MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgsres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgsres 19647
Description: An initial segment of an extension sequence is an extension sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 3-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
efgval.r ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣 ∈ π‘Š ↦ (𝑛 ∈ (0...(β™―β€˜π‘£)), 𝑀 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑣 splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œπ‘€(π‘€β€˜π‘€)β€βŸ©βŸ©)))
efgred.d 𝐷 = (π‘Š βˆ– βˆͺ π‘₯ ∈ π‘Š ran (π‘‡β€˜π‘₯))
efgred.s 𝑆 = (π‘š ∈ {𝑑 ∈ (Word π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∣ ((π‘‘β€˜0) ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^(β™―β€˜π‘‘))(π‘‘β€˜π‘˜) ∈ ran (π‘‡β€˜(π‘‘β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))))} ↦ (π‘šβ€˜((β™―β€˜π‘š) βˆ’ 1)))
Assertion
Ref Expression
efgsres ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(β™―β€˜πΉ))) β†’ (𝐹 β†Ύ (0..^𝑁)) ∈ dom 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑑,𝑛,𝑣,𝑀,𝑦,𝑧,π‘š,π‘₯   π‘š,𝑀   π‘₯,𝑛,𝑀,𝑑,𝑣,𝑀   π‘˜,π‘š,𝑑,π‘₯,𝑇   π‘˜,𝑛,𝑣,𝑀,𝑦,𝑧,π‘Š,π‘š,𝑑,π‘₯   ∼ ,π‘š,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘š,𝐼,𝑛,𝑑,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐷,π‘š,𝑑
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,π‘˜,𝑛)   ∼ (𝑀,𝑣,π‘˜,𝑛)   𝑆(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑑,π‘˜,π‘š,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑛)   𝐹(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑑,π‘˜,π‘š,𝑛)   𝐼(π‘˜)   𝑀(𝑦,𝑧,π‘˜)   𝑁(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑑,π‘˜,π‘š,𝑛)

Proof of Theorem efgsres
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . . . . . . 9 π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
2 efgval.r . . . . . . . . 9 ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
3 efgval2.m . . . . . . . . 9 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)⟩)
4 efgval2.t . . . . . . . . 9 𝑇 = (𝑣 ∈ π‘Š ↦ (𝑛 ∈ (0...(β™―β€˜π‘£)), 𝑀 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑣 splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œπ‘€(π‘€β€˜π‘€)β€βŸ©βŸ©)))
5 efgred.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (π‘Š βˆ– βˆͺ π‘₯ ∈ π‘Š ran (π‘‡β€˜π‘₯))
6 efgred.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (π‘š ∈ {𝑑 ∈ (Word π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∣ ((π‘‘β€˜0) ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^(β™―β€˜π‘‘))(π‘‘β€˜π‘˜) ∈ ran (π‘‡β€˜(π‘‘β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))))} ↦ (π‘šβ€˜((β™―β€˜π‘š) βˆ’ 1)))
71, 2, 3, 4, 5, 6efgsdm 19639 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ (Word π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘– ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))(πΉβ€˜π‘–) ∈ ran (π‘‡β€˜(πΉβ€˜(𝑖 βˆ’ 1)))))
87simp1bi 1145 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom 𝑆 β†’ 𝐹 ∈ (Word π‘Š βˆ– {βˆ…}))
98adantr 481 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(β™―β€˜πΉ))) β†’ 𝐹 ∈ (Word π‘Š βˆ– {βˆ…}))
109eldifad 3960 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(β™―β€˜πΉ))) β†’ 𝐹 ∈ Word π‘Š)
11 fz1ssfz0 13601 . . . . . 6 (1...(β™―β€˜πΉ)) βŠ† (0...(β™―β€˜πΉ))
12 simpr 485 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(β™―β€˜πΉ))) β†’ 𝑁 ∈ (1...(β™―β€˜πΉ)))
1311, 12sselid 3980 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(β™―β€˜πΉ))) β†’ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜πΉ)))
14 pfxres 14633 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word π‘Š ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜πΉ))) β†’ (𝐹 prefix 𝑁) = (𝐹 β†Ύ (0..^𝑁)))
1510, 13, 14syl2anc 584 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(β™―β€˜πΉ))) β†’ (𝐹 prefix 𝑁) = (𝐹 β†Ύ (0..^𝑁)))
16 pfxcl 14631 . . . . 5 (𝐹 ∈ Word π‘Š β†’ (𝐹 prefix 𝑁) ∈ Word π‘Š)
1710, 16syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(β™―β€˜πΉ))) β†’ (𝐹 prefix 𝑁) ∈ Word π‘Š)
1815, 17eqeltrrd 2834 . . 3 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(β™―β€˜πΉ))) β†’ (𝐹 β†Ύ (0..^𝑁)) ∈ Word π‘Š)
19 pfxlen 14637 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Word π‘Š ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜πΉ))) β†’ (β™―β€˜(𝐹 prefix 𝑁)) = 𝑁)
2010, 13, 19syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(β™―β€˜πΉ))) β†’ (β™―β€˜(𝐹 prefix 𝑁)) = 𝑁)
