Theorem efgsres 19652

Description: An initial segment of an extension sequence is an extension sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 3-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
efgval2.m	⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
efgval2.t	⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d	⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
efgred.s	⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))

Assertion

Ref	Expression
efgsres	⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ dom 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑚,𝑥   𝑚,𝑀   𝑥,𝑛,𝑀,𝑡,𝑣,𝑤   𝑘,𝑚,𝑡,𝑥,𝑇   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ∼ ,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐼,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑚,𝑡

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   ∼ (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem efgsres

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efgval.w	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
2		efgval.r	. . . . . . . . 9 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
3		efgval2.m	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
4		efgval2.t	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
5		efgred.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
6		efgred.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	efgsdm 19644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))
8	7	simp1bi 1145	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → 𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
9	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → 𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
10	9	eldifad 3923	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → 𝐹 ∈ Word 𝑊)
11		fz1ssfz0 13560	. . . . . 6 ⊢ (1...(♯‘𝐹)) ⊆ (0...(♯‘𝐹))
12		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹)))
13	11, 12	sselid 3941	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
14		pfxres 14620	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝐹 prefix 𝑁) = (𝐹 ↾ (0..^𝑁)))
15	10, 13, 14	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹 prefix 𝑁) = (𝐹 ↾ (0..^𝑁)))
16		pfxcl 14618	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑊 → (𝐹 prefix 𝑁) ∈ Word 𝑊)
17	10, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹 prefix 𝑁) ∈ Word 𝑊)
18	15, 17	eqeltrrd 2829	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ Word 𝑊)
19		pfxlen 14624	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 prefix 𝑁)) = 𝑁)
20	10, 13, 19	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 prefix 𝑁)) = 𝑁)
21		elfznn 13490	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹)) → 𝑁 ∈ ℕ)
22	21	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → 𝑁 ∈ ℕ)
23	20, 22	eqeltrd 2828	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 prefix 𝑁)) ∈ ℕ)
24		wrdfin 14473	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 prefix 𝑁) ∈ Word 𝑊 → (𝐹 prefix 𝑁) ∈ Fin)
25		hashnncl 14307	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 prefix 𝑁) ∈ Fin → ((♯‘(𝐹 prefix 𝑁)) ∈ ℕ ↔ (𝐹 prefix 𝑁) ≠ ∅))
26	17, 24, 25	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → ((♯‘(𝐹 prefix 𝑁)) ∈ ℕ ↔ (𝐹 prefix 𝑁) ≠ ∅))
27	23, 26	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹 prefix 𝑁) ≠ ∅)
28	15, 27	eqnetrrd 2993	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ≠ ∅)
29		eldifsn 4746	. . 3 ⊢ ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ↔ ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ Word 𝑊 ∧ (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ≠ ∅))
30	18, 28, 29	sylanbrc 583	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
31		lbfzo0 13636	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ℕ)
32	22, 31	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → 0 ∈ (0..^𝑁))
33	32	fvresd 6860	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → ((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘0) = (𝐹‘0))
34	7	simp2bi 1146	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝐹‘0) ∈ 𝐷)
35	34	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹‘0) ∈ 𝐷)
36	33, 35	eqeltrd 2828	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → ((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘0) ∈ 𝐷)
37		elfzuz3 13458	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
38	37	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (♯‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
39		fzoss2 13624	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (1..^𝑁) ⊆ (1..^(♯‘𝐹)))
40	38, 39	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (1..^𝑁) ⊆ (1..^(♯‘𝐹)))
41	7	simp3bi 1147	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
42	41	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
43		ssralv 4012	. . . . 5 ⊢ ((1..^𝑁) ⊆ (1..^(♯‘𝐹)) → (∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑁)(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))
44	40, 42, 43	sylc 65	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑁)(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
45		fzo0ss1 13626	. . . . . . . 8 ⊢ (1..^𝑁) ⊆ (0..^𝑁)
46	45	sseli 3939	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
47	46	fvresd 6860	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → ((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) = (𝐹‘𝑖))
48		elfzoel2 13595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
49		peano2zm 12552	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
51		uzid 12784	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
52	48, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
53	48	zcnd 12615	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
54		ax-1cn 11102	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℂ
55		npcan 11406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
56	53, 54, 55	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
57	56	fveq2d 6844	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (ℤ≥‘((𝑁 − 1) + 1)) = (ℤ≥‘𝑁))
58	52, 57	eleqtrrd 2831	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑁 − 1) + 1)))
59		peano2uzr 12838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑁 − 1) + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 1)))
60	50, 58, 59	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 1)))
61		fzoss2 13624	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 1)) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
63		elfzo1elm1fzo0 13705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (𝑖 − 1) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
64	62, 63	sseldd 3944	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (𝑖 − 1) ∈ (0..^𝑁))
65	64	fvresd 6860	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → ((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1)) = (𝐹‘(𝑖 − 1)))
66	65	fveq2d 6844	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1))) = (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
67	66	rneqd 5891	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1))) = ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
68	47, 67	eleq12d 2822	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1))) ↔ (𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))
69	68	ralbiia 3073	. . . 4 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1..^𝑁)((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1..^𝑁)(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
70	44, 69	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑁)((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1))))
71	15	fveq2d 6844	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 prefix 𝑁)) = (♯‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))))
72	71, 20	eqtr3d 2766	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))) = 𝑁)
73	72	oveq2d 7385	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (1..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁)))) = (1..^𝑁))
74	70, 73	raleqtrrdv 3300	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))))((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1))))
75	1, 2, 3, 4, 5, 6	efgsdm 19644	. 2 ⊢ ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ dom 𝑆 ↔ ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ ((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))))((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1)))))
76	30, 36, 74, 75	syl3anbrc 1344	1 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ dom 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  {crab 3402   ∖ cdif 3908   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  {csn 4585  ⟨cop 4591  ⟨cotp 4593  ∪ ciun 4951   ↦ cmpt 5183   I cid 5525   × cxp 5629  dom cdm 5631  ran crn 5632   ↾ cres 5633  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ∈ cmpo 7371  1_oc1o 8404  2_oc2o 8405  Fincfn 8895  ℂcc 11042  0cc0 11044  1c1 11045   + caddc 11047   − cmin 11381  ℕcn 12162  ℤcz 12505  ℤ_≥cuz 12769  ...cfz 13444  ..^cfzo 13591  ♯chash 14271  Word cword 14454   prefix cpfx 14611   splice csplice 14690  ⟨“cs2 14783   ~_FG cefg 19620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-hash 14272  df-word 14455  df-substr 14582  df-pfx 14612

This theorem is referenced by:  efgredlemd  19658  efgredlem  19661