MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgsres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgsres 19771
Description: An initial segment of an extension sequence is an extension sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 3-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
efgred.s 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
Assertion
Ref Expression
efgsres ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ dom 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑚,𝑥   𝑚,𝑀   𝑥,𝑛,𝑀,𝑡,𝑣,𝑤   𝑘,𝑚,𝑡,𝑥,𝑇   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐼,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑚,𝑡
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem efgsres
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . . . . . . 9 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
2 efgval.r . . . . . . . . 9 = ( ~FG𝐼)
3 efgval2.m . . . . . . . . 9 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
4 efgval2.t . . . . . . . . 9 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
5 efgred.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
6 efgred.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
71, 2, 3, 4, 5, 6efgsdm 19763 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))
87simp1bi 1144 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom 𝑆𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
98adantr 480 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → 𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
109eldifad 3975 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → 𝐹 ∈ Word 𝑊)
11 fz1ssfz0 13660 . . . . . 6 (1...(♯‘𝐹)) ⊆ (0...(♯‘𝐹))
12 simpr 484 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹)))
1311, 12sselid 3993 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
14 pfxres 14714 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word 𝑊𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝐹 prefix 𝑁) = (𝐹 ↾ (0..^𝑁)))
1510, 13, 14syl2anc 584 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹 prefix 𝑁) = (𝐹 ↾ (0..^𝑁)))
16 pfxcl 14712 . . . . 5 (𝐹 ∈ Word 𝑊 → (𝐹 prefix 𝑁) ∈ Word 𝑊)
1710, 16syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹 prefix 𝑁) ∈ Word 𝑊)
1815, 17eqeltrrd 2840 . . 3 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ Word 𝑊)
19 pfxlen 14718 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Word 𝑊𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 prefix 𝑁)) = 𝑁)
2010, 13, 19syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 prefix 𝑁)) = 𝑁)
21 elfznn 13590 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹)) → 𝑁 ∈ ℕ)
2221adantl 481 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → 𝑁 ∈ ℕ)
2320, 22eqeltrd 2839 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 prefix 𝑁)) ∈ ℕ)
24 wrdfin 14567 . . . . . 6 ((𝐹 prefix 𝑁) ∈ Word 𝑊 → (𝐹 prefix 𝑁) ∈ Fin)
25 hashnncl 14402 . . . . . 6 ((𝐹 prefix 𝑁) ∈ Fin → ((♯‘(𝐹 prefix 𝑁)) ∈ ℕ ↔ (𝐹 prefix 𝑁) ≠ ∅))
2617, 24, 253syl 18 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → ((♯‘(𝐹 prefix 𝑁)) ∈ ℕ ↔ (𝐹 prefix 𝑁) ≠ ∅))
2723, 26mpbid 232 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹 prefix 𝑁) ≠ ∅)
2815, 27eqnetrrd 3007 . . 3 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ≠ ∅)
29 eldifsn 4791 . . 3 ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ↔ ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ Word 𝑊 ∧ (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ≠ ∅))
3018, 28, 29sylanbrc 583 . 2 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
31 lbfzo0 13736 . . . . 5 (0 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ℕ)
3222, 31sylibr 234 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → 0 ∈ (0..^𝑁))
3332fvresd 6927 . . 3 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → ((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘0) = (𝐹‘0))
347simp2bi 1145 . . . 4 (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝐹‘0) ∈ 𝐷)
3534adantr 480 . . 3 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹‘0) ∈ 𝐷)
3633, 35eqeltrd 2839 . 2 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → ((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘0) ∈ 𝐷)
37 elfzuz3 13558 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ (ℤ𝑁))
3837adantl 481 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (♯‘𝐹) ∈ (ℤ𝑁))
39 fzoss2 13724 . . . . . 6 ((♯‘𝐹) ∈ (ℤ𝑁) → (1..^𝑁) ⊆ (1..^(♯‘𝐹)))
4038, 39syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (1..^𝑁) ⊆ (1..^(♯‘𝐹)))
417simp3bi 1146 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
4241adantr 480 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
43 ssralv 4064 . . . . 5 ((1..^𝑁) ⊆ (1..^(♯‘𝐹)) → (∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑁)(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))
4440, 42, 43sylc 65 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑁)(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
45 fzo0ss1 13726 . . . . . . . 8 (1..^𝑁) ⊆ (0..^𝑁)
4645sseli 3991 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
4746fvresd 6927 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → ((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) = (𝐹𝑖))
48 elfzoel2 13695 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
49 peano2zm 12658 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
51 uzid 12891 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
5248, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
5348zcnd 12721 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
54 ax-1cn 11211 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℂ
55 npcan 11515 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
5653, 54, 55sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
5756fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (ℤ‘((𝑁 − 1) + 1)) = (ℤ𝑁))
5852, 57eleqtrrd 2842 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ‘((𝑁 − 1) + 1)))
59 peano2uzr 12943 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘((𝑁 − 1) + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)))
6050, 58, 59syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)))
61 fzoss2 13724 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
63 elfzo1elm1fzo0 13804 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (𝑖 − 1) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
6462, 63sseldd 3996 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (𝑖 − 1) ∈ (0..^𝑁))
6564fvresd 6927 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → ((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1)) = (𝐹‘(𝑖 − 1)))
6665fveq2d 6911 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1))) = (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
6766rneqd 5952 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1))) = ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
6847, 67eleq12d 2833 . . . . 5 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1))) ↔ (𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))
6968ralbiia 3089 . . . 4 (∀𝑖 ∈ (1..^𝑁)((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1..^𝑁)(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
7044, 69sylibr 234 . . 3 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑁)((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1))))
7115fveq2d 6911 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 prefix 𝑁)) = (♯‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))))
7271, 20eqtr3d 2777 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))) = 𝑁)
7372oveq2d 7447 . . 3 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (1..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁)))) = (1..^𝑁))
7470, 73raleqtrrdv 3328 . 2 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))))((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1))))
751, 2, 3, 4, 5, 6efgsdm 19763 . 2 ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ dom 𝑆 ↔ ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ ((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))))((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1)))))
7630, 36, 74, 75syl3anbrc 1342 1 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ dom 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  {crab 3433  cdif 3960  wss 3963  c0 4339  {csn 4631  cop 4637  cotp 4639   ciun 4996  cmpt 5231   I cid 5582   × cxp 5687  dom cdm 5689  ran crn 5690  cres 5691  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  1oc1o 8498  2oc2o 8499  Fincfn 8984  cc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  cmin 11490  cn 12264  cz 12611  cuz 12876  ...cfz 13544  ..^cfzo 13691  chash 14366  Word cword 14549   prefix cpfx 14705   splice csplice 14784  ⟨“cs2 14877   ~FG cefg 19739
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-substr 14676  df-pfx 14706
This theorem is referenced by:  efgredlemd  19777  efgredlem  19780
  Copyright terms: Public domain W3C validator