21 elfznn 13534 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (1...(β™―β€˜πΉ)) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
2221adantl 482 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(β™―β€˜πΉ))) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
2320, 22eqeltrd 2833 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(β™―β€˜πΉ))) β†’ (β™―β€˜(𝐹 prefix 𝑁)) ∈ β„•)
24 wrdfin 14486 . . . . . 6 ((𝐹 prefix 𝑁) ∈ Word π‘Š β†’ (𝐹 prefix 𝑁) ∈ Fin)
25 hashnncl 14330 . . . . . 6 ((𝐹 prefix 𝑁) ∈ Fin β†’ ((β™―β€˜(𝐹 prefix 𝑁)) ∈ β„• ↔ (𝐹 prefix 𝑁) β‰  βˆ…))
2617, 24, 253syl 18 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((β™―β€˜(𝐹 prefix 𝑁)) ∈ β„• ↔ (𝐹 prefix 𝑁) β‰  βˆ…))
2723, 26mpbid 231 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(β™―β€˜πΉ))) β†’ (𝐹 prefix 𝑁) β‰  βˆ…)
2815, 27eqnetrrd 3009 . . 3 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(β™―β€˜πΉ))) β†’ (𝐹 β†Ύ (0..^𝑁)) β‰  βˆ…)
29 eldifsn 4790 . . 3 ((𝐹 β†Ύ (0..^𝑁)) ∈ (Word π‘Š βˆ– {βˆ…}) ↔ ((𝐹 β†Ύ (0..^𝑁)) ∈ Word π‘Š ∧ (𝐹 β†Ύ (0..^𝑁)) β‰  βˆ…))
3018, 28, 29sylanbrc 583 . 2 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(β™―β€˜πΉ))) β†’ (𝐹 β†Ύ (0..^𝑁)) ∈ (Word π‘Š βˆ– {βˆ…}))
31 lbfzo0 13676 . . . . 5 (0 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ β„•)
3222, 31sylibr 233 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(β™―β€˜πΉ))) β†’ 0 ∈ (0..^𝑁))
3332fvresd 6911 . . 3 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^𝑁))β€˜0) = (πΉβ€˜0))
347simp2bi 1146 . . . 4 (𝐹 ∈ dom 𝑆 β†’ (πΉβ€˜0) ∈ 𝐷)
3534adantr 481 . . 3 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(β™―β€˜πΉ))) β†’ (πΉβ€˜0) ∈ 𝐷)
3633, 35eqeltrd 2833 . 2 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^𝑁))β€˜0) ∈ 𝐷)
37 elfzuz3 13502 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (1...(β™―β€˜πΉ)) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
3837adantl 482 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(β™―β€˜πΉ))) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
39 fzoss2 13664 . . . . . 6 ((β™―β€˜πΉ) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) β†’ (1..^𝑁) βŠ† (1..^(β™―β€˜πΉ)))
4038, 39syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(β™―β€˜πΉ))) β†’ (1..^𝑁) βŠ† (1..^(β™―β€˜πΉ)))
417simp3bi 1147 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom 𝑆 β†’ βˆ€π‘– ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))(πΉβ€˜π‘–) ∈ ran (π‘‡β€˜(πΉβ€˜(𝑖 βˆ’ 1))))
4241adantr 481 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(β™―β€˜πΉ))) β†’ βˆ€π‘– ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))(πΉβ€˜π‘–) ∈ ran (π‘‡β€˜(πΉβ€˜(𝑖 βˆ’ 1))))
43 ssralv 4050 . . . . 5 ((1..^𝑁) βŠ† (1..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))(πΉβ€˜π‘–) ∈ ran (π‘‡β€˜(πΉβ€˜(𝑖 βˆ’ 1))) β†’ βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑁)(πΉβ€˜π‘–) ∈ ran (π‘‡β€˜(πΉβ€˜(𝑖 βˆ’ 1)))))
4440, 42, 43sylc 65 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(β™―β€˜πΉ))) β†’ βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑁)(πΉβ€˜π‘–) ∈ ran (π‘‡β€˜(πΉβ€˜(𝑖 βˆ’ 1))))
45 fzo0ss1 13666 . . . . . . . 8 (1..^𝑁) βŠ† (0..^𝑁)
4645sseli 3978 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) β†’ 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
4746fvresd 6911 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^𝑁))β€˜π‘–) = (πΉβ€˜π‘–))
48 elfzoel2 13635 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
49 peano2zm 12609 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„€)
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„€)
51 uzid 12841 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ β„€ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
5248, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
5348zcnd 12671 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
54 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ β„‚
55 npcan 11473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) + 1) = 𝑁)
5653, 54, 55sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) + 1) = 𝑁)
5756fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) β†’ (β„€β‰₯β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1)) = (β„€β‰₯β€˜π‘))
5852, 57eleqtrrd 2836 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1)))
59 peano2uzr 12891 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1))) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
