Theorem modsumfzodifsn 13941

Description: The sum of a number within a half-open range of positive integers is an element of the corresponding open range of nonnegative integers with one excluded integer modulo the excluded integer. (Contributed by AV, 19-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modsumfzodifsn	⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐾 + 𝐽) mod 𝑁) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))

Proof of Theorem modsumfzodifsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo0 13705	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁))
2		elfzoelz 13664	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	2	zred 12696	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ)
4		nn0re 12511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ0 → 𝐽 ∈ ℝ)
5	4	3ad2ant1 1130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝐽 ∈ ℝ)
6		readdcl 11221	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℝ)
7	3, 5, 6	syl2anr 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℝ)
8		nnrp 13017	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
9	8	3ad2ant2 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ+)
10	9	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ+)
11	7, 10	jca 510	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐾 + 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
12	1, 11	sylanb 579	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐾 + 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
13	12	adantl 480	. . . 4 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝐾 + 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
14		elfzo1 13714	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
15		nnnn0 12509	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
16	15	3ad2ant1 1130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
17	14, 16	sylbi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
18		elfzonn0 13709	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℕ0)
19		nn0addcl 12537	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℕ0)
20	17, 18, 19	syl2anr 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℕ0)
21	20	adantl 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℕ0)
22	21	nn0ge0d 12565	. . . 4 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → 0 ≤ (𝐾 + 𝐽))
23		simpl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → (𝐾 + 𝐽) < 𝑁)
24		modid 13893	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 + 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝐾 + 𝐽) ∧ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁)) → ((𝐾 + 𝐽) mod 𝑁) = (𝐾 + 𝐽))
25	13, 22, 23, 24	syl12anc 835	. . 3 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝐾 + 𝐽) mod 𝑁) = (𝐾 + 𝐽))
26		simp2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
27	1, 26	sylbi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
28	27	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
29	28	adantl 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
30		elfzo0 13705	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 + 𝐽) ∈ (0..^𝑁) ↔ ((𝐾 + 𝐽) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁))
31	21, 29, 23, 30	syl3anbrc 1340	. . . 4 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → (𝐾 + 𝐽) ∈ (0..^𝑁))
32	2	zcnd 12697	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
33	32	adantl 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐾 ∈ ℂ)
34		0cnd 11237	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 0 ∈ ℂ)
35		elfzoelz 13664	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
36	35	zcnd 12697	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℂ)
37	36	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐽 ∈ ℂ)
38		nnne0 12276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ≠ 0)
39	38	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 ≠ 0)
40	14, 39	sylbi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → 𝐾 ≠ 0)
41	40	adantl 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐾 ≠ 0)
42	33, 34, 37, 41	addneintr2d 11452	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐾 + 𝐽) ≠ (0 + 𝐽))
43	42	adantl 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → (𝐾 + 𝐽) ≠ (0 + 𝐽))
44	37	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → 𝐽 ∈ ℂ)
45		addlid 11427	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ ℂ → (0 + 𝐽) = 𝐽)
46	45	eqcomd 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ ℂ → 𝐽 = (0 + 𝐽))
47	44, 46	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → 𝐽 = (0 + 𝐽))
48	43, 47	neeqtrrd 3005	. . . 4 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → (𝐾 + 𝐽) ≠ 𝐽)
49		eldifsn 4791	. . . 4 ⊢ ((𝐾 + 𝐽) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) ↔ ((𝐾 + 𝐽) ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝐾 + 𝐽) ≠ 𝐽))
50	31, 48, 49	sylanbrc 581	. . 3 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))
51	25, 50	eqeltrd 2825	. 2 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝐾 + 𝐽) mod 𝑁) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))
52		elfzoel2 13663	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
53	52	zcnd 12697	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
54	53	adantr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
55	54	adantl 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → 𝑁 ∈ ℂ)
56	55	mulm1d 11696	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → (-1 · 𝑁) = -𝑁)
57	56	oveq2d 7433	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝐾 + 𝐽) + (-1 · 𝑁)) = ((𝐾 + 𝐽) + -𝑁))
58		zaddcl 12632	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℤ)
59	2, 35, 58	syl2anr 595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℤ)
60	59	zcnd 12697	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℂ)
61	60, 54	jca 510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐾 + 𝐽) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
62	61	adantl 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝐾 + 𝐽) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
63		negsub 11538	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝐾 + 𝐽) + -𝑁) = ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁))
64	62, 63	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝐾 + 𝐽) + -𝑁) = ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁))
65	57, 64	eqtrd 2765	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝐾 + 𝐽) + (-1 · 𝑁)) = ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁))
66	65	oveq1d 7432	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → (((𝐾 + 𝐽) + (-1 · 𝑁)) mod 𝑁) = (((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) mod 𝑁))
67	2, 35, 58	syl2an 594	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℤ)
68	67	zred 12696	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℝ)
69	68	ancoms 457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℝ)
