MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  crctcshwlkn0lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem crctcshwlkn0lem3 29715
Description: Lemma for crctcshwlkn0 29724. (Contributed by AV, 12-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
crctcshwlkn0lem.s (𝜑𝑆 ∈ (1..^𝑁))
crctcshwlkn0lem.q 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
Assertion
Ref Expression
crctcshwlkn0lem3 ((𝜑𝐽 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)...𝑁)) → (𝑄𝐽) = (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝑄(𝑥)

Proof of Theorem crctcshwlkn0lem3
StepHypRef Expression
1 crctcshwlkn0lem.q . . 3 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
2 breq1 5152 . . . 4 (𝑥 = 𝐽 → (𝑥 ≤ (𝑁𝑆) ↔ 𝐽 ≤ (𝑁𝑆)))
3 fvoveq1 7442 . . . 4 (𝑥 = 𝐽 → (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)) = (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)))
4 oveq1 7426 . . . . 5 (𝑥 = 𝐽 → (𝑥 + 𝑆) = (𝐽 + 𝑆))
54fvoveq1d 7441 . . . 4 (𝑥 = 𝐽 → (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁)))
62, 3, 5ifbieq12d 4558 . . 3 (𝑥 = 𝐽 → if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = if(𝐽 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)), (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))))
7 crctcshwlkn0lem.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ (1..^𝑁))
8 0zd 12608 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 0 ∈ ℤ)
9 elfzoel2 13671 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
10 elfzoelz 13672 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℤ)
119, 10zsubcld 12709 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (𝑁𝑆) ∈ ℤ)
1211peano2zd 12707 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → ((𝑁𝑆) + 1) ∈ ℤ)
13 elfzo1 13722 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁))
14 nnre 12257 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ ℕ → 𝑆 ∈ ℝ)
15 nnre 12257 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
16 posdif 11744 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑆 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁𝑆)))
17 0red 11254 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
18 resubcl 11561 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝑁𝑆) ∈ ℝ)
1918ancoms 457 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑁𝑆) ∈ ℝ)
20 ltle 11339 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑆) ∈ ℝ) → (0 < (𝑁𝑆) → 0 ≤ (𝑁𝑆)))
2117, 19, 20syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < (𝑁𝑆) → 0 ≤ (𝑁𝑆)))
2219lep1d 12183 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑁𝑆) ≤ ((𝑁𝑆) + 1))
23 1red 11252 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
2419, 23readdcld 11280 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑁𝑆) + 1) ∈ ℝ)
25 letr 11345 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑆) ∈ ℝ ∧ ((𝑁𝑆) + 1) ∈ ℝ) → ((0 ≤ (𝑁𝑆) ∧ (𝑁𝑆) ≤ ((𝑁𝑆) + 1)) → 0 ≤ ((𝑁𝑆) + 1)))
2617, 19, 24, 25syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 ≤ (𝑁𝑆) ∧ (𝑁𝑆) ≤ ((𝑁𝑆) + 1)) → 0 ≤ ((𝑁𝑆) + 1)))
2722, 26mpan2d 692 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑁𝑆) → 0 ≤ ((𝑁𝑆) + 1)))
2821, 27syld 47 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < (𝑁𝑆) → 0 ≤ ((𝑁𝑆) + 1)))
2916, 28sylbid 239 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑆 < 𝑁 → 0 ≤ ((𝑁𝑆) + 1)))
3014, 15, 29syl2an 594 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆 < 𝑁 → 0 ≤ ((𝑁𝑆) + 1)))
31303impia 1114 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 0 ≤ ((𝑁𝑆) + 1))
3213, 31sylbi 216 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 0 ≤ ((𝑁𝑆) + 1))
33 eluz2 12866 . . . . . . 7 (((𝑁𝑆) + 1) ∈ (ℤ‘0) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ ((𝑁𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑁𝑆) + 1)))
348, 12, 32, 33syl3anbrc 1340 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → ((𝑁𝑆) + 1) ∈ (ℤ‘0))
357, 34syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁𝑆) + 1) ∈ (ℤ‘0))
36 fzss1 13580 . . . . 5 (((𝑁𝑆) + 1) ∈ (ℤ‘0) → (((𝑁𝑆) + 1)...𝑁) ⊆ (0...𝑁))
3735, 36syl 17 . . . 4 (𝜑 → (((𝑁𝑆) + 1)...𝑁) ⊆ (0...𝑁))
3837sselda 3976 . . 3 ((𝜑𝐽 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)...𝑁)) → 𝐽 ∈ (0...𝑁))
39 fvex 6909 . . . . 5 (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)) ∈ V
40 fvex 6909 . . . . 5 (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁)) ∈ V
4139, 40ifex 4580 . . . 4 if(𝐽 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)), (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))) ∈ V
4241a1i 11 . . 3 ((𝜑𝐽 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)...𝑁)) → if(𝐽 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)), (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))) ∈ V)
