MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addmodlteqALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addmodlteqALT 15667
Description: Two nonnegative integers less than the modulus are equal iff the sums of these integer with another integer are equal modulo the modulus. Shorter proof of addmodlteq 13306 based on the "divides" relation. (Contributed by AV, 14-Mar-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addmodlteqALT ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐽 + 𝑆) mod 𝑁) ↔ 𝐼 = 𝐽))

Proof of Theorem addmodlteqALT
StepHypRef Expression
1 elfzo0 13070 . . . . 5 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁))
2 elfzoelz 13030 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
3 simplrr 776 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ ℤ ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ)) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
4 nn0z 11997 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℤ)
54ad2antrl 726 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ ℤ ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐼 ∈ ℤ)
6 zaddcl 12014 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐼 + 𝑆) ∈ ℤ)
75, 6sylan 582 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ ℤ ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ)) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐼 + 𝑆) ∈ ℤ)
8 zaddcl 12014 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐽 + 𝑆) ∈ ℤ)
98adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ ℤ ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ)) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐽 + 𝑆) ∈ ℤ)
103, 7, 93jca 1122 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ ℤ ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ)) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐼 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (𝐽 + 𝑆) ∈ ℤ))
1110exp31 422 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ ℤ → ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐼 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (𝐽 + 𝑆) ∈ ℤ))))
122, 11syl 17 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐼 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (𝐽 + 𝑆) ∈ ℤ))))
1312com12 32 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝑆 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐼 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (𝐽 + 𝑆) ∈ ℤ))))
14133adant3 1126 . . . . 5 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝑆 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐼 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (𝐽 + 𝑆) ∈ ℤ))))
151, 14sylbi 219 . . . 4 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝑆 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐼 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (𝐽 + 𝑆) ∈ ℤ))))
16153imp 1105 . . 3 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐼 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (𝐽 + 𝑆) ∈ ℤ))
17 moddvds 15610 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐼 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (𝐽 + 𝑆) ∈ ℤ) → (((𝐼 + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐽 + 𝑆) mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐼 + 𝑆) − (𝐽 + 𝑆))))
1816, 17syl 17 . 2 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐽 + 𝑆) mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐼 + 𝑆) − (𝐽 + 𝑆))))
19 elfzoel2 13029 . . . . 5 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
20 zcn 11978 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2120subid1d 10978 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 0) = 𝑁)
2221eqcomd 2825 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 = (𝑁 − 0))
2319, 22syl 17 . . . 4 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 = (𝑁 − 0))
24233ad2ant1 1127 . . 3 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝑁 = (𝑁 − 0))
25 elfzoelz 13030 . . . . 5 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → 𝐼 ∈ ℤ)
2625zcnd 12080 . . . 4 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → 𝐼 ∈ ℂ)
272zcnd 12080 . . . 4 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℂ)
28 zcn 11978 . . . 4 (𝑆 ∈ ℤ → 𝑆 ∈ ℂ)
29 pnpcan2 10918 . . . 4 ((𝐼 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ) → ((𝐼 + 𝑆) − (𝐽 + 𝑆)) = (𝐼𝐽))
3026, 27, 28, 29syl3an 1154 . . 3 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((𝐼 + 𝑆) − (𝐽 + 𝑆)) = (𝐼𝐽))
3124, 30breq12d 5070 . 2 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ ((𝐼 + 𝑆) − (𝐽 + 𝑆)) ↔ (𝑁 − 0) ∥ (𝐼𝐽)))
32 fzocongeq 15666 . . 3 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑁 − 0) ∥ (𝐼𝐽) ↔ 𝐼 = 𝐽))
33323adant3 1126 . 2 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 0) ∥ (𝐼𝐽) ↔ 𝐼 = 𝐽))
3418, 31, 333bitrd 307 1 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐽 + 𝑆) mod 𝑁) ↔ 𝐼 = 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107   class class class wbr 5057  (class class class)co 7148  cc 10527  0cc0 10529   + caddc 10532   < clt 10667  cmin 10862  cn 11630  0cn0 11889  cz 11973  ..^cfzo 13025   mod cmo 13229  cdvds 15599
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8898  df-inf 8899  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-fl 13154  df-mod 13230  df-seq 13362  df-exp 13422  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-dvds 15600
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator