 32	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((♯‘𝑊) − 1) mod (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) − 1))
34	15, 33	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) − 1))
35	34	fveq2d 6838	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘(((((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
36	7, 35	eqtrd 2771	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1)) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   < clt 11166   ≤ cle 11167   − cmin 11364  ℕcn 12145  ℕ₀cn0 12401  ℤcz 12488  ℝ⁺crp 12905  ..^cfzo 13570   mod cmo 13789  ♯chash 14253  Word cword 14436   cyclShift ccsh 14711

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-mod 13790  df-hash 14254  df-word 14437  df-concat 14494  df-substr 14565  df-pfx 14595  df-csh 14712

This theorem is referenced by: (None)