MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logdivbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logdivbnd 27444
Description: A bound on a sum of logs, used in pntlemk 27494. This is not as precise as logdivsum 27421 in its asymptotic behavior, but it is valid for all ๐‘ and does not require a limit value. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
logdivbnd (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›) โ‰ค ((((logโ€˜๐‘) + 1)โ†‘2) / 2))
Distinct variable group:   ๐‘›,๐‘

Proof of Theorem logdivbnd
Dummy variables ๐‘– ๐‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2re 12290 . . . 4 2 โˆˆ โ„
2 fzfid 13944 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1...๐‘) โˆˆ Fin)
3 elfzuz 13503 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
43adantl 481 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
5 nnuz 12869 . . . . . . . . 9 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
64, 5eleqtrrdi 2838 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
76nnrpd 13020 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„+)
87relogcld 26512 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„)
98, 6nndivred 12270 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆˆ โ„)
102, 9fsumrecl 15686 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆˆ โ„)
11 remulcl 11197 . . . 4 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โˆˆ โ„)
121, 10, 11sylancr 586 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โˆˆ โ„)
13 elfznn 13536 . . . . . . 7 (๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•)
1413adantl 481 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•)
1514nnrecred 12267 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (1 / ๐‘–) โˆˆ โ„)
162, 15fsumrecl 15686 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(1 / ๐‘–) โˆˆ โ„)
1716resqcld 14095 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(1 / ๐‘–)โ†‘2) โˆˆ โ„)
18 nnrp 12991 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
1918relogcld 26512 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (logโ€˜๐‘) โˆˆ โ„)
20 peano2re 11391 . . . . 5 ((logโ€˜๐‘) โˆˆ โ„ โ†’ ((logโ€˜๐‘) + 1) โˆˆ โ„)
2119, 20syl 17 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((logโ€˜๐‘) + 1) โˆˆ โ„)
2221resqcld 14095 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((logโ€˜๐‘) + 1)โ†‘2) โˆˆ โ„)
2310recnd 11246 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
24232timesd 12459 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›)) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›)))
25 fzfid 13944 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (1...๐‘›) โˆˆ Fin)
26 elfznn 13536 . . . . . . . . . . 11 (๐‘– โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•)
2726adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•)
2827nnrecred 12267 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)) โ†’ (1 / ๐‘–) โˆˆ โ„)
2925, 28fsumrecl 15686 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(1 / ๐‘–) โˆˆ โ„)
3029, 6nndivred 12270 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(1 / ๐‘–) / ๐‘›) โˆˆ โ„)
312, 30fsumrecl 15686 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(1 / ๐‘–) / ๐‘›) โˆˆ โ„)
32 fzfid 13944 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (1...(๐‘› โˆ’ 1)) โˆˆ Fin)
33 elfznn 13536 . . . . . . . . . . 11 (๐‘– โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•)
3433adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•)
3534nnrecred 12267 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))) โ†’ (1 / ๐‘–) โˆˆ โ„)
3632, 35fsumrecl 15686 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) โˆˆ โ„)
3736, 6nndivred 12270 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) / ๐‘›) โˆˆ โ„)
382, 37fsumrecl 15686 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) / ๐‘›) โˆˆ โ„)
396nncnd 12232 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
40 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 โˆˆ โ„‚
41 npcan 11473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘› โˆ’ 1) + 1) = ๐‘›)
4239, 40, 41sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((๐‘› โˆ’ 1) + 1) = ๐‘›)
4342fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (logโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) + 1)) = (logโ€˜๐‘›))
4443oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) โˆ’ (logโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) + 1))) = (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) โˆ’ (logโ€˜๐‘›)))
45 nnm1nn0 12517 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
46 harmonicbnd3 26895 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) โˆ’ (logโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) + 1))) โˆˆ (0[,]ฮณ))
476, 45, 463syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) โˆ’ (logโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) + 1))) โˆˆ (0[,]ฮณ))
4844, 47eqeltrrd 2828 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) โˆ’ (logโ€˜๐‘›)) โˆˆ (0[,]ฮณ))
49 0re 11220 . . . . . . . . . . . . 13 0 โˆˆ โ„
50 emre 26893 . . . . . . . . . . . . 13 ฮณ โˆˆ โ„
5149, 50elicc2i 13396 . . . . . . . . . . . 12 ((ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) โˆ’ (logโ€˜๐‘›)) โˆˆ (0[,]ฮณ) โ†” ((ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) โˆ’ (logโ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) โˆ’ (logโ€˜๐‘›)) โˆง (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) โˆ’ (logโ€˜๐‘›)) โ‰ค ฮณ))
