MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modsumfzodifsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modsumfzodifsn 13933
Description: The sum of a number within a half-open range of positive integers is an element of the corresponding open range of nonnegative integers with one excluded integer modulo the excluded integer. (Contributed by AV, 19-Mar-2021.)
Assertion
Ref Expression
modsumfzodifsn ((๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘)) โ†’ ((๐พ + ๐ฝ) mod ๐‘) โˆˆ ((0..^๐‘) โˆ– {๐ฝ}))

Proof of Theorem modsumfzodifsn
StepHypRef Expression
1 elfzo0 13697 . . . . . 6 (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โ†” (๐ฝ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ฝ < ๐‘))
2 elfzoelz 13656 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ (1..^๐‘) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
32zred 12688 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ (1..^๐‘) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
4 nn0re 12503 . . . . . . . . 9 (๐ฝ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„)
543ad2ant1 1131 . . . . . . . 8 ((๐ฝ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ฝ < ๐‘) โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„)
6 readdcl 11213 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„) โ†’ (๐พ + ๐ฝ) โˆˆ โ„)
73, 5, 6syl2anr 596 . . . . . . 7 (((๐ฝ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ฝ < ๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘)) โ†’ (๐พ + ๐ฝ) โˆˆ โ„)
8 nnrp 13009 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
983ad2ant2 1132 . . . . . . . 8 ((๐ฝ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ฝ < ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
109adantr 480 . . . . . . 7 (((๐ฝ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ฝ < ๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
117, 10jca 511 . . . . . 6 (((๐ฝ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ฝ < ๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘)) โ†’ ((๐พ + ๐ฝ) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+))
121, 11sylanb 580 . . . . 5 ((๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘)) โ†’ ((๐พ + ๐ฝ) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+))
1312adantl 481 . . . 4 (((๐พ + ๐ฝ) < ๐‘ โˆง (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘))) โ†’ ((๐พ + ๐ฝ) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+))
14 elfzo1 13706 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ (1..^๐‘) โ†” (๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ < ๐‘))
15 nnnn0 12501 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
16153ad2ant1 1131 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ < ๐‘) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
1714, 16sylbi 216 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (1..^๐‘) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
18 elfzonn0 13701 . . . . . . 7 (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„•0)
19 nn0addcl 12529 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐พ + ๐ฝ) โˆˆ โ„•0)
2017, 18, 19syl2anr 596 . . . . . 6 ((๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘)) โ†’ (๐พ + ๐ฝ) โˆˆ โ„•0)
2120adantl 481 . . . . 5 (((๐พ + ๐ฝ) < ๐‘ โˆง (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘))) โ†’ (๐พ + ๐ฝ) โˆˆ โ„•0)
2221nn0ge0d 12557 . . . 4 (((๐พ + ๐ฝ) < ๐‘ โˆง (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘))) โ†’ 0 โ‰ค (๐พ + ๐ฝ))
23 simpl 482 . . . 4 (((๐พ + ๐ฝ) < ๐‘ โˆง (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘))) โ†’ (๐พ + ๐ฝ) < ๐‘)
24 modid 13885 . . . 4 ((((๐พ + ๐ฝ) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค (๐พ + ๐ฝ) โˆง (๐พ + ๐ฝ) < ๐‘)) โ†’ ((๐พ + ๐ฝ) mod ๐‘) = (๐พ + ๐ฝ))
2513, 22, 23, 24syl12anc 836 . . 3 (((๐พ + ๐ฝ) < ๐‘ โˆง (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘))) โ†’ ((๐พ + ๐ฝ) mod ๐‘) = (๐พ + ๐ฝ))
26 simp2 1135 . . . . . . . 8 ((๐ฝ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ฝ < ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
271, 26sylbi 216 . . . . . . 7 (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
2827adantr 480 . . . . . 6 ((๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
2928adantl 481 . . . . 5 (((๐พ + ๐ฝ) < ๐‘ โˆง (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
30 elfzo0 13697 . . . . 5 ((๐พ + ๐ฝ) โˆˆ (0..^๐‘) โ†” ((๐พ + ๐ฝ) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐พ + ๐ฝ) < ๐‘))
