MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cshwidxm1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cshwidxm1 14034
Description: The symbol at index ((n-N)-1) of a word of length n (not 0) cyclically shifted by N positions is the symbol at index (n-1) of the original word. (Contributed by AV, 23-Mar-2018.) (Revised by AV, 21-May-2018.) (Revised by AV, 30-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
cshwidxm1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1)) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))

Proof of Theorem cshwidxm1
StepHypRef Expression
1 simpl 475 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2 elfzoelz 12857 . . . 4 (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℤ)
32adantl 474 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑁 ∈ ℤ)
4 ubmelm1fzo 12951 . . . 4 (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
54adantl 474 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
6 cshwidxmod 14030 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ ∧ (((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1)) = (𝑊‘(((((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
71, 3, 5, 6syl3anc 1351 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1)) = (𝑊‘(((((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
8 elfzoel2 12856 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
98zcnd 11904 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
102zcnd 11904 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℂ)
11 1cnd 10436 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 1 ∈ ℂ)
12 nnpcan 10712 . . . . . . 7 (((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1) + 𝑁) = ((♯‘𝑊) − 1))
139, 10, 11, 12syl3anc 1351 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1) + 𝑁) = ((♯‘𝑊) − 1))
1413oveq1d 6993 . . . . 5 (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (((((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = (((♯‘𝑊) − 1) mod (♯‘𝑊)))
1514adantl 474 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = (((♯‘𝑊) − 1) mod (♯‘𝑊)))
16 elfzo0 12896 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)))
17 nnre 11449 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
18 peano2rem 10756 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑊) ∈ ℝ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ)
20 nnrp 12220 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
2119, 20jca 504 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ+))
22213ad2ant2 1114 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ+))
2316, 22sylbi 209 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ+))
24 nnm1ge0 11866 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → 0 ≤ ((♯‘𝑊) − 1))
25243ad2ant2 1114 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → 0 ≤ ((♯‘𝑊) − 1))
2616, 25sylbi 209 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 0 ≤ ((♯‘𝑊) − 1))
27 zre 11800 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
2827ltm1d 11375 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊))
298, 28syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊))
3023, 26, 29jca32 508 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ ((♯‘𝑊) − 1) ∧ ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊))))
3130adantl 474 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ ((♯‘𝑊) − 1) ∧ ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊))))
32 modid 13082 . . . . 5 (((((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ ((♯‘𝑊) − 1) ∧ ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊))) → (((♯‘𝑊) − 1) mod (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) − 1))
3331, 32syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((♯‘𝑊) − 1) mod (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) − 1))
3415, 33eqtrd 2814 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) − 1))
3534fveq2d 6505 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘(((((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
367, 35eqtrd 2814 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1)) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050   class class class wbr 4930  cfv 6190  (class class class)co 6978  cc 10335  cr 10336  0cc0 10337  1c1 10338   + caddc 10340   < clt 10476  cle 10477  cmin 10672  cn 11441  0cn0 11710  cz 11796  +crp 12207  ..^cfzo 12852   mod cmo 13055  chash 13508  Word cword 13675   cyclShift ccsh 14010
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5050  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414  ax-pre-sup 10415
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-int 4751  df-iun 4795  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-om 7399  df-1st 7503  df-2nd 7504  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-1o 7907  df-oadd 7911  df-er 8091  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-fin 8312  df-sup 8703  df-inf 8704  df-card 9164  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-div 11101  df-nn 11442  df-2 11506  df-n0 11711  df-z 11797  df-uz 12062  df-rp 12208  df-fz 12712  df-fzo 12853  df-fl 12980  df-mod 13056  df-hash 13509  df-word 13676  df-concat 13737  df-substr 13807  df-pfx 13856  df-csh 14012
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator