MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logdivbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logdivbnd 25697
Description: A bound on a sum of logs, used in pntlemk 25747. This is not as precise as logdivsum 25674 in its asymptotic behavior, but it is valid for all 𝑁 and does not require a limit value. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
logdivbnd (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((log‘𝑛) / 𝑛) ≤ ((((log‘𝑁) + 1)↑2) / 2))
Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem logdivbnd
Dummy variables 𝑖 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2re 11449 . . . 4 2 ∈ ℝ
2 fzfid 13091 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) ∈ Fin)
3 elfzuz 12655 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → 𝑛 ∈ (ℤ‘1))
43adantl 475 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 𝑛 ∈ (ℤ‘1))
5 nnuz 12029 . . . . . . . . 9 ℕ = (ℤ‘1)
64, 5syl6eleqr 2870 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 𝑛 ∈ ℕ)
76nnrpd 12179 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
87relogcld 24806 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
98, 6nndivred 11429 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
102, 9fsumrecl 14872 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
11 remulcl 10357 . . . 4 ((2 ∈ ℝ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ) → (2 · Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((log‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℝ)
121, 10, 11sylancr 581 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((log‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℝ)
13 elfznn 12687 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (1...𝑁) → 𝑖 ∈ ℕ)
1413adantl 475 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℕ)
1514nnrecred 11426 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (1 / 𝑖) ∈ ℝ)
162, 15fsumrecl 14872 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑖) ∈ ℝ)
1716resqcld 13356 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑖)↑2) ∈ ℝ)
18 nnrp 12150 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
1918relogcld 24806 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
20 peano2re 10549 . . . . 5 ((log‘𝑁) ∈ ℝ → ((log‘𝑁) + 1) ∈ ℝ)
2119, 20syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((log‘𝑁) + 1) ∈ ℝ)
2221resqcld 13356 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (((log‘𝑁) + 1)↑2) ∈ ℝ)
2310recnd 10405 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
24232timesd 11625 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((log‘𝑛) / 𝑛)) = (Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((log‘𝑛) / 𝑛) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((log‘𝑛) / 𝑛)))
25 fzfid 13091 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (1...𝑛) ∈ Fin)
26 elfznn 12687 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1...𝑛) → 𝑖 ∈ ℕ)
2726adantl 475 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑛)) → 𝑖 ∈ ℕ)
2827nnrecred 11426 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑛)) → (1 / 𝑖) ∈ ℝ)
2925, 28fsumrecl 14872 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑖) ∈ ℝ)
3029, 6nndivred 11429 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑖) / 𝑛) ∈ ℝ)
312, 30fsumrecl 14872 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(Σ𝑖 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑖) / 𝑛) ∈ ℝ)
32 fzfid 13091 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (1...(𝑛 − 1)) ∈ Fin)
33 elfznn 12687 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1)) → 𝑖 ∈ ℕ)
3433adantl 475 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → 𝑖 ∈ ℕ)
3534nnrecred 11426 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → (1 / 𝑖) ∈ ℝ)
3632, 35fsumrecl 14872 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → Σ𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(1 / 𝑖) ∈ ℝ)
3736, 6nndivred 11429 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (Σ𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(1 / 𝑖) / 𝑛) ∈ ℝ)
382, 37fsumrecl 14872 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(Σ𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(1 / 𝑖) / 𝑛) ∈ ℝ)
396nncnd 11392 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 𝑛 ∈ ℂ)
40 ax-1cn 10330 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℂ
41 npcan 10632 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑛 − 1) + 1) = 𝑛)
4239, 40, 41sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑛 − 1) + 1) = 𝑛)
4342fveq2d 6450 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (log‘((𝑛 − 1) + 1)) = (log‘𝑛))
4443oveq2d 6938 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (Σ𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(1 / 𝑖) − (log‘((𝑛 − 1) + 1))) = (Σ𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(1 / 𝑖) − (log‘𝑛)))
45 nnm1nn0 11685 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 − 1) ∈ ℕ0)
46 harmonicbnd3 25186 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 − 1) ∈ ℕ0 → (Σ𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(1 / 𝑖) − (log‘((𝑛 − 1) + 1))) ∈ (0[,]γ))
476, 45, 463syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (Σ𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(1 / 𝑖) − (log‘((𝑛 − 1) + 1))) ∈ (0[,]γ))
4844, 47eqeltrrd 2860 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (Σ𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(1 / 𝑖) − (log‘𝑛)) ∈ (0[,]γ))
49 0re 10378 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ
50 emre 25184 . . . . . . . . . . . . 13 γ ∈ ℝ
5149, 50elicc2i 12551 . . . . . . . . . . . 12 ((Σ𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(1 / 𝑖) − (log‘𝑛)) ∈ (0[,]γ) ↔ ((Σ𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(1 / 𝑖) − (log‘𝑛)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (Σ𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(1 / 𝑖) − (log‘𝑛)) ∧ (Σ𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(1 / 𝑖) − (log‘𝑛)) ≤ γ))
5251simp2bi 1137 . . . . . . . . . . 11 ((Σ𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(1 / 𝑖) − (log‘𝑛)) ∈ (0[,]γ) → 0 ≤ (Σ𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(1 / 𝑖) − (log‘𝑛)))
5348, 52syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 0 ≤ (Σ𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(1 / 𝑖) − (log‘𝑛)))
5436, 8subge0d 10965 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (0 ≤ (Σ𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(1 / 𝑖) − (log‘𝑛)) ↔ (log‘𝑛) ≤ Σ𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(1 / 𝑖)))
5553, 54mpbid 224 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (log‘𝑛) ≤ Σ𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(1 / 𝑖))
568, 36, 7, 55lediv1dd 12239 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((log‘𝑛) / 𝑛) ≤ (Σ𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(1 / 𝑖) / 𝑛))
5727nnrpd 12179 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑛)) → 𝑖 ∈ ℝ+)
5857rpreccld 12191 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑛)) → (1 / 𝑖) ∈ ℝ+)
5958rpge0d 12185 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑛)) → 0 ≤ (1 / 𝑖))
60 elfzelz 12659 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → 𝑛 ∈ ℤ)
6160adantl 475 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 𝑛 ∈ ℤ)
62 peano2zm 11772 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 − 1) ∈ ℤ)
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑛 − 1) ∈ ℤ)
646nnred 11391 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 𝑛 ∈ ℝ)
6564lem1d 11311 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑛 − 1) ≤ 𝑛)
66 eluz2 11998 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑛 − 1)) ↔ ((𝑛 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 − 1) ≤ 𝑛))
6763, 61, 65, 66syl3anbrc 1400 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑛 − 1)))
68 fzss2 12698 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑛 − 1)) → (1...(𝑛 − 1)) ⊆ (1...𝑛))
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (1...(𝑛 − 1)) ⊆ (1...𝑛))
7025, 28, 59, 69fsumless 14932 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → Σ𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(1 / 𝑖) ≤ Σ𝑖 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑖))
716nngt0d 11424 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 0 < 𝑛)
72 lediv1 11242 . . . . . . . . . 10 ((Σ𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(1 / 𝑖) ∈ ℝ ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛)) → (Σ𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(1 / 𝑖) ≤ Σ𝑖 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑖) ↔ (Σ𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(1 / 𝑖) / 𝑛) ≤ (Σ𝑖 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑖) / 𝑛)))
7336, 29, 64, 71, 72syl112anc 1442 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (Σ𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(1 / 𝑖) ≤ Σ𝑖 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑖) ↔ (Σ𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(1 / 𝑖) / 𝑛) ≤ (Σ𝑖 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑖) / 𝑛)))
7470, 73mpbid 224 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (Σ𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(1 / 𝑖) / 𝑛) ≤ (Σ𝑖 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑖) / 𝑛))
759, 37, 30, 56, 74letrd 10533 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((log‘𝑛) / 𝑛) ≤ (Σ𝑖 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑖) / 𝑛))
762, 9, 30, 75fsumle 14935 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((log‘𝑛) / 𝑛) ≤ Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(Σ𝑖 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑖) / 𝑛))
772, 9, 37, 56fsumle 14935 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((log‘𝑛) / 𝑛) ≤ Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(Σ𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(1 / 𝑖) / 𝑛))
7810, 10, 31, 38, 76, 77le2addd 10994 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((log‘𝑛) / 𝑛) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((log‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(Σ𝑖 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑖) / 𝑛) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(Σ𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(1 / 𝑖) / 𝑛)))
79 oveq1 6929 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 − 1) = (𝑛 − 1))
8079oveq2d 6938 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → (1...(𝑚 − 1)) = (1...(𝑛 − 1)))
8180sumeq1d 14839 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → Σ𝑖 ∈ (1...(𝑚 − 1))(1 / 𝑖) = Σ𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(1 / 𝑖))
8281, 81jca 507 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → (Σ𝑖 ∈ (1...(𝑚 − 1))(1 / 𝑖) = Σ𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(1 / 𝑖) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝑚 − 1))(1 / 𝑖) = Σ𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(1 / 𝑖)))
83 oveq1 6929 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑚 − 1) = ((𝑛 + 1) − 1))
8483oveq2d 6938 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (1...(𝑚 − 1)) = (1...((𝑛 + 1) − 1)))
8584sumeq1d 14839 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝑛 + 1) → Σ𝑖 ∈ (1...(𝑚 − 1))(1 / 𝑖) = Σ𝑖 ∈ (1...((𝑛 + 1) − 1))(1 / 𝑖))
8685, 85jca 507 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (Σ𝑖 ∈ (1...(𝑚 − 1))(1 / 𝑖) = Σ𝑖 ∈ (1...((𝑛 + 1) − 1))(1 / 𝑖) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝑚 − 1))(1 / 𝑖) = Σ𝑖 ∈ (1...((𝑛 + 1) − 1))(1 / 𝑖)))
87 oveq1 6929 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 1 → (𝑚 − 1) = (1 − 1))
88 1m1e0 11447 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 − 1) = 0
8987, 88syl6eq 2830 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 1 → (𝑚 − 1) = 0)
9089oveq2d 6938 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 1 → (1...(𝑚 − 1)) = (1...0))
91 fz10 12679 . . . . . . . . . . . 12 (1...0) = ∅
9290, 91syl6eq 2830 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 1 → (1...(𝑚 − 1)) = ∅)
9392sumeq1d 14839 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 1 → Σ𝑖 ∈ (1...(𝑚 − 1))(1 / 𝑖) = Σ𝑖 ∈ ∅ (1 / 𝑖))
94 sum0 14859 . . . . . . . . . 10 Σ𝑖 ∈ ∅ (1 / 𝑖) = 0
9593, 94syl6eq 2830 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 1 → Σ𝑖 ∈ (1...(𝑚 − 1))(1 / 𝑖) = 0)
9695, 95jca 507 . . . . . . . 8 (𝑚 = 1 → (Σ𝑖 ∈ (1...(𝑚 − 1))(1 / 𝑖) = 0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝑚 − 1))(1 / 𝑖) = 0))
97 oveq1 6929 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (𝑁 + 1) → (𝑚 − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
9897oveq2d 6938 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝑁 + 1) → (1...(𝑚 − 1)) = (1...((𝑁 + 1) − 1)))
9998sumeq1d 14839 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝑁 + 1) → Σ𝑖 ∈ (1...(𝑚 − 1))(1 / 𝑖) = Σ𝑖 ∈ (1...((𝑁 + 1) − 1))(1 / 𝑖))
10099, 99jca 507 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑁 + 1) → (Σ𝑖 ∈ (1...(𝑚 − 1))(1 / 𝑖) = Σ𝑖 ∈ (1...((𝑁 + 1) − 1))(1 / 𝑖) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝑚 − 1))(1 / 𝑖) = Σ𝑖 ∈ (1...((𝑁 + 1) − 1))(1 / 𝑖)))
101 peano2nn 11388 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
102101, 5syl6eleq 2869 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘1))
103 fzfid 13091 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (1...(𝑚 − 1)) ∈ Fin)
104 elfznn 12687 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (1...(𝑚 − 1)) → 𝑖 ∈ ℕ)
105104adantl 475 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → 𝑖 ∈ ℕ)
106105nnrecred 11426 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → (1 / 𝑖) ∈ ℝ)
107103, 106fsumrecl 14872 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → Σ𝑖 ∈ (1...(𝑚 − 1))(1 / 𝑖) ∈ ℝ)
108107recnd 10405 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → Σ𝑖 ∈ (1...(𝑚 − 1))(1 / 𝑖) ∈ ℂ)
10982, 86, 96, 100, 102, 108, 108fsumparts 14942 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (1..^(𝑁 + 1))(Σ𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(1 / 𝑖) · (Σ𝑖 ∈ (1...((𝑛 + 1) − 1))(1 / 𝑖) − Σ𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(1 / 𝑖))) = (((Σ𝑖 ∈ (1...((𝑁 + 1) − 1))(1 / 𝑖) · Σ𝑖 ∈ (1...((𝑁 + 1) − 1))(1 / 𝑖)) − (0 · 0)) − Σ𝑛 ∈ (1..^(𝑁 + 1))((Σ𝑖 ∈ (1...((𝑛 + 1) − 1))(1 / 𝑖) − Σ𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(1 / 𝑖)) · Σ𝑖 ∈ (1...((𝑛 + 1) − 1))(1 / 𝑖))))