3121, 29, 23, 30syl3anbrc 1341 . . . 4 (((๐พ + ๐ฝ) < ๐‘ โˆง (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘))) โ†’ (๐พ + ๐ฝ) โˆˆ (0..^๐‘))
322zcnd 12689 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ (1..^๐‘) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
3332adantl 481 . . . . . . 7 ((๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘)) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
34 0cnd 11229 . . . . . . 7 ((๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘)) โ†’ 0 โˆˆ โ„‚)
35 elfzoelz 13656 . . . . . . . . 9 (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„ค)
3635zcnd 12689 . . . . . . . 8 (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„‚)
3736adantr 480 . . . . . . 7 ((๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘)) โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„‚)
38 nnne0 12268 . . . . . . . . . 10 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โ‰  0)
39383ad2ant1 1131 . . . . . . . . 9 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ < ๐‘) โ†’ ๐พ โ‰  0)
4014, 39sylbi 216 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ (1..^๐‘) โ†’ ๐พ โ‰  0)
4140adantl 481 . . . . . . 7 ((๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘)) โ†’ ๐พ โ‰  0)
4233, 34, 37, 41addneintr2d 11444 . . . . . 6 ((๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘)) โ†’ (๐พ + ๐ฝ) โ‰  (0 + ๐ฝ))
4342adantl 481 . . . . 5 (((๐พ + ๐ฝ) < ๐‘ โˆง (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘))) โ†’ (๐พ + ๐ฝ) โ‰  (0 + ๐ฝ))
4437adantl 481 . . . . . 6 (((๐พ + ๐ฝ) < ๐‘ โˆง (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘))) โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„‚)
45 addlid 11419 . . . . . . 7 (๐ฝ โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 + ๐ฝ) = ๐ฝ)
4645eqcomd 2733 . . . . . 6 (๐ฝ โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐ฝ = (0 + ๐ฝ))
4744, 46syl 17 . . . . 5 (((๐พ + ๐ฝ) < ๐‘ โˆง (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘))) โ†’ ๐ฝ = (0 + ๐ฝ))
4843, 47neeqtrrd 3010 . . . 4 (((๐พ + ๐ฝ) < ๐‘ โˆง (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘))) โ†’ (๐พ + ๐ฝ) โ‰  ๐ฝ)
49 eldifsn 4786 . . . 4 ((๐พ + ๐ฝ) โˆˆ ((0..^๐‘) โˆ– {๐ฝ}) โ†” ((๐พ + ๐ฝ) โˆˆ (0..^๐‘) โˆง (๐พ + ๐ฝ) โ‰  ๐ฝ))
5031, 48, 49sylanbrc 582 . . 3 (((๐พ + ๐ฝ) < ๐‘ โˆง (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘))) โ†’ (๐พ + ๐ฝ) โˆˆ ((0..^๐‘) โˆ– {๐ฝ}))
5125, 50eqeltrd 2828 . 2 (((๐พ + ๐ฝ) < ๐‘ โˆง (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘))) โ†’ ((๐พ + ๐ฝ) mod ๐‘) โˆˆ ((0..^๐‘) โˆ– {๐ฝ}))
52 elfzoel2 13655 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
5352zcnd 12689 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
5453adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
5554adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((ยฌ (๐พ + ๐ฝ) < ๐‘ โˆง (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
5655mulm1d 11688 . . . . . . . . . 10 ((ยฌ (๐พ + ๐ฝ) < ๐‘ โˆง (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘))) โ†’ (-1 ยท ๐‘) = -๐‘)
5756oveq2d 7430 . . . . . . . . 9 ((ยฌ (๐พ + ๐ฝ) < ๐‘ โˆง (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘))) โ†’ ((๐พ + ๐ฝ) + (-1 ยท ๐‘)) = ((๐พ + ๐ฝ) + -๐‘))
58 zaddcl 12624 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ + ๐ฝ) โˆˆ โ„ค)
592, 35, 58syl2anr 596 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘)) โ†’ (๐พ + ๐ฝ) โˆˆ โ„ค)
6059zcnd 12689 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘)) โ†’ (๐พ + ๐ฝ) โˆˆ โ„‚)
6160, 54jca 511 . . . . . . . . . . 11 ((๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘)) โ†’ ((๐พ + ๐ฝ) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚))
6261adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((ยฌ (๐พ + ๐ฝ) < ๐‘ โˆง (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘))) โ†’ ((๐พ + ๐ฝ) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚))
63 negsub 11530 . . . . . . . . . 10 (((๐พ + ๐ฝ) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐พ + ๐ฝ) + -๐‘) = ((๐พ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘))
6462, 63syl 17 . . . . . . . . 9 ((ยฌ (๐พ + ๐ฝ) < ๐‘ โˆง (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘))) โ†’ ((๐พ + ๐ฝ) + -๐‘) = ((๐พ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘))
6557, 64eqtrd 2767 . . . . . . . 8 ((ยฌ (๐พ + ๐ฝ) < ๐‘ โˆง (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘))) โ†’ ((๐พ + ๐ฝ) + (-1 ยท ๐‘)) = ((๐พ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘))
