MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cosord Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cosord 25129
Description: Cosine is decreasing over the closed interval from 0 to π. (Contributed by Paul Chapman, 16-Mar-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
cosord ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (cos‘𝐵) < (cos‘𝐴)))

Proof of Theorem cosord
StepHypRef Expression
1 simpll 766 . . . 4 (((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ (0[,]π))
2 simplr 768 . . . 4 (((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ (0[,]π))
3 simpr 488 . . . 4 (((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
41, 2, 3cosordlem 25128 . . 3 (((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (cos‘𝐵) < (cos‘𝐴))
54ex 416 . 2 ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) → (𝐴 < 𝐵 → (cos‘𝐵) < (cos‘𝐴)))
6 fveq2 6661 . . . . . . 7 (𝐴 = 𝐵 → (cos‘𝐴) = (cos‘𝐵))
76eqcomd 2830 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → (cos‘𝐵) = (cos‘𝐴))
87a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) → (𝐴 = 𝐵 → (cos‘𝐵) = (cos‘𝐴)))
9 simplr 768 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]π))
10 simpll 766 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ∈ (0[,]π))
11 simpr 488 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 < 𝐴)
129, 10, 11cosordlem 25128 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (cos‘𝐴) < (cos‘𝐵))
1312ex 416 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) → (𝐵 < 𝐴 → (cos‘𝐴) < (cos‘𝐵)))
148, 13orim12d 962 . . . 4 ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) → ((𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴) → ((cos‘𝐵) = (cos‘𝐴) ∨ (cos‘𝐴) < (cos‘𝐵))))
1514con3d 155 . . 3 ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) → (¬ ((cos‘𝐵) = (cos‘𝐴) ∨ (cos‘𝐴) < (cos‘𝐵)) → ¬ (𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴)))
16 0re 10641 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
17 pire 25057 . . . . . 6 π ∈ ℝ
1816, 17elicc2i 12800 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0[,]π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ π))
1918simp1bi 1142 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,]π) → 𝐴 ∈ ℝ)
2016, 17elicc2i 12800 . . . . 5 (𝐵 ∈ (0[,]π) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵𝐵 ≤ π))
2120simp1bi 1142 . . . 4 (𝐵 ∈ (0[,]π) → 𝐵 ∈ ℝ)
22 recoscl 15494 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → (cos‘𝐵) ∈ ℝ)
23 recoscl 15494 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
24 axlttri 10710 . . . . 5 (((cos‘𝐵) ∈ ℝ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℝ) → ((cos‘𝐵) < (cos‘𝐴) ↔ ¬ ((cos‘𝐵) = (cos‘𝐴) ∨ (cos‘𝐴) < (cos‘𝐵))))
2522, 23, 24syl2anr 599 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((cos‘𝐵) < (cos‘𝐴) ↔ ¬ ((cos‘𝐵) = (cos‘𝐴) ∨ (cos‘𝐴) < (cos‘𝐵))))
2619, 21, 25syl2an 598 . . 3 ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) → ((cos‘𝐵) < (cos‘𝐴) ↔ ¬ ((cos‘𝐵) = (cos‘𝐴) ∨ (cos‘𝐴) < (cos‘𝐵))))
27 axlttri 10710 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴)))
2819, 21, 27syl2an 598 . . 3 ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴)))
2915, 26, 283imtr4d 297 . 2 ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) → ((cos‘𝐵) < (cos‘𝐴) → 𝐴 < 𝐵))
305, 29impbid 215 1 ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (cos‘𝐵) < (cos‘𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844   = wceq 1538  wcel 2115   class class class wbr 5052  cfv 6343  (class class class)co 7149  cr 10534  0cc0 10535   < clt 10673  cle 10674  [,]cicc 12738  cosccos 15418  πcpi 15420
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-inf2 9101  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613  ax-addf 10614  ax-mulf 10615
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-pm 8405  df-ixp 8458  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-fsupp 8831  df-fi 8872  df-sup 8903  df-inf 8904  df-oi 8971  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-q 12346  df-rp 12387  df-xneg 12504  df-xadd 12505  df-xmul 12506  df-ioo 12739  df-ioc 12740  df-ico 12741  df-icc 12742  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-fl 13166  df-seq 13374  df-exp 13435  df-fac 13639  df-bc 13668  df-hash 13696  df-shft 14426  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-limsup 14828  df-clim 14845  df-rlim 14846  df-sum 15043  df-ef 15421  df-sin 15423  df-cos 15424  df-pi 15426  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-hom 16589  df-cco 16590  df-rest 16696  df-topn 16697  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-topgen 16717  df-pt 16718  df-prds 16721  df-xrs 16775  df-qtop 16780  df-imas 16781  df-xps 16783  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-mulg 18225  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-psmet 20090  df-xmet 20091  df-met 20092  df-bl 20093  df-mopn 20094  df-fbas 20095  df-fg 20096  df-cnfld 20099  df-top 21505  df-topon 21522  df-topsp 21544  df-bases 21557  df-cld 21630  df-ntr 21631  df-cls 21632  df-nei 21709  df-lp 21747  df-perf 21748  df-cn 21838  df-cnp 21839  df-haus 21926  df-tx 22173  df-hmeo 22366  df-fil 22457  df-fm 22549  df-flim 22550  df-flf 22551  df-xms 22933  df-ms 22934  df-tms 22935  df-cncf 23489  df-limc 24475  df-dv 24476
This theorem is referenced by:  cos11  25131  sinord  25132  tanord1  25135  argregt0  25207  argrege0  25208
  Copyright terms: Public domain W3C validator