Theorem crctcshwlkn0lem3 29679

Description: Lemma for crctcshwlkn0 29688. (Contributed by AV, 12-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
crctcshwlkn0lem.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (1..^𝑁))
crctcshwlkn0lem.q	⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))

Assertion

Ref	Expression
crctcshwlkn0lem3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁)) → (𝑄‘𝐽) = (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝑄(𝑥)

Proof of Theorem crctcshwlkn0lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crctcshwlkn0lem.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
2		breq1 5151	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → (𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆) ↔ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
3		fvoveq1 7440	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)) = (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)))
4		oveq1 7424	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → (𝑥 + 𝑆) = (𝐽 + 𝑆))
5	4	fvoveq1d 7439	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁)))
6	2, 3, 5	ifbieq12d 4557	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = if(𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)), (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))))
7		crctcshwlkn0lem.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (1..^𝑁))
8		0zd 12600	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 0 ∈ ℤ)
9		elfzoel2 13663	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
10		elfzoelz 13664	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℤ)
11	9, 10	zsubcld 12701	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℤ)
12	11	peano2zd 12699	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℤ)
13		elfzo1 13714	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁))
14		nnre 12249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ → 𝑆 ∈ ℝ)
15		nnre 12249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
16		posdif 11737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑆 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 − 𝑆)))
17		0red 11247	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
18		resubcl 11554	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ)
19	18	ancoms 457	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ)
20		ltle 11332	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ) → (0 < (𝑁 − 𝑆) → 0 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
21	17, 19, 20	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < (𝑁 − 𝑆) → 0 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
22	19	lep1d 12175	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑁 − 𝑆) ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1))
23		1red 11245	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
24	19, 23	readdcld 11273	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℝ)
25		letr 11338	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℝ) → ((0 ≤ (𝑁 − 𝑆) ∧ (𝑁 − 𝑆) ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1)) → 0 ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1)))
26	17, 19, 24, 25	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 ≤ (𝑁 − 𝑆) ∧ (𝑁 − 𝑆) ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1)) → 0 ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1)))
27	22, 26	mpan2d 692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑁 − 𝑆) → 0 ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1)))
28	21, 27	syld 47	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < (𝑁 − 𝑆) → 0 ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1)))
29	16, 28	sylbid 239	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑆 < 𝑁 → 0 ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1)))
30	14, 15, 29	syl2an 594	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆 < 𝑁 → 0 ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1)))
31	30	3impia 1114	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 0 ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1))
32	13, 31	sylbi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 0 ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1))
33		eluz2 12858	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ (ℤ≥‘0) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1)))
34	8, 12, 32, 33	syl3anbrc 1340	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ (ℤ≥‘0))
35	7, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ (ℤ≥‘0))
36		fzss1 13572	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ (ℤ≥‘0) → (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁) ⊆ (0...𝑁))
37	35, 36	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁) ⊆ (0...𝑁))
38	37	sselda 3977	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁)) → 𝐽 ∈ (0...𝑁))
39		fvex 6907	. . . . 5 ⊢ (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)) ∈ V
40		fvex 6907	. . . . 5 ⊢ (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁)) ∈ V
41	39, 40	ifex 4579	. . . 4 ⊢ if(𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)), (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))) ∈ V
42	41	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁)) → if(𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)), (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))) ∈ V)
43	1, 6, 38, 42	fvmptd3 7025	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁)) → (𝑄‘𝐽) = if(𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)), (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))))
44		elfz2 13523	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁) ↔ ((((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁)))
45		zre 12592	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑆 ∈ ℤ → 𝑆 ∈ ℝ)
46		zre 12592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐽 ∈ ℤ → 𝐽 ∈ ℝ)
47		zre 12592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
48	46, 47	anim12i 611	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
49		simprr 771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
50		simpl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → 𝑆 ∈ ℝ)
51	49, 50	resubcld 11672	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ)
52	51	ltp1d 12174	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → (𝑁 − 𝑆) < ((𝑁 − 𝑆) + 1))
53		1red 11245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → 1 ∈ ℝ)
54	51, 53	readdcld 11273	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℝ)
55		simprl 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → 𝐽 ∈ ℝ)
56		ltletr 11336	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) → (((𝑁 − 𝑆) < ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∧ ((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽) → (𝑁 − 𝑆) < 𝐽))
57	51, 54, 55, 56	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → (((𝑁 − 𝑆) < ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∧ ((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽) → (𝑁 − 𝑆) < 𝐽))
58	52, 57	mpand 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽 → (𝑁 − 𝑆) < 𝐽))
59	51, 55	ltnled 11391	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → ((𝑁 − 𝑆) < 𝐽 ↔ ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
60	58, 59	sylibd 238	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽 → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
61	45, 48, 60	syl2an 594	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ∈ ℤ ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽 → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
62	61	expcom 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑆 ∈ ℤ → (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽 → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆))))
63	62	ancoms 457	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝑆 ∈ ℤ → (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽 → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆))))
64	63	3adant1 1127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝑆 ∈ ℤ → (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽 → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆))))
65	10, 64	syl5com 31	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → ((((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽 → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆))))
66	65	com13 88	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽 → ((((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆))))
67	66	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁) → ((((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆))))
68	67	impcom 406	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁)) → (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
69	68	com12 32	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (((((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁)) → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
70	44, 69	biimtrid 241	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (𝐽 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁) → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
71	7, 70	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁) → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
72	71	imp 405	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁)) → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆))
73	72	iffalsed 4540	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁)) → if(𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)), (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁)))
74	43, 73	eqtrd 2765	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁)) → (𝑄‘𝐽) = (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   ⊆ wss 3945  ifcif 4529   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6547  (class class class)co 7417  ℝcr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   < clt 11278   ≤ cle 11279   − cmin 11474  ℕcn 12242  ℤcz 12588  ℤ_≥cuz 12852  ...cfz 13516  ..^cfzo 13659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7870  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660

This theorem is referenced by:  crctcshwlkn0lem5  29681  crctcshwlkn0lem6  29682