MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgsres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgsres 19598
Description: An initial segment of an extension sequence is an extension sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 3-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
efgred.s 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
Assertion
Ref Expression
efgsres ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ dom 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑚,𝑥   𝑚,𝑀   𝑥,𝑛,𝑀,𝑡,𝑣,𝑤   𝑘,𝑚,𝑡,𝑥,𝑇   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐼,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑚,𝑡
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem efgsres
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . . . . . . 9 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
2 efgval.r . . . . . . . . 9 = ( ~FG𝐼)
3 efgval2.m . . . . . . . . 9 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
4 efgval2.t . . . . . . . . 9 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
5 efgred.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
6 efgred.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
71, 2, 3, 4, 5, 6efgsdm 19590 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))
87simp1bi 1146 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom 𝑆𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
98adantr 482 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → 𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
109eldifad 3958 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → 𝐹 ∈ Word 𝑊)
11 fz1ssfz0 13592 . . . . . 6 (1...(♯‘𝐹)) ⊆ (0...(♯‘𝐹))
12 simpr 486 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹)))
1311, 12sselid 3978 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
14 pfxres 14624 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word 𝑊𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝐹 prefix 𝑁) = (𝐹 ↾ (0..^𝑁)))
1510, 13, 14syl2anc 585 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹 prefix 𝑁) = (𝐹 ↾ (0..^𝑁)))
16 pfxcl 14622 . . . . 5 (𝐹 ∈ Word 𝑊 → (𝐹 prefix 𝑁) ∈ Word 𝑊)
1710, 16syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹 prefix 𝑁) ∈ Word 𝑊)
1815, 17eqeltrrd 2835 . . 3 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ Word 𝑊)
19 pfxlen 14628 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Word 𝑊𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 prefix 𝑁)) = 𝑁)
2010, 13, 19syl2anc 585 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 prefix 𝑁)) = 𝑁)
21 elfznn 13525 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹)) → 𝑁 ∈ ℕ)
2221adantl 483 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → 𝑁 ∈ ℕ)
2320, 22eqeltrd 2834 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 prefix 𝑁)) ∈ ℕ)
24 wrdfin 14477 . . . . . 6 ((𝐹 prefix 𝑁) ∈ Word 𝑊 → (𝐹 prefix 𝑁) ∈ Fin)
25 hashnncl 14321 . . . . . 6 ((𝐹 prefix 𝑁) ∈ Fin → ((♯‘(𝐹 prefix 𝑁)) ∈ ℕ ↔ (𝐹 prefix 𝑁) ≠ ∅))
2617, 24, 253syl 18 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → ((♯‘(𝐹 prefix 𝑁)) ∈ ℕ ↔ (𝐹 prefix 𝑁) ≠ ∅))
2723, 26mpbid 231 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹 prefix 𝑁) ≠ ∅)
2815, 27eqnetrrd 3010 . . 3 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ≠ ∅)
29 eldifsn 4788 . . 3 ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ↔ ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ Word 𝑊 ∧ (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ≠ ∅))
3018, 28, 29sylanbrc 584 . 2 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
31 lbfzo0 13667 . . . . 5 (0 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ℕ)
3222, 31sylibr 233 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → 0 ∈ (0..^𝑁))
3332fvresd 6907 . . 3 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → ((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘0) = (𝐹‘0))
347simp2bi 1147 . . . 4 (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝐹‘0) ∈ 𝐷)
3534adantr 482 . . 3 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹‘0) ∈ 𝐷)
3633, 35eqeltrd 2834 . 2 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → ((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘0) ∈ 𝐷)
37 elfzuz3 13493 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ (ℤ𝑁))
3837adantl 483 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (♯‘𝐹) ∈ (ℤ𝑁))
39 fzoss2 13655 . . . . . 6 ((♯‘𝐹) ∈ (ℤ𝑁) → (1..^𝑁) ⊆ (1..^(♯‘𝐹)))
4038, 39syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (1..^𝑁) ⊆ (1..^(♯‘𝐹)))
417simp3bi 1148 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
4241adantr 482 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
43 ssralv 4048 . . . . 5 ((1..^𝑁) ⊆ (1..^(♯‘𝐹)) → (∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑁)(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))
4440, 42, 43sylc 65 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑁)(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
45 fzo0ss1 13657 . . . . . . . 8 (1..^𝑁) ⊆ (0..^𝑁)
4645sseli 3976 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
4746fvresd 6907 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → ((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) = (𝐹𝑖))
48 elfzoel2 13626 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
49 peano2zm 12600 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
51 uzid 12832 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
5248, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
5348zcnd 12662 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
54 ax-1cn 11163 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℂ
55 npcan 11464 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
5653, 54, 55sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
5756fveq2d 6891 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (ℤ‘((𝑁 − 1) + 1)) = (ℤ𝑁))
5852, 57eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ‘((𝑁 − 1) + 1)))
59 peano2uzr 12882 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘((𝑁 − 1) + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)))
6050, 58, 59syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)))
61 fzoss2 13655 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
63 elfzo1elm1fzo0 13728 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (𝑖 − 1) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
6462, 63sseldd 3981 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (𝑖 − 1) ∈ (0..^𝑁))
6564fvresd 6907 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → ((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1)) = (𝐹‘(𝑖 − 1)))
6665fveq2d 6891 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1))) = (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
6766rneqd 5934 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1))) = ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
6847, 67eleq12d 2828 . . . . 5 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1))) ↔ (𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))
6968ralbiia 3092 . . . 4 (∀𝑖 ∈ (1..^𝑁)((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1..^𝑁)(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
7044, 69sylibr 233 . . 3 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑁)((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1))))
7115fveq2d 6891 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 prefix 𝑁)) = (♯‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))))
7271, 20eqtr3d 2775 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))) = 𝑁)
7372oveq2d 7419 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (1..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁)))) = (1..^𝑁))
7473raleqdv 3326 . . 3 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))))((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1..^𝑁)((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1)))))
7570, 74mpbird 257 . 2 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))))((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1))))
761, 2, 3, 4, 5, 6efgsdm 19590 . 2 ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ dom 𝑆 ↔ ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ ((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))))((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1)))))
7730, 36, 75, 76syl3anbrc 1344 1 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ dom 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  wral 3062  {crab 3433  cdif 3943  wss 3946  c0 4320  {csn 4626  cop 4632  cotp 4634   ciun 4995  cmpt 5229   I cid 5571   × cxp 5672  dom cdm 5674  ran crn 5675  cres 5676  cfv 6539  (class class class)co 7403  cmpo 7405  1oc1o 8453  2oc2o 8454  Fincfn 8934  cc 11103  0cc0 11105  1c1 11106   + caddc 11108  cmin 11439  cn 12207  cz 12553  cuz 12817  ...cfz 13479  ..^cfzo 13622  chash 14285  Word cword 14459   prefix cpfx 14615   splice csplice 14694  ⟨“cs2 14787   ~FG cefg 19566
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5283  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-int 4949  df-iun 4997  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6296  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-card 9929  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11441  df-neg 11442  df-nn 12208  df-n0 12468  df-z 12554  df-uz 12818  df-fz 13480  df-fzo 13623  df-hash 14286  df-word 14460  df-substr 14586  df-pfx 14616
This theorem is referenced by:  efgredlemd  19604  efgredlem  19607
  Copyright terms: Public domain W3C validator