110 nnz 11751 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
111 fzval3 12856 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (1...𝑁) = (1..^(𝑁 + 1)))
112110, 111syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) = (1..^(𝑁 + 1)))
113112eqcomd 2784 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (1..^(𝑁 + 1)) = (1...𝑁))
11436recnd 10405 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → Σ𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(1 / 𝑖) ∈ ℂ)
1156nnrecred 11426 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
116115recnd 10405 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (1 / 𝑛) ∈ ℂ)
117 pncan 10628 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑛 + 1) − 1) = 𝑛)
11839, 40, 117sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑛 + 1) − 1) = 𝑛)
119118oveq2d 6938 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (1...((𝑛 + 1) − 1)) = (1...𝑛))
120119sumeq1d 14839 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → Σ𝑖 ∈ (1...((𝑛 + 1) − 1))(1 / 𝑖) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑖))
12128recnd 10405 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑛)) → (1 / 𝑖) ∈ ℂ)
122 oveq2 6930 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑛 → (1 / 𝑖) = (1 / 𝑛))
1234, 121, 122fsumm1 14887 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑖) = (Σ𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(1 / 𝑖) + (1 / 𝑛)))
124120, 123eqtrd 2814 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → Σ𝑖 ∈ (1...((𝑛 + 1) − 1))(1 / 𝑖) = (Σ𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(1 / 𝑖) + (1 / 𝑛)))
125114, 116, 124mvrladdd 10788 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (Σ𝑖 ∈ (1...((𝑛 + 1) − 1))(1 / 𝑖) − Σ𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(1 / 𝑖)) = (1 / 𝑛))
126125oveq2d 6938 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (Σ𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(1 / 𝑖) · (Σ𝑖 ∈ (1...((𝑛 + 1) − 1))(1 / 𝑖) − Σ𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(1 / 𝑖))) = (Σ𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(1 / 𝑖) · (1 / 𝑛)))
1276nnne0d 11425 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 𝑛 ≠ 0)
128114, 39, 127divrecd 11154 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (Σ𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(1 / 𝑖) / 𝑛) = (Σ𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(1 / 𝑖) · (1 / 𝑛)))
129126, 128eqtr4d 2817 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (Σ𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(1 / 𝑖) · (Σ𝑖 ∈ (1...((𝑛 + 1) − 1))(1 / 𝑖) − Σ𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(1 / 𝑖))) = (Σ𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(1 / 𝑖) / 𝑛))
130113, 129sumeq12rdv 14845 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (1..^(𝑁 + 1))(Σ𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(1 / 𝑖) · (Σ𝑖 ∈ (1...((𝑛 + 1) − 1))(1 / 𝑖) − Σ𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(1 / 𝑖))) = Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(Σ𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(1 / 𝑖) / 𝑛))
131 nncn 11383 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
132 pncan 10628 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
133131, 40, 132sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
134133oveq2d 6938 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (1...((𝑁 + 1) − 1)) = (1...𝑁))
135134sumeq1d 14839 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑖 ∈ (1...((𝑁 + 1) − 1))(1 / 𝑖) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑖))
136135, 135oveq12d 6940 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑖 ∈ (1...((𝑁 + 1) − 1))(1 / 𝑖) · Σ𝑖 ∈ (1...((𝑁 + 1) − 1))(1 / 𝑖)) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑖) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑖)))
13716recnd 10405 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑖) ∈ ℂ)
138137sqvald 13324 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑖)↑2) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑖) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑖)))
139136, 138eqtr4d 2817 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑖 ∈ (1...((𝑁 + 1) − 1))(1 / 𝑖) · Σ𝑖 ∈ (1...((𝑁 + 1) − 1))(1 / 𝑖)) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑖)↑2))
140 0cn 10368 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℂ
141140mul01i 10566 . . . . . . . . . . 11 (0 · 0) = 0
142141a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (0 · 0) = 0)