70	52	zred 12696	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
71	70	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
72	69, 71	resubcld 11672	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ℝ)
73	72	adantl 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ℝ)
74	26	nnrpd 13046	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ+)
75	1, 74	sylbi 216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ+)
76	75	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ+)
77	76	adantl 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → 𝑁 ∈ ℝ+)
78		nnre 12249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
79	78	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ)
80	79	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
81	4	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝐽 ∈ ℝ)
82	81	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁)) → 𝐽 ∈ ℝ)
83		nnre 12249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
84	83	3ad2ant2 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
85	84	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
86		simp3 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℝ)
87	6	3adant3 1129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℝ)
88	86, 87	lenltd 11390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑁 ≤ (𝐾 + 𝐽) ↔ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁))
89	88	biimprd 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 → 𝑁 ≤ (𝐾 + 𝐽)))
90	87, 86	subge0d 11834	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ↔ 𝑁 ≤ (𝐾 + 𝐽)))
91	89, 90	sylibrd 258	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 → 0 ≤ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁)))
92	80, 82, 85, 91	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁)) → (¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 → 0 ≤ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁)))
93	81, 79	anim12ci 612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁)) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ))
94	83, 83	jca 510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
95	94	3ad2ant2 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
96	95	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
97		simpr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝐽 < 𝑁)
98		simp3 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 < 𝑁)
99	97, 98	anim12ci 612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁)) → (𝐾 < 𝑁 ∧ 𝐽 < 𝑁))
100	93, 96, 99	jca31 513	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁)) → (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) ∧ (𝐾 < 𝑁 ∧ 𝐽 < 𝑁)))
101		lt2add 11729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → ((𝐾 < 𝑁 ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝐾 + 𝐽) < (𝑁 + 𝑁)))
102	101	imp 405	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) ∧ (𝐾 < 𝑁 ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝐾 + 𝐽) < (𝑁 + 𝑁))
103	100, 102	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁)) → (𝐾 + 𝐽) < (𝑁 + 𝑁))
104	79, 81, 6	syl2anr 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁)) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℝ)
105		ltsubadd 11714	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) < 𝑁 ↔ (𝐾 + 𝐽) < (𝑁 + 𝑁)))
106	104, 85, 85, 105	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁)) → (((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) < 𝑁 ↔ (𝐾 + 𝐽) < (𝑁 + 𝑁)))
107	103, 106	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁)) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) < 𝑁)
108	92, 107	jctird 525	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁)) → (¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 → (0 ≤ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∧ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) < 𝑁)))
109	108	ex 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 → (0 ≤ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∧ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) < 𝑁))))
110	14, 109	biimtrid 241	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → (¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 → (0 ≤ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∧ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) < 𝑁))))
111	110	3adant2 1128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → (¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 → (0 ≤ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∧ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) < 𝑁))))
112	1, 111	sylbi 216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → (¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 → (0 ≤ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∧ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) < 𝑁))))
113	112	imp 405	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 → (0 ≤ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∧ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) < 𝑁)))
114	113	impcom 406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → (0 ≤ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∧ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) < 𝑁))
115	73, 77, 114	jca31 513	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → ((((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∧ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) < 𝑁)))
116		modid 13893	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∧ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) < 𝑁)) → (((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) mod 𝑁) = ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁))
117	115, 116	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → (((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) mod 𝑁) = ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁))
118	66, 117	eqtrd 2765	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → (((𝐾 + 𝐽) + (-1 · 𝑁)) mod 𝑁) = ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁))
119	118	eqcomd 2731	. . . . 5 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) = (((𝐾 + 𝐽) + (-1 · 𝑁)) mod 𝑁))
120	1, 9	sylbi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ+)
121	120	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ+)
122		neg1z 12628	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℤ
123	122	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → -1 ∈ ℤ)
124		modcyc 13903	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+ ∧ -1 ∈ ℤ) → (((𝐾 + 𝐽) + (-1 · 𝑁)) mod 𝑁) = ((𝐾 + 𝐽) mod 𝑁))
125	69, 121, 123, 124	syl2an23an 1420	. . . . 5 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → (((𝐾 + 𝐽) + (-1 · 𝑁)) mod 𝑁) = ((𝐾 + 𝐽) mod 𝑁))
126	119, 125	eqtrd 2765	. . . 4 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) = ((𝐾 + 𝐽) mod 𝑁))
