Theorem cshwidxm1 14846

Description: The symbol at index ((n-N)-1) of a word of length n (not 0) cyclically shifted by N positions is the symbol at index (n-1) of the original word. (Contributed by AV, 23-Mar-2018.) (Revised by AV, 21-May-2018.) (Revised by AV, 30-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cshwidxm1	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1)) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))

Proof of Theorem cshwidxm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2		elfzoelz 13700	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℤ)
3	2	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		ubmelm1fzo 13803	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
6		cshwidxmod 14842	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1)) = (𝑊‘(((((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
7	1, 3, 5, 6	syl3anc 1372	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1)) = (𝑊‘(((((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
8		elfzoel2 13699	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
9	8	zcnd 12725	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
10	2	zcnd 12725	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℂ)
11		1cnd 11257	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 1 ∈ ℂ)
12		nnpcan 11533	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1) + 𝑁) = ((♯‘𝑊) − 1))
13	9, 10, 11, 12	syl3anc 1372	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1) + 𝑁) = ((♯‘𝑊) − 1))
14	13	oveq1d 7447	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (((((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = (((♯‘𝑊) − 1) mod (♯‘𝑊)))
15	14	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = (((♯‘𝑊) − 1) mod (♯‘𝑊)))
16		elfzo0 13741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)))
17		nnre 12274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
18		peano2rem 11577	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℝ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ)
20		nnrp 13047	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
21	19, 20	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ+))
22	21	3ad2ant2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ+))
23	16, 22	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ+))
24		nnm1ge0 12688	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → 0 ≤ ((♯‘𝑊) − 1))
25	24	3ad2ant2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → 0 ≤ ((♯‘𝑊) − 1))
26	16, 25	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 0 ≤ ((♯‘𝑊) − 1))
27		zre 12619	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
28	27	ltm1d 12201	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊))
29	8, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊))
30	23, 26, 29	jca32 515	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ ((♯‘𝑊) − 1) ∧ ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊))))
31	30	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ ((♯‘𝑊) − 1) ∧ ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊))))
32		modid 13937	. . . . 5 ⊢ (((((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ ((♯‘𝑊) − 1) ∧ ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊))) → (((♯‘𝑊) − 1) mod (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) − 1))
33	31, 32	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((♯‘𝑊) − 1) mod (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) − 1))
34	15, 33	eqtrd 2776	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) − 1))
35	34	fveq2d 6909	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘(((((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
36	7, 35	eqtrd 2776	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(((♯‘𝑊) − 𝑁) − 1)) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5142  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  ℂcc 11154  ℝcr 11155  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   < clt 11296   ≤ cle 11297   − cmin 11493  ℕcn 12267  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12615  ℝ⁺crp 13035  ..^cfzo 13695   mod cmo 13910  ♯chash 14370  Word cword 14553   cyclShift ccsh 14827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-inf 9484  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-mod 13911  df-hash 14371  df-word 14554  df-concat 14610  df-substr 14680  df-pfx 14710  df-csh 14828

This theorem is referenced by: (None)