Theorem crctcshwlkn0lem3 29969

Description: Lemma for crctcshwlkn0 29978. (Contributed by AV, 12-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
crctcshwlkn0lem.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (1..^𝑁))
crctcshwlkn0lem.q	⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))

Assertion

Ref	Expression
crctcshwlkn0lem3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁)) → (𝑄‘𝐽) = (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝑄(𝑥)

Proof of Theorem crctcshwlkn0lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crctcshwlkn0lem.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
2		breq1 5100	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → (𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆) ↔ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
3		fvoveq1 7414	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)) = (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)))
4		oveq1 7398	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → (𝑥 + 𝑆) = (𝐽 + 𝑆))
5	4	fvoveq1d 7413	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁)))
6	2, 3, 5	ifbieq12d 4506	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = if(𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)), (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))))
7		crctcshwlkn0lem.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (1..^𝑁))
8		0zd 12574	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 0 ∈ ℤ)
9		elfzoel2 13657	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
10		elfzoelz 13658	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℤ)
11	9, 10	zsubcld 12676	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℤ)
12	11	peano2zd 12674	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℤ)
13		elfzo1 13712	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁))
14		nnre 12211	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ → 𝑆 ∈ ℝ)
15		nnre 12211	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
16		posdif 11674	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑆 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 − 𝑆)))
17		0red 11178	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
18		resubcl 11489	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ)
19	18	ancoms 462	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ)
20		ltle 11265	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ) → (0 < (𝑁 − 𝑆) → 0 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
21	17, 19, 20	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < (𝑁 − 𝑆) → 0 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
22	19	lep1d 12117	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑁 − 𝑆) ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1))
23		1red 11176	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
24	19, 23	readdcld 11205	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℝ)
25		letr 11271	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℝ) → ((0 ≤ (𝑁 − 𝑆) ∧ (𝑁 − 𝑆) ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1)) → 0 ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1)))
26	17, 19, 24, 25	syl3anc 1389	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 ≤ (𝑁 − 𝑆) ∧ (𝑁 − 𝑆) ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1)) → 0 ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1)))
27	22, 26	mpan2d 704	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑁 − 𝑆) → 0 ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1)))
28	21, 27	syld 47	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < (𝑁 − 𝑆) → 0 ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1)))
29	16, 28	sylbid 242	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑆 < 𝑁 → 0 ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1)))
30	14, 15, 29	syl2an 605	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆 < 𝑁 → 0 ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1)))
31	30	3impia 1129	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 0 ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1))
32	13, 31	sylbi 219	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 0 ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1))
33		eluz2 12839	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ (ℤ≥‘0) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1)))
34	8, 12, 32, 33	syl3anbrc 1356	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ (ℤ≥‘0))
35	7, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ (ℤ≥‘0))
36		fzss1 13562	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ (ℤ≥‘0) → (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁) ⊆ (0...𝑁))
37	35, 36	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁) ⊆ (0...𝑁))
38	37	sselda 3934	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁)) → 𝐽 ∈ (0...𝑁))
39		fvex 6875	. . . . 5 ⊢ (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)) ∈ V
40		fvex 6875	. . . . 5 ⊢ (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁)) ∈ V
41	39, 40	ifex 4528	. . . 4 ⊢ if(𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)), (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))) ∈ V
42	41	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁)) → if(𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)), (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))) ∈ V)
43	1, 6, 38, 42	fvmptd3 6994	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁)) → (𝑄‘𝐽) = if(𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)), (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))))
44		elfz2 13513	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁) ↔ ((((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁)))
45		zre 12566	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑆 ∈ ℤ → 𝑆 ∈ ℝ)
46		zre 12566	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐽 ∈ ℤ → 𝐽 ∈ ℝ)
47		zre 12566	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
48	46, 47	anim12i 622	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
49		simprr 782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
50		simpl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → 𝑆 ∈ ℝ)
51	49, 50	resubcld 11609	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ)
52	51	ltp1d 12116	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → (𝑁 − 𝑆) < ((𝑁 − 𝑆) + 1))
53		1red 11176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → 1 ∈ ℝ)
54	51, 53	readdcld 11205	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℝ)
55		simprl 780	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → 𝐽 ∈ ℝ)
56		ltletr 11269	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) → (((𝑁 − 𝑆) < ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∧ ((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽) → (𝑁 − 𝑆) < 𝐽))
57	51, 54, 55, 56	syl3anc 1389	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → (((𝑁 − 𝑆) < ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∧ ((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽) → (𝑁 − 𝑆) < 𝐽))
58	52, 57	mpand 705	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽 → (𝑁 − 𝑆) < 𝐽))
59	51, 55	ltnled 11324	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → ((𝑁 − 𝑆) < 𝐽 ↔ ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
60	58, 59	sylibd 241	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽 → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
61	45, 48, 60	syl2an 605	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ∈ ℤ ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽 → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
62	61	expcom 417	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑆 ∈ ℤ → (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽 → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆))))
63	62	ancoms 462	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝑆 ∈ ℤ → (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽 → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆))))
64	63	3adant1 1142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝑆 ∈ ℤ → (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽 → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆))))
65	10, 64	syl5com 31	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → ((((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽 → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆))))
66	65	com13 88	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽 → ((((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆))))
67	66	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁) → ((((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆))))
68	67	impcom 411	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁)) → (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
69	68	com12 32	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (((((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁)) → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
70	44, 69	biimtrid 244	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (𝐽 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁) → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
71	7, 70	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁) → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
72	71	imp 410	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁)) → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆))
73	72	iffalsed 4488	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁)) → if(𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)), (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁)))
74	43, 73	eqtrd 2796	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁)) → (𝑄‘𝐽) = (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902  ifcif 4477   class class class wbr 5097   ↦ cmpt 5178  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  ℝcr 11066  0cc0 11067  1c1 11068   + caddc 11070   < clt 11210   ≤ cle 11211   − cmin 11408  ℕcn 12204  ℤcz 12562  ℤ_≥cuz 12833  ...cfz 13506  ..^cfzo 13653

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-n0 12476  df-z 12563  df-uz 12834  df-fz 13507  df-fzo 13654

This theorem is referenced by:  crctcshwlkn0lem5  29971  crctcshwlkn0lem6  29972