MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgsres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgsres 18415
Description: An initial segment of an extension sequence is an extension sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 3-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
efgred.s 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
Assertion
Ref Expression
efgsres ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ dom 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑚,𝑥   𝑚,𝑀   𝑥,𝑛,𝑀,𝑡,𝑣,𝑤   𝑘,𝑚,𝑡,𝑥,𝑇   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐼,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑚,𝑡
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem efgsres
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . . . . . . 9 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
2 efgval.r . . . . . . . . 9 = ( ~FG𝐼)
3 efgval2.m . . . . . . . . 9 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
4 efgval2.t . . . . . . . . 9 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
5 efgred.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
6 efgred.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
71, 2, 3, 4, 5, 6efgsdm 18407 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))
87simp1bi 1175 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom 𝑆𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
98adantr 472 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → 𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
109eldifad 3744 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → 𝐹 ∈ Word 𝑊)
11 fz1ssfz0 12643 . . . . . 6 (1...(♯‘𝐹)) ⊆ (0...(♯‘𝐹))
12 simpr 477 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹)))
1311, 12sseldi 3759 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
14 pfxres 13668 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word 𝑊𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝐹 prefix 𝑁) = (𝐹 ↾ (0..^𝑁)))
1510, 13, 14syl2anc 579 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹 prefix 𝑁) = (𝐹 ↾ (0..^𝑁)))
16 pfxcl 13666 . . . . 5 (𝐹 ∈ Word 𝑊 → (𝐹 prefix 𝑁) ∈ Word 𝑊)
1710, 16syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹 prefix 𝑁) ∈ Word 𝑊)
1815, 17eqeltrrd 2845 . . 3 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ Word 𝑊)
19 pfxlen 13672 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Word 𝑊𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 prefix 𝑁)) = 𝑁)
2010, 13, 19syl2anc 579 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 prefix 𝑁)) = 𝑁)
21 elfznn 12577 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹)) → 𝑁 ∈ ℕ)
2221adantl 473 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → 𝑁 ∈ ℕ)
2320, 22eqeltrd 2844 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 prefix 𝑁)) ∈ ℕ)
24 wrdfin 13504 . . . . . 6 ((𝐹 prefix 𝑁) ∈ Word 𝑊 → (𝐹 prefix 𝑁) ∈ Fin)
25 hashnncl 13359 . . . . . 6 ((𝐹 prefix 𝑁) ∈ Fin → ((♯‘(𝐹 prefix 𝑁)) ∈ ℕ ↔ (𝐹 prefix 𝑁) ≠ ∅))
2617, 24, 253syl 18 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → ((♯‘(𝐹 prefix 𝑁)) ∈ ℕ ↔ (𝐹 prefix 𝑁) ≠ ∅))
2723, 26mpbid 223 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹 prefix 𝑁) ≠ ∅)
2815, 27eqnetrrd 3005 . . 3 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ≠ ∅)
29 eldifsn 4472 . . 3 ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ↔ ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ Word 𝑊 ∧ (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ≠ ∅))
3018, 28, 29sylanbrc 578 . 2 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
31 lbfzo0 12716 . . . . 5 (0 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ℕ)
3222, 31sylibr 225 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → 0 ∈ (0..^𝑁))
3332fvresd 6395 . . 3 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → ((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘0) = (𝐹‘0))
347simp2bi 1176 . . . 4 (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝐹‘0) ∈ 𝐷)
3534adantr 472 . . 3 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹‘0) ∈ 𝐷)
3633, 35eqeltrd 2844 . 2 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → ((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘0) ∈ 𝐷)
37 elfzuz3 12546 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ (ℤ𝑁))
3837adantl 473 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (♯‘𝐹) ∈ (ℤ𝑁))
39 fzoss2 12704 . . . . . 6 ((♯‘𝐹) ∈ (ℤ𝑁) → (1..^𝑁) ⊆ (1..^(♯‘𝐹)))
4038, 39syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (1..^𝑁) ⊆ (1..^(♯‘𝐹)))
417simp3bi 1177 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
4241adantr 472 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
43 ssralv 3826 . . . . 5 ((1..^𝑁) ⊆ (1..^(♯‘𝐹)) → (∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑁)(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))
4440, 42, 43sylc 65 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑁)(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
45 fzo0ss1 12706 . . . . . . . 8 (1..^𝑁) ⊆ (0..^𝑁)
4645sseli 3757 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
4746fvresd 6395 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → ((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) = (𝐹𝑖))
48 elfzoel2 12677 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
49 peano2zm 11667 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
51 uzid 11901 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
5248, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
5348zcnd 11730 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
54 ax-1cn 10247 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℂ
55 npcan 10544 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
5653, 54, 55sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
5756fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (ℤ‘((𝑁 − 1) + 1)) = (ℤ𝑁))
5852, 57eleqtrrd 2847 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ‘((𝑁 − 1) + 1)))
59 peano2uzr 11943 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘((𝑁 − 1) + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)))
6050, 58, 59syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)))
61 fzoss2 12704 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
63 elfzo1elm1fzo0 12777 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (𝑖 − 1) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
6462, 63sseldd 3762 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (𝑖 − 1) ∈ (0..^𝑁))
6564fvresd 6395 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → ((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1)) = (𝐹‘(𝑖 − 1)))
6665fveq2d 6379 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1))) = (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
6766rneqd 5521 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1))) = ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
6847, 67eleq12d 2838 . . . . 5 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1))) ↔ (𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))
6968ralbiia 3126 . . . 4 (∀𝑖 ∈ (1..^𝑁)((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1..^𝑁)(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
7044, 69sylibr 225 . . 3 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑁)((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1))))
7115fveq2d 6379 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 prefix 𝑁)) = (♯‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))))
7271, 20eqtr3d 2801 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))) = 𝑁)
7372oveq2d 6858 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (1..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁)))) = (1..^𝑁))
7473raleqdv 3292 . . 3 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))))((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1..^𝑁)((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1)))))
7570, 74mpbird 248 . 2 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))))((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1))))
761, 2, 3, 4, 5, 6efgsdm 18407 . 2 ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ dom 𝑆 ↔ ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ ((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))))((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1)))))
7730, 36, 75, 76syl3anbrc 1443 1 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ dom 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  {crab 3059  cdif 3729  wss 3732  c0 4079  {csn 4334  cop 4340  cotp 4342   ciun 4676  cmpt 4888   I cid 5184   × cxp 5275  dom cdm 5277  ran crn 5278  cres 5279  cfv 6068  (class class class)co 6842  cmpt2 6844  1𝑜c1o 7757  2𝑜c2o 7758  Fincfn 8160  cc 10187  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192  cmin 10520  cn 11274  cz 11624  cuz 11886  ...cfz 12533  ..^cfzo 12673  chash 13321  Word cword 13486   prefix cpfx 13661   splice csplice 13763  ⟨“cs2 13870   ~FG cefg 18383
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-hash 13322  df-word 13487  df-substr 13617  df-pfx 13662
This theorem is referenced by:  efgredlemd  18422  efgredlem  18425  efgredlemOLD  18426
  Copyright terms: Public domain W3C validator