5251simp2bi 1143 . . . . . . . . . . 11 ((ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) โˆ’ (logโ€˜๐‘›)) โˆˆ (0[,]ฮณ) โ†’ 0 โ‰ค (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) โˆ’ (logโ€˜๐‘›)))
5348, 52syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ 0 โ‰ค (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) โˆ’ (logโ€˜๐‘›)))
5436, 8subge0d 11808 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (0 โ‰ค (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) โˆ’ (logโ€˜๐‘›)) โ†” (logโ€˜๐‘›) โ‰ค ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(1 / ๐‘–)))
5553, 54mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (logโ€˜๐‘›) โ‰ค ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(1 / ๐‘–))
568, 36, 7, 55lediv1dd 13080 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›) โ‰ค (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) / ๐‘›))
5727nnrpd 13020 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„+)
5857rpreccld 13032 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)) โ†’ (1 / ๐‘–) โˆˆ โ„+)
5958rpge0d 13026 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)) โ†’ 0 โ‰ค (1 / ๐‘–))
60 elfzelz 13507 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
6160adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
62 peano2zm 12609 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
646nnred 12231 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
6564lem1d 12151 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐‘› โˆ’ 1) โ‰ค ๐‘›)
66 eluz2 12832 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› โˆ’ 1)) โ†” ((๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘› โˆ’ 1) โ‰ค ๐‘›))
6763, 61, 65, 66syl3anbrc 1340 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› โˆ’ 1)))
68 fzss2 13547 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› โˆ’ 1)) โ†’ (1...(๐‘› โˆ’ 1)) โІ (1...๐‘›))
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (1...(๐‘› โˆ’ 1)) โІ (1...๐‘›))
7025, 28, 59, 69fsumless 15748 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) โ‰ค ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(1 / ๐‘–))
716nngt0d 12265 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ 0 < ๐‘›)
72 lediv1 12083 . . . . . . . . . 10 ((ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(1 / ๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘›)) โ†’ (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) โ‰ค ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(1 / ๐‘–) โ†” (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) / ๐‘›) โ‰ค (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(1 / ๐‘–) / ๐‘›)))
7336, 29, 64, 71, 72syl112anc 1371 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) โ‰ค ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(1 / ๐‘–) โ†” (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) / ๐‘›) โ‰ค (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(1 / ๐‘–) / ๐‘›)))
7470, 73mpbid 231 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) / ๐‘›) โ‰ค (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(1 / ๐‘–) / ๐‘›))
759, 37, 30, 56, 74letrd 11375 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›) โ‰ค (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(1 / ๐‘–) / ๐‘›))
762, 9, 30, 75fsumle 15751 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›) โ‰ค ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(1 / ๐‘–) / ๐‘›))
772, 9, 37, 56fsumle 15751 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›) โ‰ค ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) / ๐‘›))
7810, 10, 31, 38, 76, 77le2addd 11837 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(1 / ๐‘–) / ๐‘›) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) / ๐‘›)))
79 oveq1 7412 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (๐‘š โˆ’ 1) = (๐‘› โˆ’ 1))
8079oveq2d 7421 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (1...(๐‘š โˆ’ 1)) = (1...(๐‘› โˆ’ 1)))
8180sumeq1d 15653 . . . . . . . . 9 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘š โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(1 / ๐‘–))
8281, 81jca 511 . . . . . . . 8 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘š โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘š โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(1 / ๐‘–)))
83 oveq1 7412 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ (๐‘š โˆ’ 1) = ((๐‘› + 1) โˆ’ 1))
8483oveq2d 7421 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ (1...(๐‘š โˆ’ 1)) = (1...((๐‘› + 1) โˆ’ 1)))
8584sumeq1d 15653 . . . . . . . . 9 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘š โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘› + 1) โˆ’ 1))(1 / ๐‘–))
8685, 85jca 511 . . . . . . . 8 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘š โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘› + 1) โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘š โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘› + 1) โˆ’ 1))(1 / ๐‘–)))
87 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘š = 1 โ†’ (๐‘š โˆ’ 1) = (1 โˆ’ 1))
88 1m1e0 12288 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 โˆ’ 1) = 0
8987, 88eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘š = 1 โ†’ (๐‘š โˆ’ 1) = 0)
9089oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š = 1 โ†’ (1...(๐‘š โˆ’ 1)) = (1...0))
91 fz10 13528 . . . . . . . . . . . 12 (1...0) = โˆ…
9290, 91eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = 1 โ†’ (1...(๐‘š โˆ’ 1)) = โˆ…)
9392sumeq1d 15653 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = 1 โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘š โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) = ฮฃ๐‘– โˆˆ โˆ… (1 / ๐‘–))