6665oveq1d 7429 . . . . . . 7 ((ยฌ (๐พ + ๐ฝ) < ๐‘ โˆง (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘))) โ†’ (((๐พ + ๐ฝ) + (-1 ยท ๐‘)) mod ๐‘) = (((๐พ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘) mod ๐‘))
672, 35, 58syl2an 595 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐พ โˆˆ (1..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (๐พ + ๐ฝ) โˆˆ โ„ค)
6867zred 12688 . . . . . . . . . . . 12 ((๐พ โˆˆ (1..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (๐พ + ๐ฝ) โˆˆ โ„)
6968ancoms 458 . . . . . . . . . . 11 ((๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘)) โ†’ (๐พ + ๐ฝ) โˆˆ โ„)
7052zred 12688 . . . . . . . . . . . 12 (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
7170adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
7269, 71resubcld 11664 . . . . . . . . . 10 ((๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘)) โ†’ ((๐พ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„)
7372adantl 481 . . . . . . . . 9 ((ยฌ (๐พ + ๐ฝ) < ๐‘ โˆง (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘))) โ†’ ((๐พ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„)
7426nnrpd 13038 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ฝ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ฝ < ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
751, 74sylbi 216 . . . . . . . . . . 11 (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
7675adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
7776adantl 481 . . . . . . . . 9 ((ยฌ (๐พ + ๐ฝ) < ๐‘ โˆง (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
78 nnre 12241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
79783ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ < ๐‘) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
8079adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ฝ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ฝ < ๐‘) โˆง (๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ < ๐‘)) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
814adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ฝ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ฝ < ๐‘) โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„)
8281adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ฝ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ฝ < ๐‘) โˆง (๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ < ๐‘)) โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„)
83 nnre 12241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
84833ad2ant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ < ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
8584adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ฝ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ฝ < ๐‘) โˆง (๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ < ๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
86 simp3 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
8763adant3 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (๐พ + ๐ฝ) โˆˆ โ„)
8886, 87lenltd 11382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ โ‰ค (๐พ + ๐ฝ) โ†” ยฌ (๐พ + ๐ฝ) < ๐‘))
8988biimprd 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (ยฌ (๐พ + ๐ฝ) < ๐‘ โ†’ ๐‘ โ‰ค (๐พ + ๐ฝ)))
9087, 86subge0d 11826 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค ((๐พ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘) โ†” ๐‘ โ‰ค (๐พ + ๐ฝ)))
9189, 90sylibrd 259 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (ยฌ (๐พ + ๐ฝ) < ๐‘ โ†’ 0 โ‰ค ((๐พ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘)))
9280, 82, 85, 91syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ฝ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ฝ < ๐‘) โˆง (๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ < ๐‘)) โ†’ (ยฌ (๐พ + ๐ฝ) < ๐‘ โ†’ 0 โ‰ค ((๐พ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘)))
9381, 79anim12ci 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐ฝ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ฝ < ๐‘) โˆง (๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ < ๐‘)) โ†’ (๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„))
9483, 83jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„))
95943ad2ant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ < ๐‘) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„))