127	126	eqcomd 2731	. . 3 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝐾 + 𝐽) mod 𝑁) = ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁))
128	52	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
129	59, 128	zsubcld 12701	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ℤ)
130	129	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ℤ)
131	3	adantl 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
132	35	zred 12696	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℝ)
133	132	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐽 ∈ ℝ)
134	90	biimprd 247	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑁 ≤ (𝐾 + 𝐽) → 0 ≤ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁)))
135	88, 134	sylbird 259	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 → 0 ≤ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁)))
136	131, 133, 71, 135	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 → 0 ≤ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁)))
137	136	impcom 406	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → 0 ≤ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁))
138		elnn0z 12601	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ℕ0 ↔ (((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁)))
139	130, 137, 138	sylanbrc 581	. . . . 5 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ℕ0)
140	28	adantl 480	. . . . 5 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
141	100	expcom 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁) → (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) ∧ (𝐾 < 𝑁 ∧ 𝐽 < 𝑁))))
142	14, 141	sylbi 216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁) → (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) ∧ (𝐾 < 𝑁 ∧ 𝐽 < 𝑁))))
143	142	com12 32	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) ∧ (𝐾 < 𝑁 ∧ 𝐽 < 𝑁))))
144	143	3adant2 1128	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) ∧ (𝐾 < 𝑁 ∧ 𝐽 < 𝑁))))
145	1, 144	sylbi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) ∧ (𝐾 < 𝑁 ∧ 𝐽 < 𝑁))))
146	145	imp 405	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) ∧ (𝐾 < 𝑁 ∧ 𝐽 < 𝑁)))
147	146, 102	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐾 + 𝐽) < (𝑁 + 𝑁))
148	4	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐽 ∈ ℝ)
149	3, 148, 6	syl2anr 595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℝ)
150	83	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
151	150	adantr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
152	149, 151, 151	3jca 1125	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐾 + 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
153	152	ex 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → ((𝐾 + 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)))
154	153	3adant3 1129	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → ((𝐾 + 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)))
155	1, 154	sylbi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → ((𝐾 + 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)))
156	155	imp 405	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐾 + 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
157	156, 105	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) < 𝑁 ↔ (𝐾 + 𝐽) < (𝑁 + 𝑁)))
158	147, 157	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) < 𝑁)
159	158	adantl 480	. . . . 5 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) < 𝑁)
160		elfzo0 13705	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ (0..^𝑁) ↔ (((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) < 𝑁))
161	139, 140, 159, 160	syl3anbrc 1340	. . . 4 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
162		nncn 12250	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℂ)
163		nncn 12250	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
164		subcl 11489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐾 − 𝑁) ∈ ℂ)
165	162, 163, 164	syl2an 594	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 − 𝑁) ∈ ℂ)
166	165	3adant3 1129	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 − 𝑁) ∈ ℂ)
167	14, 166	sylbi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → (𝐾 − 𝑁) ∈ ℂ)
168	167	adantl 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐾 − 𝑁) ∈ ℂ)
169	168	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → (𝐾 − 𝑁) ∈ ℂ)
170		0cnd 11237	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → 0 ∈ ℂ)
171	37	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → 𝐽 ∈ ℂ)
172		elfzoel2 13663	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
173	172	zcnd 12697	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
174	79, 98	ltned 11380	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 ≠ 𝑁)
175	14, 174	sylbi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → 𝐾 ≠ 𝑁)
176	32, 173, 175	subne0d 11610	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → (𝐾 − 𝑁) ≠ 0)
177	176	adantl 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐾 − 𝑁) ≠ 0)
178	177	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → (𝐾 − 𝑁) ≠ 0)
179	169, 170, 171, 178	addneintr2d 11452	. . . . 5 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝐾 − 𝑁) + 𝐽) ≠ (0 + 𝐽))
180	33, 37, 54	3jca 1125	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
181	180	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
182		addsub 11501	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) = ((𝐾 − 𝑁) + 𝐽))
183	181, 182	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) = ((𝐾 − 𝑁) + 𝐽))
184	171, 45	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → (0 + 𝐽) = 𝐽)
185	184	eqcomd 2731	. . . . 5 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → 𝐽 = (0 + 𝐽))
186	179, 183, 185	3netr4d 3008	. . . 4 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ≠ 𝐽)
187		eldifsn 4791	. . . 4 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) ↔ (((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ (0..^𝑁) ∧ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ≠ 𝐽))
188	161, 186, 187	sylanbrc 581	. . 3 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))
189	127, 188	eqeltrd 2825	. 2 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝐾 + 𝐽) mod 𝑁) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))
190	51, 189	pm2.61ian 810	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐾 + 𝐽) mod 𝑁) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930   ∖ cdif 3942  {csn 4629   class class class wbr 5148  (class class class)co 7417  ℂcc 11136  ℝcr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   · cmul 11143   < clt 11278   ≤ cle 11279   − cmin 11474  -cneg 11475  ℕcn 12242  ℕ₀cn0 12502  ℤcz 12588  ℝ⁺crp 13006  ..^cfzo 13659   mod cmo 13866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7870  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-mod 13867

This theorem is referenced by:  cshimadifsn  14812