Theorem cshimadifsn0 15006

Description: The image of a cyclically shifted word under its domain without its upper bound is the image of a cyclically shifted word under its domain without the number of shifted symbols. (Contributed by AV, 19-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
cshimadifsn0	⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 “ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) = ((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) “ (0..^(𝑁 − 1))))

Proof of Theorem cshimadifsn0

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cshimadifsn 15005	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 “ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) = ((𝐹 cyclShift 𝐽) “ (1..^𝑁)))
2		elfzoel2 13816	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		elfzom1elp1fzo1 13926	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑦 + 1) ∈ (1..^𝑁))
4	3	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → (𝑦 + 1) ∈ (1..^𝑁)))
5	2, 4	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → (𝑦 + 1) ∈ (1..^𝑁)))
6	5	3ad2ant3 1153	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → (𝑦 + 1) ∈ (1..^𝑁)))
7	6	imp 412	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑦 + 1) ∈ (1..^𝑁))
8		elfzo1elm1fzo0 13927	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (1..^𝑁) → (𝑥 − 1) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
9	8	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (1..^𝑁)) → (𝑥 − 1) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
10		oveq1 7447	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 1) → (𝑦 + 1) = ((𝑥 − 1) + 1))
11	10	eqeq2d 2774	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 1) → (𝑥 = (𝑦 + 1) ↔ 𝑥 = ((𝑥 − 1) + 1)))
12	11	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (1..^𝑁)) ∧ 𝑦 = (𝑥 − 1)) → (𝑥 = (𝑦 + 1) ↔ 𝑥 = ((𝑥 − 1) + 1)))
13		elfzoelz 13817	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (1..^𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
14	13	zcnd 12828	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (1..^𝑁) → 𝑥 ∈ ℂ)
15		npcan1 11765	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥 − 1) + 1) = 𝑥)
16	14, 15	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (1..^𝑁) → ((𝑥 − 1) + 1) = 𝑥)
17	16	eqcomd 2769	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (1..^𝑁) → 𝑥 = ((𝑥 − 1) + 1))
18	17	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑥 = ((𝑥 − 1) + 1))
19	9, 12, 18	rspcedvd 3582	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (1..^𝑁)) → ∃𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))𝑥 = (𝑦 + 1))
20		fveq2 6905	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑥) = ((𝐹 cyclShift 𝐽)‘(𝑦 + 1)))
21	20	3ad2ant3 1153	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) ∧ 𝑥 = (𝑦 + 1)) → ((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑥) = ((𝐹 cyclShift 𝐽)‘(𝑦 + 1)))
22		elfzoelz 13817	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → 𝑦 ∈ ℤ)
23	22	zcnd 12828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → 𝑦 ∈ ℂ)
24	23	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑦 ∈ ℂ)
25		elfzoelz 13817	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
26	25	zcnd 12828	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℂ)
27	26	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐽 ∈ ℂ)
28	27	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝐽 ∈ ℂ)
29		1cnd 11326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 1 ∈ ℂ)
30		add32r 11554	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑦 + (𝐽 + 1)) = ((𝑦 + 1) + 𝐽))
31	24, 28, 29, 30	syl3anc 1399	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑦 + (𝐽 + 1)) = ((𝑦 + 1) + 𝐽))
32	31	fvoveq1d 7462	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝐹‘((𝑦 + (𝐽 + 1)) mod (♯‘𝐹))) = (𝐹‘(((𝑦 + 1) + 𝐽) mod (♯‘𝐹))))
33		simpl1 1210	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝐹 ∈ Word 𝑆)
34	25	peano2zd 12830	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐽 + 1) ∈ ℤ)
35	34	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽 + 1) ∈ ℤ)
36	35	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝐽 + 1) ∈ ℤ)
37		fzossrbm1 13847	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
38	2, 37	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
39	38	sseld 3912	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → 𝑦 ∈ (0..^𝑁)))
40	39	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → 𝑦 ∈ (0..^𝑁)))
41	40	imp 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑦 ∈ (0..^𝑁))
42		oveq2 7448	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → (0..^𝑁) = (0..^(♯‘𝐹)))
43	42	eleq2d 2850	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → (𝑦 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
44	43	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑦 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
45	44	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑦 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
46	41, 45	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
47		cshwidxmod 14979	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ (𝐽 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1))‘𝑦) = (𝐹‘((𝑦 + (𝐽 + 1)) mod (♯‘𝐹))))
48	33, 36, 46, 47	syl3anc 1399	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1))‘𝑦) = (𝐹‘((𝑦 + (𝐽 + 1)) mod (♯‘𝐹))))
49	25	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐽 ∈ ℤ)
50	49	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝐽 ∈ ℤ)
51		fzo0ss1 13848	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1..^𝑁) ⊆ (0..^𝑁)
52	2	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
53	52, 3	sylan 592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑦 + 1) ∈ (1..^𝑁))
54	51, 53	sselid 3911	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑦 + 1) ∈ (0..^𝑁))
55	42	eleq2d 2850	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → ((𝑦 + 1) ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝑦 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
56	55	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑦 + 1) ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝑦 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
57	56	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ((𝑦 + 1) ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝑦 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
58	54, 57	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑦 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
59		cshwidxmod 14979	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐹 cyclShift 𝐽)‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(((𝑦 + 1) + 𝐽) mod (♯‘𝐹))))
60	33, 50, 58, 59	syl3anc 1399	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ((𝐹 cyclShift 𝐽)‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(((𝑦 + 1) + 𝐽) mod (♯‘𝐹))))
61	32, 48, 60	3eqtr4rd 2809	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ((𝐹 cyclShift 𝐽)‘(𝑦 + 1)) = ((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1))‘𝑦))
