Theorem efgsres 18591

Description: An initial segment of an extension sequence is an extension sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 3-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
efgval2.m	⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
efgval2.t	⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d	⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
efgred.s	⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))

Assertion

Ref	Expression
efgsres	⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ dom 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑚,𝑥   𝑚,𝑀   𝑥,𝑛,𝑀,𝑡,𝑣,𝑤   𝑘,𝑚,𝑡,𝑥,𝑇   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ∼ ,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐼,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑚,𝑡

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   ∼ (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem efgsres

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efgval.w	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
2		efgval.r	. . . . . . . . 9 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
3		efgval2.m	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
4		efgval2.t	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
5		efgred.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
6		efgred.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	efgsdm 18583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))
8	7	simp1bi 1138	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → 𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
9	8	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → 𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
10	9	eldifad 3871	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → 𝐹 ∈ Word 𝑊)
11		fz1ssfz0 12853	. . . . . 6 ⊢ (1...(♯‘𝐹)) ⊆ (0...(♯‘𝐹))
12		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹)))
13	11, 12	sseldi 3887	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
14		pfxres 13877	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝐹 prefix 𝑁) = (𝐹 ↾ (0..^𝑁)))
15	10, 13, 14	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹 prefix 𝑁) = (𝐹 ↾ (0..^𝑁)))
16		pfxcl 13875	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑊 → (𝐹 prefix 𝑁) ∈ Word 𝑊)
17	10, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹 prefix 𝑁) ∈ Word 𝑊)
18	15, 17	eqeltrrd 2884	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ Word 𝑊)
19		pfxlen 13881	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 prefix 𝑁)) = 𝑁)
20	10, 13, 19	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 prefix 𝑁)) = 𝑁)
21		elfznn 12786	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹)) → 𝑁 ∈ ℕ)
22	21	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → 𝑁 ∈ ℕ)
23	20, 22	eqeltrd 2883	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 prefix 𝑁)) ∈ ℕ)
24		wrdfin 13728	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 prefix 𝑁) ∈ Word 𝑊 → (𝐹 prefix 𝑁) ∈ Fin)
25		hashnncl 13577	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 prefix 𝑁) ∈ Fin → ((♯‘(𝐹 prefix 𝑁)) ∈ ℕ ↔ (𝐹 prefix 𝑁) ≠ ∅))
26	17, 24, 25	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → ((♯‘(𝐹 prefix 𝑁)) ∈ ℕ ↔ (𝐹 prefix 𝑁) ≠ ∅))
27	23, 26	mpbid 233	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹 prefix 𝑁) ≠ ∅)
28	15, 27	eqnetrrd 3052	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ≠ ∅)
29		eldifsn 4626	. . 3 ⊢ ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ↔ ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ Word 𝑊 ∧ (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ≠ ∅))
30	18, 28, 29	sylanbrc 583	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
31		lbfzo0 12927	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ℕ)
32	22, 31	sylibr 235	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → 0 ∈ (0..^𝑁))
33	32	fvresd 6558	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → ((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘0) = (𝐹‘0))
34	7	simp2bi 1139	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝐹‘0) ∈ 𝐷)
35	34	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹‘0) ∈ 𝐷)
36	33, 35	eqeltrd 2883	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → ((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘0) ∈ 𝐷)
37		elfzuz3 12755	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
38	37	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (♯‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
39		fzoss2 12915	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (1..^𝑁) ⊆ (1..^(♯‘𝐹)))
40	38, 39	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (1..^𝑁) ⊆ (1..^(♯‘𝐹)))
41	7	simp3bi 1140	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
42	41	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
43		ssralv 3954	. . . . 5 ⊢ ((1..^𝑁) ⊆ (1..^(♯‘𝐹)) → (∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑁)(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))
44	40, 42, 43	sylc 65	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑁)(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
45		fzo0ss1 12917	. . . . . . . 8 ⊢ (1..^𝑁) ⊆ (0..^𝑁)
46	45	sseli 3885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
47	46	fvresd 6558	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → ((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) = (𝐹‘𝑖))
48		elfzoel2 12887	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
49		peano2zm 11874	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
51		uzid 12108	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
52	48, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
53	48	zcnd 11937	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
54		ax-1cn 10441	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℂ
55		npcan 10743	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
56	53, 54, 55	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
57	56	fveq2d 6542	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (ℤ≥‘((𝑁 − 1) + 1)) = (ℤ≥‘𝑁))
58	52, 57	eleqtrrd 2886	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑁 − 1) + 1)))
59		peano2uzr 12152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑁 − 1) + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 1)))
60	50, 58, 59	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 1)))
61		fzoss2 12915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 1)) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
63		elfzo1elm1fzo0 12988	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (𝑖 − 1) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
64	62, 63	sseldd 3890	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (𝑖 − 1) ∈ (0..^𝑁))
65	64	fvresd 6558	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → ((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1)) = (𝐹‘(𝑖 − 1)))
66	65	fveq2d 6542	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1))) = (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
67	66	rneqd 5690	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1))) = ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
68	47, 67	eleq12d 2877	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1))) ↔ (𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))
69	68	ralbiia 3131	. . . 4 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1..^𝑁)((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1..^𝑁)(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
70	44, 69	sylibr 235	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑁)((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1))))
71	15	fveq2d 6542	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 prefix 𝑁)) = (♯‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))))
72	71, 20	eqtr3d 2833	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))) = 𝑁)
73	72	oveq2d 7032	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (1..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁)))) = (1..^𝑁))
74	73	raleqdv 3375	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))))((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1..^𝑁)((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1)))))
75	70, 74	mpbird 258	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))))((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1))))
76	1, 2, 3, 4, 5, 6	efgsdm 18583	. 2 ⊢ ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ dom 𝑆 ↔ ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ ((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))))((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1)))))
77	30, 36, 75, 76	syl3anbrc 1336	1 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ dom 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1522   ∈ wcel 2081   ≠ wne 2984  ∀wral 3105  {crab 3109   ∖ cdif 3856   ⊆ wss 3859  ∅c0 4211  {csn 4472  ⟨cop 4478  ⟨cotp 4480  ∪ ciun 4825   ↦ cmpt 5041   I cid 5347   × cxp 5441  dom cdm 5443  ran crn 5444   ↾ cres 5445  ‘cfv 6225  (class class class)co 7016   ∈ cmpo 7018  1_oc1o 7946  2_oc2o 7947  Fincfn 8357  ℂcc 10381  0cc0 10383  1c1 10384   + caddc 10386   − cmin 10717  ℕcn 11486  ℤcz 11829  ℤ_≥cuz 12093  ...cfz 12742  ..^cfzo 12883  ♯chash 13540  Word cword 13707   prefix cpfx 13868   splice csplice 13947  ⟨“cs2 14039   ~_FG cefg 18559

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-oadd 7957  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-hash 13541  df-word 13708  df-substr 13839  df-pfx 13869

This theorem is referenced by:  efgredlemd  18597  efgredlem  18600