143139, 142oveq12d 6940 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((Σ𝑖 ∈ (1...((𝑁 + 1) − 1))(1 / 𝑖) · Σ𝑖 ∈ (1...((𝑁 + 1) − 1))(1 / 𝑖)) − (0 · 0)) = ((Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑖)↑2) − 0))
144137sqcld 13325 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑖)↑2) ∈ ℂ)
145144subid1d 10723 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑖)↑2) − 0) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑖)↑2))
146143, 145eqtrd 2814 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((Σ𝑖 ∈ (1...((𝑁 + 1) − 1))(1 / 𝑖) · Σ𝑖 ∈ (1...((𝑁 + 1) − 1))(1 / 𝑖)) − (0 · 0)) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑖)↑2))
147125, 120oveq12d 6940 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((Σ𝑖 ∈ (1...((𝑛 + 1) − 1))(1 / 𝑖) − Σ𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(1 / 𝑖)) · Σ𝑖 ∈ (1...((𝑛 + 1) − 1))(1 / 𝑖)) = ((1 / 𝑛) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑖)))
14829recnd 10405 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑖) ∈ ℂ)
149148, 39, 127divrec2d 11155 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑖) / 𝑛) = ((1 / 𝑛) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑖)))
150147, 149eqtr4d 2817 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((Σ𝑖 ∈ (1...((𝑛 + 1) − 1))(1 / 𝑖) − Σ𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(1 / 𝑖)) · Σ𝑖 ∈ (1...((𝑛 + 1) − 1))(1 / 𝑖)) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑖) / 𝑛))
151113, 150sumeq12rdv 14845 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (1..^(𝑁 + 1))((Σ𝑖 ∈ (1...((𝑛 + 1) − 1))(1 / 𝑖) − Σ𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(1 / 𝑖)) · Σ𝑖 ∈ (1...((𝑛 + 1) − 1))(1 / 𝑖)) = Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(Σ𝑖 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑖) / 𝑛))
152146, 151oveq12d 6940 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (((Σ𝑖 ∈ (1...((𝑁 + 1) − 1))(1 / 𝑖) · Σ𝑖 ∈ (1...((𝑁 + 1) − 1))(1 / 𝑖)) − (0 · 0)) − Σ𝑛 ∈ (1..^(𝑁 + 1))((Σ𝑖 ∈ (1...((𝑛 + 1) − 1))(1 / 𝑖) − Σ𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(1 / 𝑖)) · Σ𝑖 ∈ (1...((𝑛 + 1) − 1))(1 / 𝑖))) = ((Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑖)↑2) − Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(Σ𝑖 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑖) / 𝑛)))
153109, 130, 1523eqtr3rd 2823 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑖)↑2) − Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(Σ𝑖 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑖) / 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(Σ𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(1 / 𝑖) / 𝑛))
15431recnd 10405 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(Σ𝑖 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑖) / 𝑛) ∈ ℂ)
15538recnd 10405 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(Σ𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(1 / 𝑖) / 𝑛) ∈ ℂ)
156144, 154, 155subaddd 10752 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (((Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑖)↑2) − Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(Σ𝑖 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑖) / 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(Σ𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(1 / 𝑖) / 𝑛) ↔ (Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(Σ𝑖 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑖) / 𝑛) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(Σ𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(1 / 𝑖) / 𝑛)) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑖)↑2)))
157153, 156mpbid 224 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(Σ𝑖 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑖) / 𝑛) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(Σ𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(1 / 𝑖) / 𝑛)) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑖)↑2))
15878, 157breqtrd 4912 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((log‘𝑛) / 𝑛) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((log‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑖)↑2))
15924, 158eqbrtrd 4908 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((log‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑖)↑2))
160 flid 12928 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘𝑁) = 𝑁)
161110, 160syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘𝑁) = 𝑁)
162161oveq2d 6938 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1...(⌊‘𝑁)) = (1...𝑁))
163162sumeq1d 14839 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑁))(1 / 𝑖) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑖))
164 nnre 11382 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
165 nnge1 11404 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
