Theorem efgsres 19808

Description: An initial segment of an extension sequence is an extension sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 3-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
efgval2.m	⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
efgval2.t	⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d	⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
efgred.s	⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))

Assertion

Ref	Expression
efgsres	⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ dom 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑚,𝑥   𝑚,𝑀   𝑥,𝑛,𝑀,𝑡,𝑣,𝑤   𝑘,𝑚,𝑡,𝑥,𝑇   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ∼ ,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐼,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑚,𝑡

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   ∼ (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem efgsres

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efgval.w	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
2		efgval.r	. . . . . . . . 9 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
3		efgval2.m	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
4		efgval2.t	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
5		efgred.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
6		efgred.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	efgsdm 19800	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))
8	7	simp1bi 1161	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → 𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
9	8	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → 𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
10	9	eldifad 3925	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → 𝐹 ∈ Word 𝑊)
11		fz1ssfz0 13651	. . . . . 6 ⊢ (1...(♯‘𝐹)) ⊆ (0...(♯‘𝐹))
12		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹)))
13	11, 12	sselid 3943	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
14		pfxres 14717	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝐹 prefix 𝑁) = (𝐹 ↾ (0..^𝑁)))
15	10, 13, 14	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹 prefix 𝑁) = (𝐹 ↾ (0..^𝑁)))
16		pfxcl 14715	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑊 → (𝐹 prefix 𝑁) ∈ Word 𝑊)
17	10, 16	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹 prefix 𝑁) ∈ Word 𝑊)
18	15, 17	eqeltrrd 2870	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ Word 𝑊)
19		pfxlen 14721	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 prefix 𝑁)) = 𝑁)
20	10, 13, 19	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 prefix 𝑁)) = 𝑁)
21		elfznn 13581	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹)) → 𝑁 ∈ ℕ)
22	21	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → 𝑁 ∈ ℕ)
23	20, 22	eqeltrd 2869	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 prefix 𝑁)) ∈ ℕ)
24		wrdfin 14569	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 prefix 𝑁) ∈ Word 𝑊 → (𝐹 prefix 𝑁) ∈ Fin)
25		hashnncl 14402	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 prefix 𝑁) ∈ Fin → ((♯‘(𝐹 prefix 𝑁)) ∈ ℕ ↔ (𝐹 prefix 𝑁) ≠ ∅))
26	17, 24, 25	3syl 19	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → ((♯‘(𝐹 prefix 𝑁)) ∈ ℕ ↔ (𝐹 prefix 𝑁) ≠ ∅))
27	23, 26	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹 prefix 𝑁) ≠ ∅)
28	15, 27	eqnetrrd 3032	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ≠ ∅)
29		eldifsn 4758	. . 3 ⊢ ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ↔ ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ Word 𝑊 ∧ (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ≠ ∅))
30	18, 28, 29	sylanbrc 594	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
31		lbfzo0 13728	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ℕ)
32	22, 31	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → 0 ∈ (0..^𝑁))
33	32	fvresd 6902	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → ((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘0) = (𝐹‘0))
34	7	simp2bi 1162	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝐹‘0) ∈ 𝐷)
35	34	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹‘0) ∈ 𝐷)
36	33, 35	eqeltrd 2869	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → ((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘0) ∈ 𝐷)
37		elfzuz3 13549	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
38	37	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (♯‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
39		fzoss2 13716	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (1..^𝑁) ⊆ (1..^(♯‘𝐹)))
40	38, 39	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (1..^𝑁) ⊆ (1..^(♯‘𝐹)))
41	7	simp3bi 1163	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
42	41	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
43		ssralv 4014	. . . . 5 ⊢ ((1..^𝑁) ⊆ (1..^(♯‘𝐹)) → (∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑁)(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))
44	40, 42, 43	sylc 66	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑁)(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
45		fzo0ss1 13718	. . . . . . . 8 ⊢ (1..^𝑁) ⊆ (0..^𝑁)
46	45	sseli 3941	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
47	46	fvresd 6902	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → ((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) = (𝐹‘𝑖))
48		elfzoel2 13686	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
49		peano2zm 12637	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
50	48, 49	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
51		uzid 12877	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
52	48, 51	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
53	48	zcnd 12701	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
54		ax-1cn 11158	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℂ
55		npcan 11466	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
56	53, 54, 55	sylancl 597	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
57	56	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (ℤ≥‘((𝑁 − 1) + 1)) = (ℤ≥‘𝑁))
58	52, 57	eleqtrrd 2872	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑁 − 1) + 1)))
59		peano2uzr 12927	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑁 − 1) + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 1)))
60	50, 58, 59	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 1)))
61		fzoss2 13716	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 1)) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
62	60, 61	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
63		elfzo1elm1fzo0 13797	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (𝑖 − 1) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
64	62, 63	sseldd 3946	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (𝑖 − 1) ∈ (0..^𝑁))
65	64	fvresd 6902	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → ((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1)) = (𝐹‘(𝑖 − 1)))
66	65	fveq2d 6886	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1))) = (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
67	66	rneqd 5929	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1))) = ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
68	47, 67	eleq12d 2863	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1))) ↔ (𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))
69	68	ralbiia 3115	. . . 4 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1..^𝑁)((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1..^𝑁)(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
70	44, 69	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑁)((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1))))
71	15	fveq2d 6886	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 prefix 𝑁)) = (♯‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))))
72	71, 20	eqtr3d 2806	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))) = 𝑁)
73	72	oveq2d 7427	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (1..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁)))) = (1..^𝑁))
74	70, 73	raleqtrrdv 3333	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))))((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1))))
75	1, 2, 3, 4, 5, 6	efgsdm 19800	. 2 ⊢ ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ dom 𝑆 ↔ ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ ((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))))((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1)))))
76	30, 36, 74, 75	syl3anbrc 1360	1 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ dom 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∀wral 3085  {crab 3423   ∖ cdif 3910   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294  {csn 4594  ⟨cop 4600  ⟨cotp 4602  ∪ ciun 4960   ↦ cmpt 5196   I cid 5556   × cxp 5660  dom cdm 5662  ran crn 5663   ↾ cres 5664  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  1_oc1o 8446  2_oc2o 8447  Fincfn 8943  ℂcc 11098  0cc0 11100  1c1 11101   + caddc 11103   − cmin 11441  ℕcn 12233  ℤcz 12591  ℤ_≥cuz 12862  ...cfz 13535  ..^cfzo 13682  ♯chash 14366  Word cword 14550   prefix cpfx 14708   splice csplice 14786  ⟨“cs2 14878   ~_FG cefg 19776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-hash 14367  df-word 14551  df-substr 14679  df-pfx 14709

This theorem is referenced by:  efgredlemd  19814  efgredlem  19817