94 sum0 15673 . . . . . . . . . 10 ฮฃ๐‘– โˆˆ โˆ… (1 / ๐‘–) = 0
9593, 94eqtrdi 2782 . . . . . . . . 9 (๐‘š = 1 โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘š โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) = 0)
9695, 95jca 511 . . . . . . . 8 (๐‘š = 1 โ†’ (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘š โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) = 0 โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘š โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) = 0))
97 oveq1 7412 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = (๐‘ + 1) โ†’ (๐‘š โˆ’ 1) = ((๐‘ + 1) โˆ’ 1))
9897oveq2d 7421 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = (๐‘ + 1) โ†’ (1...(๐‘š โˆ’ 1)) = (1...((๐‘ + 1) โˆ’ 1)))
9998sumeq1d 15653 . . . . . . . . 9 (๐‘š = (๐‘ + 1) โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘š โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ + 1) โˆ’ 1))(1 / ๐‘–))
10099, 99jca 511 . . . . . . . 8 (๐‘š = (๐‘ + 1) โ†’ (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘š โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ + 1) โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘š โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ + 1) โˆ’ 1))(1 / ๐‘–)))
101 peano2nn 12228 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„•)
102101, 5eleqtrdi 2837 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
103 fzfid 13944 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ (1...(๐‘š โˆ’ 1)) โˆˆ Fin)
104 elfznn 13536 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘– โˆˆ (1...(๐‘š โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•)
105104adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘š โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•)
106105nnrecred 12267 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘š โˆ’ 1))) โ†’ (1 / ๐‘–) โˆˆ โ„)
107103, 106fsumrecl 15686 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘š โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) โˆˆ โ„)
108107recnd 11246 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘š โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) โˆˆ โ„‚)
10982, 86, 96, 100, 102, 108, 108fsumparts 15758 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1..^(๐‘ + 1))(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) ยท (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘› + 1) โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) โˆ’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(1 / ๐‘–))) = (((ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ + 1) โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) ยท ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ + 1) โˆ’ 1))(1 / ๐‘–)) โˆ’ (0 ยท 0)) โˆ’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1..^(๐‘ + 1))((ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘› + 1) โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) โˆ’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(1 / ๐‘–)) ยท ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘› + 1) โˆ’ 1))(1 / ๐‘–))))
110 nnz 12583 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
111 fzval3 13707 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (1...๐‘) = (1..^(๐‘ + 1)))
112110, 111syl 17 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1...๐‘) = (1..^(๐‘ + 1)))
113112eqcomd 2732 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1..^(๐‘ + 1)) = (1...๐‘))
11436recnd 11246 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) โˆˆ โ„‚)
1156nnrecred 12267 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (1 / ๐‘›) โˆˆ โ„)
116115recnd 11246 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (1 / ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
117 pncan 11470 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘› + 1) โˆ’ 1) = ๐‘›)
11839, 40, 117sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((๐‘› + 1) โˆ’ 1) = ๐‘›)
119118oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (1...((๐‘› + 1) โˆ’ 1)) = (1...๐‘›))
120119sumeq1d 15653 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘› + 1) โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(1 / ๐‘–))
12128recnd 11246 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)) โ†’ (1 / ๐‘–) โˆˆ โ„‚)
122 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘– = ๐‘› โ†’ (1 / ๐‘–) = (1 / ๐‘›))
1234, 121, 122fsumm1 15703 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(1 / ๐‘–) = (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) + (1 / ๐‘›)))
124120, 123eqtrd 2766 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘› + 1) โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) = (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) + (1 / ๐‘›)))
125114, 116, 124mvrladdd 11631 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘› + 1) โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) โˆ’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(1 / ๐‘–)) = (1 / ๐‘›))
126125oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) ยท (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘› + 1) โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) โˆ’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(1 / ๐‘–))) = (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) ยท (1 / ๐‘›)))
1276nnne0d 12266 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐‘› โ‰  0)
128114, 39, 127divrecd 11997 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) / ๐‘›) = (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) ยท (1 / ๐‘›)))
129126, 128eqtr4d 2769 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) ยท (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘› + 1) โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) โˆ’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(1 / ๐‘–))) = (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) / ๐‘›))
130113, 129sumeq12rdv 15659 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1..^(๐‘ + 1))(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) ยท (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘› + 1) โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) โˆ’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(1 / ๐‘–))) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) / ๐‘›))
131 nncn 12224 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
132 pncan 11470 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ + 1) โˆ’ 1) = ๐‘)
133131, 40, 132sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ + 1) โˆ’ 1) = ๐‘)
134133oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1...((๐‘ + 1) โˆ’ 1)) = (1...๐‘))
135134sumeq1d 15653 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ + 1) โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(1 / ๐‘–))
136135, 135oveq12d 7423 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ + 1) โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) ยท ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ + 1) โˆ’ 1))(1 / ๐‘–)) = (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(1 / ๐‘–) ยท ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(1 / ๐‘–)))
13716recnd 11246 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(1 / ๐‘–) โˆˆ โ„‚)
138137sqvald 14113 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(1 / ๐‘–)โ†‘2) = (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(1 / ๐‘–) ยท ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(1 / ๐‘–)))
139136, 138eqtr4d 2769 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ + 1) โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) ยท ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ + 1) โˆ’ 1))(1 / ๐‘–)) = (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(1 / ๐‘–)โ†‘2))
140 0cn 11210 . . . . . . . . . . . 12 0 โˆˆ โ„‚
141140mul01i 11408 . . . . . . . . . . 11 (0 ยท 0) = 0
142141a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (0 ยท 0) = 0)
143139, 142oveq12d 7423 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ + 1) โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) ยท ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ + 1) โˆ’ 1))(1 / ๐‘–)) โˆ’ (0 ยท 0)) = ((ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(1 / ๐‘–)โ†‘2) โˆ’ 0))
144137sqcld 14114 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(1 / ๐‘–)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
145144subid1d 11564 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(1 / ๐‘–)โ†‘2) โˆ’ 0) = (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(1 / ๐‘–)โ†‘2))
146143, 145eqtrd 2766 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ + 1) โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) ยท ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ + 1) โˆ’ 1))(1 / ๐‘–)) โˆ’ (0 ยท 0)) = (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(1 / ๐‘–)โ†‘2))
147125, 120oveq12d 7423 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘› + 1) โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) โˆ’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(1 / ๐‘–)) ยท ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘› + 1) โˆ’ 1))(1 / ๐‘–)) = ((1 / ๐‘›) ยท ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(1 / ๐‘–)))
14829recnd 11246 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(1 / ๐‘–) โˆˆ โ„‚)
149148, 39, 127divrec2d 11998 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(1 / ๐‘–) / ๐‘›) = ((1 / ๐‘›) ยท ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(1 / ๐‘–)))
150147, 149eqtr4d 2769 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘› + 1) โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) โˆ’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(1 / ๐‘–)) ยท ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘› + 1) โˆ’ 1))(1 / ๐‘–)) = (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(1 / ๐‘–) / ๐‘›))
151113, 150sumeq12rdv 15659 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1..^(๐‘ + 1))((ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘› + 1) โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) โˆ’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(1 / ๐‘–)) ยท ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘› + 1) โˆ’ 1))(1 / ๐‘–)) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(1 / ๐‘–) / ๐‘›))
152146, 151oveq12d 7423 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ + 1) โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) ยท ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ + 1) โˆ’ 1))(1 / ๐‘–)) โˆ’ (0 ยท 0)) โˆ’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1..^(๐‘ + 1))((ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘› + 1) โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) โˆ’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(1 / ๐‘–)) ยท ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘› + 1) โˆ’ 1))(1 / ๐‘–))) = ((ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(1 / ๐‘–)โ†‘2) โˆ’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(1 / ๐‘–) / ๐‘›)))
