Theorem crctcshwlkn0lem3 28757

Description: Lemma for crctcshwlkn0 28766. (Contributed by AV, 12-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
crctcshwlkn0lem.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (1..^𝑁))
crctcshwlkn0lem.q	⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))

Assertion

Ref	Expression
crctcshwlkn0lem3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁)) → (𝑄‘𝐽) = (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝑄(𝑥)

Proof of Theorem crctcshwlkn0lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crctcshwlkn0lem.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
2		breq1 5108	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → (𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆) ↔ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
3		fvoveq1 7380	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)) = (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)))
4		oveq1 7364	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → (𝑥 + 𝑆) = (𝐽 + 𝑆))
5	4	fvoveq1d 7379	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁)))
6	2, 3, 5	ifbieq12d 4514	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = if(𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)), (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))))
7		crctcshwlkn0lem.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (1..^𝑁))
8		0zd 12511	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 0 ∈ ℤ)
9		elfzoel2 13571	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
10		elfzoelz 13572	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℤ)
11	9, 10	zsubcld 12612	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℤ)
12	11	peano2zd 12610	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℤ)
13		elfzo1 13622	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁))
14		nnre 12160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ → 𝑆 ∈ ℝ)
15		nnre 12160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
16		posdif 11648	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑆 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 − 𝑆)))
17		0red 11158	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
18		resubcl 11465	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ)
19	18	ancoms 459	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ)
20		ltle 11243	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ) → (0 < (𝑁 − 𝑆) → 0 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
21	17, 19, 20	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < (𝑁 − 𝑆) → 0 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
22	19	lep1d 12086	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑁 − 𝑆) ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1))
23		1red 11156	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
24	19, 23	readdcld 11184	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℝ)
25		letr 11249	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℝ) → ((0 ≤ (𝑁 − 𝑆) ∧ (𝑁 − 𝑆) ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1)) → 0 ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1)))
26	17, 19, 24, 25	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 ≤ (𝑁 − 𝑆) ∧ (𝑁 − 𝑆) ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1)) → 0 ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1)))
27	22, 26	mpan2d 692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑁 − 𝑆) → 0 ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1)))
28	21, 27	syld 47	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < (𝑁 − 𝑆) → 0 ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1)))
29	16, 28	sylbid 239	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑆 < 𝑁 → 0 ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1)))
30	14, 15, 29	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆 < 𝑁 → 0 ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1)))
31	30	3impia 1117	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 0 ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1))
32	13, 31	sylbi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 0 ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1))
33		eluz2 12769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ (ℤ≥‘0) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1)))
34	8, 12, 32, 33	syl3anbrc 1343	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ (ℤ≥‘0))
35	7, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ (ℤ≥‘0))
36		fzss1 13480	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ (ℤ≥‘0) → (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁) ⊆ (0...𝑁))
37	35, 36	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁) ⊆ (0...𝑁))
38	37	sselda 3944	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁)) → 𝐽 ∈ (0...𝑁))
39		fvex 6855	. . . . 5 ⊢ (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)) ∈ V
40		fvex 6855	. . . . 5 ⊢ (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁)) ∈ V
41	39, 40	ifex 4536	. . . 4 ⊢ if(𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)), (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))) ∈ V
42	41	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁)) → if(𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)), (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))) ∈ V)
43	1, 6, 38, 42	fvmptd3 6971	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁)) → (𝑄‘𝐽) = if(𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)), (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))))
44		elfz2 13431	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁) ↔ ((((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁)))
45		zre 12503	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑆 ∈ ℤ → 𝑆 ∈ ℝ)
46		zre 12503	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐽 ∈ ℤ → 𝐽 ∈ ℝ)
47		zre 12503	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
48	46, 47	anim12i 613	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
49		simprr 771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
50		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → 𝑆 ∈ ℝ)
51	49, 50	resubcld 11583	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ)
52	51	ltp1d 12085	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → (𝑁 − 𝑆) < ((𝑁 − 𝑆) + 1))
53		1red 11156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → 1 ∈ ℝ)
54	51, 53	readdcld 11184	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℝ)
55		simprl 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → 𝐽 ∈ ℝ)
56		ltletr 11247	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) → (((𝑁 − 𝑆) < ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∧ ((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽) → (𝑁 − 𝑆) < 𝐽))
57	51, 54, 55, 56	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → (((𝑁 − 𝑆) < ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∧ ((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽) → (𝑁 − 𝑆) < 𝐽))
58	52, 57	mpand 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽 → (𝑁 − 𝑆) < 𝐽))
59	51, 55	ltnled 11302	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → ((𝑁 − 𝑆) < 𝐽 ↔ ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
60	58, 59	sylibd 238	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽 → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
61	45, 48, 60	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ∈ ℤ ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽 → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
62	61	expcom 414	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑆 ∈ ℤ → (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽 → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆))))
63	62	ancoms 459	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝑆 ∈ ℤ → (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽 → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆))))
64	63	3adant1 1130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝑆 ∈ ℤ → (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽 → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆))))
65	10, 64	syl5com 31	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → ((((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽 → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆))))
66	65	com13 88	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽 → ((((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆))))
67	66	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁) → ((((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆))))
68	67	impcom 408	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁)) → (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
69	68	com12 32	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (((((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁)) → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
70	44, 69	biimtrid 241	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (𝐽 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁) → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
71	7, 70	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁) → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
72	71	imp 407	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁)) → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆))
73	72	iffalsed 4497	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁)) → if(𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)), (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁)))
74	43, 73	eqtrd 2776	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁)) → (𝑄‘𝐽) = (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3445   ⊆ wss 3910  ifcif 4486   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   < clt 11189   ≤ cle 11190   − cmin 11385  ℕcn 12153  ℤcz 12499  ℤ_≥cuz 12763  ...cfz 13424  ..^cfzo 13567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568

This theorem is referenced by:  crctcshwlkn0lem5  28759  crctcshwlkn0lem6  28760