6050, 58, 59syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
61 fzoss2 13664 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)) βŠ† (0..^𝑁))
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) β†’ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)) βŠ† (0..^𝑁))
63 elfzo1elm1fzo0 13737 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) β†’ (𝑖 βˆ’ 1) ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)))
6462, 63sseldd 3983 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) β†’ (𝑖 βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁))
6564fvresd 6911 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^𝑁))β€˜(𝑖 βˆ’ 1)) = (πΉβ€˜(𝑖 βˆ’ 1)))
6665fveq2d 6895 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) β†’ (π‘‡β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^𝑁))β€˜(𝑖 βˆ’ 1))) = (π‘‡β€˜(πΉβ€˜(𝑖 βˆ’ 1))))
6766rneqd 5937 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) β†’ ran (π‘‡β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^𝑁))β€˜(𝑖 βˆ’ 1))) = ran (π‘‡β€˜(πΉβ€˜(𝑖 βˆ’ 1))))
6847, 67eleq12d 2827 . . . . 5 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) β†’ (((𝐹 β†Ύ (0..^𝑁))β€˜π‘–) ∈ ran (π‘‡β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^𝑁))β€˜(𝑖 βˆ’ 1))) ↔ (πΉβ€˜π‘–) ∈ ran (π‘‡β€˜(πΉβ€˜(𝑖 βˆ’ 1)))))
6968ralbiia 3091 . . . 4 (βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑁)((𝐹 β†Ύ (0..^𝑁))β€˜π‘–) ∈ ran (π‘‡β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^𝑁))β€˜(𝑖 βˆ’ 1))) ↔ βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑁)(πΉβ€˜π‘–) ∈ ran (π‘‡β€˜(πΉβ€˜(𝑖 βˆ’ 1))))
7044, 69sylibr 233 . . 3 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(β™―β€˜πΉ))) β†’ βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑁)((𝐹 β†Ύ (0..^𝑁))β€˜π‘–) ∈ ran (π‘‡β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^𝑁))β€˜(𝑖 βˆ’ 1))))
7115fveq2d 6895 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(β™―β€˜πΉ))) β†’ (β™―β€˜(𝐹 prefix 𝑁)) = (β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^𝑁))))
7271, 20eqtr3d 2774 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(β™―β€˜πΉ))) β†’ (β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^𝑁))) = 𝑁)
7372oveq2d 7427 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(β™―β€˜πΉ))) β†’ (1..^(β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^𝑁)))) = (1..^𝑁))
7473raleqdv 3325 . . 3 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(β™―β€˜πΉ))) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (1..^(β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^𝑁))))((𝐹 β†Ύ (0..^𝑁))β€˜π‘–) ∈ ran (π‘‡β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^𝑁))β€˜(𝑖 βˆ’ 1))) ↔ βˆ€π‘– ∈ (1..^𝑁)((𝐹 β†Ύ (0..^𝑁))β€˜π‘–) ∈ ran (π‘‡β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^𝑁))β€˜(𝑖 βˆ’ 1)))))
7570, 74mpbird 256 . 2 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(β™―β€˜πΉ))) β†’ βˆ€π‘– ∈ (1..^(β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^𝑁))))((𝐹 β†Ύ (0..^𝑁))β€˜π‘–) ∈ ran (π‘‡β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^𝑁))β€˜(𝑖 βˆ’ 1))))
761, 2, 3, 4, 5, 6efgsdm 19639 . 2 ((𝐹 β†Ύ (0..^𝑁)) ∈ dom 𝑆 ↔ ((𝐹 β†Ύ (0..^𝑁)) ∈ (Word π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∧ ((𝐹 β†Ύ (0..^𝑁))β€˜0) ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘– ∈ (1..^(β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^𝑁))))((𝐹 β†Ύ (0..^𝑁))β€˜π‘–) ∈ ran (π‘‡β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^𝑁))β€˜(𝑖 βˆ’ 1)))))
7730, 36, 75, 76syl3anbrc 1343 1 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(β™―β€˜πΉ))) β†’ (𝐹 β†Ύ (0..^𝑁)) ∈ dom 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  {crab 3432   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  {csn 4628  βŸ¨cop 4634  βŸ¨cotp 4636  βˆͺ ciun 4997   ↦ cmpt 5231   I cid 5573   Γ— cxp 5674  dom cdm 5676  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  1oc1o 8461  2oc2o 8462  Fincfn 8941  β„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   βˆ’ cmin 11448  β„•cn 12216  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  ...cfz 13488  ..^cfzo 13631  β™―chash 14294  Word cword 14468   prefix cpfx 14624   splice csplice 14703  βŸ¨β€œcs2 14796   ~FG cefg 19615
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-hash 14295  df-word 14469  df-substr 14595  df-pfx 14625
This theorem is referenced by:  efgredlemd  19653  efgredlem  19656
  Copyright terms: Public domain W3C validator