Theorem cshimadifsn0 14799

Description: The image of a cyclically shifted word under its domain without its upper bound is the image of a cyclically shifted word under its domain without the number of shifted symbols. (Contributed by AV, 19-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
cshimadifsn0	⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 “ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) = ((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) “ (0..^(𝑁 − 1))))

Proof of Theorem cshimadifsn0

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cshimadifsn 14798	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 “ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) = ((𝐹 cyclShift 𝐽) “ (1..^𝑁)))
2		elfzoel2 13649	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		elfzom1elp1fzo1 13750	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑦 + 1) ∈ (1..^𝑁))
4	3	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → (𝑦 + 1) ∈ (1..^𝑁)))
5	2, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → (𝑦 + 1) ∈ (1..^𝑁)))
6	5	3ad2ant3 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → (𝑦 + 1) ∈ (1..^𝑁)))
7	6	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑦 + 1) ∈ (1..^𝑁))
8		elfzo1elm1fzo0 13751	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (1..^𝑁) → (𝑥 − 1) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
9	8	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (1..^𝑁)) → (𝑥 − 1) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
10		oveq1 7421	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 1) → (𝑦 + 1) = ((𝑥 − 1) + 1))
11	10	eqeq2d 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 1) → (𝑥 = (𝑦 + 1) ↔ 𝑥 = ((𝑥 − 1) + 1)))
12	11	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (1..^𝑁)) ∧ 𝑦 = (𝑥 − 1)) → (𝑥 = (𝑦 + 1) ↔ 𝑥 = ((𝑥 − 1) + 1)))
13		elfzoelz 13650	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (1..^𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
14	13	zcnd 12683	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (1..^𝑁) → 𝑥 ∈ ℂ)
15		npcan1 11655	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥 − 1) + 1) = 𝑥)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (1..^𝑁) → ((𝑥 − 1) + 1) = 𝑥)
17	16	eqcomd 2733	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (1..^𝑁) → 𝑥 = ((𝑥 − 1) + 1))
18	17	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑥 = ((𝑥 − 1) + 1))
19	9, 12, 18	rspcedvd 3609	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (1..^𝑁)) → ∃𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))𝑥 = (𝑦 + 1))
20		fveq2 6891	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑥) = ((𝐹 cyclShift 𝐽)‘(𝑦 + 1)))
21	20	3ad2ant3 1133	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) ∧ 𝑥 = (𝑦 + 1)) → ((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑥) = ((𝐹 cyclShift 𝐽)‘(𝑦 + 1)))
22		elfzoelz 13650	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → 𝑦 ∈ ℤ)
23	22	zcnd 12683	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → 𝑦 ∈ ℂ)
24	23	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑦 ∈ ℂ)
25		elfzoelz 13650	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
26	25	zcnd 12683	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℂ)
27	26	3ad2ant3 1133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐽 ∈ ℂ)
28	27	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝐽 ∈ ℂ)
29		1cnd 11225	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 1 ∈ ℂ)
30		add32r 11449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑦 + (𝐽 + 1)) = ((𝑦 + 1) + 𝐽))
31	24, 28, 29, 30	syl3anc 1369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑦 + (𝐽 + 1)) = ((𝑦 + 1) + 𝐽))
32	31	fvoveq1d 7436	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝐹‘((𝑦 + (𝐽 + 1)) mod (♯‘𝐹))) = (𝐹‘(((𝑦 + 1) + 𝐽) mod (♯‘𝐹))))
33		simpl1 1189	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝐹 ∈ Word 𝑆)
34	25	peano2zd 12685	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐽 + 1) ∈ ℤ)
35	34	3ad2ant3 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽 + 1) ∈ ℤ)
36	35	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝐽 + 1) ∈ ℤ)
37		fzossrbm1 13679	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
38	2, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
39	38	sseld 3977	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → 𝑦 ∈ (0..^𝑁)))
40	39	3ad2ant3 1133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → 𝑦 ∈ (0..^𝑁)))
41	40	imp 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑦 ∈ (0..^𝑁))
42		oveq2 7422	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → (0..^𝑁) = (0..^(♯‘𝐹)))
43	42	eleq2d 2814	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → (𝑦 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
44	43	3ad2ant2 1132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑦 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
45	44	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑦 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
46	41, 45	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
47		cshwidxmod 14771	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ (𝐽 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1))‘𝑦) = (𝐹‘((𝑦 + (𝐽 + 1)) mod (♯‘𝐹))))
48	33, 36, 46, 47	syl3anc 1369	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1))‘𝑦) = (𝐹‘((𝑦 + (𝐽 + 1)) mod (♯‘𝐹))))
49	25	3ad2ant3 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐽 ∈ ℤ)
50	49	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝐽 ∈ ℤ)
51		fzo0ss1 13680	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1..^𝑁) ⊆ (0..^𝑁)
52	2	3ad2ant3 1133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
53	52, 3	sylan 579	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑦 + 1) ∈ (1..^𝑁))
54	51, 53	sselid 3976	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑦 + 1) ∈ (0..^𝑁))
55	42	eleq2d 2814	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → ((𝑦 + 1) ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝑦 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
56	55	3ad2ant2 1132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑦 + 1) ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝑦 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
57	56	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ((𝑦 + 1) ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝑦 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
58	54, 57	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑦 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
59		cshwidxmod 14771	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐹 cyclShift 𝐽)‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(((𝑦 + 1) + 𝐽) mod (♯‘𝐹))))
60	33, 50, 58, 59	syl3anc 1369	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ((𝐹 cyclShift 𝐽)‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(((𝑦 + 1) + 𝐽) mod (♯‘𝐹))))
61	32, 48, 60	3eqtr4rd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ((𝐹 cyclShift 𝐽)‘(𝑦 + 1)) = ((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1))‘𝑦))
