Theorem cshimadifsn0 14784

Description: The image of a cyclically shifted word under its domain without its upper bound is the image of a cyclically shifted word under its domain without the number of shifted symbols. (Contributed by AV, 19-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
cshimadifsn0	⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 “ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) = ((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) “ (0..^(𝑁 − 1))))

Proof of Theorem cshimadifsn0

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cshimadifsn 14783	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 “ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) = ((𝐹 cyclShift 𝐽) “ (1..^𝑁)))
2		elfzoel2 13604	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		elfzom1elp1fzo1 13714	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑦 + 1) ∈ (1..^𝑁))
4	3	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → (𝑦 + 1) ∈ (1..^𝑁)))
5	2, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → (𝑦 + 1) ∈ (1..^𝑁)))
6	5	3ad2ant3 1141	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → (𝑦 + 1) ∈ (1..^𝑁)))
7	6	imp 407	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑦 + 1) ∈ (1..^𝑁))
8		elfzo1elm1fzo0 13715	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (1..^𝑁) → (𝑥 − 1) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
9	8	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (1..^𝑁)) → (𝑥 − 1) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
10		oveq1 7364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 1) → (𝑦 + 1) = ((𝑥 − 1) + 1))
11	10	eqeq2d 2750	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 1) → (𝑥 = (𝑦 + 1) ↔ 𝑥 = ((𝑥 − 1) + 1)))
12	11	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (1..^𝑁)) ∧ 𝑦 = (𝑥 − 1)) → (𝑥 = (𝑦 + 1) ↔ 𝑥 = ((𝑥 − 1) + 1)))
13		elfzoelz 13605	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (1..^𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
14	13	zcnd 12626	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (1..^𝑁) → 𝑥 ∈ ℂ)
15		npcan1 11567	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥 − 1) + 1) = 𝑥)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (1..^𝑁) → ((𝑥 − 1) + 1) = 𝑥)
17	16	eqcomd 2745	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (1..^𝑁) → 𝑥 = ((𝑥 − 1) + 1))
18	17	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑥 = ((𝑥 − 1) + 1))
19	9, 12, 18	rspcedvd 3562	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (1..^𝑁)) → ∃𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))𝑥 = (𝑦 + 1))
20		fveq2 6828	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑥) = ((𝐹 cyclShift 𝐽)‘(𝑦 + 1)))
21	20	3ad2ant3 1141	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) ∧ 𝑥 = (𝑦 + 1)) → ((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑥) = ((𝐹 cyclShift 𝐽)‘(𝑦 + 1)))
22		elfzoelz 13605	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → 𝑦 ∈ ℤ)
23	22	zcnd 12626	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → 𝑦 ∈ ℂ)
24	23	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑦 ∈ ℂ)
25		elfzoelz 13605	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
26	25	zcnd 12626	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℂ)
27	26	3ad2ant3 1141	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐽 ∈ ℂ)
28	27	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝐽 ∈ ℂ)
29		1cnd 11131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 1 ∈ ℂ)
30		add32r 11358	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑦 + (𝐽 + 1)) = ((𝑦 + 1) + 𝐽))
31	24, 28, 29, 30	syl3anc 1379	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑦 + (𝐽 + 1)) = ((𝑦 + 1) + 𝐽))
32	31	fvoveq1d 7379	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝐹‘((𝑦 + (𝐽 + 1)) mod (♯‘𝐹))) = (𝐹‘(((𝑦 + 1) + 𝐽) mod (♯‘𝐹))))
33		simpl1 1198	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝐹 ∈ Word 𝑆)
34	25	peano2zd 12628	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐽 + 1) ∈ ℤ)
35	34	3ad2ant3 1141	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽 + 1) ∈ ℤ)
36	35	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝐽 + 1) ∈ ℤ)
37		fzossrbm1 13635	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
38	2, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
39	38	sseld 3914	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → 𝑦 ∈ (0..^𝑁)))
40	39	3ad2ant3 1141	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → 𝑦 ∈ (0..^𝑁)))
41	40	imp 407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑦 ∈ (0..^𝑁))
42		oveq2 7365	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → (0..^𝑁) = (0..^(♯‘𝐹)))
43	42	eleq2d 2825	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → (𝑦 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
44	43	3ad2ant2 1140	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑦 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
45	44	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑦 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
46	41, 45	mpbid 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
47		cshwidxmod 14757	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ (𝐽 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1))‘𝑦) = (𝐹‘((𝑦 + (𝐽 + 1)) mod (♯‘𝐹))))
48	33, 36, 46, 47	syl3anc 1379	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1))‘𝑦) = (𝐹‘((𝑦 + (𝐽 + 1)) mod (♯‘𝐹))))
49	25	3ad2ant3 1141	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐽 ∈ ℤ)
50	49	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝐽 ∈ ℤ)
51		fzo0ss1 13636	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1..^𝑁) ⊆ (0..^𝑁)
52	2	3ad2ant3 1141	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
53	52, 3	sylan 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑦 + 1) ∈ (1..^𝑁))
54	51, 53	sselid 3913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑦 + 1) ∈ (0..^𝑁))
55	42	eleq2d 2825	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → ((𝑦 + 1) ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝑦 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
56	55	3ad2ant2 1140	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑦 + 1) ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝑦 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
57	56	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ((𝑦 + 1) ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝑦 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
58	54, 57	mpbid 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑦 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
59		cshwidxmod 14757	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐹 cyclShift 𝐽)‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(((𝑦 + 1) + 𝐽) mod (♯‘𝐹))))
60	33, 50, 58, 59	syl3anc 1379	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ((𝐹 cyclShift 𝐽)‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(((𝑦 + 1) + 𝐽) mod (♯‘𝐹))))
61	32, 48, 60	3eqtr4rd 2785	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ((𝐹 cyclShift 𝐽)‘(𝑦 + 1)) = ((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1))‘𝑦))