9695adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐ฝ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ฝ < ๐‘) โˆง (๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ < ๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„))
97 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐ฝ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ฝ < ๐‘) โ†’ ๐ฝ < ๐‘)
98 simp3 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ < ๐‘) โ†’ ๐พ < ๐‘)
9997, 98anim12ci 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐ฝ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ฝ < ๐‘) โˆง (๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ < ๐‘)) โ†’ (๐พ < ๐‘ โˆง ๐ฝ < ๐‘))
10093, 96, 99jca31 514 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐ฝ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ฝ < ๐‘) โˆง (๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ < ๐‘)) โ†’ (((๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„)) โˆง (๐พ < ๐‘ โˆง ๐ฝ < ๐‘)))
101 lt2add 11721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐พ < ๐‘ โˆง ๐ฝ < ๐‘) โ†’ (๐พ + ๐ฝ) < (๐‘ + ๐‘)))
102101imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„)) โˆง (๐พ < ๐‘ โˆง ๐ฝ < ๐‘)) โ†’ (๐พ + ๐ฝ) < (๐‘ + ๐‘))
103100, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ฝ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ฝ < ๐‘) โˆง (๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ < ๐‘)) โ†’ (๐พ + ๐ฝ) < (๐‘ + ๐‘))
10479, 81, 6syl2anr 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐ฝ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ฝ < ๐‘) โˆง (๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ < ๐‘)) โ†’ (๐พ + ๐ฝ) โˆˆ โ„)
105 ltsubadd 11706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐พ + ๐ฝ) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (((๐พ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘) < ๐‘ โ†” (๐พ + ๐ฝ) < (๐‘ + ๐‘)))
106104, 85, 85, 105syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ฝ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ฝ < ๐‘) โˆง (๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ < ๐‘)) โ†’ (((๐พ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘) < ๐‘ โ†” (๐พ + ๐ฝ) < (๐‘ + ๐‘)))
107103, 106mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ฝ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ฝ < ๐‘) โˆง (๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ < ๐‘)) โ†’ ((๐พ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘) < ๐‘)
10892, 107jctird 526 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ฝ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ฝ < ๐‘) โˆง (๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ < ๐‘)) โ†’ (ยฌ (๐พ + ๐ฝ) < ๐‘ โ†’ (0 โ‰ค ((๐พ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘) โˆง ((๐พ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘) < ๐‘)))
109108ex 412 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ฝ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ฝ < ๐‘) โ†’ ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ < ๐‘) โ†’ (ยฌ (๐พ + ๐ฝ) < ๐‘ โ†’ (0 โ‰ค ((๐พ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘) โˆง ((๐พ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘) < ๐‘))))
11014, 109biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ฝ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ฝ < ๐‘) โ†’ (๐พ โˆˆ (1..^๐‘) โ†’ (ยฌ (๐พ + ๐ฝ) < ๐‘ โ†’ (0 โ‰ค ((๐พ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘) โˆง ((๐พ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘) < ๐‘))))
1111103adant2 1129 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ฝ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ฝ < ๐‘) โ†’ (๐พ โˆˆ (1..^๐‘) โ†’ (ยฌ (๐พ + ๐ฝ) < ๐‘ โ†’ (0 โ‰ค ((๐พ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘) โˆง ((๐พ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘) < ๐‘))))
1121, 111sylbi 216 . . . . . . . . . . 11 (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ (๐พ โˆˆ (1..^๐‘) โ†’ (ยฌ (๐พ + ๐ฝ) < ๐‘ โ†’ (0 โ‰ค ((๐พ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘) โˆง ((๐พ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘) < ๐‘))))
113112imp 406 . . . . . . . . . 10 ((๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘)) โ†’ (ยฌ (๐พ + ๐ฝ) < ๐‘ โ†’ (0 โ‰ค ((๐พ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘) โˆง ((๐พ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘) < ๐‘)))
114113impcom 407 . . . . . . . . 9 ((ยฌ (๐พ + ๐ฝ) < ๐‘ โˆง (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘))) โ†’ (0 โ‰ค ((๐พ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘) โˆง ((๐พ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘) < ๐‘))
11573, 77, 114jca31 514 . . . . . . . 8 ((ยฌ (๐พ + ๐ฝ) < ๐‘ โˆง (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘))) โ†’ ((((๐พ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ((๐พ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘) โˆง ((๐พ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘) < ๐‘)))
116 modid 13885 . . . . . . . 8 (((((๐พ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ((๐พ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘) โˆง ((๐พ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘) < ๐‘)) โ†’ (((๐พ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘) mod ๐‘) = ((๐พ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘))
117115, 116syl 17 . . . . . . 7 ((ยฌ (๐พ + ๐ฝ) < ๐‘ โˆง (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘))) โ†’ (((๐พ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘) mod ๐‘) = ((๐พ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘))
11866, 117eqtrd 2767 . . . . . 6 ((ยฌ (๐พ + ๐ฝ) < ๐‘ โˆง (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘))) โ†’ (((๐พ + ๐ฝ) + (-1 ยท ๐‘)) mod ๐‘) = ((๐พ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘))
119118eqcomd 2733 . . . . 5 ((ยฌ (๐พ + ๐ฝ) < ๐‘ โˆง (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘))) โ†’ ((๐พ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘) = (((๐พ + ๐ฝ) + (-1 ยท ๐‘)) mod ๐‘))
1201, 9sylbi 216 . . . . . . 7 (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
121120adantr 480 . . . . . 6 ((๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
122 neg1z 12620 . . . . . . 7 -1 โˆˆ โ„ค
123122a1i 11 . . . . . 6 ((ยฌ (๐พ + ๐ฝ) < ๐‘ โˆง (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘))) โ†’ -1 โˆˆ โ„ค)
124 modcyc 13895 . . . . . 6 (((๐พ + ๐ฝ) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+ โˆง -1 โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐พ + ๐ฝ) + (-1 ยท ๐‘)) mod ๐‘) = ((๐พ + ๐ฝ) mod ๐‘))
12569, 121, 123, 124syl2an23an 1421 . . . . 5 ((ยฌ (๐พ + ๐ฝ) < ๐‘ โˆง (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘))) โ†’ (((๐พ + ๐ฝ) + (-1 ยท ๐‘)) mod ๐‘) = ((๐พ + ๐ฝ) mod ๐‘))
126119, 125eqtrd 2767 . . . 4 ((ยฌ (๐พ + ๐ฝ) < ๐‘ โˆง (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘))) โ†’ ((๐พ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘) = ((๐พ + ๐ฝ) mod ๐‘))
127126eqcomd 2733 . . 3 ((ยฌ (๐พ + ๐ฝ) < ๐‘ โˆง (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘))) โ†’ ((๐พ + ๐ฝ) mod ๐‘) = ((๐พ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘))
12852adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
12959, 128zsubcld 12693 . . . . . . 7 ((๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘)) โ†’ ((๐พ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„ค)
130129adantl 481 . . . . . 6 ((ยฌ (๐พ + ๐ฝ) < ๐‘ โˆง (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘))) โ†’ ((๐พ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„ค)
1313adantl 481 . . . . . . . 8 ((๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘)) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
13235zred 12688 . . . . . . . . 9 (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„)
133132adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘)) โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„)
13490biimprd 247 . . . . . . . . 9 ((๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ โ‰ค (๐พ + ๐ฝ) โ†’ 0 โ‰ค ((๐พ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘)))
13588, 134sylbird 260 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (ยฌ (๐พ + ๐ฝ) < ๐‘ โ†’ 0 โ‰ค ((๐พ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘)))
136131, 133, 71, 135syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘)) โ†’ (ยฌ (๐พ + ๐ฝ) < ๐‘ โ†’ 0 โ‰ค ((๐พ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘)))
137136impcom 407 . . . . . 6 ((ยฌ (๐พ + ๐ฝ) < ๐‘ โˆง (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘))) โ†’ 0 โ‰ค ((๐พ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘))
138 elnn0z 12593 . . . . . 6 (((๐พ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„•0 โ†” (((๐พ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค ((๐พ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘)))
139130, 137, 138sylanbrc 582 . . . . 5 ((ยฌ (๐พ + ๐ฝ) < ๐‘ โˆง (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘))) โ†’ ((๐พ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„•0)