62	61	3adant3 1130	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) ∧ 𝑥 = (𝑦 + 1)) → ((𝐹 cyclShift 𝐽)‘(𝑦 + 1)) = ((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1))‘𝑦))
63	21, 62	eqtrd 2767	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) ∧ 𝑥 = (𝑦 + 1)) → ((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑥) = ((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1))‘𝑦))
64	63	eqeq1d 2729	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) ∧ 𝑥 = (𝑦 + 1)) → (((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑥) = 𝑧 ↔ ((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1))‘𝑦) = 𝑧))
65	7, 19, 64	rexxfrd2 5407	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (∃𝑥 ∈ (1..^𝑁)((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑥) = 𝑧 ↔ ∃𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1))‘𝑦) = 𝑧))
66	65	abbidv 2796	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ (1..^𝑁)((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑥) = 𝑧} = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1))‘𝑦) = 𝑧})
67	25	anim2i 616	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐽 ∈ ℤ))
68	67	3adant2 1129	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐽 ∈ ℤ))
69		cshwfn 14769	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹)))
70	68, 69	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹)))
71		fnfun 6648	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹)) → Fun (𝐹 cyclShift 𝐽))
72	71	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹))) → Fun (𝐹 cyclShift 𝐽))
73	42	3ad2ant2 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (0..^𝑁) = (0..^(♯‘𝐹)))
74	51, 73	sseqtrid 4030	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (1..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
75	74	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹))) → (1..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
76		fndm 6651	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹)) → dom (𝐹 cyclShift 𝐽) = (0..^(♯‘𝐹)))
77	76	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹))) → dom (𝐹 cyclShift 𝐽) = (0..^(♯‘𝐹)))
78	75, 77	sseqtrrd 4019	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹))) → (1..^𝑁) ⊆ dom (𝐹 cyclShift 𝐽))
79	72, 78	jca 511	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹))) → (Fun (𝐹 cyclShift 𝐽) ∧ (1..^𝑁) ⊆ dom (𝐹 cyclShift 𝐽)))
80	70, 79	mpdan 686	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (Fun (𝐹 cyclShift 𝐽) ∧ (1..^𝑁) ⊆ dom (𝐹 cyclShift 𝐽)))
81		dfimafn 6955	. . . 4 ⊢ ((Fun (𝐹 cyclShift 𝐽) ∧ (1..^𝑁) ⊆ dom (𝐹 cyclShift 𝐽)) → ((𝐹 cyclShift 𝐽) “ (1..^𝑁)) = {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ (1..^𝑁)((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑥) = 𝑧})
82	80, 81	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐹 cyclShift 𝐽) “ (1..^𝑁)) = {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ (1..^𝑁)((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑥) = 𝑧})
83	34	anim2i 616	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ (𝐽 + 1) ∈ ℤ))
84	83	3adant2 1129	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ (𝐽 + 1) ∈ ℤ))
85		cshwfn 14769	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ (𝐽 + 1) ∈ ℤ) → (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) Fn (0..^(♯‘𝐹)))
86	84, 85	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) Fn (0..^(♯‘𝐹)))
87		fnfun 6648	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) Fn (0..^(♯‘𝐹)) → Fun (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)))
88	87	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) Fn (0..^(♯‘𝐹))) → Fun (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)))
89	38	3ad2ant3 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
90		oveq2 7422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐹) = 𝑁 → (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^𝑁))
91	90	eqcoms 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^𝑁))
92	91	3ad2ant2 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^𝑁))
93	89, 92	sseqtrrd 4019	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
94	93	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) Fn (0..^(♯‘𝐹))) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
95		fndm 6651	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) Fn (0..^(♯‘𝐹)) → dom (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) = (0..^(♯‘𝐹)))
96	95	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) Fn (0..^(♯‘𝐹))) → dom (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) = (0..^(♯‘𝐹)))
97	94, 96	sseqtrrd 4019	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) Fn (0..^(♯‘𝐹))) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ dom (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)))
98	88, 97	jca 511	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) Fn (0..^(♯‘𝐹))) → (Fun (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) ∧ (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ dom (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1))))
99	86, 98	mpdan 686	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (Fun (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) ∧ (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ dom (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1))))
100		dfimafn 6955	. . . 4 ⊢ ((Fun (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) ∧ (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ dom (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1))) → ((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) “ (0..^(𝑁 − 1))) = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1))‘𝑦) = 𝑧})
101	99, 100	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) “ (0..^(𝑁 − 1))) = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1))‘𝑦) = 𝑧})
102	66, 82, 101	3eqtr4d 2777	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐹 cyclShift 𝐽) “ (1..^𝑁)) = ((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) “ (0..^(𝑁 − 1))))
103	1, 102	eqtrd 2767	1 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 “ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) = ((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) “ (0..^(𝑁 − 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {cab 2704  ∃wrex 3065   ∖ cdif 3941   ⊆ wss 3944  {csn 4624  dom cdm 5672   “ cima 5675  Fun wfun 6536   Fn wfn 6537  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  ℂcc 11122  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   − cmin 11460  ℤcz 12574  ..^cfzo 13645   mod cmo 13852  ♯chash 14307  Word cword 14482   cyclShift ccsh 14756

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9451  df-inf 9452  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-rp 12993  df-ico 13348  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-fl 13775  df-mod 13853  df-hash 14308  df-word 14483  df-concat 14539  df-substr 14609  df-pfx 14639  df-csh 14757

This theorem is referenced by:  eucrct2eupth  30029