Theorem crctcshwlkn0lem3 29715

Description: Lemma for crctcshwlkn0 29724. (Contributed by AV, 12-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
crctcshwlkn0lem.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (1..^𝑁))
crctcshwlkn0lem.q	⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))

Assertion

Ref	Expression
crctcshwlkn0lem3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁)) → (𝑄‘𝐽) = (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝑄(𝑥)

Proof of Theorem crctcshwlkn0lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crctcshwlkn0lem.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
2		breq1 5105	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → (𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆) ↔ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
3		fvoveq1 7392	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)) = (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)))
4		oveq1 7376	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → (𝑥 + 𝑆) = (𝐽 + 𝑆))
5	4	fvoveq1d 7391	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁)))
6	2, 3, 5	ifbieq12d 4513	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = if(𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)), (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))))
7		crctcshwlkn0lem.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (1..^𝑁))
8		0zd 12517	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 0 ∈ ℤ)
9		elfzoel2 13595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
10		elfzoelz 13596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℤ)
11	9, 10	zsubcld 12619	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℤ)
12	11	peano2zd 12617	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℤ)
13		elfzo1 13649	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁))
14		nnre 12169	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ → 𝑆 ∈ ℝ)
15		nnre 12169	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
16		posdif 11647	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑆 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 − 𝑆)))
17		0red 11153	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
18		resubcl 11462	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ)
19	18	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ)
20		ltle 11238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ) → (0 < (𝑁 − 𝑆) → 0 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
21	17, 19, 20	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < (𝑁 − 𝑆) → 0 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
22	19	lep1d 12090	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑁 − 𝑆) ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1))
23		1red 11151	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
24	19, 23	readdcld 11179	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℝ)
25		letr 11244	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℝ) → ((0 ≤ (𝑁 − 𝑆) ∧ (𝑁 − 𝑆) ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1)) → 0 ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1)))
26	17, 19, 24, 25	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 ≤ (𝑁 − 𝑆) ∧ (𝑁 − 𝑆) ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1)) → 0 ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1)))
27	22, 26	mpan2d 694	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑁 − 𝑆) → 0 ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1)))
28	21, 27	syld 47	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < (𝑁 − 𝑆) → 0 ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1)))
29	16, 28	sylbid 240	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑆 < 𝑁 → 0 ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1)))
30	14, 15, 29	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆 < 𝑁 → 0 ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1)))
31	30	3impia 1117	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 0 ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1))
32	13, 31	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 0 ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1))
33		eluz2 12775	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ (ℤ≥‘0) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1)))
34	8, 12, 32, 33	syl3anbrc 1344	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ (ℤ≥‘0))
35	7, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ (ℤ≥‘0))
36		fzss1 13500	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ (ℤ≥‘0) → (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁) ⊆ (0...𝑁))
37	35, 36	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁) ⊆ (0...𝑁))
38	37	sselda 3943	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁)) → 𝐽 ∈ (0...𝑁))
39		fvex 6853	. . . . 5 ⊢ (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)) ∈ V
40		fvex 6853	. . . . 5 ⊢ (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁)) ∈ V
41	39, 40	ifex 4535	. . . 4 ⊢ if(𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)), (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))) ∈ V
42	41	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁)) → if(𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)), (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))) ∈ V)
43	1, 6, 38, 42	fvmptd3 6973	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁)) → (𝑄‘𝐽) = if(𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)), (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))))
44		elfz2 13451	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁) ↔ ((((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁)))
45		zre 12509	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑆 ∈ ℤ → 𝑆 ∈ ℝ)
46		zre 12509	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐽 ∈ ℤ → 𝐽 ∈ ℝ)
47		zre 12509	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
48	46, 47	anim12i 613	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
49		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
50		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → 𝑆 ∈ ℝ)
51	49, 50	resubcld 11582	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ)
52	51	ltp1d 12089	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → (𝑁 − 𝑆) < ((𝑁 − 𝑆) + 1))
53		1red 11151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → 1 ∈ ℝ)
54	51, 53	readdcld 11179	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℝ)
55		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → 𝐽 ∈ ℝ)
56		ltletr 11242	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) → (((𝑁 − 𝑆) < ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∧ ((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽) → (𝑁 − 𝑆) < 𝐽))
57	51, 54, 55, 56	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → (((𝑁 − 𝑆) < ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∧ ((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽) → (𝑁 − 𝑆) < 𝐽))
58	52, 57	mpand 695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽 → (𝑁 − 𝑆) < 𝐽))
59	51, 55	ltnled 11297	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → ((𝑁 − 𝑆) < 𝐽 ↔ ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
60	58, 59	sylibd 239	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽 → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
61	45, 48, 60	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ∈ ℤ ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽 → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
62	61	expcom 413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑆 ∈ ℤ → (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽 → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆))))
63	62	ancoms 458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝑆 ∈ ℤ → (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽 → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆))))
64	63	3adant1 1130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝑆 ∈ ℤ → (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽 → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆))))
65	10, 64	syl5com 31	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → ((((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽 → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆))))
66	65	com13 88	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽 → ((((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆))))
67	66	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁) → ((((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆))))
68	67	impcom 407	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁)) → (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
69	68	com12 32	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (((((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁)) → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
70	44, 69	biimtrid 242	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (𝐽 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁) → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
71	7, 70	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁) → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
72	71	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁)) → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆))
73	72	iffalsed 4495	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁)) → if(𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)), (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁)))
74	43, 73	eqtrd 2764	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁)) → (𝑄‘𝐽) = (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444   ⊆ wss 3911  ifcif 4484   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  0cc0 11044  1c1 11045   + caddc 11047   < clt 11184   ≤ cle 11185   − cmin 11381  ℕcn 12162  ℤcz 12505  ℤ_≥cuz 12769  ...cfz 13444  ..^cfzo 13591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592

This theorem is referenced by:  crctcshwlkn0lem5  29717  crctcshwlkn0lem6  29718