Theorem modsumfzodifsn 13905

Description: The sum of a number within a half-open range of positive integers is an element of the corresponding open range of nonnegative integers with one excluded integer modulo the excluded integer. (Contributed by AV, 19-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modsumfzodifsn	⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐾 + 𝐽) mod 𝑁) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))

Proof of Theorem modsumfzodifsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo0 13669	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁))
2		elfzoelz 13628	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	2	zred 12662	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ)
4		nn0re 12477	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ0 → 𝐽 ∈ ℝ)
5	4	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝐽 ∈ ℝ)
6		readdcl 11189	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℝ)
7	3, 5, 6	syl2anr 597	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℝ)
8		nnrp 12981	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
9	8	3ad2ant2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ+)
10	9	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ+)
11	7, 10	jca 512	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐾 + 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
12	1, 11	sylanb 581	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐾 + 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
13	12	adantl 482	. . . 4 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝐾 + 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
14		elfzo1 13678	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
15		nnnn0 12475	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
16	15	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
17	14, 16	sylbi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
18		elfzonn0 13673	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℕ0)
19		nn0addcl 12503	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℕ0)
20	17, 18, 19	syl2anr 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℕ0)
21	20	adantl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℕ0)
22	21	nn0ge0d 12531	. . . 4 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → 0 ≤ (𝐾 + 𝐽))
23		simpl 483	. . . 4 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → (𝐾 + 𝐽) < 𝑁)
24		modid 13857	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 + 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝐾 + 𝐽) ∧ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁)) → ((𝐾 + 𝐽) mod 𝑁) = (𝐾 + 𝐽))
25	13, 22, 23, 24	syl12anc 835	. . 3 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝐾 + 𝐽) mod 𝑁) = (𝐾 + 𝐽))
26		simp2 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
27	1, 26	sylbi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
28	27	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
29	28	adantl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
30		elfzo0 13669	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 + 𝐽) ∈ (0..^𝑁) ↔ ((𝐾 + 𝐽) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁))
31	21, 29, 23, 30	syl3anbrc 1343	. . . 4 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → (𝐾 + 𝐽) ∈ (0..^𝑁))
32	2	zcnd 12663	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
33	32	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐾 ∈ ℂ)
34		0cnd 11203	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 0 ∈ ℂ)
35		elfzoelz 13628	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
36	35	zcnd 12663	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℂ)
37	36	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐽 ∈ ℂ)
38		nnne0 12242	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ≠ 0)
39	38	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 ≠ 0)
40	14, 39	sylbi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → 𝐾 ≠ 0)
41	40	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐾 ≠ 0)
42	33, 34, 37, 41	addneintr2d 11418	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐾 + 𝐽) ≠ (0 + 𝐽))
43	42	adantl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → (𝐾 + 𝐽) ≠ (0 + 𝐽))
44	37	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → 𝐽 ∈ ℂ)
45		addlid 11393	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ ℂ → (0 + 𝐽) = 𝐽)
46	45	eqcomd 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ ℂ → 𝐽 = (0 + 𝐽))
47	44, 46	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → 𝐽 = (0 + 𝐽))
48	43, 47	neeqtrrd 3015	. . . 4 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → (𝐾 + 𝐽) ≠ 𝐽)
49		eldifsn 4789	. . . 4 ⊢ ((𝐾 + 𝐽) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) ↔ ((𝐾 + 𝐽) ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝐾 + 𝐽) ≠ 𝐽))
50	31, 48, 49	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))
51	25, 50	eqeltrd 2833	. 2 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝐾 + 𝐽) mod 𝑁) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))
52		elfzoel2 13627	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
53	52	zcnd 12663	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
54	53	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
55	54	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → 𝑁 ∈ ℂ)
56	55	mulm1d 11662	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → (-1 · 𝑁) = -𝑁)
57	56	oveq2d 7421	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝐾 + 𝐽) + (-1 · 𝑁)) = ((𝐾 + 𝐽) + -𝑁))
58		zaddcl 12598	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℤ)
59	2, 35, 58	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℤ)
60	59	zcnd 12663	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℂ)
61	60, 54	jca 512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐾 + 𝐽) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
62	61	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝐾 + 𝐽) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
63		negsub 11504	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝐾 + 𝐽) + -𝑁) = ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁))
64	62, 63	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝐾 + 𝐽) + -𝑁) = ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁))
65	57, 64	eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝐾 + 𝐽) + (-1 · 𝑁)) = ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁))
66	65	oveq1d 7420	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → (((𝐾 + 𝐽) + (-1 · 𝑁)) mod 𝑁) = (((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) mod 𝑁))
67	2, 35, 58	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℤ)
68	67	zred 12662	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℝ)