14028adantl 481 . . . . 5 ((ยฌ (๐พ + ๐ฝ) < ๐‘ โˆง (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
141100expcom 413 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ < ๐‘) โ†’ ((๐ฝ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ฝ < ๐‘) โ†’ (((๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„)) โˆง (๐พ < ๐‘ โˆง ๐ฝ < ๐‘))))
14214, 141sylbi 216 . . . . . . . . . . . 12 (๐พ โˆˆ (1..^๐‘) โ†’ ((๐ฝ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ฝ < ๐‘) โ†’ (((๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„)) โˆง (๐พ < ๐‘ โˆง ๐ฝ < ๐‘))))
143142com12 32 . . . . . . . . . . 11 ((๐ฝ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ฝ < ๐‘) โ†’ (๐พ โˆˆ (1..^๐‘) โ†’ (((๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„)) โˆง (๐พ < ๐‘ โˆง ๐ฝ < ๐‘))))
1441433adant2 1129 . . . . . . . . . 10 ((๐ฝ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ฝ < ๐‘) โ†’ (๐พ โˆˆ (1..^๐‘) โ†’ (((๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„)) โˆง (๐พ < ๐‘ โˆง ๐ฝ < ๐‘))))
1451, 144sylbi 216 . . . . . . . . 9 (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ (๐พ โˆˆ (1..^๐‘) โ†’ (((๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„)) โˆง (๐พ < ๐‘ โˆง ๐ฝ < ๐‘))))
146145imp 406 . . . . . . . 8 ((๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘)) โ†’ (((๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„)) โˆง (๐พ < ๐‘ โˆง ๐ฝ < ๐‘)))
147146, 102syl 17 . . . . . . 7 ((๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘)) โ†’ (๐พ + ๐ฝ) < (๐‘ + ๐‘))
1484adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ฝ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„)
1493, 148, 6syl2anr 596 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ฝ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘)) โ†’ (๐พ + ๐ฝ) โˆˆ โ„)
15083adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ฝ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
151150adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ฝ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
152149, 151, 1513jca 1126 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ฝ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘)) โ†’ ((๐พ + ๐ฝ) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„))
153152ex 412 . . . . . . . . . . 11 ((๐ฝ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐พ โˆˆ (1..^๐‘) โ†’ ((๐พ + ๐ฝ) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„)))
1541533adant3 1130 . . . . . . . . . 10 ((๐ฝ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ฝ < ๐‘) โ†’ (๐พ โˆˆ (1..^๐‘) โ†’ ((๐พ + ๐ฝ) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„)))
1551, 154sylbi 216 . . . . . . . . 9 (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ (๐พ โˆˆ (1..^๐‘) โ†’ ((๐พ + ๐ฝ) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„)))
156155imp 406 . . . . . . . 8 ((๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘)) โ†’ ((๐พ + ๐ฝ) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„))
157156, 105syl 17 . . . . . . 7 ((๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘)) โ†’ (((๐พ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘) < ๐‘ โ†” (๐พ + ๐ฝ) < (๐‘ + ๐‘)))
158147, 157mpbird 257 . . . . . 6 ((๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘)) โ†’ ((๐พ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘) < ๐‘)
159158adantl 481 . . . . 5 ((ยฌ (๐พ + ๐ฝ) < ๐‘ โˆง (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘))) โ†’ ((๐พ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘) < ๐‘)
160 elfzo0 13697 . . . . 5 (((๐พ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘) โˆˆ (0..^๐‘) โ†” (((๐พ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐พ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘) < ๐‘))
161139, 140, 159, 160syl3anbrc 1341 . . . 4 ((ยฌ (๐พ + ๐ฝ) < ๐‘ โˆง (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘))) โ†’ ((๐พ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘) โˆˆ (0..^๐‘))
162 nncn 12242 . . . . . . . . . . 11 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
163 nncn 12242 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
164 subcl 11481 . . . . . . . . . . 11 ((๐พ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐พ โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„‚)
165162, 163, 164syl2an 595 . . . . . . . . . 10 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐พ โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„‚)