431, 6, 38, 42fvmptd3 7027 . 2 ((𝜑𝐽 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)...𝑁)) → (𝑄𝐽) = if(𝐽 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)), (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))))
44 elfz2 13531 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)...𝑁) ↔ ((((𝑁𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (((𝑁𝑆) + 1) ≤ 𝐽𝐽𝑁)))
45 zre 12600 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 ∈ ℤ → 𝑆 ∈ ℝ)
46 zre 12600 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐽 ∈ ℤ → 𝐽 ∈ ℝ)
47 zre 12600 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
4846, 47anim12i 611 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
49 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
50 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → 𝑆 ∈ ℝ)
5149, 50resubcld 11679 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → (𝑁𝑆) ∈ ℝ)
5251ltp1d 12182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → (𝑁𝑆) < ((𝑁𝑆) + 1))
53 1red 11252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → 1 ∈ ℝ)
5451, 53readdcld 11280 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → ((𝑁𝑆) + 1) ∈ ℝ)
55 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → 𝐽 ∈ ℝ)
56 ltletr 11343 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁𝑆) ∈ ℝ ∧ ((𝑁𝑆) + 1) ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) → (((𝑁𝑆) < ((𝑁𝑆) + 1) ∧ ((𝑁𝑆) + 1) ≤ 𝐽) → (𝑁𝑆) < 𝐽))
5751, 54, 55, 56syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → (((𝑁𝑆) < ((𝑁𝑆) + 1) ∧ ((𝑁𝑆) + 1) ≤ 𝐽) → (𝑁𝑆) < 𝐽))
5852, 57mpand 693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → (((𝑁𝑆) + 1) ≤ 𝐽 → (𝑁𝑆) < 𝐽))
5951, 55ltnled 11398 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → ((𝑁𝑆) < 𝐽 ↔ ¬ 𝐽 ≤ (𝑁𝑆)))
6058, 59sylibd 238 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → (((𝑁𝑆) + 1) ≤ 𝐽 → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁𝑆)))
6145, 48, 60syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ ℤ ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (((𝑁𝑆) + 1) ≤ 𝐽 → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁𝑆)))
6261expcom 412 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑆 ∈ ℤ → (((𝑁𝑆) + 1) ≤ 𝐽 → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁𝑆))))
6362ancoms 457 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝑆 ∈ ℤ → (((𝑁𝑆) + 1) ≤ 𝐽 → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁𝑆))))
64633adant1 1127 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝑆 ∈ ℤ → (((𝑁𝑆) + 1) ≤ 𝐽 → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁𝑆))))
6510, 64syl5com 31 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → ((((𝑁𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (((𝑁𝑆) + 1) ≤ 𝐽 → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁𝑆))))
6665com13 88 . . . . . . . . 9 (((𝑁𝑆) + 1) ≤ 𝐽 → ((((𝑁𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁𝑆))))
6766adantr 479 . . . . . . . 8 ((((𝑁𝑆) + 1) ≤ 𝐽𝐽𝑁) → ((((𝑁𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁𝑆))))
6867impcom 406 . . . . . . 7 (((((𝑁𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (((𝑁𝑆) + 1) ≤ 𝐽𝐽𝑁)) → (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁𝑆)))
6968com12 32 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (((((𝑁𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (((𝑁𝑆) + 1) ≤ 𝐽𝐽𝑁)) → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁𝑆)))
7044, 69biimtrid 241 . . . . 5 (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (𝐽 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)...𝑁) → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁𝑆)))
717, 70syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐽 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)...𝑁) → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁𝑆)))
7271imp 405 . . 3 ((𝜑𝐽 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)...𝑁)) → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁𝑆))
7372iffalsed 4541 . 2 ((𝜑𝐽 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)...𝑁)) → if(𝐽 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)), (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁)))
7443, 73eqtrd 2765 1 ((𝜑𝐽 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)...𝑁)) → (𝑄𝐽) = (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3461  wss 3944  ifcif 4530   class class class wbr 5149  cmpt 5232  cfv 6549  (class class class)co 7419  cr 11144  0cc0 11145  1c1 11146   + caddc 11148   < clt 11285  cle 11286  cmin 11481  cn 12250  cz 12596  cuz 12860  ...cfz 13524  ..^cfzo 13667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668
This theorem is referenced by:  crctcshwlkn0lem5  29717  crctcshwlkn0lem6  29718
  Copyright terms: Public domain W3C validator