69	68	ancoms 459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℝ)
70	52	zred 12662	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
71	70	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
72	69, 71	resubcld 11638	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ℝ)
73	72	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ℝ)
74	26	nnrpd 13010	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ+)
75	1, 74	sylbi 216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ+)
76	75	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ+)
77	76	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → 𝑁 ∈ ℝ+)
78		nnre 12215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
79	78	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ)
80	79	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
81	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝐽 ∈ ℝ)
82	81	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁)) → 𝐽 ∈ ℝ)
83		nnre 12215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
84	83	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
85	84	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
86		simp3 1138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℝ)
87	6	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℝ)
88	86, 87	lenltd 11356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑁 ≤ (𝐾 + 𝐽) ↔ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁))
89	88	biimprd 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 → 𝑁 ≤ (𝐾 + 𝐽)))
90	87, 86	subge0d 11800	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ↔ 𝑁 ≤ (𝐾 + 𝐽)))
91	89, 90	sylibrd 258	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 → 0 ≤ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁)))
92	80, 82, 85, 91	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁)) → (¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 → 0 ≤ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁)))
93	81, 79	anim12ci 614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁)) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ))
94	83, 83	jca 512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
95	94	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
96	95	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
97		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝐽 < 𝑁)
98		simp3 1138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 < 𝑁)
99	97, 98	anim12ci 614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁)) → (𝐾 < 𝑁 ∧ 𝐽 < 𝑁))
100	93, 96, 99	jca31 515	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁)) → (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) ∧ (𝐾 < 𝑁 ∧ 𝐽 < 𝑁)))
101		lt2add 11695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → ((𝐾 < 𝑁 ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝐾 + 𝐽) < (𝑁 + 𝑁)))
102	101	imp 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) ∧ (𝐾 < 𝑁 ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝐾 + 𝐽) < (𝑁 + 𝑁))
103	100, 102	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁)) → (𝐾 + 𝐽) < (𝑁 + 𝑁))
104	79, 81, 6	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁)) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℝ)
105		ltsubadd 11680	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) < 𝑁 ↔ (𝐾 + 𝐽) < (𝑁 + 𝑁)))
106	104, 85, 85, 105	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁)) → (((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) < 𝑁 ↔ (𝐾 + 𝐽) < (𝑁 + 𝑁)))
107	103, 106	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁)) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) < 𝑁)
108	92, 107	jctird 527	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁)) → (¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 → (0 ≤ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∧ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) < 𝑁)))
109	108	ex 413	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 → (0 ≤ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∧ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) < 𝑁))))
110	14, 109	biimtrid 241	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → (¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 → (0 ≤ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∧ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) < 𝑁))))
111	110	3adant2 1131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → (¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 → (0 ≤ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∧ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) < 𝑁))))
112	1, 111	sylbi 216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → (¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 → (0 ≤ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∧ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) < 𝑁))))
113	112	imp 407	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 → (0 ≤ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∧ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) < 𝑁)))
114	113	impcom 408	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → (0 ≤ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∧ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) < 𝑁))
115	73, 77, 114	jca31 515	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → ((((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∧ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) < 𝑁)))
116		modid 13857	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∧ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) < 𝑁)) → (((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) mod 𝑁) = ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁))
117	115, 116	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → (((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) mod 𝑁) = ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁))
118	66, 117	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → (((𝐾 + 𝐽) + (-1 · 𝑁)) mod 𝑁) = ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁))
119	118	eqcomd 2738	. . . . 5 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) = (((𝐾 + 𝐽) + (-1 · 𝑁)) mod 𝑁))
120	1, 9	sylbi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ+)
121	120	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ+)
122		neg1z 12594	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℤ
123	122	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → -1 ∈ ℤ)
124		modcyc 13867	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+ ∧ -1 ∈ ℤ) → (((𝐾 + 𝐽) + (-1 · 𝑁)) mod 𝑁) = ((𝐾 + 𝐽) mod 𝑁))
125	69, 121, 123, 124	syl2an23an 1423	. . . . 5 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → (((𝐾 + 𝐽) + (-1 · 𝑁)) mod 𝑁) = ((𝐾 + 𝐽) mod 𝑁))
126	119, 125	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) = ((𝐾 + 𝐽) mod 𝑁))
127	126	eqcomd 2738	. . 3 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝐾 + 𝐽) mod 𝑁) = ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁))
128	52	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
129	59, 128	zsubcld 12667	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ℤ)
130	129	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ℤ)
131	3	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
132	35	zred 12662	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℝ)
133	132	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐽 ∈ ℝ)
134	90	biimprd 247	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑁 ≤ (𝐾 + 𝐽) → 0 ≤ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁)))
135	88, 134	sylbird 259	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 → 0 ≤ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁)))
136	131, 133, 71, 135	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 → 0 ≤ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁)))
137	136	impcom 408	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → 0 ≤ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁))
138		elnn0z 12567	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ℕ0 ↔ (((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁)))
139	130, 137, 138	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ℕ0)
140	28	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
141	100	expcom 414	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁) → (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) ∧ (𝐾 < 𝑁 ∧ 𝐽 < 𝑁))))
142	14, 141	sylbi 216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁) → (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) ∧ (𝐾 < 𝑁 ∧ 𝐽 < 𝑁))))
143	142	com12 32	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) ∧ (𝐾 < 𝑁 ∧ 𝐽 < 𝑁))))
144	143	3adant2 1131	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) ∧ (𝐾 < 𝑁 ∧ 𝐽 < 𝑁))))
145	1, 144	sylbi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) ∧ (𝐾 < 𝑁 ∧ 𝐽 < 𝑁))))
146	145	imp 407	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) ∧ (𝐾 < 𝑁 ∧ 𝐽 < 𝑁)))
147	146, 102	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐾 + 𝐽) < (𝑁 + 𝑁))
148	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐽 ∈ ℝ)
149	3, 148, 6	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℝ)
150	83	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
151	150	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
152	149, 151, 151	3jca 1128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐾 + 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
153	152	ex 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → ((𝐾 + 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)))
154	153	3adant3 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → ((𝐾 + 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)))
155	1, 154	sylbi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → ((𝐾 + 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)))
156	155	imp 407	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐾 + 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
157	156, 105	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) < 𝑁 ↔ (𝐾 + 𝐽) < (𝑁 + 𝑁)))
158	147, 157	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) < 𝑁)
159	158	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) < 𝑁)
160		elfzo0 13669	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ (0..^𝑁) ↔ (((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) < 𝑁))
161	139, 140, 159, 160	syl3anbrc 1343	. . . 4 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
162		nncn 12216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℂ)
163		nncn 12216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
164		subcl 11455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐾 − 𝑁) ∈ ℂ)
165	162, 163, 164	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 − 𝑁) ∈ ℂ)
166	165	3adant3 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 − 𝑁) ∈ ℂ)
167	14, 166	sylbi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → (𝐾 − 𝑁) ∈ ℂ)
168	167	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐾 − 𝑁) ∈ ℂ)
169	168	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → (𝐾 − 𝑁) ∈ ℂ)
170		0cnd 11203	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → 0 ∈ ℂ)
171	37	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → 𝐽 ∈ ℂ)
172		elfzoel2 13627	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
173	172	zcnd 12663	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
174	79, 98	ltned 11346	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 ≠ 𝑁)
175	14, 174	sylbi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → 𝐾 ≠ 𝑁)
176	32, 173, 175	subne0d 11576	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → (𝐾 − 𝑁) ≠ 0)
177	176	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐾 − 𝑁) ≠ 0)
178	177	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → (𝐾 − 𝑁) ≠ 0)
179	169, 170, 171, 178	addneintr2d 11418	. . . . 5 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝐾 − 𝑁) + 𝐽) ≠ (0 + 𝐽))
180	33, 37, 54	3jca 1128	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
181	180	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
182		addsub 11467	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) = ((𝐾 − 𝑁) + 𝐽))
183	181, 182	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) = ((𝐾 − 𝑁) + 𝐽))
184	171, 45	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → (0 + 𝐽) = 𝐽)
185	184	eqcomd 2738	. . . . 5 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → 𝐽 = (0 + 𝐽))
186	179, 183, 185	3netr4d 3018	. . . 4 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ≠ 𝐽)
187		eldifsn 4789	. . . 4 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) ↔ (((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ (0..^𝑁) ∧ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ≠ 𝐽))
188	161, 186, 187	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))
189	127, 188	eqeltrd 2833	. 2 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝐾 + 𝐽) mod 𝑁) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))
190	51, 189	pm2.61ian 810	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐾 + 𝐽) mod 𝑁) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940   ∖ cdif 3944  {csn 4627   class class class wbr 5147  (class class class)co 7405  ℂcc 11104  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111   < clt 11244   ≤ cle 11245   − cmin 11440  -cneg 11441  ℕcn 12208  ℕ₀cn0 12468  ℤcz 12554  ℝ⁺crp 12970  ..^cfzo 13623   mod cmo 13830

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831

This theorem is referenced by:  cshimadifsn  14776