62	61	3adant3 1138	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) ∧ 𝑥 = (𝑦 + 1)) → ((𝐹 cyclShift 𝐽)‘(𝑦 + 1)) = ((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1))‘𝑦))
63	21, 62	eqtrd 2774	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) ∧ 𝑥 = (𝑦 + 1)) → ((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑥) = ((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1))‘𝑦))
64	63	eqeq1d 2741	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) ∧ 𝑥 = (𝑦 + 1)) → (((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑥) = 𝑧 ↔ ((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1))‘𝑦) = 𝑧))
65	7, 19, 64	rexxfrd2 5343	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (∃𝑥 ∈ (1..^𝑁)((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑥) = 𝑧 ↔ ∃𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1))‘𝑦) = 𝑧))
66	65	abbidv 2805	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ (1..^𝑁)((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑥) = 𝑧} = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1))‘𝑦) = 𝑧})
67	25	anim2i 623	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐽 ∈ ℤ))
68	67	3adant2 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐽 ∈ ℤ))
69		cshwfn 14755	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹)))
70	68, 69	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹)))
71		fnfun 6586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹)) → Fun (𝐹 cyclShift 𝐽))
72	71	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹))) → Fun (𝐹 cyclShift 𝐽))
73	42	3ad2ant2 1140	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (0..^𝑁) = (0..^(♯‘𝐹)))
74	51, 73	sseqtrid 3957	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (1..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
75	74	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹))) → (1..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
76		fndm 6589	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹)) → dom (𝐹 cyclShift 𝐽) = (0..^(♯‘𝐹)))
77	76	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹))) → dom (𝐹 cyclShift 𝐽) = (0..^(♯‘𝐹)))
78	75, 77	sseqtrrd 3952	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹))) → (1..^𝑁) ⊆ dom (𝐹 cyclShift 𝐽))
79	72, 78	jca 516	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹))) → (Fun (𝐹 cyclShift 𝐽) ∧ (1..^𝑁) ⊆ dom (𝐹 cyclShift 𝐽)))
80	70, 79	mpdan 693	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (Fun (𝐹 cyclShift 𝐽) ∧ (1..^𝑁) ⊆ dom (𝐹 cyclShift 𝐽)))
81		dfimafn 6890	. . . 4 ⊢ ((Fun (𝐹 cyclShift 𝐽) ∧ (1..^𝑁) ⊆ dom (𝐹 cyclShift 𝐽)) → ((𝐹 cyclShift 𝐽) “ (1..^𝑁)) = {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ (1..^𝑁)((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑥) = 𝑧})
82	80, 81	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐹 cyclShift 𝐽) “ (1..^𝑁)) = {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ (1..^𝑁)((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑥) = 𝑧})
83	34	anim2i 623	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ (𝐽 + 1) ∈ ℤ))
84	83	3adant2 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ (𝐽 + 1) ∈ ℤ))
85		cshwfn 14755	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ (𝐽 + 1) ∈ ℤ) → (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) Fn (0..^(♯‘𝐹)))
86	84, 85	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) Fn (0..^(♯‘𝐹)))
87		fnfun 6586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) Fn (0..^(♯‘𝐹)) → Fun (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)))
88	87	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) Fn (0..^(♯‘𝐹))) → Fun (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)))
89	38	3ad2ant3 1141	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
90		oveq2 7365	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐹) = 𝑁 → (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^𝑁))
91	90	eqcoms 2747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^𝑁))
92	91	3ad2ant2 1140	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^𝑁))
93	89, 92	sseqtrrd 3952	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
94	93	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) Fn (0..^(♯‘𝐹))) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
95		fndm 6589	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) Fn (0..^(♯‘𝐹)) → dom (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) = (0..^(♯‘𝐹)))
96	95	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) Fn (0..^(♯‘𝐹))) → dom (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) = (0..^(♯‘𝐹)))
97	94, 96	sseqtrrd 3952	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) Fn (0..^(♯‘𝐹))) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ dom (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)))
98	88, 97	jca 516	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) Fn (0..^(♯‘𝐹))) → (Fun (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) ∧ (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ dom (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1))))
99	86, 98	mpdan 693	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (Fun (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) ∧ (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ dom (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1))))
100		dfimafn 6890	. . . 4 ⊢ ((Fun (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) ∧ (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ dom (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1))) → ((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) “ (0..^(𝑁 − 1))) = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1))‘𝑦) = 𝑧})
101	99, 100	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) “ (0..^(𝑁 − 1))) = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1))‘𝑦) = 𝑧})
102	66, 82, 101	3eqtr4d 2784	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐹 cyclShift 𝐽) “ (1..^𝑁)) = ((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) “ (0..^(𝑁 − 1))))
103	1, 102	eqtrd 2774	1 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 “ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) = ((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) “ (0..^(𝑁 − 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {cab 2717  ∃wrex 3063   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  {csn 4556  dom cdm 5619   “ cima 5622  Fun wfun 6480   Fn wfn 6481  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  ℂcc 11028  0cc0 11030  1c1 11031   + caddc 11033   − cmin 11369  ℤcz 12516  ..^cfzo 13600   mod cmo 13820  ♯chash 14284  Word cword 14467   cyclShift ccsh 14742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-int 4879  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9346  df-inf 9347  df-card 9855  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12167  df-2 12236  df-n0 12430  df-z 12517  df-uz 12781  df-rp 12935  df-ico 13296  df-fz 13454  df-fzo 13601  df-fl 13743  df-mod 13821  df-hash 14285  df-word 14468  df-concat 14525  df-substr 14596  df-pfx 14626  df-csh 14743

This theorem is referenced by:  eucrct2eupth  30334