166 harmonicubnd 25188 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑁) → Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑁))(1 / 𝑖) ≤ ((log‘𝑁) + 1))
167164, 165, 166syl2anc 579 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑁))(1 / 𝑖) ≤ ((log‘𝑁) + 1))
168163, 167eqbrtrrd 4910 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑖) ≤ ((log‘𝑁) + 1))
16914nnrpd 12179 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℝ+)
170169rpreccld 12191 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (1 / 𝑖) ∈ ℝ+)
171170rpge0d 12185 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 0 ≤ (1 / 𝑖))
1722, 15, 171fsumge0 14931 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑖))
17349a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
174 log1 24769 . . . . . . 7 (log‘1) = 0
175 1rp 12141 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ+
176 logleb 24786 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℝ+) → (1 ≤ 𝑁 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝑁)))
177175, 18, 176sylancr 581 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝑁 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝑁)))
178165, 177mpbid 224 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘1) ≤ (log‘𝑁))
179174, 178syl5eqbrr 4922 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (log‘𝑁))
18019lep1d 11309 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘𝑁) ≤ ((log‘𝑁) + 1))
181173, 19, 21, 179, 180letrd 10533 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ ((log‘𝑁) + 1))
18216, 21, 172, 181le2sqd 13365 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑖) ≤ ((log‘𝑁) + 1) ↔ (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑖)↑2) ≤ (((log‘𝑁) + 1)↑2)))
183168, 182mpbid 224 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑖)↑2) ≤ (((log‘𝑁) + 1)↑2))
18412, 17, 22, 159, 183letrd 10533 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((log‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (((log‘𝑁) + 1)↑2))
1851a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
186 2pos 11485 . . . 4 0 < 2
187186a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 2)
188 lemuldiv2 11258 . . 3 ((Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ ∧ (((log‘𝑁) + 1)↑2) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((log‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (((log‘𝑁) + 1)↑2) ↔ Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((log‘𝑛) / 𝑛) ≤ ((((log‘𝑁) + 1)↑2) / 2)))
18910, 22, 185, 187, 188syl112anc 1442 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((log‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (((log‘𝑁) + 1)↑2) ↔ Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((log‘𝑛) / 𝑛) ≤ ((((log‘𝑁) + 1)↑2) / 2)))
190184, 189mpbid 224 1 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((log‘𝑛) / 𝑛) ≤ ((((log‘𝑁) + 1)↑2) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  wss 3792  c0 4141   class class class wbr 4886  cfv 6135  (class class class)co 6922  cc 10270  cr 10271  0cc0 10272  1c1 10273   + caddc 10275   · cmul 10277   < clt 10411  cle 10412  cmin 10606   / cdiv 11032  cn 11374  2c2 11430  0cn0 11642  cz 11728  cuz 11992  +crp 12137  [,]cicc 12490  ...cfz 12643  ..^cfzo 12784  cfl 12910  cexp 13178  Σcsu 14824  logclog 24738  γcem 25170
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-fi 8605  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-ioo 12491  df-ioc 12492  df-ico 12493  df-icc 12494  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-fl 12912  df-mod 12988  df-seq 13120  df-exp 13179  df-fac 13379  df-bc 13408  df-hash 13436  df-shft 14214  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-limsup 14610  df-clim 14627  df-rlim 14628  df-sum 14825  df-ef 15200  df-e 15201  df-sin 15202  df-cos 15203  df-pi 15205  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-hom 16362  df-cco 16363  df-rest 16469  df-topn 16470  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-topgen 16490  df-pt 16491  df-prds 16494  df-xrs 16548  df-qtop 16553  df-imas 16554  df-xps 16556  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-mulg 17928  df-cntz 18133  df-cmn 18581  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-fbas 20139  df-fg 20140  df-cnfld 20143  df-top 21106  df-topon 21123  df-topsp 21145  df-bases 21158  df-cld 21231  df-ntr 21232  df-cls 21233  df-nei 21310  df-lp 21348  df-perf 21349  df-cn 21439  df-cnp 21440  df-haus 21527  df-tx 21774  df-hmeo 21967  df-fil 22058  df-fm 22150  df-flim 22151  df-flf 22152  df-xms 22533  df-ms 22534  df-tms 22535  df-cncf 23089  df-limc 24067  df-dv 24068  df-log 24740  df-em 25171
This theorem is referenced by:  pntlemk  25747
  Copyright terms: Public domain W3C validator