Theorem fzoss1 13822

Description: Subset relationship for half-open sequences of integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzoss1	⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾..^𝑁) ⊆ (𝑀..^𝑁))

Proof of Theorem fzoss1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3954	. 2 ⊢ ((𝐾..^𝑁) = ∅ → ((𝐾..^𝑁) ⊆ (𝑀..^𝑁) ↔ ∅ ⊆ (𝑀..^𝑁)))
2		fzon0 13813	. . . 4 ⊢ ((𝐾..^𝑁) ≠ ∅ ↔ 𝐾 ∈ (𝐾..^𝑁))
3		elfzoel2 13793	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (𝐾..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
4	2, 3	sylbi 220	. . 3 ⊢ ((𝐾..^𝑁) ≠ ∅ → 𝑁 ∈ ℤ)
5		fzss1 13698	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾...(𝑁 − 1)) ⊆ (𝑀...(𝑁 − 1)))
6	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾...(𝑁 − 1)) ⊆ (𝑀...(𝑁 − 1)))
7		fzoval 13795	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾..^𝑁) = (𝐾...(𝑁 − 1)))
8	7	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾..^𝑁) = (𝐾...(𝑁 − 1)))
9		fzoval 13795	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
10	9	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
11	6, 8, 10	3sstr4d 3984	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾..^𝑁) ⊆ (𝑀..^𝑁))
12	4, 11	sylan2 605	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐾..^𝑁) ≠ ∅) → (𝐾..^𝑁) ⊆ (𝑀..^𝑁))
13		0ss 4350	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ (𝑀..^𝑁)
14	13	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ∅ ⊆ (𝑀..^𝑁))
15	1, 12, 14	pm2.61ne 3041	1 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾..^𝑁) ⊆ (𝑀..^𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   ⊆ wss 3914  ∅c0 4279  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  1c1 11202   − cmin 11542  ℤcz 12694  ℤ_≥cuz 12966  ...cfz 13640  ..^cfzo 13789

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-pss 4035  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-n0 12608  df-z 12695  df-uz 12967  df-fz 13641  df-fzo 13790

This theorem is used by:  fzo0ss1  13825  fzosplit  13828  zpnn0elfzo  13874  fzofzp1  13900  fzostep1  13922  injresinjlem  13926  ccatval2  14724  ccatass  14735  swrdval2  14795  swrdf1  14800  swrdrn3  14803  splfv2a  14906  revccat  14916  revpfxsfxrev  14918  fsumparts  15974  dfpth2  30315  crctcshwlkn0lem5  30404  clwwlkccatlem  30581  swrdrn2  33518  swrdrndisj  33519  cycpmco2rn  33687  cycpmco2lem6  33693  iunincfi  46110  nndivides2  48455  muldvdsfacm1  48458  iccpartipre  48504  iccpartiltu  48505  nprmdvdsfacm1  48710  bgoldbtbndlem2  48905