62	61	3adant3 1150	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) ∧ 𝑥 = (𝑦 + 1)) → ((𝐹 cyclShift 𝐽)‘(𝑦 + 1)) = ((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1))‘𝑦))
63	21, 62	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) ∧ 𝑥 = (𝑦 + 1)) → ((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑥) = ((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1))‘𝑦))
64	63	eqeq1d 2765	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) ∧ 𝑥 = (𝑦 + 1)) → (((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑥) = 𝑧 ↔ ((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1))‘𝑦) = 𝑧))
65	7, 19, 64	rexxfrd2 5379	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (∃𝑥 ∈ (1..^𝑁)((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑥) = 𝑧 ↔ ∃𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1))‘𝑦) = 𝑧))
66	65	abbidv 2829	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ (1..^𝑁)((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑥) = 𝑧} = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1))‘𝑦) = 𝑧})
67	25	anim2i 629	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐽 ∈ ℤ))
68	67	3adant2 1149	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐽 ∈ ℤ))
69		cshwfn 14977	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹)))
70	68, 69	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹)))
71		fnfun 6658	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹)) → Fun (𝐹 cyclShift 𝐽))
72	71	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹))) → Fun (𝐹 cyclShift 𝐽))
73	42	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (0..^𝑁) = (0..^(♯‘𝐹)))
74	51, 73	sseqtrid 3955	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (1..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
75	74	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹))) → (1..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
76		fndm 6661	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹)) → dom (𝐹 cyclShift 𝐽) = (0..^(♯‘𝐹)))
77	76	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹))) → dom (𝐹 cyclShift 𝐽) = (0..^(♯‘𝐹)))
78	75, 77	sseqtrrd 3950	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹))) → (1..^𝑁) ⊆ dom (𝐹 cyclShift 𝐽))
79	72, 78	jca 521	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹))) → (Fun (𝐹 cyclShift 𝐽) ∧ (1..^𝑁) ⊆ dom (𝐹 cyclShift 𝐽)))
80	70, 79	mpdan 700	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (Fun (𝐹 cyclShift 𝐽) ∧ (1..^𝑁) ⊆ dom (𝐹 cyclShift 𝐽)))
81		dfimafn 6967	. . . 4 ⊢ ((Fun (𝐹 cyclShift 𝐽) ∧ (1..^𝑁) ⊆ dom (𝐹 cyclShift 𝐽)) → ((𝐹 cyclShift 𝐽) “ (1..^𝑁)) = {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ (1..^𝑁)((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑥) = 𝑧})
82	80, 81	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐹 cyclShift 𝐽) “ (1..^𝑁)) = {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ (1..^𝑁)((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑥) = 𝑧})
83	34	anim2i 629	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ (𝐽 + 1) ∈ ℤ))
84	83	3adant2 1149	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ (𝐽 + 1) ∈ ℤ))
85		cshwfn 14977	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ (𝐽 + 1) ∈ ℤ) → (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) Fn (0..^(♯‘𝐹)))
86	84, 85	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) Fn (0..^(♯‘𝐹)))
87		fnfun 6658	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) Fn (0..^(♯‘𝐹)) → Fun (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)))
88	87	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) Fn (0..^(♯‘𝐹))) → Fun (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)))
89	38	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
90		oveq2 7448	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐹) = 𝑁 → (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^𝑁))
91	90	eqcoms 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^𝑁))
92	91	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^𝑁))
93	89, 92	sseqtrrd 3950	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
94	93	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) Fn (0..^(♯‘𝐹))) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
95		fndm 6661	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) Fn (0..^(♯‘𝐹)) → dom (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) = (0..^(♯‘𝐹)))
96	95	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) Fn (0..^(♯‘𝐹))) → dom (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) = (0..^(♯‘𝐹)))
97	94, 96	sseqtrrd 3950	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) Fn (0..^(♯‘𝐹))) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ dom (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)))
98	88, 97	jca 521	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) Fn (0..^(♯‘𝐹))) → (Fun (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) ∧ (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ dom (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1))))
99	86, 98	mpdan 700	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (Fun (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) ∧ (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ dom (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1))))
100		dfimafn 6967	. . . 4 ⊢ ((Fun (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) ∧ (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ dom (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1))) → ((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) “ (0..^(𝑁 − 1))) = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1))‘𝑦) = 𝑧})
101	99, 100	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) “ (0..^(𝑁 − 1))) = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1))‘𝑦) = 𝑧})
102	66, 82, 101	3eqtr4d 2808	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐹 cyclShift 𝐽) “ (1..^𝑁)) = ((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) “ (0..^(𝑁 − 1))))
103	1, 102	eqtrd 2798	1 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 “ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) = ((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) “ (0..^(𝑁 − 1))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {cab 2741  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048  {csn 4588  dom cdm 5655   “ cima 5658  Fun wfun 6549   Fn wfn 6550  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  ℂcc 11222  0cc0 11224  1c1 11225   + caddc 11227   − cmin 11565  ℤcz 12717  ..^cfzo 13812   mod cmo 14033  ♯chash 14498  Word cword 14682   cyclShift ccsh 14964

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-sup 9458  df-inf 9459  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-rp 13145  df-ico 13506  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-fl 13956  df-mod 14034  df-hash 14499  df-word 14683  df-concat 14740  df-substr 14814  df-pfx 14846  df-csh 14965

This theorem is used by:  eucrct2eupth  30873