1661653adant3 1130 . . . . . . . . 9 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ < ๐‘) โ†’ (๐พ โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„‚)
16714, 166sylbi 216 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ (1..^๐‘) โ†’ (๐พ โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„‚)
168167adantl 481 . . . . . . 7 ((๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘)) โ†’ (๐พ โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„‚)
169168adantl 481 . . . . . 6 ((ยฌ (๐พ + ๐ฝ) < ๐‘ โˆง (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘))) โ†’ (๐พ โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„‚)
170 0cnd 11229 . . . . . 6 ((ยฌ (๐พ + ๐ฝ) < ๐‘ โˆง (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘))) โ†’ 0 โˆˆ โ„‚)
17137adantl 481 . . . . . 6 ((ยฌ (๐พ + ๐ฝ) < ๐‘ โˆง (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘))) โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„‚)
172 elfzoel2 13655 . . . . . . . . . 10 (๐พ โˆˆ (1..^๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
173172zcnd 12689 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ (1..^๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
17479, 98ltned 11372 . . . . . . . . . 10 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ < ๐‘) โ†’ ๐พ โ‰  ๐‘)
17514, 174sylbi 216 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ (1..^๐‘) โ†’ ๐พ โ‰  ๐‘)
17632, 173, 175subne0d 11602 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ (1..^๐‘) โ†’ (๐พ โˆ’ ๐‘) โ‰  0)
177176adantl 481 . . . . . . 7 ((๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘)) โ†’ (๐พ โˆ’ ๐‘) โ‰  0)
178177adantl 481 . . . . . 6 ((ยฌ (๐พ + ๐ฝ) < ๐‘ โˆง (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘))) โ†’ (๐พ โˆ’ ๐‘) โ‰  0)
179169, 170, 171, 178addneintr2d 11444 . . . . 5 ((ยฌ (๐พ + ๐ฝ) < ๐‘ โˆง (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘))) โ†’ ((๐พ โˆ’ ๐‘) + ๐ฝ) โ‰  (0 + ๐ฝ))
18033, 37, 543jca 1126 . . . . . . 7 ((๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘)) โ†’ (๐พ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚))
181180adantl 481 . . . . . 6 ((ยฌ (๐พ + ๐ฝ) < ๐‘ โˆง (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘))) โ†’ (๐พ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚))
182 addsub 11493 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐พ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘) = ((๐พ โˆ’ ๐‘) + ๐ฝ))
183181, 182syl 17 . . . . 5 ((ยฌ (๐พ + ๐ฝ) < ๐‘ โˆง (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘))) โ†’ ((๐พ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘) = ((๐พ โˆ’ ๐‘) + ๐ฝ))
184171, 45syl 17 . . . . . 6 ((ยฌ (๐พ + ๐ฝ) < ๐‘ โˆง (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘))) โ†’ (0 + ๐ฝ) = ๐ฝ)
185184eqcomd 2733 . . . . 5 ((ยฌ (๐พ + ๐ฝ) < ๐‘ โˆง (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘))) โ†’ ๐ฝ = (0 + ๐ฝ))
186179, 183, 1853netr4d 3013 . . . 4 ((ยฌ (๐พ + ๐ฝ) < ๐‘ โˆง (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘))) โ†’ ((๐พ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘) โ‰  ๐ฝ)
187 eldifsn 4786 . . . 4 (((๐พ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘) โˆˆ ((0..^๐‘) โˆ– {๐ฝ}) โ†” (((๐พ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘) โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ((๐พ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘) โ‰  ๐ฝ))
188161, 186, 187sylanbrc 582 . . 3 ((ยฌ (๐พ + ๐ฝ) < ๐‘ โˆง (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘))) โ†’ ((๐พ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘) โˆˆ ((0..^๐‘) โˆ– {๐ฝ}))
189127, 188eqeltrd 2828 . 2 ((ยฌ (๐พ + ๐ฝ) < ๐‘ โˆง (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘))) โ†’ ((๐พ + ๐ฝ) mod ๐‘) โˆˆ ((0..^๐‘) โˆ– {๐ฝ}))
19051, 189pm2.61ian 811 1 ((๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐พ โˆˆ (1..^๐‘)) โ†’ ((๐พ + ๐ฝ) mod ๐‘) โˆˆ ((0..^๐‘) โˆ– {๐ฝ}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2935   โˆ– cdif 3941  {csn 4624   class class class wbr 5142  (class class class)co 7414  โ„‚cc 11128  โ„cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   ยท cmul 11135   < clt 11270   โ‰ค cle 11271   โˆ’ cmin 11466  -cneg 11467  โ„•cn 12234  โ„•0cn0 12494  โ„คcz 12580  โ„+crp 12998  ..^cfzo 13651   mod cmo 13858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9457  df-inf 9458  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-mod 13859
This theorem is referenced by:  cshimadifsn  14804
  Copyright terms: Public domain W3C validator