153109, 130, 1523eqtr3rd 2775 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(1 / ๐‘–)โ†‘2) โˆ’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(1 / ๐‘–) / ๐‘›)) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) / ๐‘›))
15431recnd 11246 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(1 / ๐‘–) / ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
15538recnd 11246 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) / ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
156144, 154, 155subaddd 11593 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(1 / ๐‘–)โ†‘2) โˆ’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(1 / ๐‘–) / ๐‘›)) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) / ๐‘›) โ†” (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(1 / ๐‘–) / ๐‘›) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) / ๐‘›)) = (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(1 / ๐‘–)โ†‘2)))
157153, 156mpbid 231 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(1 / ๐‘–) / ๐‘›) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(1 / ๐‘–) / ๐‘›)) = (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(1 / ๐‘–)โ†‘2))
15878, 157breqtrd 5167 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(1 / ๐‘–)โ†‘2))
15924, 158eqbrtrd 5163 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(1 / ๐‘–)โ†‘2))
160 flid 13779 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘) = ๐‘)
161110, 160syl 17 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘) = ๐‘)
162161oveq2d 7421 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1...(โŒŠโ€˜๐‘)) = (1...๐‘))
163162sumeq1d 15653 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘))(1 / ๐‘–) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(1 / ๐‘–))
164 nnre 12223 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
165 nnge1 12244 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โ‰ค ๐‘)
166 harmonicubnd 26897 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘) โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘))(1 / ๐‘–) โ‰ค ((logโ€˜๐‘) + 1))
167164, 165, 166syl2anc 583 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘))(1 / ๐‘–) โ‰ค ((logโ€˜๐‘) + 1))
168163, 167eqbrtrrd 5165 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(1 / ๐‘–) โ‰ค ((logโ€˜๐‘) + 1))
16914nnrpd 13020 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„+)
170169rpreccld 13032 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (1 / ๐‘–) โˆˆ โ„+)
171170rpge0d 13026 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ 0 โ‰ค (1 / ๐‘–))
1722, 15, 171fsumge0 15747 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(1 / ๐‘–))
17349a1i 11 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โˆˆ โ„)
174 log1 26474 . . . . . . 7 (logโ€˜1) = 0
175 1rp 12984 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„+
176 logleb 26492 . . . . . . . . 9 ((1 โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ (1 โ‰ค ๐‘ โ†” (logโ€˜1) โ‰ค (logโ€˜๐‘)))
177175, 18, 176sylancr 586 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 โ‰ค ๐‘ โ†” (logโ€˜1) โ‰ค (logโ€˜๐‘)))
178165, 177mpbid 231 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (logโ€˜1) โ‰ค (logโ€˜๐‘))
179174, 178eqbrtrrid 5177 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค (logโ€˜๐‘))
18019lep1d 12149 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (logโ€˜๐‘) โ‰ค ((logโ€˜๐‘) + 1))
181173, 19, 21, 179, 180letrd 11375 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค ((logโ€˜๐‘) + 1))
18216, 21, 172, 181le2sqd 14225 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(1 / ๐‘–) โ‰ค ((logโ€˜๐‘) + 1) โ†” (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(1 / ๐‘–)โ†‘2) โ‰ค (((logโ€˜๐‘) + 1)โ†‘2)))
183168, 182mpbid 231 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(1 / ๐‘–)โ†‘2) โ‰ค (((logโ€˜๐‘) + 1)โ†‘2))
18412, 17, 22, 159, 183letrd 11375 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (((logโ€˜๐‘) + 1)โ†‘2))
1851a1i 11 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„)
186 2pos 12319 . . . 4 0 < 2
187186a1i 11 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 < 2)
188 lemuldiv2 12099 . . 3 ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆˆ โ„ โˆง (((logโ€˜๐‘) + 1)โ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)) โ†’ ((2 ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (((logโ€˜๐‘) + 1)โ†‘2) โ†” ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›) โ‰ค ((((logโ€˜๐‘) + 1)โ†‘2) / 2)))
18910, 22, 185, 187, 188syl112anc 1371 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (((logโ€˜๐‘) + 1)โ†‘2) โ†” ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›) โ‰ค ((((logโ€˜๐‘) + 1)โ†‘2) / 2)))
190184, 189mpbid 231 1 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›) โ‰ค ((((logโ€˜๐‘) + 1)โ†‘2) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โІ wss 3943  โˆ…c0 4317   class class class wbr 5141  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  2c2 12271  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โ„คโ‰ฅcuz 12826  โ„+crp 12980  [,]cicc 13333  ...cfz 13490  ..^cfzo 13633  โŒŠcfl 13761  โ†‘cexp 14032  ฮฃcsu 15638  logclog 26443  ฮณcem 26879
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-e 16018  df-sin 16019  df-cos 16020  df-tan 16021  df-pi 16022  df-dvds 16205  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-cmp 23246  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-limc 25750  df-dv 25751  df-ulm 26268  df-log 26445  df-atan 26754  df-em 26880
This theorem is referenced by:  pntlemk  27494
  Copyright terms: Public domain W3C validator